第17章 函数及其图象（二十三题型压轴专练）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第17章 函数及其图象 压轴专练 题型一、一次函数与反比例函数的图象 1．某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费（元）与行李质量（）之间的函数表达式为，该函数图象如图所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．旅客最多可免费携带行李 D．当行李的质量超过规定时，超出部分的行李每千克需要加收元 2．以正方形两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，已知正方形的面积为12，则过点D的反比例函数的解析式为 ． 3．一辆轿车从地驶往地，到达地后立即返回地，返回速度是原来的倍，往返共用小时．一辆货车同时从地驶往地，速度是到达地后停止．两车同时出发，匀速行驶，设轿车行驶的时间为，两车离开地的距离为，轿车行驶过程中与之间的函数图象如图所示． (1)轿车从地驶往地的速度为 ， ； (2)在图中画出货车从地驶往地的函数图象，并求货车从地驶到地时与之间的函数关系式；（写出自变量取值范围） (3)当轿车从地返回地的途中与货车相遇时，求相遇处到地的距离． 题型二、一次函数与反比例函数的性质 1．已知是一次函数的图象上的三点，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交于点B．若，则 ． 3．如图，一次函数（为常数且）与反比例函数的图象交于点和点． (1)求的值和点的坐标； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 题型三、一次函数与反比例函数的结合应用 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）在第二象限交于点，且与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)在x轴上有一动点P，且的面积为，求点P的坐标． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点 (1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； (2)并观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ (3)求的面积． 3．直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12， ①若点在点的左侧，求点的坐标． ②点可在点的右侧吗？若在，直接写出点的坐标，若不在，请说明理由 题型四、一次函数与反比例函数的周长 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于y轴的对称图形； (2)求出的面积； (3)在x轴上找一点P，使得周长最小，并直接写出点P的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，，已知． (1)如图，点C在第二象限，且，． ①如图（1），求点C的坐标； ②如图（2），的平分线交射线于点P，连接，求点P的坐标； (2)如图（3），点D，E分别在x轴，y轴上，若，点I是内角平分线的交点，分别交坐标轴于点F，G，直接写出的周长． 3．如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点、． (1)反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，请直接写出满足的取值范围； (3)若轴上的存在一点，使的周长最小，请直接写出点的坐标． 题型五、一次函数与反比例函数的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点B是该直线上一点，且纵坐标为4，过点B的直线与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出的面积． 2．如图，反比例函数和的图象如图所示，点是x轴正半轴上一动点，过点C作x轴的垂线，分别与和的图象交于点． (1)当时，线段，求两点的坐标及的值． (2)小伟同学提出了一个猜想：“当k值一定时，的面积随a值的增大而减小．”你认为他的猜想对吗？请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线向下平移个单位后的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)点在直线上，若点为轴上一点，求的周长的最小值； (3)在（）的条件下，若在直线上有一个动点，使得的面积是的面积的倍，求出点的坐标． 题型六、一次函数与反比例函数的最值 1．已知一次函数（k，b是常数，且）的图象经过两点． (1)求该一次函数解析式； (2)若，请分别求出函数y的最大值和最小值． 2．阅读下列材料，回答问题： 【提出问题】对任意的实数a、b而言，，即．易知当时，，即：，所以．若，则，所以． 【结论应用】若，则当 时，代数式有最小值为 ． 【问题解决】 （1）某公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共6400元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元，三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．请写出该设备每生产一个零件的运营成本的表达式，且求出当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？ （2）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 3．（1）模型建立： 如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，请直接写出图中相等的线段（除）； 模型应用： （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于A、B两点，C为第一象限内的点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点C的坐标和直线的表达式； 探究提升： （3）如图3，在平面直角坐标系中，，点B在y轴上运动，将绕点A顺时针旋转至，连接，请求出的最小值以及此时点B的坐标． 题型七、一次函数与反比例函数的全等三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出关于y轴对称的； (2)直接写出，，三点的坐标以及的面积； (3)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的D点坐标． 2．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； (3)过点作直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 3．直线：分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且． (1)求点B的坐标及直线的函数表达式； (2)在y轴存在点P，使得三点B、C、P构成等腰三角形，请直接写出点P的坐标 　　； (3)在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等（重合除外），请求出点D的坐标． 题型八、一次函数与反比例函数的等腰三角形 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点与点关于轴对称，为线段上一点，直线与交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)为直线上一动点，当，求点坐标； (3)如图2，将绕点逆时针旋转，得到，直线与射线分别交于，则当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长度． 2．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一动点（不与点重合），过点作于点． (1)当点是中点时，连接，求的面积及线段的长度； (2)连接，若平分，求此时点的坐标； (3)平分，为轴上动点，为以为腰的等腰三角形时，直接写出坐标． 3．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点． (1)若． ①求的长． ②若是等腰三角形，求点的坐标． (2)连接，若，当最小时，求点的坐标． 题型九、一次函数与反比例函数的等腰直角三角形 1．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点C是直线上一动点，的面积是面积的一半，求点C的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别相交于两点，点在直线上，过点的直线交轴于点，且点坐标为． (1)求出的值，以及直线的函数表达式； (2)已知点是射线上一动点，过点作轴交直线于点，作轴交轴于点，当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 3．（1）【K图横型建立】 如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：； （2）【模型应用】 ①如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕着点A逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式； ②如图3，在平面直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上的动点且在第一象限内．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由． 题型十、一次函数与反比例函数的直角三角形 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求直线的解析式； (2)若直线与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标及此时的长度． 2．如图，已知点的坐标为（24，0），直线经过原点，与轴正半轴的夹角为为直线上一动点，为平面内一点．若为等边三角形（点逆时针排列），则称为点的“伴随点”． (1)若，则点的“伴随点”的坐标为_____； (2)若，求点的“伴随点”的坐标； (3)连接，延长交轴于点．若为直角三角形，求线段的长． 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，其中点A的坐标为 (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标． 题型十一、一次函数与反比例函数的作图 1．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为． (1)画出并写出点的坐标为______ (2)写出的面积为______ (3)在x轴上找出点P，使得的值最小，并写出最小值为______．（保留作图痕迹） 2．如图，反比例函数的图象经过点和点，点在点的右侧，连接，以为边，在右上方作等边． (1)求反比例函数的解析式． (2)尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹）． (3)在（2）所作图形中，连接，．若的平分线过原点，求证：． 3．（1）探究：如图1，已知，点E，F是上任意两点，判断，的面积是否相等，并说明理由； （2）应用：已知如图2，在平面直角坐标系中，解析式为：，，点D坐标为，点P为上任意一点，则________； （3）拓展：请参考上述结论，在图3中作使其与四边形面积相等．（不写作法，保留作图痕迹） 题型十二、一次函数与反比例函数的角度 1．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 2．如图，、，且满足． (1)如图，直接写出两点的坐标； (2)如图，点在线段上（不与重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图，若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边作等腰直角，使得，直线交轴，当点在轴上移动时，线段和线段中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点、，C是线段上一点，将沿着折叠，点O落在点D，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)若，求点D的坐标； (3)点P是平面内一点，若，请直接写出直线的函数解析式． 题型十三、一次函数与反比例函数的等角 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与坐标轴交于，两点，点是点关于轴的对称点，直线与直线交于点，连接． (1)求直线的解析式； (2)在直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为直角边，点为直角顶点，构造等腰直角，点位于轴的上方，点是直线上一点，若，请直接写出点的坐标． 2．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 3．如图，四边形是正方形，点E在上，连接，于点F．以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知一次函数的图象经过点D，E． (1)画出直角坐标系及一次函数图象，求点D的坐标； (2)连接，判断与的数量关系，并给予证明； (3)连接，点G在直线上，若，求点G的坐标． 题型十四、一次函数与反比例函数的倍线 1．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．直线上有一点，点在第二象限，连接，以为直角边，点为直角顶点，在直线下方作等腰直角三角形，连接． (1)求证：． (2)当时，在轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出所有点的坐标． (3)若点是的三等分点，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，点在射线上（点不与点、重合），过点分别作轴于点，轴于点，设四边形的周长为，点的横坐标是． (1)当时，求点的坐标； (2)求与之间的函数关系式； (3)直接写出四边形是正方形时的值． 3．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 题型十五、一次函数与反比例函数的比值 1．在平面直角坐标系：中，过点分别作轴，轴的垂线，分别交轴，轴于点，．点，在其所在的坐标轴上对应的数都是1．连接． (1)求三角形的面积． (2)是轴上一点，连接． ①若三角形的面积等于三角形的面积的一半，求坐标． ②在①的条件下，若直线交轴正半轴于点，求三角形的面积和三角形的面积的比值． 2．如图1，在平面直角坐标系中，已知两点，． (1)若a，b满足． ①直接写出的周长； ②P在第一象限内，若为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标， (2)如图2，C是x轴上点A右侧的动点，D在第一象限内，满足． ①探究三条线段，，之间的数量关系，并给出证明； ②设与的面积的比值为k，直接写出k的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上运动，点在轴正半轴上运动． (1)如图1， ①已知与的角平分线相交于点，则______． ②若不平行CD，AD、BC分别是和的角平分线，又、分别是和的角平分线，点A、B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其值； (2)如图2，延长至，已知，的角平分线相交于点，在中，如果一个角与另一个角的比值为，求的度数． 题型十六、一次函数与反比例函数的定值 1．【综合与探究】 已知，在中，，．请解答以下问题：    (1)如图1，点A，B的坐标分别为，点在第二象限，过点作轴于点，可求得点的坐标为____________； (2)如图2，点在轴上，交轴于点，取的中点，连接、．若轴，求证：； (3)如图3，点为线段延长线上的动点，点在边上（不与点重合），连接，过点作，且，连接．在点运动的过程中，的度数是否为定值？请证明你的结论． 2．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且x，y满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点C的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B的坐标为，线段轴．动点P从点B出发，沿方向运动；同时，动点Q从原点出发，沿x轴向右运动，动点P，Q的运动速度均为1个单位长度/秒．当点P到达终点A时，点Q也随之停止运动．连接，过的中点M作垂直于的线段，点N在右侧且，如图①．设运动时间为t秒． (1)当时，点M的坐标为 ；点N的坐标为 ； (2)当点N落在x轴上时，求t的值； (3)如图②，连接，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 题型十七、一次函数与反比例函数的平移 1．边长为4的正方形，将此正方形置于平面直角坐标系中，使边落在x轴的正半轴上，且A点的坐标是． (1)直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形的面积； (2)若直线l经过点E且将正方形分成面积相等的两部分求直线l的解析式； (3)若直线经过点且与直线平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位交x轴于点M，交直线于点N，求的面积． 2．如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段与上述反比例函数的图象相交于点D． (1)求k的值和直线的解析式； (2)在y轴上是否存在点Q，使得的值最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点A、点B，直线：与直线交于点，与x轴交于点C，且． (1)求直线的解析式； (2)如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与y轴交于点Q，连接，在x轴是否存在动点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 题型十八、一次函数与反比例函数的翻折 1．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴正半轴于点，且，点在直线上，直线： 经过点交轴于点． (1)求直线、的函数表达式； (2)是直线上一动点，若，求点的坐标； (3)在轴上有一动点，连接，将沿直线翻折后，点的对应点恰好落在直线上，请求出点的坐标． 2．平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，． (1)如图1，若，，求点B的坐标； (2)如图2，设交x轴于点D，若平分，，求点B的纵坐标； (3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点M，，将沿翻折，的对应边的延长线交于点P，为线段上一点，且．请你补全图形（不需要尺规作图），并求的值．（用含n的式子表示） 3．定义：对于平面直角坐标系内的点和反比例函数，若，则称点是反比例函数的“双曲点”． 已知点和反比例函数． (1)判断点是否为反比例函数的“双曲点”，并说明理由； (2)如图1，过点作轴，轴，分别与反比例函数的图象交于点和，将直线右侧的图象沿翻折，交轴于点，将直线下方的图象沿翻折，翻折后的曲线相交于点． ①求点到轴和轴的距离比； ②如图2，若点位于点上方，过点作轴，交轴左侧曲线于点，交轴右侧曲线（实线部分）于点．若，求的值． 题型十九、一次函数与反比例函数的旋转 1．（1）【感知】如图1，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点A的坐标为，将线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，过点B作轴，垂足为M，易知，得到点B的坐标为___________； （2）【探究】如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，求点B的坐标；（用含m的代数式表示） （3）【拓展】如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C在y轴上，将线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，连接，，则的最小值为__________． 2．已知直线：与轴交于点，直线与轴交于点直线、交于点且点的横坐标为． (1)如图甲，过点作轴的垂线，为垂线上的一个点，是轴上的一个动点，连结、、，若，求此时点的坐标； (2)若点在过点作轴的垂线上，为轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)如图乙，点的坐标为，将直线绕点旋转，使旋转后得到的直线刚好过点，过点作平行于轴的直线，、分别为直线、上的两个动点，是否存在点、，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知．    (1)如图1，点D在上（点D不与点B，C重合），且，连接． ①当时，求的长． ②当时，________． ③在②的条件下，若将线段绕点A逆时针旋转，旋转后点B的对应点为点，连接．旋转过程中，的最大值为a，最小值为b，则_______． (2)如图2，把绕点A逆时针旋转得，交于点P，与 的延长线交于点Q，请判断射线是否经过点Q，并说明理由． 题型二十、一次函数与反比例函数的新定义 1．在平面直角坐标系中，已知点，过点且垂直于轴的直线记为直线，过点且垂直于轴的直线记为直线．给出如下定义：将图形关于直线对称得到图形，再将图形关于直线得到图形，则称图形是图形关于点的双对称图形． (1)已知点的坐标为，点关于点的双对称图形点的坐标为___； (2)如图，的顶点坐标是，，． ①已知点的坐标是，写出点，，关于的双对称图形点的坐标___，___，___； ②已知点的坐标为，点，点，线段关于点的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边），求的取值范围． 2．定义：平面内有P、A、B三点，连接，若且，则称点A和点B是关于点P的“n度等距点”．    (1)如图1，已知在平面直角坐标系内，点P在x轴的正半轴上，且，点M在第一象限，若点O和点P是关于点M的“60度等距点”，则点M的坐标为 ； (2)如图2，已知点A、B的坐标分别是，点N在第一象限，若点B和点N是关于点A的“90度等距点”，求点N的坐标； (3)如图3，已知在平面直角坐标系内，点C在第二象限，，与x轴的所夹锐角为，点E为平面直角坐标系内一点，若点O和点E是关于点C的“120度等距点”，则点E的坐标是 ． 3．我们给出如下定义：对于给定的一次函数（k，b为常数且），把形如（k、b为常数且）的函数称为一次函数的演变函数． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的演变函数图象上，求的值： ②若点在这个一次函数的演变函数图象上，求的值． (2)如图，一次函数为常数且的演变函数图象与一次函数的图象相交于两点， ①求该一次函数的表达式； ②一次函数（为常数且）的演变函数图象与轴相交于点，求的面积； ③在一次函数（为常数且）的演变函数图象上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型二十一、一次函数与反比例函数的阅读理解 1．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称． 观察应用： (1)如图，若点，的对称中心是点，则点的坐标为 ． (2)在（1）的基础上另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，… ①则点，，的坐标分别为 ， ， ． ②点的坐标为 ． 2．阅读理解： 材料一：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若且，则称点是线段的“完美等距点”． 材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果，，那么． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：，则这三点中，线段的“等距点”是________，线段的“完美等距点”是________； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．阅读理解：阅读以下内容，完成后面任务： 材料一 “最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据1______） ∴______． 在中，∵，（依据2______）， ∴，即最小． 材料二 说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解： 几何意义：如图④，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以苔成点P与点的距离，所求代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 任务一 ______，______， 依据1____________________________________ 依据2______________________________________ 任务二 利用图④中求出的最小值 任务三 求代数式的最小值． 题型二十二、一次函数与反比例函数的迁移探究 1．【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】如图1，边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则直角梯形的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） ①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点B为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点，点，可求点F坐标为，点H坐标为． ③由点A和点H的坐标求出直线的关系式为． ④因为点M的横坐标为6，且点M在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点N坐标，从而得到线段和线段的长，从而求出直角梯形的面积为______． 【迁移探究】如图3，长方形中，，，，，，点E是边上的一点，，交于点F． （1）请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）在题（1）建立的直角坐标系基础下，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点，请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图4，在题（1）建立的直角坐标系下，沿着直线折叠得到，请求点的坐标． 2．阅读材料，完成下列各题： 对于不与x轴、y轴平行或重合直线，其中k叫做直线l的斜率．若在直线l上有不重合的两点、，则斜率的计算公式为，此公式叫做斜率公式， (1)新知运用：已知点和点，求过A、B两点的直线的斜率； (2)拓展迁移：若直线上有不重合四点、、、，求、及b之间的大小关系； (3)新知感悟：根据以上的探究，尝试证明斜率公式（使用阅读材料中的题设完成证明）． 3．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，指出下列各点：，，，，并连接，，请写出线段的中点坐标：______，线段的中点坐标：______． (2)探究迁移 ①多找几条这样的线段试试，如果点，，那么线段的中点坐标是______． ②如果有，两点，那么线段的中点坐标是______． (3)拓展应用 已知三点，，，点与点E，F，G中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 题型二十三、一次函数与反比例函数的项目化学习 1．项目化学习 项目背景：智能手机的日益进步，使手机的耗电量急速上升，为保证手机的续航时间，其内部搭载电池的容量也日益增大．为了能快速将手机充满电，手机快速充电技术应运而生．某校综合实践小组以探究“快速充电器与普通充电器的区别”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究充电时快速充电器比普通充电器少用的时间． 研究步骤：（1）准备两台华为“”手机，使其初始电量显示； （2）准备两个充电器，一个标注“输出 ”，另一个标注“输出 ”，分别用两个充电器给手机充电，对充电时间与充电量进行统计； （3）数据分析，形成结论． 试验数据： 充电时间x（分） 0 10 20 30 40 普通充电器充电量 20 40 60 80 100 快速充电器充电量 20 60 100 100 100 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： (1)根据表中信息，可知是x的______函数（填“一次”“二次”或“反比例”），直接写出与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)若将该手机的电量从充至，则快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 2．项目化学习 项目主题：老陈醋最优销售单价． 项目背景：宁化府是山西太原百年老店，其酿造的老陈醋清鲜香醇，深受人们喜爱． 某校综合实践小组以探究“老陈醋最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究老陈醋销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）综合实践小组到太原宁化府老陈醋专卖店了解到每壶老陈醋的成本为20元； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对老陈醋的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 实验数据： 老陈醋销售单价（元/壶） … 24 26 28 30 32 … 每天销售数量（壶） … 52 48 44 40 36 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该老陈醋每天的销售数量（壶）是老陈醋销售单价（元/壶）的______函数（选填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为______； （2）若要使每天销售老陈醋获得的利润（元）最大，请通过计算说明老陈醋的最优销售单价，并求出最大利润． 3．项目化学习 项目主题：探究杠杆平衡条件 项目步骤：实验课上李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：自制了一个类似天平的仪器如图①，在左边固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况． 试验数据： x（cm） 10 15 20 25 30 y（g） 30 20 15 12 10 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)当活动托盘B与点O的距离为12.5cm时，求砝码的质量； (4)当活动托盘B往左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加还是减少砝码？______．（填写“添加”或“减少”） 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 函数及其图象 压轴专练 题型一、一次函数与反比例函数的图象 1．某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费（元）与行李质量（）之间的函数表达式为，该函数图象如图所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．旅客最多可免费携带行李 D．当行李的质量超过规定时，超出部分的行李每千克需要加收元 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量以及一次函数的增减性． 利用待定系数法求一次函数解析式即可判断A，B选项；令时求出的值即可判断C选项；根据函数解析式即可判断D选项． 【详解】解：由图可知，函数图象经过点，， ， 解得：；故A，B正确， ∴函数解析式为 令，则， 解得， 所以，旅客最多可免费携带行李的质量为10kg；故C正确； ∵， ∴当行李的质量超过规定时，超出部分的行李每千克需要加收元，故D选项错误 故选：D． 2．以正方形两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，已知正方形的面积为12，则过点D的反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．根据正方形的性质可求得第一象限的小正方形的面积，再根据反比例函数系数k的几何意义得答案便可． 【详解】解：∵正方形的面积为12， ∴， ∴． ∴过点D的反比例函数的解析式为 故答案为：． 3．一辆轿车从地驶往地，到达地后立即返回地，返回速度是原来的倍，往返共用小时．一辆货车同时从地驶往地，速度是到达地后停止．两车同时出发，匀速行驶，设轿车行驶的时间为，两车离开地的距离为，轿车行驶过程中与之间的函数图象如图所示． (1)轿车从地驶往地的速度为 ， ； (2)在图中画出货车从地驶往地的函数图象，并求货车从地驶到地时与之间的函数关系式；（写出自变量取值范围） (3)当轿车从地返回地的途中与货车相遇时，求相遇处到地的距离． 【答案】(1)； (2)图象见解析， (3) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用， （1）由图象可知，轿车从地驶往地一共行驶了，所用时间为，根据“速度路程时间”即可求出得轿车从地驶往地的速度，根据图象即可得到的值； （2）根据“时间路程速度”可求出货车到达地所需时间，以此确定函数图象过和两点，根据“路程速度时间”即可写出与之间的函数关系式； （3）由题意可得轿车返回速度为，设小时后，轿车从地返回地的途中与货车相遇，根据“货车走过的路程轿车从地出发后的路程”列出方程，求得，则相遇处到地的距离就是货车走过的路程； 正确理解题意，根据图象得到解题所需的信息是解题的关键． 【详解】（1）解：由图象可知，轿车从地驶往地一共行驶了，所用时间为， ∴轿车从地驶往地的速度为， 由图象可知，轿车往返共用； 故答案为：；； （2）∵货车同时从地驶往地，速度是到达地后停止， ∴货车到达地所需时间为， ∴货车从地行驶到地的函数图象过和， 设与之间的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴货车从地驶到地时与之间的函数关系式为， 函数图象如图所示， （3）∵轿车返回速度是原来的倍， ∴轿车返回速度为， 设小时后，轿车从地返回地的途中与货车相遇， 根据题意得：， 解得：， ∴ ∴相遇处到地的距离为． 题型二、一次函数与反比例函数的性质 1．已知是一次函数的图象上的三点，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，因为，所以随的增大而减小，横坐标越大，纵坐标越小． 【详解】解：， 随的增大而减小， ， ， 故选：C． 2．双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交于点B．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据，列出方程，求出k的值． 【详解】解：如图，延长交x轴于点C， ∵过上任意一点作y轴的平行线交于点B． ∴，， ∵，， ∴， 解得，， ∵在第二象限内， ∴， ∴ 故答案为：． 3．如图，一次函数（为常数且）与反比例函数的图象交于点和点． (1)求的值和点的坐标； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，，； (2)或 ． 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练运用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式． （1）把点的坐标代入两个解析式即可得出k、b的值，再联立方程组求解即可； （2）根据、的坐标结合图象即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入， 解得，，即， 把代入中， 解得，， 直线解析式：， 令， 解得，，， ； （2）解：或． 题型三、一次函数与反比例函数的结合应用 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）在第二象限交于点，且与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)在x轴上有一动点P，且的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法； （1）将、的坐标代入一次函数解析式，即可求解； （2）设一次函数（）与反比例函数（）在第四象限交于点C，求出点的坐标，根据图象即可求解； （3）由可求出，即可求解； 掌握待定系数法，能熟练利用数形结合思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设一次函数（）与反比例函数（）在第四象限交于点C． ∵反比例函数过点， ， ∴反比例函数的解析式为． 联立方程组， 解得，或， ， ∴不等式的解集为或； （3）解：如图，设一次函数与x轴交于点D， ∴当时，， 解得， ∴， ， ∴， ∴， ， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点 (1)试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； (2)并观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ (3)求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用、三角形面积问题，待定系数法求解析式，反比例函数与一次函数的交点问题及不等式，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的相关性质和数形结合思想． （1）先将点A的坐标代入反比例函数求得，再将点代入反比例函数解析式，求得，进而根据的坐标，待定系数法求得一次函数的解析式； （2）根据交点坐标以及函数图象，直接写出一次函数图象位于反比例函数图象上方的的范围； （3）设与轴的交点为，先求得点的坐标，进而根据即可求得的面积． 【详解】（1）解：在图象上， ， ， 在图象上， ， ， 将，代入一次函数， ， 解得：， ， （2）与的交点为，， 一次函数值大于反比例函数的值时， 即一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围是 ：或； （3）如图，设与轴的交点为， 的解析式为， 令，得， ， ， ． 3．直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12， ①若点在点的左侧，求点的坐标． ②点可在点的右侧吗？若在，直接写出点的坐标，若不在，请说明理由 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为：； (2)； (3)①；②存在， 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）①设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可； ②按照①的解法求解即可． 【详解】（1）解：把代入线与反比例函数， 得， ∴， ∴一次函数表达式为，反比例函数表达式为； （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 联立， 解得：， 经检验解成立， ∴， ∴； （3）解：①设，连接并延长交y轴于点N，如图： ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， 把点分别代入得：， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴ ②存在，理由如下， 作出同样辅助线， ∵点M在第一象限，且点M在点A右侧， ∴， 同理可求：直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴． 题型四、一次函数与反比例函数的周长 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于y轴的对称图形； (2)求出的面积； (3)在x轴上找一点P，使得周长最小，并直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)点P的位置见解析， 【分析】本题主要考查了作图—轴对称变换、轴对称最短路线问题、待定系数法求一次函数的解析式等知识点，掌握轴对称的性质是解决本题的关键． （1）根据轴对称的性质作出关于y轴的对称点，即可得出； （2）根据网格利用割补法即可求出的面积即可； （3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，根据两点之间线段最短及待定系数法求得直线为，然后求得其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则此时周长最小， 设直线为， ∵直线为过点，． ∴，解得， ∴直线为， 当时，，解得：， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，，已知． (1)如图，点C在第二象限，且，． ①如图（1），求点C的坐标； ②如图（2），的平分线交射线于点P，连接，求点P的坐标； (2)如图（3），点D，E分别在x轴，y轴上，若，点I是内角平分线的交点，分别交坐标轴于点F，G，直接写出的周长． 【答案】(1)①；② (2)4 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，角平分线性质定理等知识，正确作出辅助构造全等三角形是解题的关键． （1）过点C作轴于点E，轴于点F，证明，得到，继而得，根据得，可得点C的坐标；②过点O作，连接，根据角平分线的性质易得，由，得，同理可得，设，则,继而得解； （2）过点I作于点M，于点N，于点K，连接得，，证明，，同理可得，求出，在线段上截取，使得，证明，得，从而可得结论． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点E，轴于点F， ∵， 轴 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点O作，连接 , 平分， 又的平分线交射线于点P， , 又在和中 同理可证： 设，则 , , ， 又 ， ， 即, （2）解：如下图中，过点I作于点M，于点N，于点K，连接 ∵I是的三个内角平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∵I是三个内角平分线的交点， , ∴， ∴， 在线段上截取，使得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长 3．如图，反比例函数与一次函数的图象交于两点、． (1)反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，请直接写出满足的取值范围； (3)若轴上的存在一点，使的周长最小，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为， (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，轴对称最短路线问题，数形结合是本题的关键． （1）利用待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的周长最小，根据待定系数法求得直线的解析式，进而即可求得的坐标． 【详解】（1）解：反比例函数与一次函数的图象交于、两点． ，， ，． 反比例函数和一次函数的表达式分别为，； （2）由图象可得：满足的取值范围是或． （3）如图，作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的周长最小， ， 关于轴的对称点的坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 令，则， 点的坐标是． 题型五、一次函数与反比例函数的面积 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点B是该直线上一点，且纵坐标为4，过点B的直线与x轴交于点C． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式等知识． （1）先求出点B的坐标是，代入得到，即可求出答案； （2）求出点A的坐标是，点C的坐标是，则，又由点B的坐标是，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵点B是直线上一点，且纵坐标为4， ∴， 解得， ∴点B的坐标是， 把代入直线得到， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）当时，，解得， ∴点A的坐标是， 当时，，解得， ∴点C的坐标是， ∴， 又∵点B的坐标是， ∴的面积为． 2．如图，反比例函数和的图象如图所示，点是x轴正半轴上一动点，过点C作x轴的垂线，分别与和的图象交于点． (1)当时，线段，求两点的坐标及的值． (2)小伟同学提出了一个猜想：“当k值一定时，的面积随a值的增大而减小．”你认为他的猜想对吗？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)不正确，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，三角形面积，一次函数的性质等知识点，其中理解反比例函数k的几何意义是解题的关键． （1）由题意可知，点C的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，再将代入计算即可求解． （2）根据题意列出的关系式，再根据公式代入化简即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，点C的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为 当时，点的坐标为 点的坐标为， ， ， 点的坐标为， ． （2）解：不正确．理由：由题意可知， 值一定． 的面积一定， 小明的猜想不正确． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线向下平移个单位后的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)点在直线上，若点为轴上一点，求的周长的最小值； (3)在（）的条件下，若在直线上有一个动点，使得的面积是的面积的倍，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）由平移可得直线的表达式为，进而得，再利用待定系数法即可求解； （）求出点，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，则，，可得的周长，此时的周长取最小值，利用两点间距离公式计算即可求解； （）求出直线的表达式为，得到，进而利用勾股定理及其逆定理可得为直角三角形，且，得到，即得，再分点在点上方和下方两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，直线的表达式为， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：∵点在直线上， ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，则，， ∴的周长， 由两点之间线段最短，可知此时的周长取最小值， ∴周长的最小值； （3）解：设直线的表达式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵的面积是的面积的倍， ∴， 当点在点上方时，如图，过点作轴交直线于点， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴； 当点在点下方时，则，即点为的中点， 设，则，， 解得，， ∴； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，轴对称最短线段问题，勾股定理及其逆定理，中点坐标公式，掌握以上知识点是解题的关键． 题型六、一次函数与反比例函数的最值 1．已知一次函数（k，b是常数，且）的图象经过两点． (1)求该一次函数解析式； (2)若，请分别求出函数y的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，关键是要理解函数图象上的点的坐标与函数图象的关系：若点在函数的图象上，那么点的坐标就满足函数的解析式． （1）将点的坐标代入一次函数的解析式中，得到关于，的二元一次方程组，解之即可； （2）根据函数图象的性质及函数的解析式求出的取值即可． 【详解】（1）解：∵点在该一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴该一次函数的解析式为． （2）解：∵， ∴该一次函数的函数值随的增大而减小． 当时，； 当时，． ∴当时，该一次函数的函数值的取值范围是． 2．阅读下列材料，回答问题： 【提出问题】对任意的实数a、b而言，，即．易知当时，，即：，所以．若，则，所以． 【结论应用】若，则当 时，代数式有最小值为 ． 【问题解决】 （1）某公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共6400元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元，三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．请写出该设备每生产一个零件的运营成本的表达式，且求出当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？ （2）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 【答案】结论应用：，4；问题解决：（1）每生产一个零件的运营成本的表达式为，当x为8000时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低是6.6元；（2）24 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了完全平方公式，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，解决本题的关键是理解并运用阅读材料内容． 结论应用：利用材料的结论，可求解； 问题解决：（1）设设备每生产一个零件的运营成本为y元，由题意可得，即可求解； （2）先求出点A，点B坐标，设点点，，由可求，，由四边形面积，即可求解． 【详解】解：结论应用： 若，当，即时，代数式有最小值为， 故答案为：2，4； （1）设该设备每生产一个零件的运营成本为y元， 由题意可得：， ， ， 当时，即时， 有最小值为， 的最小值为6.6元， 答：当为时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低是元； （2）直线与坐标轴分别交于点，， 点，点， 设点， ，点， ，， 四边形面积， ， ， 当时，即当时，有最小值为6， 四边形面积的最小值为． 3．（1）模型建立： 如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，请直接写出图中相等的线段（除）； 模型应用： （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于A、B两点，C为第一象限内的点，若是以为直角边的等腰直角三角形，请求出点C的坐标和直线的表达式； 探究提升： （3）如图3，在平面直角坐标系中，，点B在y轴上运动，将绕点A顺时针旋转至，连接，请求出的最小值以及此时点B的坐标． 【答案】（1），；（2）当点的坐标为时，直线的解析式为，当点的坐标为时，直线的解析式为；（3）最小值为，点的坐标为 【分析】（1）证明即可得到结论； （2）分两种情况：以点为直角顶点时，以点为直角顶点时，分别求解即可； （3）过点作轴，证明得出点的坐标，表示出，再构造轴对称求解即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，； （2）解：以点为直角顶点时，如下图所示，过点作轴且， 由（1）可知， ，， 当时，， 点的坐标为， ， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 以点为直角顶点时，如下图所示，过点作轴，且， 由（1）可知， ，， 当时，， 点的坐标为， ， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 综上所述：当点的坐标为时，直线的解析式为，当点的坐标为时，直线的解析式为； （3）解：如下图所示，过点作轴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 设， 点的坐标为， ， 则， 点的坐标为， ， 设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 则，， 则有， 则求的最小值可看作点P到点M和点N的距离之和最小，如图， 作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 则． 设直线的解析式为，把代入得， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴此时， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型七、一次函数与反比例函数的全等三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中画出关于y轴对称的； (2)直接写出，，三点的坐标以及的面积； (3)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的D点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)；；； (3)或或 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）分别作三个顶点关于y轴的对称点，再连接即可； （2）根据（1）中的图形即可求解； （3）根据全等三角形的判定确定坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：；；， ． （3）解：如图，当时，， 当时，或． 2．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； (3)过点作直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在；点的坐标为或或 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积为，当时，，可得，解得，即得，再求值直线的解析式；当时，同理可得，待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ， ∴， ， ， ， 把代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积为， 当时，如图：    此时， ， 即， 解得：， 在中令，得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 当时，如图：    此时， ， 即， ， 在中令，得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 综上所述，当的面积被直线分成的两部分时，直线的解析式为或； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：   ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时，， ∴， ∴点B为的中点， ∴，， ∴； ②若时，如图：   ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 3．直线：分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且． (1)求点B的坐标及直线的函数表达式； (2)在y轴存在点P，使得三点B、C、P构成等腰三角形，请直接写出点P的坐标 　　； (3)在坐标系平面内，存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等（重合除外），请求出点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 或 或 (3)或或 【分析】（1）由直线过点A，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，进而可得出点B的坐标及的长度，结合可求出点C的坐标，再由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）根据等腰三角形的定义（两条边相等的三角形是等腰三角形）结合图形求解即可； （3）分和两种情况考虑，结合的长度即可得出点D的坐标． 【详解】（1）∵直线：过点A， ∴， ∴． 当时，， ∴点B的坐标为，即． ∵， ∴． ∵点C在x轴正半轴， ∴点C的坐标为． 设直线BC的解析式为， 将、代入，得： ， 解得：， ∴直线BC的函数表达式为． （2）∵、 ∴， ∴ ①当为腰时，点P的位置有三处，(，和)如图， 当时，则有 ∴， 当时， ∴， 当时， ∴； ②当为底边时，设，则有 解得， ∴， ∴点P的坐标为或 或 或 故答案为：或 或 或； （3）分在x轴上方：和（如图1）和点D在y轴上（如图②）两种情况考虑： 如图①： ①当时， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为； ②当时，，， ∴， ∴点D的坐标为． 如图② 当时， ∴ ∴点D的坐标为． 综上所述，点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、全等三角形的性质，解题的关键是由点的坐标，利用待定系数法求出直线的函数表达式；分和两种情况求出点D的坐标． 题型八、一次函数与反比例函数的等腰三角形 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点与点关于轴对称，为线段上一点，直线与交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)为直线上一动点，当，求点坐标； (3)如图2，将绕点逆时针旋转，得到，直线与射线分别交于，则当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出两点的坐标，根据，求出点坐标，再根据点与点关于轴对称可得点坐标，利用待定系数法即可解答； （2）由（1）知直线的解析式，联立直线和直线的解析式求出点坐标，利用两坐标间距离公式求出，证明是直角三角形，且，易得是直角三角形，且，求出，由，求出的长，设，建立方程解答即可； （3）设，分，，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于两点， 令，则；令，则，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）知直线的解析式为， 联立， 解得： ∴， ∴， ∴ ∴是直角三角形，且， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵，， ∴， 设， 则，即， 解得：或， 当时，； 当时，； ∴点坐标为或； （3）解：如图，连接， 由（1）（2）知，，，，，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴是等腰三角形， ∴，， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得到， ∴， 设， 如图，当时， 则与x轴重合，即两点重合， ∴，即轴， ∴，则，即， ∴； 如图，当时， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴轴， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴； 综上，的长度为或． 【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形旋转变换、全等三角形的判定和性质及等腰三角形的存在性，解题的关键是将代数问题转化为几何的距离和分类讨论思想的应用． 2．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上一动点（不与点重合），过点作于点． (1)当点是中点时，连接，求的面积及线段的长度； (2)连接，若平分，求此时点的坐标； (3)平分，为轴上动点，为以为腰的等腰三角形时，直接写出坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点，以及运用勾股定理求出，根据点P是中点，得到长，继而可求解的面积，再由等积法求； （2）先证明，则，对运用勾股定理得到，解方程即可； （3）当时，过点作轴于点，则，对运用面积法求出，在中，由勾股定理得，则，故；当时，则，导角得到，则，故，那么． 【详解】（1）解：如图，连接， 直线交轴于点，交轴于点． 当，当，， 解得：， 点，点， ，， ， 点是中点， ， ， ； （2）解：如图，连接， 平分， ， 又，， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：由上可得， 当时，过点作轴于点，则 ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质以及等腰三角形的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点． (1)若． ①求的长． ②若是等腰三角形，求点的坐标． (2)连接，若，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1)①；②或或 (2) 【分析】（1）①分别令，求得，，勾股定理求得，进而根据，即可求解； ②设，则，则，勾股定理建立方程得出，进而分类讨论，即可求解； （2）过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，证明得出，进而可得当在上时，取得最小值；设，根据勾股定理求得，进而求得的解析式为，设，则，，根据得出，则，再求得的解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点， 当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ②如图所示，过点作轴于点， 设，则，则， 在中，， ∴ ， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 设，则，， ∵是等腰三角形， 当时，则， 当时，则， 解得：（舍去）或 ， 当时，则， 解得：， ∴或或； （2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点， ∵，， ∴即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，取得最小值； 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 设的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设，则，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 设直线的解析式为代入， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， 解得：， ∴当最小时，点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短；熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型九、一次函数与反比例函数的等腰直角三角形 1．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， (1)求点A和点B的坐标； (2)点C是直线上一动点，的面积是面积的一半，求点C的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点B的坐标为，点A的坐标为 (2)或 (3)，， 【分析】（1）在函数解析式中分别令和，解相应方程，可求得A、B的坐标； （2）根据函数解析式可知的值，因为点C是直线上一动点，所以点C分别在第一和第四象限内，再根据三角形面积公式分别求出点C坐标； （3）可设，分、和三种情况，分别构造“K”型全等，可求得P点坐标． 【详解】（1）解：令可得，解得， 令，解得， ∴，B． （2）解：①当点C在第一象限时，设C点坐标为， 的面积是面积的一半，且，， ，， 点C坐标为； ②当点C在第四象限时，设C点坐标为，过点C作， 根据已知条件得， 解得，， 点C坐标为， 综上可得，点C坐标为或 （3）解：点P在第一象限内， 为等腰直角三角形， 有、和三种情况， ①当时，过点P作轴于点D，则 ，， ， ，， ∴此时P点坐标为； ②时，同理可得， ，， ， 则此时P点坐标为； ③时，过点P作轴，过点B作于点E， 同理可得， ∴．，， ∴ 解得，所以此时的坐标为 综上可知可使为等腰直角三角形的P点坐标为，，． 【点睛】本题考查了一次函数综合运用，涉及函数图像与坐标轴的交点、三角形的面积公式、三角形全等、等腰直角三角形的性质等，分类求解是解题的关键． （1）运用函数图像与坐标轴的交点的求法即可得解； （2）根据三角形面积的等量公式和函数式可求得坐标，注意分类讨论； （3）根据全等三角形的性质证明，由全等三角形的性质得出P的坐标是解题的关键． 2．如图，平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别相交于两点，点在直线上，过点的直线交轴于点，且点坐标为． (1)求出的值，以及直线的函数表达式； (2)已知点是射线上一动点，过点作轴交直线于点，作轴交轴于点，当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、等腰直角三角形的定义等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）将点代入一次函数即可求出的值，再设直线的函数表达式为，将点的坐标代入求解即可得； （2）先画出图形，判断出点的横坐标大于0，再设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据平行线的性质可得，从而可得当为等腰直角三角形时，则，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得：， 解得， 则， 设直线的函数表达式为， 将点，代入得：，解得， 所以直线的函数表达式为． （2）解：由题意，画出图形如下： ∵点是射线上一动点， ∴点的横坐标大于0， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∵轴，轴轴， ∴轴， ∵轴， ∴， ∴当为等腰直角三角形时，则， ∴， 解得或， 当时，，此时点的坐标为； 当时，，此时点的坐标为； 综上，当为等腰直角三角形时，点的坐标为或． 3．（1）【K图横型建立】 如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：； （2）【模型应用】 ①如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕着点A逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式； ②如图3，在平面直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上的动点且在第一象限内．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用角的数量关系可求得，，因此可证出，再通过全等三角形对应边相等转化即可； （2）①：过点B作交于C，过C作轴于D，同理可得，利用全等三角形的性质求出C的坐标，再利用待定系数法求的解析式即可； ②设点，同理可得：，利用全等三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形， ∴，． 又∵，， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ，，， ∴； ∴，， ∴； （2）解：①过点B作交于C，过C作轴于D， ∵， ∴为等腰直角三角形， 同理， ∴，， ∵， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴，， ∴． ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入中， 得 解得，，， 则的解析式：； ②：如图，设点，过作于，交轴于， 则， 当时， 同理可得：， ∴，即， 解得：或， 故：或． 题型十、一次函数与反比例函数的直角三角形 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求直线的解析式； (2)若直线与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标及此时的长度． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，此时，或点的坐标为，此时 【分析】（1）把代入，求出，即可得得直线； （2）求出点、、的坐标，根据三角形的面积公式即可求解； （3）分两种情况讨论，当时，求出，得，得，得点坐标，进而可得点的坐标；当时，由翻折得，根据勾股定理得，则，即可得点的坐标为． 【详解】（1）解：把代入得， ， 直线； （2）解：直线， 将代入得：， 点的坐标为， 直线与轴、轴、直线分别交于点、、， 当时，，当时，，解得， 、， 联立与得 ，解得， ， ， ， 的面积为； （3）解：如图2，当时，过点作轴于， 由翻折得， ， ， ，， ， ， ， ， 由翻折得， 点的坐标为； 如图3，当时， 由翻折得，， ，， ，，， ， 设，则， ， 解得：， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为，此时，或点的坐标为，此时 【点睛】此题为一次函数的综合题，考查了待定系数法，两直线的交点，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，解题的关键是数形结合以及分类思想的运用． 2．如图，已知点的坐标为（24，0），直线经过原点，与轴正半轴的夹角为为直线上一动点，为平面内一点．若为等边三角形（点逆时针排列），则称为点的“伴随点”． (1)若，则点的“伴随点”的坐标为_____； (2)若，求点的“伴随点”的坐标； (3)连接，延长交轴于点．若为直角三角形，求线段的长． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意推出，此时点在x轴上进而即可得解； （2）分类讨论点在x轴上方或下方，过点、分别做，，垂足分别为、，先证，得到，进而利用30度的直角三角形的性质即可得解； （3）分类讨论点在x轴上方或下方，易证垂直平分，进而可证是等腰直角三角形，最后即可得解． 【详解】（1）解：当时，则， ，， ，， 是等边三角形， 此时点在轴上， ，即， 故答案为：． （2）解：由（1）可知，点在轴上方或下方． 当点在轴上方时，过点分别作，垂足分别为． 为等边三角形， ． ， ． ． 在和中， ． ． ， ． ， ． ． 点的坐标为． 当点在轴下方时，同理可得点的坐标为． 点的坐标为或． （3）解：根据题意，得点在轴上方或下方． 当点在轴上方时，由（2）可知：，则垂直平分． ． ． ， ． ． 为直角三角形， ． ． 是等腰直角三角形． ． 当点在轴下方时，同理可得． 的长为． 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，其中点A的坐标为 (1)求反比例函数的解析式； (2)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把代入求出，再把代入求出k的值即可； （2）当时，得到；当时，过点A作轴于点D，得到，根据直线的表达式为和，推出，推出， 得到，推出，得到，得到． 【详解】（1）解：将代入， 得，， ∴, ∴， 将代入，得，， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：①当时，轴， ∴； ②当时， 如图，过点A作轴于点D， 则， ∵， ∴，， ∵直线的表达式为， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形性质，分类讨论，是解题的关键． 题型十一、一次函数与反比例函数的作图 1．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为． (1)画出并写出点的坐标为______ (2)写出的面积为______ (3)在x轴上找出点P，使得的值最小，并写出最小值为______．（保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析， (2)3.5 (3)图见解析， 【分析】（1）根据网格结构找出点、关于轴的对称点、的位置，再与顺次连接即可，然后根据平面直角坐标系写出点的坐标； （2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解； （3）找出点关于轴的对称点位置，连接，根据轴对称确定最短路线问题与轴的交点即为所求的点，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所作，； 由图可得：． （2）解：的面积 ； （3）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求， ∵点A关于x轴的对称点， ∴， ∴ 根据两点之间线段最短，此时，值最小，最小值等于的长， ∵， ∴最小值等于． 【点睛】本题考查了作轴对称图形，三角形的面积，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理，点的坐标，熟练掌握轴对称图形的性质，网格结构，准确作出图形是解题的关键． 2．如图，反比例函数的图象经过点和点，点在点的右侧，连接，以为边，在右上方作等边． (1)求反比例函数的解析式． (2)尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹）． (3)在（2）所作图形中，连接，．若的平分线过原点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求法，尺规作图，角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，正确掌握基本作图的要领是解题的关键． （1）把点代入反比例函数中，求出k，即可得结果； （2）按照角平分线的画法画出射线即可； （3）由平分，过原点O得到，又是等边三角形得到，然后证明即可得到结论． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， ， 反比例函数的解析式为； （2）如图所示，即为所求， （3）证明：平分，过原点O， ， 又是等边三角形， ， ， ， ． 3．（1）探究：如图1，已知，点E，F是上任意两点，判断，的面积是否相等，并说明理由； （2）应用：已知如图2，在平面直角坐标系中，解析式为：，，点D坐标为，点P为上任意一点，则________； （3）拓展：请参考上述结论，在图3中作使其与四边形面积相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）相等，理由见解析；（2）12；（3）见解析 【分析】此题考查了一次函数和几何综合，一次函数与坐标轴交点问题，三角形面积等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据同底等高的两个三角形面积相等求解即可； （2）连接，根据题意求出，，得到，，然后得到； （3）连接，作，延长交的延长线于点E即为所求． 【详解】（1）∵ ∴与间的距离相等 ∵ ∴和的面积相等； （2）如图所示，连接 ∵解析式为： ∴当时， ∴ ∴当时， 解得 ∴ ∴ ∵点D坐标为 ∴ ∵ ∴； （3）如图所示，点E即为所求； ∵ ∴ ∴． 题型十二、一次函数与反比例函数的角度 1．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 【答案】(1)3； (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． （1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式； （2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）解：由题知，设，则． 在中，， 即：， 解得， ∴，， 又，代入中， ∴，     解得， ∴． （2）设，则， 由折叠性质知：． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴． （3）或，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∴，， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， 联立得： 解得， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，同理可得 综上所述，或 2．如图，、，且满足． (1)如图，直接写出两点的坐标； (2)如图，点在线段上（不与重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图，若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边作等腰直角，使得，直线交轴，当点在轴上移动时，线段和线段中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)是定值， 【分析】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）如图，延长至，使得，连接，证明得到 ， ，即得，进而可证，得到，据此即可求证； （）如图，作于，在上截取，证明得到，进而得到，即得到，得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵, ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：； 理由如下： 如图，延长至，使得，连接， 由（）知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴，    ∴， ∴； （3）解：是定值． 如图，作于，在上截取， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全都三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点、，C是线段上一点，将沿着折叠，点O落在点D，连接． (1)求直线的函数解析式； (2)若，求点D的坐标； (3)点P是平面内一点，若，请直接写出直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）若，即，则，设点，由翻折得：，即，即，利用消元思想求解即可． （3）分点P在上方与下方两种情况，添加辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得出相关线段的长度，即可求解． 【详解】（1）解：将、代入直线得： ， 解得： ， ∴； （2）解：若，即，则， 设点， 由翻折得：， 即， 即， 即， 上述两式相减并整理得：， 则， 解得：， 则， 即点； （3）解：分两种情况： 若点P在直线的上方，令，轴于点M，如图， ，， 是等腰直角三角形，， ， 又， ， 又，， ， ，， ， ， 设直线的函数解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的函数解析式为； 同理，若点P在直线的下方，构造，如图， 可得，直线的函数解析式为． 综上可知，直线的函数解析式为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合问题，坐标与图形，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两条直线的交点问题等，熟练掌握一次函数的图象和性质，以及分类讨论思想是解题的关键． 题型十三、一次函数与反比例函数的等角 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与坐标轴交于，两点，点是点关于轴的对称点，直线与直线交于点，连接． (1)求直线的解析式； (2)在直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为直角边，点为直角顶点，构造等腰直角，点位于轴的上方，点是直线上一点，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为： (2)存在，或 (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形性质与判定等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）由待定系数法即可求解； （2）由即可求解； （3）当M在左侧时，，则，得到直线，进而即可求解；当M在右侧时，同理即可求解． 【详解】（1）在中，令得，令得， ，， 点C是点A关于y轴的对称点， ， 把代入得：， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为：； （2）设交轴于点，设点， 同理，由点A、P的坐标得，直线的解析式为：， 则点，则， ， 解得：或； 即点的坐标为或； （3）过D作轴于K，过作轴于T，如图： ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线解析式为， 当M在左侧时，， ∴， 设直线解析式为 把代入得， 解得：， ∴直线解析式为， 联立上式和的表达式得：， 解得：， ； 当M在右侧时，在延长线上取点H，使，连接并延长交直线于M，如图： 设， ，， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线解析式为， 联立上式和的表达式得：， 解得：， 即点， 综上所述，M的坐标为或． 2．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，的形状为：等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量值，一次函数交点问题，轴对称求最短路径问题，等腰直角三角形判定及性质等． （1）先求出，再将和代入中得到的函数表达式； （2）过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，再求出，再设直线解析式为：，求出后令即可得到本题答案； （3）设直线与轴交于，过点作轴，证明和全等，继而得到，即可求出，再将，，，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与轴相交于点， ∴设直线的解析式为：， 将和代入中得： ，解得：， ∴， ∴直线的函数表达式：； （2）解：过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，   ， ∵， ∴， ∵，的函数表达式：， ∴，解得：， ∴， ∴设直线解析式为：， ∴将，代入中得， ，解得：， ∴， ∵轴上有一点， ∴令，即， ∴点的坐标：； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 设直线与轴交于，过点作轴，   ， ∴，轴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 3．如图，四边形是正方形，点E在上，连接，于点F．以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知一次函数的图象经过点D，E． (1)画出直角坐标系及一次函数图象，求点D的坐标； (2)连接，判断与的数量关系，并给予证明； (3)连接，点G在直线上，若，求点G的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)，证明见解析 (3)点G的坐标为或 【分析】（1）以点为原点，建立直角坐标系，设，则点D的坐标为，将点D的坐标代入，即可求解， （2）由，求出，由，得到，点M的坐标为，进而求出直线的表达式为，联立求出点F的坐标为，根据由勾股定理得，，即可求证， （3）分两种情况讨论：（i）当点G在y轴右侧时，在直线上取点G，使得， 由，为等腰直角三角形，得到，作，，由，得到，，即可求解；（ii）当点G在y轴左侧时，作点关于y轴的对称点，则，此时点的坐标为，求出直线的直线表达式为，联立即可求解． 本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，两直线交点坐标，解题的关键是：熟练掌握分情况讨论． 【详解】（1）解：以点为原点，建立直角坐标系， ∵四边形是正方形， ∴， 设，则点D的坐标为， 将点D的坐标代入，得， 解得， ∴点D的坐标为， （2）解：， 如图2，延长交于点M， ∵直线的表达式为， ∴当时，，解得， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 设直线的表达式为，则，解得：， ∴直线的表达式为， 联立 解得， ∴点F的坐标为， 由勾股定理可得，， ∴， （3）解：分两种情况讨论： （i）如图3，当点G在y轴右侧时，在直线上取点G，使得，连接， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点N，延长交x轴于点P，过点G作于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴点G的纵坐标为， 当时，， ∴点G的坐标为， （ii）如图4，当点G在y轴左侧时，作点关于y轴的对称点，则 ，此时点的坐标为， 设直线的直线表达式为，则，解得：， ∴直线的表达式为， ，解得， ∴点G的坐标为， 综上所述，点G的坐标为或． 题型十四、一次函数与反比例函数的倍线 1．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．直线上有一点，点在第二象限，连接，以为直角边，点为直角顶点，在直线下方作等腰直角三角形，连接． (1)求证：． (2)当时，在轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出所有点的坐标． (3)若点是的三等分点，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 (3)或 【分析】（1）求出两点坐标，进而得到，证明，即可得证； （2）根据，得到，进而得到为的中点，求出点坐标，设，分三种情况进行求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，根据点是的三等分点，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 过点作轴，则：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点，则：， 当是等腰三角形时，分三种情况： ①，则：或； ②，则：， ∴， ∴； ③，则：，解得：， ∴； 综上：或或或； （3）过点作轴，过点作轴， ∵，为的三等分点， ①当， ∵，， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ②当时，则：， ∴， 同理可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，点在射线上（点不与点、重合），过点分别作轴于点，轴于点，设四边形的周长为，点的横坐标是． (1)当时，求点的坐标； (2)求与之间的函数关系式； (3)直接写出四边形是正方形时的值． 【答案】(1)或 (2)当时，；当时， (3) 【分析】（1）求出点、的坐标，再表示出点、的坐标，根据找出关于的方程，解方程求出的值，代入点的坐标即可； （2）分点在轴上方和下方两种情况考虑，代入矩形的周长公式即可得出结论； （3）根据正方形的性质找出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）当时，，解得：， ∴，即， 当时，， ∴，即， 在中，， 由勾股定理得：． ∵点的横坐标是， ∴，， ∵， ∴， 解得或． ∴点的坐标是或． （2）当时，； 当时，． （3）∵四边形是正方形， ∴， 即， 解得或（舍去） 故当四边形是正方形时，的值是． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解含绝对值符号的一元一次方程以及矩形的周长公式，根据线段间的关系找出含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键． 3．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)①证明见解析②的大小不变，总为，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解． （2）当点C在上方时，作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，利用全等三角形的判定及性质即可求解． （3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，． ，， 的面积． （2）解：当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ． （3）解：①延长，，它们相交于点，如图：   等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图：   ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 题型十五、一次函数与反比例函数的比值 1．在平面直角坐标系：中，过点分别作轴，轴的垂线，分别交轴，轴于点，．点，在其所在的坐标轴上对应的数都是1．连接． (1)求三角形的面积． (2)是轴上一点，连接． ①若三角形的面积等于三角形的面积的一半，求坐标． ②在①的条件下，若直线交轴正半轴于点，求三角形的面积和三角形的面积的比值． 【答案】(1)三角形的面积为 (2)①点的坐标为或；②三角形的面积和三角形的面积的比值为 【分析】该题主要考查了坐标与图形，解答的关键是掌握图形的特点． （1）根据题意确定，，，再根据面积计算公式计算即可； （2）①根据三角形的面积为，结合三角形的面积等于三角形的面积的一半，确定，即可解答； ②设点的坐标为，根据直线交轴正半轴于点，确定点的坐标为，从而确定点的位置，根据三角形的面积=三角形的面积+三角形的面积解出，即可表示三角形的面积，再表示三角形的面积，即可解答． 【详解】（1）由题可知，，， ， 三角形的面积为； （2）①∵是轴上一点， ∴三角形的面积为， ∵三角形的面积等于三角形的面积的一半， 三角形的面积为， ∴， ∴， ∵，是轴上一点， ∴或， ∴点的坐标为或； ②设点的坐标为， ∵直线交轴正半轴于点， ∴点的坐标为，此时点的位置如图所示，    ∴，， ∴三角形的面积为， 三角形的面积为， 三角形的面积为， ∵三角形的面积=三角形的面积+三角形的面积， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， ∴， ∴三角形的面积为， 三角形的面积为， ∴三角形的面积和三角形的面积的比值为． 2．如图1，在平面直角坐标系中，已知两点，． (1)若a，b满足． ①直接写出的周长； ②P在第一象限内，若为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标， (2)如图2，C是x轴上点A右侧的动点，D在第一象限内，满足． ①探究三条线段，，之间的数量关系，并给出证明； ②设与的面积的比值为k，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)①；②或或； (2)①；② 【分析】1）①首先根据绝对值和平方的非负性求出，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； ②根据题意分3种情况讨论：①，；②，；③，，然后根据全等三角形的性质求解即可； （2）①在上截取，连接，首先证明出是等边三角形，得到，，然后证明出，得到，求出，进而求解即可； ②首先证明出是等边三角形，得到，然后得到当点C和点A重合时，，过点D作，此时的长度最小，得到，然后证明出，得到，进而求出． 【详解】（1）①∵ ∴ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴的周长； ②如图所示，当，时，过点P作轴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴点P的坐标为； 如图所示，当，时，过点P作轴， 同理可证， ∴， ∴ ∴点P的坐标为； 如图所示，当，时，过点P作轴，轴， 同理可证， ∴， 根据题意可得，四边形是正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或； （2）①如图所示，在上截取，连接， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； ②由①可得，， ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∵ ∵C是x轴上点A右侧的动点， ∴ ∴在中， ∴如图所示，当点C和点A重合时，，过点D作， ∴此时的长度最小， ∴点H是的中点， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵C是x轴上点A右侧的动点， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了绝对值非负性的应用，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． 3．在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上运动，点在轴正半轴上运动． (1)如图1， ①已知与的角平分线相交于点，则______． ②若不平行CD，AD、BC分别是和的角平分线，又、分别是和的角平分线，点A、B在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其值； (2)如图2，延长至，已知，的角平分线相交于点，在中，如果一个角与另一个角的比值为，求的度数． 【答案】(1)①；②的大小不变，理由见解析 (2)或 【分析】（1）如图1中，根据三角形内角和定理结合角平分线的定义求解即可． ②的大小不变．延长、交于点．求出的值即可解决问题； （2）设，，则有，可得，分三种情形构建方程求解即可． 【详解】（1）①如图1中， ， ， 平分，平分， ， ． ②结论：的大小不变． 理由：延长、交于点． ， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， ， ， ， ， 、分别是和的角平分线， ， ； （2）如图2中， 平分，平分， ，，设，， 则有， 可得， 当时，， 当时，， 当时，（不合题意舍弃）， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，角平分线的定义三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 题型十六、一次函数与反比例函数的定值 1．【综合与探究】 已知，在中，，．请解答以下问题：    (1)如图1，点A，B的坐标分别为，点在第二象限，过点作轴于点，可求得点的坐标为____________； (2)如图2，点在轴上，交轴于点，取的中点，连接、．若轴，求证：； (3)如图3，点为线段延长线上的动点，点在边上（不与点重合），连接，过点作，且，连接．在点运动的过程中，的度数是否为定值？请证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)在点F运动的过程中，的度数为定值，是，理由见解析 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点A作，交y轴于N，证明和，即可得结论； （3）过点F作于F，交的延长线于K，证明是等腰直角三角形，得，再证明，即可解答． 【详解】（1）解：∵点A，B的坐标分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标为， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点A作，交y轴于N，    ∵轴， ∴轴， 同理得：， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：在点F运动的过程中，的度数为定值，是，理由如下： 如图3，过点F作于F，交的延长线于K，    ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在点F运动的过程中，的度数为定值，是． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，同角的余角相等等知识点的综合应用，主要考查了学生的推理和计算能力． 2．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且x，y满足． (1)求的面积； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点C的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，点D是腰上的一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)6 (2)或 (3)①证明见解析②的大小不变，总为，理由见解析 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，再利用三角形的面积公式即可求解． （2）分类讨论：当点C在上方时和当点C在下方时，利用全等三角形的判定及性质即可求解． （3）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ，， 解得：，． ，， 的面积． （2）当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ． 当点C在下方时； 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图： ∴，， ∴，， ， ∴， ，， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ， ， 综上所述：点的坐标为：或． （3）解：①延长，，它们相交于点，如图：    ∵等腰直角中，，，且， ， 又∵， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ∵， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图：   ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B的坐标为，线段轴．动点P从点B出发，沿方向运动；同时，动点Q从原点出发，沿x轴向右运动，动点P，Q的运动速度均为1个单位长度/秒．当点P到达终点A时，点Q也随之停止运动．连接，过的中点M作垂直于的线段，点N在右侧且，如图①．设运动时间为t秒． (1)当时，点M的坐标为 ；点N的坐标为 ； (2)当点N落在x轴上时，求t的值； (3)如图②，连接，探究的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1 (3)是定值，值为 【分析】（1）由题意知，当时，，则，，，，可求，，由，可得； （2）如图1，连接，证明是等腰直角三角形，则，，依题意得，计算求解即可； （3）如图2，过作轴于，于，连接，则，由（2）可知，是等腰直角三角形，，，证明，则，，由，可求，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，当时，， ∵点B的坐标为， 轴， ∴，， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：如图1，连接，            由题意知，，则， ∵M为的中点，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 解得，， ∴t的值为1； （3）解：如图2，过作轴于，于，连接， ∴， 由（2）可知，是等腰直角三角形，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积是定值，值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，点坐标等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，全等三角形的判定与性质，点坐标是解题的关键． 题型十七、一次函数与反比例函数的平移 1．边长为4的正方形，将此正方形置于平面直角坐标系中，使边落在x轴的正半轴上，且A点的坐标是． (1)直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形的面积； (2)若直线l经过点E且将正方形分成面积相等的两部分求直线l的解析式； (3)若直线经过点且与直线平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位交x轴于点M，交直线于点N，求的面积． 【答案】(1)10 (2) (3)27 【分析】（1）四边形是直角梯形，根据梯形的面积公式，只要求出的长，即可； （2）若直线经过点且将正方形分成面积相等的两部分，则直线一定经过正方形的中心，根据待定系数法即可求得解析式； （3）直线与直线平行，则直线的一次项系数是3，根据待定系数法，即可求得的解析式；将（2）中直线沿着轴向上平移1个单位，则所得函数解析式可以求得．即可求得，，的坐标，则三角形的面积即可求得． 本题主要考查了一次函数的几何应用，平移的性质，坐标与图形以及待定系数法求函数解析式．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 当时，， ， ， ，， ； （2）解：连接、相交于点， ∵边长为4的正方形， ∴ ∵A点的坐标是． ∴, ∴， 直线将正方形面积平分， 过点， 设直线， 过点 ， ， ； （3）解：直线与平行， 设直线， ∵过点， ， 则． ， ∵直线： ∴直线向上平移1个单位得直线， 当时，，则； ， 又 解得 ， ， ． 2．如图，反比例函数的图象经过线段的端点，把线段沿x轴正方向平移3个单位得到线段与上述反比例函数的图象相交于点D． (1)求k的值和直线的解析式； (2)在y轴上是否存在点Q，使得的值最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，； 【分析】（1）根据题意结合待定系数法可进行求解； （2）延长交轴于点，此时的值最大，求出的解析式，联立得到方程组求交点坐标，求出直线的解析式即可得到点的坐标 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过线段的端点， ∴，即反比例函数解析式为， 设直线的解析式为，则代入点A坐标得：，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 如图，延长交轴于点，根据三角形不等关系可知：，所以此时的值最大，   把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段， ，即，， 设的表达式为， 将代入得到，， 解得，， 的表达式为， 联立，解得，， 点的横坐标大于0， 的横坐标为4， 将代入得到：， 即， 设的表达式为， 将，代入得， 解得， ， 令，代入得到， ． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点A、点B，直线：与直线交于点，与x轴交于点C，且． (1)求直线的解析式； (2)如图3，将直线向右平移个单位长度得到直线，直线与y轴交于点Q，连接，在x轴是否存在动点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出，，再利用待定系数法求解即可； （2）是等腰直角三角形，，过点作，则，即点为所求动点，证明，得出，推出；作点关于的对称点，连接，交x轴于点，根据轴对称可得，则，即点为所求动点，待定系数法求出直线的解析式为，即可得解 【详解】（1）解：对于函数，令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴， 解得， ∴， ∵直线：过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵将直线向右平移个单位长度得到直线， ∴设直线的解析式为：， ∴直线上的点向右平移个单位长度得到点，点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 过点作，则，即点为所求动点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 作点关于的对称点，连接，交x轴于点，根据轴对称可得， ∴，即点为所求动点， ∵， 在中，， ∴，， 设点， ∵，， ∴， ∴， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入解析式为， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得， ∴． 综上所述，存在点M，使得，点M为或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合，涉及了待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、函数的平移、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型十八、一次函数与反比例函数的翻折 1．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴正半轴于点，且，点在直线上，直线： 经过点交轴于点． (1)求直线、的函数表达式； (2)是直线上一动点，若，求点的坐标； (3)在轴上有一动点，连接，将沿直线翻折后，点的对应点恰好落在直线上，请求出点的坐标． 【答案】(1)：，： (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，得到点的坐标，再利用待定系数法求出的函数表达式，根据点的坐标特征求出点的坐标，代入即可求出的函数表达式； （2）分以下两种情况讨论：当点在线段的延长线上时；当点在线段上时，求出两条直线的方程，联立求解即可； （3）分两种情况，当点在点的左侧时，构造，使，设直线的函数表达式为，求出直线的函数表达式为，再求出；当点在点的右侧时，构造，使，设直线的函数表达式为，求出直线的函数表达式为，再求出． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 设直线的表达式为， 将，代入直线的表达式得： ， 解得：， 直线的表达式为， 点在直线上， ， ， ， 直线： 经过点， ， ， 直线的函数表达式为 ； （2）解：由已知得：，， 如图，分以下两种情况讨论： 当点在线段的延长线上时， ， ， ， ； 当点在线段上时，在轴上取一点，使得，则， ， 点在直线上， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：当点在点的左侧时，如图所示： 在直线： 中，令，得， ， ，， ，，， ， 为直角三角形，且， 将沿直线翻折得到， ， 以为直角边作等腰直角，交射线于点，构造，使， 则，， 可得， 设直线的函数表达式为， 将，代入上式， 得， 解得：， 直线的函数表达式为， 令，得， ； 当点在点的右侧时，如图所示： 由知为直角三角形，且， 将沿直线翻折得到， ， 以为直角边作等腰直角，交射线于点，构造，使， 可得， 设直线的函数表达式为， 将，代入上式，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为， 令，得， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数解析式、两点间的距离公式、全等三角形的判定与性质、翻折问题、一次函数与坐标轴的交点问题等知识，解答本题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形． 2．平面直角坐标系中，点A，C分别是x轴和y轴上的动点，，． (1)如图1，若，，求点B的坐标； (2)如图2，设交x轴于点D，若平分，，求点B的纵坐标； (3)如图3，当点C运动到原点O时，的平分线交y轴于点M，，将沿翻折，的对应边的延长线交于点P，为线段上一点，且．请你补全图形（不需要尺规作图），并求的值．（用含n的式子表示） 【答案】(1) (2)点B的纵坐标为4 (3) 【分析】（1）作轴于点H，证明，由全等三角形的性质得出，，求出，则可得出答案； （2）作轴于点E，并延长交的延长线于点F，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，则可得出答案； （3）连接，作于点，于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，由折叠的性质得出，证得，则可求出答案． 【详解】（1）解：如图中，    作轴于点H， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 则； （2）解：如图中，作轴于点，并延长交的延长线于点，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中，   ， ， ， 又， ， 点的纵坐标为4； （3）解：图形如图所示，连接，作于点，于点，    由折叠的性质知平分， ∵点M在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，   ， ， 由折叠可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．定义：对于平面直角坐标系内的点和反比例函数，若，则称点是反比例函数的“双曲点”． 已知点和反比例函数． (1)判断点是否为反比例函数的“双曲点”，并说明理由； (2)如图1，过点作轴，轴，分别与反比例函数的图象交于点和，将直线右侧的图象沿翻折，交轴于点，将直线下方的图象沿翻折，翻折后的曲线相交于点． ①求点到轴和轴的距离比； ②如图2，若点位于点上方，过点作轴，交轴左侧曲线于点，交轴右侧曲线（实线部分）于点．若，求的值． 【答案】(1)点是反比例函数的“双曲点”，见解析 (2)①；②或4 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，“双曲点”的定义，关于直线对称的点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）将计算出，即可进行判断； （2）①设点的坐标为，设点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为．得到，，将，代入反比例函数中，得到，即可求出答案； ②设点关于直线的对称点为，分另种情况进行讨论，当点在点下方时，设点关于直线的对称点为，根据反比例函数的图像和性质得到，，列出式子进行求解；当点在点上方时，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：，， 点是反比例函数的“双曲点”； （2）解：①设点的坐标为， 如图1，设点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为． ， 依题可知点，都在反比例函数图象上， ． ，即点到轴和轴的距离比为；     　　　　　 ②轴，， ． 设点关于直线的对称点为， 如图2，当点在点下方时， 设点关于直线的对称点为， ，， 将和代入得，，． ． ，． ， ． 解得，（舍） 如图3，当点在点上方时， ， ，． ， 综上，的值为或4． 题型十九、一次函数与反比例函数的旋转 1．（1）【感知】如图1，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，点A的坐标为，将线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，过点B作轴，垂足为M，易知，得到点B的坐标为___________； （2）【探究】如图2，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，求点B的坐标；（用含m的代数式表示） （3）【拓展】如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C在y轴上，将线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，连接，，则的最小值为__________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据点的坐标可得，，证明，求出，，然后可得答案； （2）过点B作轴，垂足为M，同（1）可得，，然后可得答案； （3）作于H．由（2）知，点，求出，可得的最小值相当于在直线上寻找一点，使得点P到，到的距离和最小，然后作点F关于直线的对称点，利用轴对称的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，， ∵轴， ， ． 线段绕着点按逆时针方向旋转至线段， ． ． ． ， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， 故答案为：； （2）如图2，过点B作轴，垂足为M， 由（1）知， ∵点C的坐标为，点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为； （3）如图，作于H． 设点C的坐标为， 由（2）知：点， ∴， ∴的值相当于点到点和点的距离和， ∴的最小值相当于在直线上寻找一点，使得点P到，到的距离和最小， 作点F关于直线的对称点，则， 而， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质，一次函数的应用等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 2．已知直线：与轴交于点，直线与轴交于点直线、交于点且点的横坐标为． (1)如图甲，过点作轴的垂线，为垂线上的一个点，是轴上的一个动点，连结、、，若，求此时点的坐标； (2)若点在过点作轴的垂线上，为轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)如图乙，点的坐标为，将直线绕点旋转，使旋转后得到的直线刚好过点，过点作平行于轴的直线，、分别为直线、上的两个动点，是否存在点、，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的坐标为或 (2)P的坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）确定，即，，即可求解； （2）确定关于过垂线的对称点、关于轴的对称点，连接交过点的垂线与点，交轴于点，此时，的值最小，即可求解， （3）分点在直线上方，点在下方，两种情况分别求解． 【详解】（1）解：直线：，令，则，故， 把代入直线：，得：， 则为：， 所以， 所以点坐标为， 如图，设直线交轴于点， 设得：，解得， ，即 ， ，解得：或， 的坐标为或； （2）解：确定关于过垂直于x轴的垂线的对称点、关于轴的对称点， 连接交过点的垂线与点，交轴于点，此时，的值最小， 将点、点的坐标代入一次函数表达式：得：， 解得， 则直线的表达式为：， 点的坐标为； （3）解：将，点坐标代入一次函数表达式，同理可得直线表达式为：， 当点在直线上方时，设点，点，点， 过点、分别作轴的平行线交过点与轴的平行线分别交于点、， ，， ， ，， ， ，， 即，解得：， 故点的坐标为， 当点在下方时， 同理可得：， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点的对称性、三角形全等、面积的计算，等腰直角三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 3．已知．    (1)如图1，点D在上（点D不与点B，C重合），且，连接． ①当时，求的长． ②当时，________． ③在②的条件下，若将线段绕点A逆时针旋转，旋转后点B的对应点为点，连接．旋转过程中，的最大值为a，最小值为b，则_______． (2)如图2，把绕点A逆时针旋转得，交于点P，与 的延长线交于点Q，请判断射线是否经过点Q，并说明理由． 【答案】(1)①6；②；③32 (2)射线经过点Q，理由见解析 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，掌握这些性质定理，建立平面直角坐标系，利用一次函数的性质求解是解题的关键． （1）①过点D作于点G，证明是等腰直角三角形，求出，利用勾股定理即可解答；②方法同①；③由题意得，在同一条直线上和三点共线时，可求出最大值和最小值即可解决问题 （2）建立平面直角坐标系，由旋转确定点M，N的坐标，求点P的坐标，进而得到直线的解析式，求出直线，的解析式，联立求得交点Q的坐标将点Q坐标代入直线的解析式，判断结果． 【详解】（1）解：①如图，过点D作于点G，    ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ②如图，过点D作于点G，    ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ③当旋转，在同一条直线时，最短，      ∵ ∴的最小值， 当旋转，且三点共线时，最大，的最大值， ∴． 故答案为：32； （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系，        ∵线段绕点A逆时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得线段， ∴， ∵， ∴， ∴M，N关于y轴对称， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴， 同理得直线的解析式为， 又∵， 同理得直线的解析式为， ∵， 同理得直线的解析式为， 联立， 解得， ∴． ∵当时，， ∴射线经过点Q． 题型二十、一次函数与反比例函数的新定义 1．在平面直角坐标系中，已知点，过点且垂直于轴的直线记为直线，过点且垂直于轴的直线记为直线．给出如下定义：将图形关于直线对称得到图形，再将图形关于直线得到图形，则称图形是图形关于点的双对称图形． (1)已知点的坐标为，点关于点的双对称图形点的坐标为___； (2)如图，的顶点坐标是，，． ①已知点的坐标是，写出点，，关于的双对称图形点的坐标___，___，___； ②已知点的坐标为，点，点，线段关于点的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边），求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；；；②． 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了坐标的对称、新定义等内容，正确理解题意和熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据双对称图形的定义求出关于直线的对称点为，再求出，关于直线对称的点为，即可得解； （2）①根据点的坐标是，得两条对称轴分别为直线和直线，然后根据对称性质即可解决问题； ②先算出和的双对称图形点和的坐标，然后纵坐标高于1，纵坐标低于3即满足题意，从而建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：（1）由题意可知，点关于直线的对称点是， 点关于直线对称的点是， 点关于点的双对称图形点的坐标是； 故答案为：； （2）解：①点的坐标是， 两条对称轴分别为直线和直线， 点，，关于直线的对称点分别为，，， 点，，关于直线的对称点分别为，，， 点，，关于的双对称图形点的坐标，，； 故答案为：，，； ②， 两条对称轴分别为直线和直线， 点，关于直线的对称点分别为，， 点，关于直线的对称点分别为，， 在直线上， 若位于内部，则需要满足以下条件， ， ． 2．定义：平面内有P、A、B三点，连接，若且，则称点A和点B是关于点P的“n度等距点”．    (1)如图1，已知在平面直角坐标系内，点P在x轴的正半轴上，且，点M在第一象限，若点O和点P是关于点M的“60度等距点”，则点M的坐标为 ； (2)如图2，已知点A、B的坐标分别是，点N在第一象限，若点B和点N是关于点A的“90度等距点”，求点N的坐标； (3)如图3，已知在平面直角坐标系内，点C在第二象限，，与x轴的所夹锐角为，点E为平面直角坐标系内一点，若点O和点E是关于点C的“120度等距点”，则点E的坐标是 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）如图1，过点M作于N，先证明是等边三角形，再由勾股定理及坐标与图形的性质即可解答； （2）如图2，过点N作轴于D，证明，即可解答； （3）分两种情况：①如图3，延长交x轴于K，②如图4，过点C作轴于H，根据新定义可得是顶角为的等腰三角形，由勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：如图1，过点M作于N，    ∵点O和点P是关于点M的“60度等距点”， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴M的坐标为； 故答案为：； （2）如图2，过点N作轴于D， ∴， ∴， ∵点A、B的坐标分别是， ∴，    ∵点B和点N是关于点A的“90度等距点”， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴N的坐标为； （3）分两种情况： ①如图3，延长交x轴于K，    ∵点O和点E是关于点C的“120度等距点”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点E的坐标为； ②如图4，过点C作轴于H，    由①同理得：，是顶角为的等腰三角形， 所以点E在x轴上， ∵， ∴， ∴点E的坐标为， 综上，点E的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义“n度等距点”的理解和运用，等腰三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，熟练掌握“n度等距点”是解题的关键． 3．我们给出如下定义：对于给定的一次函数（k，b为常数且），把形如（k、b为常数且）的函数称为一次函数的演变函数． (1)已知函数． ①若点在这个一次函数的演变函数图象上，求的值： ②若点在这个一次函数的演变函数图象上，求的值． (2)如图，一次函数为常数且的演变函数图象与一次函数的图象相交于两点， ①求该一次函数的表达式； ②一次函数（为常数且）的演变函数图象与轴相交于点，求的面积； ③在一次函数（为常数且）的演变函数图象上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①3；②1或 (2)）①；②24；③存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理． （1）①根据题目中给出的函数定义用待定系数法进行求解即可；②根据题目中给出的函数定义分情况用待定系数法进行求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②利用函数与数轴的交点求出，利用三角形面积公式进行求解即可；③先求出的中垂线表达式，与函数解析式联立即可得出结果． 【详解】（1）解：①点在这个一次函数的演变函数图象上，， ； ②点在这个一次函数的演变函数图象上， 当时，， ， 当时，， ， 故答案为：①3；②1或； （2）解：①将两点代入一次函数， 解得，， ， 将代入，代入得： 解得：， ； ②， ， ∵设一次函数与y轴交于点D， ， ， ， ； ③设点， ， ，， ， 整理得：，即 含点P的直线函数解析式为：， 联立，解得：， ， 联立解得：  ， ． 综上，点的坐标为或． 题型二十一、一次函数与反比例函数的阅读理解 1．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称． 观察应用： (1)如图，若点，的对称中心是点，则点的坐标为 ． (2)在（1）的基础上另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，… ①则点，，的坐标分别为 ， ， ． ②点的坐标为 ． 【答案】(1) (2)①；；；② 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）设，利用中点坐标公式分别计算出x和y的值即可； （2）①利用中心对称的性质画图可得到点，从而得到它们的坐标． ②观察点坐标的递变规律，可得出点与点的坐标相同． 【详解】（1）设， ∵点的对称中心是点A， ∴A点坐标为， 故答案为：； （2）①点的坐标分别为．（见下图） 故答案为：． ②点关于点C的对称点，与点重合，依次类推，点与点重合，点与点重合……， 探索规律可知：设n为正整数，则点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∵， ∴点与点的坐标相同，即， 故答案为： 2．阅读理解： 材料一：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若且，则称点是线段的“完美等距点”． 材料二：在平面直角坐标系中，我们通常用下面的公式求两点间的距离，如果，，那么． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：，则这三点中，线段的“等距点”是________，线段的“完美等距点”是________； (2)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (3)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”？若存在，请直接写出所有符合的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)和； (2)或 (3)或 【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． （1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到O，A的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）设出H点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （3）假定存在，设出N点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论， 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴B为等距点． ∵，， ∴， ∴C为等距点． ∵，， ∴， ∴D不为等距点． ∵， ∴，，，， ∴C为完美等距点， 故答案为：B和C；C； （2）在上， ， ， ， ， 或， 设的坐标为， 或， ，， 或， 解得：或． 的坐标为或； （3）因为是的等距点，设点的坐标为， ， 为线段的“完美等距点”， ， 为等腰直角三角形， ①如图1， ， ， ，，， ， 则，， ， 解得：， 当时，      点的坐标为                               ②， ， ，，， ，    则，， ， 解得：， 当时，，                                                                 点的坐标为， 点的坐标为或． 3．阅读理解：阅读以下内容，完成后面任务： 材料一 “最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图②，作点B关于直线的对称点，连接与直线交于点P，连接，则的和最小． 理由：如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴______，______，（依据1______） ∴______． 在中，∵，（依据2______）， ∴，即最小． 材料二 说明代数式的几何意义，并求它的最小值． 解： 几何意义：如图④，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以苔成点P与点的距离，所求代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 任务一 ______，______， 依据1____________________________________ 依据2______________________________________ 任务二 利用图④中求出的最小值 任务三 求代数式的最小值． 【答案】任务一：，，轴对称的性质，，三角形三边关系；任务二3；任务三 ：5 【分析】本题属于几何变换综合题，考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题． 任务一：由轴对称的性质和三角形三边关系解答即可； 任务二：设点A关于x轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点A、B间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，．所以由勾股定理得． 任务三：先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和，再根据勾股定理描出各点，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：任务一： 如图③，在直线上另取任一点，连接，，， ∵直线是点B，的对称轴，点P，在上， ∴，，（依据轴对称的性质） ∴． 在中， ∵，（依据三角形三边关系）， ∴，即最小； 故答案为：，，轴对称的性质，，三角形三边关系； 任务二： 设点A关于x轴对称点，作轴，轴，交于点C，在中， ， 因此原式的最小值为． 任务三 ： 代数式的最小值5． ∵ ∴的值可以看成平面直角坐标系中点与点、点的距离之和， 如图所示，设点A关于x轴的对称点为，则， ∴的最小值，只需求的最小值，而点、间的直线距离最短， ∴的最小值为线段的长度， ∵点，， ∴，，， ∴， ∴的最小值为5． 题型二十二、一次函数与反比例函数的迁移探究 1．【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法把几何关系转化成代数关系． 【初步运用】如图1，边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则直角梯形的面积为多少？ 解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案） ①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点B为原点建立直角坐标系． ②由题意得，点，点，可求点F坐标为，点H坐标为． ③由点A和点H的坐标求出直线的关系式为． ④因为点M的横坐标为6，且点M在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标． ⑤同理求出点N坐标，从而得到线段和线段的长，从而求出直角梯形的面积为______． 【迁移探究】如图3，长方形中，，，，，，点E是边上的一点，，交于点F． （1）请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．） （2）在题（1）建立的直角坐标系基础下，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点，请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图4，在题（1）建立的直角坐标系下，沿着直线折叠得到，请求点的坐标． 【答案】初步运用：；迁移探究：（1）；（2）存在，或；（3） 【分析】初步运用：先求出、的坐标，得出、，再根据计算即可得解； 迁移探究：（1）以直线为轴，直线为轴，以点为原点建立直角坐标系，求出直线的解析式为；同理可得：直线的解析式为，联立求解即可； （2）分三种情况：当点在边上时；当点在边上时；当点在边上时；分别求解即可； （3）由折叠可得：，，证明，从而得出，得出点、到的距离相等，推出，进而得出直线的解析式为，设，作轴于，则，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：初步运用：∵直线的关系式为， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴； 迁移探究：（1）如图，以直线为轴，直线为轴，以点为原点建立直角坐标系， ， ∵，，， ∴，，，， 设直线的解析式为， 将，代入直线可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 同理可得：直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴， ∴； （2）存在， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 当点在边上时，如图， ， ∵是一个等腰三角形，， ∴， ∵点、关于轴对称， ∴， ∴， ∴； 当点在边上时，，，且，此时不可能为等腰三角形； 当点在边上时，如图，设， ， ∵是一个等腰三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，或； （3）由折叠可得：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点、到的距离相等， ∴， 由（1）可得直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设，如图，作轴于， ， 则，， ∴由勾股定理可得，，即， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数综合、待定系数法求一次函数解析式、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．阅读材料，完成下列各题： 对于不与x轴、y轴平行或重合直线，其中k叫做直线l的斜率．若在直线l上有不重合的两点、，则斜率的计算公式为，此公式叫做斜率公式， (1)新知运用：已知点和点，求过A、B两点的直线的斜率； (2)拓展迁移：若直线上有不重合四点、、、，求、及b之间的大小关系； (3)新知感悟：根据以上的探究，尝试证明斜率公式（使用阅读材料中的题设完成证明）． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）直接利用斜率公式计算即可得； （2）先根据点、，利用斜率公式可得，再利用一次函数的增减性即可得； （3）先求出，，，再代入计算即可得证． 【详解】（1）解：由斜率公式，得． （2）解：对于直线， 当时，， ∴点在直线上， 由斜率公式，得， 随的增大而减小， 又点、、在直线上，且， ． （3）证明：∵、为直线上不重合的两点，且直线不与轴平行， ∴，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，正确理解斜率公式是解题关键． 3．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，指出下列各点：，，，，并连接，，请写出线段的中点坐标：______，线段的中点坐标：______． (2)探究迁移 ①多找几条这样的线段试试，如果点，，那么线段的中点坐标是______． ②如果有，两点，那么线段的中点坐标是______． (3)拓展应用 已知三点，，，点与点E，F，G中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点H的坐标． 【答案】(1)图形见解析，， (2)①；② (3)点H的坐标为或或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟记平面直角坐标系中线段中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数是解题的关键． （1）根据坐标的确定方法直接描点，分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标； （2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律； （3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题． 【详解】（1）解：点，，，，线段，如下图， 线段的中点坐标为，线段的中点坐标为， 故答案为：，； （2）①如图 的中点坐标为， 的中点坐标为， 如果点，，则线段的中点坐标是， ②猜想：如果有，两点， 则线段的中点坐标是， 故答案为：；； （3）分类讨论：①与中点重合时， ，， ， 此时； ②与中点重合时， ，， ， 此时； ③与中点重合时， ，， ， 此时； 综上所述，H点的坐标为或或． 题型二十三、一次函数与反比例函数的项目化学习 1．项目化学习 项目背景：智能手机的日益进步，使手机的耗电量急速上升，为保证手机的续航时间，其内部搭载电池的容量也日益增大．为了能快速将手机充满电，手机快速充电技术应运而生．某校综合实践小组以探究“快速充电器与普通充电器的区别”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究充电时快速充电器比普通充电器少用的时间． 研究步骤：（1）准备两台华为“”手机，使其初始电量显示； （2）准备两个充电器，一个标注“输出 ”，另一个标注“输出 ”，分别用两个充电器给手机充电，对充电时间与充电量进行统计； （3）数据分析，形成结论． 试验数据： 充电时间x（分） 0 10 20 30 40 普通充电器充电量 20 40 60 80 100 快速充电器充电量 20 60 100 100 100 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： (1)根据表中信息，可知是x的______函数（填“一次”“二次”或“反比例”），直接写出与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)若将该手机的电量从充至，则快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【答案】(1)一次， (2)快速充电器比普通充电器少用15分钟 【分析】本题考查待定系数法，一次函数的应用． （1）由表中数据可得是x的一次函数，设与x的函数解析式为，采用待定系数法求解即可； （2）求出与x的函数解析式，把代入两个函数中，即求出充电到所需时间，即可解答． 【详解】（1）根据表中信息，可知是x的一次函数， 设与x的函数解析式为， 由表中数据可得，当时，，当时，， ∴，解得， ∴与x的函数关系式为， 自变量x的取值范围为； （2）设与x的函数解析式为， 由表中数据可得，当时，，当时，， ∴，解得， ∴与x的函数关系式为（）， 当时，解得； 当时，解得． （分）． 答：快速充电器比普通充电器少用15分． 2．项目化学习 项目主题：老陈醋最优销售单价． 项目背景：宁化府是山西太原百年老店，其酿造的老陈醋清鲜香醇，深受人们喜爱． 某校综合实践小组以探究“老陈醋最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究老陈醋销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）综合实践小组到太原宁化府老陈醋专卖店了解到每壶老陈醋的成本为20元； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对老陈醋的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 实验数据： 老陈醋销售单价（元/壶） … 24 26 28 30 32 … 每天销售数量（壶） … 52 48 44 40 36 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该老陈醋每天的销售数量（壶）是老陈醋销售单价（元/壶）的______函数（选填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为______； （2）若要使每天销售老陈醋获得的利润（元）最大，请通过计算说明老陈醋的最优销售单价，并求出最大利润． 【答案】（1）一次，；（2）老陈醋的最优销售单价是35元/壶，最大利润是450元 【分析】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了求一次函数关系式，求二次函数的关系式，求二次函数的极值问题，对于（1），根据数据变化特点可知是一次函数，再将数值代入求出关系式即可； 对于（2），求出利润的二次函数关系式，配方再讨论得出极值． 【详解】解：（1）观察表格可知老陈醋每天的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数． 设一次函数关系式为，将点代入，得 ， 解得， 所以一次函数关系式为． 故答案为：一次函数解析式为； （2）根据题意，得 ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，， 所以当老陈醋的单价为35元时，最大利润为450元． 3．项目化学习 项目主题：探究杠杆平衡条件 项目步骤：实验课上李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：自制了一个类似天平的仪器如图①，在左边固定托盘A中放置一些大小不等的立方体，在右边活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得天平平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况． 试验数据： x（cm） 10 15 20 25 30 y（g） 30 20 15 12 10 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，如，…在图②的坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)当活动托盘B与点O的距离为12.5cm时，求砝码的质量； (4)当活动托盘B往左移动（不能移动到点O）时，应往托盘B中添加还是减少砝码？______．（填写“添加”或“减少”） 【答案】(1)见解析 (2)y与x之间的函数关系为反比例函数，系式为 (3)24g (4)添加 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）根据各点在坐标系中分别描出即可得出平滑曲线； （2）观察可得：，的乘积为定值300，故与之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （3）把代入解析式求解，可得答案； （4）利用函数增减性即可得出，随着活动托盘与点的距离不断减小，砝码的示数应该不断增大． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数， ∴设，把，代入得：． ∴y与x的函数关系式为：． （3）解：把代入，得． ∴当活动托盘B与点O的距离是12.5cm时，当砝码的质量为24g． （4）解：根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘与点的距离不断减小，砝码的示数会不断增大； 应添加砝码， 故答案为：添加． 2 / 180 学科网（北京）股份有限公司 $$