第19讲 直角三角形（讲练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

第四章 三角形 第19讲 直角三角形（6~15分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 直角三角形的性质与判定（高频考点） 考点二 勾股定理（高频考点） 考点三 勾股定理逆定理（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 直角三角形的性质与判定 ►题型01 利用直角三角形的性质求解 ►题型02 根据已知条件判定直角三角形 ►题型03 与直角三角形有关的面积计算 命题点二 勾股定理 ►题型01 利用勾股定理求线段长 ►题型02 利用勾股定理求面积 ►题型03 已知两点坐标求两点距离 ►题型04 判断勾股数问题 ►题型05利用勾股定理解决折叠问题 ►题型06 勾股定理与网格问题 ►题型07 勾股定理与无理数 ►题型08以直角三角形三边为边长的图形面积 ►题型09 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ►题型10 利用勾股定理证明线段的平方关系 ►题型11勾股定理的证明方法 ►题型12 以弦图为背景的计算题 ►题型13 利用勾股定理构造图形解决问题 ►题型14 利用勾股定理解决实际问题 ►题型15 勾股定理与规律探究问题 命题点三 勾股定理逆定理 ►题型01 图形上与己知两地构成直角三角形的点 ►题型02 在网格中判定直角三角形 ►题型03 利用勾股定理逆定理求解 ►题型04 利用勾股定理解决实际生活问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 直角三角形的性质与判定 · 理解直角三角形的概念. · 探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 10年5考 该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点.出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸.结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向. 勾股定理 · 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 近10年连续考查 勾股定理逆定理 · 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考 考点一 直角三角形的性质与判定（高频考点） 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，点D，E都在边上，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 3．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 考点二 勾股定理（高频考点） 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，，,,. 勾股定理的证明方法（常见）： 方法一（图一）：，，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三（图三）：，，化简得证 图一 图二 图三 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数. 常见的勾股数：如；；；等. 判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 1. 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形. 2. 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3. 应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． 4. 每组勾股数的相同整数倍也是勾股数. 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ． 2．（2025·湖北黄石·一模）如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，，作，分别与边、交于点F、G，点M，N分别是，的中点，则 ，的面积是 ． 3．（2025·广东·模拟预测）如图，为斜边上的中线，E为的中点．若，，则 ． 考点三 勾股定理逆定理 （高频考点） 勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 1. 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 2. 定理中a，b，c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边. 1．（2024·广东清远·模拟预测）如图，中，，，，将沿着直线向右平移到的位置，与相交于点G，连接．下列结论： ①； ②是直角三角形； ③四边形的面积是； ④四边形是菱形； ⑤．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠点A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．则修建公路长度为 3．（2024·广东·模拟预测）若，则以a，b，c为边长的三角形的形状是 ． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 直角三角形的性质与判定 ►题型01 利用直角三角形的性质求解 1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·西藏·中考真题）如图，已知，点A在直线a上，点B，C在直线b上，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·海南·中考真题）如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（    ）      A．60° B．50° C．45° D．40° 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 6．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ． 7．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） ►题型02 根据已知条件判定直角三角形 1.（2023·福建漳州·统考一模）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． ►题型03 与直角三角形有关的面积计算 1．（2023·广西南宁·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，点A，B在x轴上，且，垂足为P，PA交y轴于点C，，的面积是2．则k的值是（    ）    A．1 B． C． D．2 2.（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，将两个全等的正方形与重叠放置，若，，则图中阴影部分的面积是（  ） A． B． C． D． 3.（2023·云南曲靖·统考二模）如图，在中，，则的面积等于 ．    4.（2023·河北唐山·统考模拟预测）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若重叠部分的面积是，则的长是 ． 命题点二 勾股定理 ►题型01 利用勾股定理求线段长 1．（2025·广东·模拟预测）如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点E．则线段的长为 ． 2.（2023·安徽·统考模拟预测）在中，，，，则线段的长为（　　） A． B． C．或 D．或 3.（2023·广东云浮·统考一模）如图，切于C，点D从C出发，以每秒的速度沿方向运动，运动1秒时，运动2秒时长是（　　） A． B． C． D． ►题型02 利用勾股定理求面积 1.（2023·河北石家庄·统考三模）若一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则正三角形与正六边形的边长比为（    ） A． B． C． D．2：1 2.（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点，假设点P的坐标为（5，3），点M是⊙P上的一动点，那么面积的最大值为（　　）    A．64 B．48 C．32 D．24 3.（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，在中，，D是的中点，于点E，则的面积与的面积之比为（    ）      A． B． C． D． ►题型03 已知两点坐标求两点距离 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 3．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例的图象相交于，两点，直线且，点在直线上且，则的值 ． ►题型04 判断勾股数问题 1．（2024·江苏南京·三模）下列各组数中是勾股数的为（    ） A． B． C．7，8，9 D． 2．（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 3．（2024·河北秦皇岛·一模）我们把满足的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若是一组勾股数，n为正整数． (1)当，时，请用含n的代数式表示，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数； (2)当，时，用含n的代数式表示，再完成下列勾股数表． a b c _____ 40 41 11 60 _____ 4．（2024·浙江·模拟预测）在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数： … … … (1)当时，______，______． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． ►题型05 利用勾股定理解决折叠问题 1．（2025·上海普陀·一模）中，，，，点D在边上，，如图所示．点E在边上，将沿着翻折得，其中点B与点对应，交边于点G，交的延长线于点H．如果是等腰三角形，那么 ．    2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是矩形，，．点E为边的中点，点F为边上一点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则的长是 ．    4．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．    5．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，． 折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点． 【解决问题】 (1)当点与点重合时，求的长； (2)设直线与直线相交于点，当时，求的长． ►题型06 勾股定理与网格问题 1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上．    （1）线段的长为 ； （2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明） ． 3．（2023·宁夏·中考真题）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上．下列结论：    ①点与点关于点中心对称； ②连接，，，则平分； ③连接，则点，到线段的距离相等． 其中正确结论的序号是 ． ►题型07 勾股定理与无理数 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数1的点为圆心，所作正方形的对角线长为半径画半圆，交数轴于点、，则点所表示的数是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 3．（2024·贵州贵阳·一模）如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是 ． ►题型08 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，分别以它的三边为边向外作正方形，，，分别过点，作，，垂足分别为，．要知道阴影部分的面积，只需知道下列某个图形的面积，这个图形是（    ） A． B．正方形 C．正方形 D．正方形 2．（2024·广东中山·模拟预测）在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ． 3．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，则图中阴影部分的面积为 ． ►题型09 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 1.（2022·广东佛山·校考一模）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：； (3)求证： ． 2.（2021·广东广州·统考一模）如图，ΔABC中，∠BAC120°，AB=AC，点A关于直线BC的对称点为点D，连接BD，CD． （1）求证：四边形ABDC是菱形； （2）延长CA到E，使得AB=BE．求证：BC2-AC·CE=AC2； （3）在（2）小题条件下，可知E，B，D，C四点在同一个圆上，设其半径为a(定值），若BC=kAB，问k取何值时，BE·CE的值最大？ ►题型10 利用勾股定理证明线段的平方关系 1.（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．    (1)判断与间的数量关系，并说明理由； (2)直接写出线段、、间满足的数量关系． 2.（2023·北京平谷·统考一模）在中，，为边中点，连接，与相交于点，过作，交于点，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)判断的数量关系，并证明． 3.（2023·陕西咸阳·统考一模）在中，，是的中点，作．分别交，于点，，连接 (1)【尝试探究】如图1，若，求证； (2)【深入研究】如图2，试探索（1）中的结论在一般情况下是否仍然成立； (3)【解决问题】如图3，若，，点，，，在同一个圆上，求面积的最大值． ►题型11 勾股定理的证明方法 1．（2024·山西太原·模拟预测）赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（    ） A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．函数思想 2．（2024·辽宁大连·三模）在学习了《勾股定理》一课后，小明同学对于它的证明方式非常好奇，并动手操作，完成了其中一些证明并给出了示意图．请你根据示意图帮助小明同学判断，一定不能完成定理证明的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2024·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考：请阅读下列材料，完成相应任务． 从勾股定理的“无字证明”谈起 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用一些几何图形验证勾股定理．如图1是古印度的一种证明方法：过正方形的中心O，作两条互相垂直的直线，将正方形分成4份，所分成的四部分和一小正方形恰好能拼成一个大正方形．这种方法，不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．    意大利著名画家达·芬奇用如图2所示的方法证明了勾股定理，其中图甲的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图丙的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图甲中空白部分的面积为，图丙中空白部分的面积为． 任务： (1)下面是小亮利用图2验证勾股定理的过程，请你帮他补充完整． 解：根据题意，得________ ． ∵， ∴________，即________． (2)我国是最早了解勾股定理的国家之一．东汉末年数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”．如图3，若，，则的长度为________． (3)在初中的数学学习中，我们已经接触了很多代数恒等式．一些代数恒等式也可以通过“无字证明”来解释．可以借助图4直观地解释的代数恒等式为________．借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题，在此过程中体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．公理化思想    C．数形结合思想    D．从特殊到一般的思想 (4)借助图5可以直观解释的式子为________．（填序号） ①；        ②； ③；        ④． (5)实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． ►题型12 以弦图为背景的计算题 1．（2023·内蒙古·中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是 ． 3．（2023·湖北鄂州·中考真题）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（）拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与、、分别相交于点P、O、Q，若，则的值是 ．    ►题型13 利用勾股定理构造图形解决问题 1．（2024·辽宁抚顺·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·江西吉安·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷九记载了一个有关“勾股”的问题：今有户不知高广，杆不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户高几何．其大意是：今有门，不知其高宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等，问门高是多少？若设门高为x尺，则可列关于x的方程为 ． 3．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． ►题型14 利用勾股定理解决实际问题 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为 ，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ） v   A． B． C． D． 3．（2025·广西柳州·一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川德阳·中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．    5．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    6.（2023·陕西西安·统考三模）如图，一艘海警船在A处发现北偏东方向相距12海里的B处有一艘可疑货船，该艘货船以每小时10海里的速度向正东航行，海警船立即以每小时14海里的速度追赶，到C处相遇，求海警船用多长时间追上了货船？ ►题型15 勾股定理与规律探究问题 1.（2023·广东东莞·校联考二模）如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（　　）    A． B． C． D． 2.（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为……依此规律，则第2023年等腰三角形中，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3.（2023·山东聊城·统考一模）如图，已知，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，…按此规律进行下去，则的直角边的长为 ． 命题点三 勾股定理逆定理 ►题型01 图形上与己知两地构成直角三角形的点 1．（2023·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中，已知点，，若点C在一次函数的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的C点的个数有 个． 2．（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． ►题型02 在网格中判定直角三角形 1．（2024·河南南阳·三模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，点M为上一点，以点C为圆心，的长为半径作圆与边相切于点N，已知为该圆的一部分，则图中由线段及所围成的阴影部分的面积为 ． 2．（2023·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 3．（2023·广东·中考真题）综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明：    (1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 4．（2023·吉林长春·模拟预测）在的正方形网格中，点均在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，过点作． (2)在图②中，以的一边为直角边，构造一个与面积相等的格点直角三角形． (3)在图③中，作，使的面积等于面积的． ►题型03 利用勾股定理逆定理求解 1．（2023·湖北·中考真题）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，，，．若在中点M处建一个网络基站，该基站的覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（    ） A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y 3．（2024·河北唐山·三模）对于题目：如图1，在钝角中，，，边上的中线，求的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法． 则下列说法正确的是（   ） A．只有方法一可行 B．只有方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 ►题型04 利用勾股定理解决实际生活问题 1．（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计： 方案一：图形中的圆过点A、B、C； 方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率100%．以上方案一、二的利用率分别为a、b，则（　　） A． B． C． D． 3．（2024·广东清远·二模）综合与实践 主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺． 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 4．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点B、F在线段上，点C在上，支杆． (1)若时，B，D相距，试判定与的位置关系，并说明理由； (2)当，时，求的长． 基础巩固 1．如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将两个矩形叠合放置，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是的角平分线．如果点D到的距离为1，那么的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 4．如图，的内接正六边形的边长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在的三边摆放火柴，使火柴之间间隔相同且垂直于各边，则边应摆放火柴的根数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点为正方形内一点，延长交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边上点F处，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．5 8．如图，已知正方形的边长为，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．1，2，5 C．4，4，4 D．6，8，10 10．如图，在正方形中，，延长至点，使得．分别连接，为的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，则的度数是 ． 12．如图，的高与交于点O，若，则 ． 13．如图，在中，，是边上的高，， ，则 ． 14．如图，将矩形绕点旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与点重合．若，则的长为 ． 15．如图，点、分别是线段和的中点，、交于点，且，，，那么长是 ． 16．如图，在中，点为线段上一点，连接，将沿折叠使点落在点处，使，连接，，若，，，则 （用表示），的长度为 ． 17．如图，是中边上的高线，若，，求的度数． 18．如图，中，，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 19．在等边三角形中，点D为边上的一点，连接． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2将线段绕点A顺时针旋转到，连接交于点F．求证：； 20．已知的算术平方根是，的平方根是，125的立方根是，判断以，，为边长的三角形的形状，并说明理由． 21．【阅读】 我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分別为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）已知一个中，，，．求面积． 能力提升 1．如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 2．某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 3．如图，正方形的边长为4，点E从点A出发沿着线段向点D运动（点E不与点A，点D重合），同时，点F从点D出发沿着线段向点C运动（点F不与点D，点C重合），点E与点F的运动速度相同，与相交于点G，则有下列结论： ①；②；③当点F运动到的中点时，；④当时，四边形的面积为；其中正确结论的个数有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．四边形中，，，，，，将沿过点的一条直线折叠，点的对称点落在四边形的对角线上，折痕交边于点（点不与点重合），那么长为 ． 5．如图，在中，，，将沿翻折得到，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，点E为的中点，连接，，则 ；若，则的面积是 ． 6．【问题提出】： 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，（），交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数 （2）再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示） 【问题拓展】： （3）如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长． 7．（1）如图1，在中，，，点D为线段上一点，连接， ①若，求的长； ②如图2，当，作平分，交于E，求的长； （2）如图3，在中，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕A点顺时针旋转得，连接，当时，求的长． 8．【问题情境】 数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识． 【数学思考】 （1）希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图1，将等边三角形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，折痕分别交，于，两点．求证：； （2）善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图2，将正方形沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，折痕分别交，于，两点，设，交于点．若，求的长； 【拓展探究】 （3）智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图3，与都是等腰直角三角形，点在边上，，交于点．若，，请直接写出图中阴影部分的面积． $$第四章 三角形 第19讲 直角三角形（6~15分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 直角三角形的性质与判定（高频考点） 考点二 勾股定理（高频考点） 考点三 勾股定理逆定理（高频考点） 04题型精研·考向洞悉 命题点一 直角三角形的性质与判定 ►题型01 利用直角三角形的性质求解 ►题型02 根据已知条件判定直角三角形 ►题型03 与直角三角形有关的面积计算 命题点二 勾股定理 ►题型01 利用勾股定理求线段长 ►题型02 利用勾股定理求面积 ►题型03 已知两点坐标求两点距离 ►题型04 判断勾股数问题 ►题型05利用勾股定理解决折叠问题 ►题型06 勾股定理与网格问题 ►题型07 勾股定理与无理数 ►题型08以直角三角形三边为边长的图形面积 ►题型09 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ►题型10 利用勾股定理证明线段的平方关系 ►题型11勾股定理的证明方法 ►题型12 以弦图为背景的计算题 ►题型13 利用勾股定理构造图形解决问题 ►题型14 利用勾股定理解决实际问题 ►题型15 勾股定理与规律探究问题 命题点三 勾股定理逆定理 ►题型01 图形上与己知两地构成直角三角形的点 ►题型02 在网格中判定直角三角形 ►题型03 利用勾股定理逆定理求解 ►题型04 利用勾股定理解决实际生活问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 直角三角形的性质与判定 · 理解直角三角形的概念. · 探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 10年5考 该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点.出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸.结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向. 勾股定理 · 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 近10年连续考查 勾股定理逆定理 · 近10年连续考查 02知识导图·思维引航 03考点突破·考 考点一 直角三角形的性质与判定（高频考点） 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，点D，E都在边上，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，取的中点G，连接、，由，，可得出，根据旋转的性质可得出，结合可得出为等边三角形，进而得出为直角三角形，求出的长度以及证明全等找出，设，则，在中利用勾股定理可得出，利用，可求出x以及的值，此题得解． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，取的中点G，连接、，如图所示： 过点A作于点N，如图， ∵，， ∴，． 在中，，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为直角三角形． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 设，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，通过勾股定理找出关于x的方程是解题的关键． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案． 【详解】解：设的中点为，连接， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在点为圆心，4为半径的圆上． ， ， ∵的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 3．（2024·海南·中考真题）如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是， 故选：D． 考点二 勾股定理（高频考点） 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，，,,. 勾股定理的证明方法（常见）： 方法一（图一）：，，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三（图三）：，，化简得证 图一 图二 图三 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数. 常见的勾股数：如；；；等. 判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 1. 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形. 2. 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3. 应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． 4. 每组勾股数的相同整数倍也是勾股数. 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．首先过点作，使，连接、，利用勾股定理可求，利用两边成比例且夹角相等，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，当点、、三点共线时有最大值可求的最大值． 【详解】解：如下图所示，过点作，使，连接、， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当点、、三点共线时有最大值，． 故答案为： ． 2．（2025·湖北黄石·一模）如图，四边形是边长为4的正方形，点E在边上，，作，分别与边、交于点F、G，点M，N分别是，的中点，则 ，的面积是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，先证明、是矩形，即可得到N是FC的中点，然后根据等腰直角三角形的三线合一得到，，然后求出长，即可得到长，再根据解题即可． 【详解】连接， ∵是正方形， ∴，，， ∴、是矩形， ∴，，， 又∵是的中点， ∴F、C、N共线，且N是FC的中点， 又∵，， ∴， ∴， 又∵点M是的中点， ∴，， 又∵ ∴， ∴， 又∵N是的中点， ∴， 故答案为：，． 3．（2025·广东·模拟预测）如图，为斜边上的中线，E为的中点．若，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，勾股定理，由直角三角形斜边中线的性质得到，再由等腰三角形的性质得到，，由勾股定理求出长，最后根据求解即可． 【详解】∵在中，为斜边上的中线， ∴， ∵E为的中点， ∴，， ∴， ． 故答案为：8． 考点三 勾股定理逆定理 （高频考点） 勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 1. 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 2. 定理中a，b，c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边. 1．（2024·广东清远·模拟预测）如图，中，，，，将沿着直线向右平移到的位置，与相交于点G，连接．下列结论： ①； ②是直角三角形； ③四边形的面积是； ④四边形是菱形； ⑤．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由平移的性质得，，，，则四边形是平行四边形，，，故①不正确；再由勾股定理的逆定理求出，即可推出是直角三角形，故②正确；然后设的边上的高为，由面积法求出，再求出，故③正确；由，即可推出平行四边形是菱形，故④正确；最后由，证与不全等，即可得出结果． 【详解】解：由平移的性质得：，，，， 四边形是平行四边形， 则，，故①不正确； ， 即， ， ， 是直角三角形，故②正确； 设的边上的高为， 则， ， ，故③正确； ， 平行四边形是菱形，故④正确； ， ，， ， 与不全等，故⑤不正确； 综上所述，正确结论的个数为3， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平移的性质和勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠点A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．则修建公路长度为 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，通过计算可得出 ，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据的面积公式可得，，从而求出的长． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴修建的公路的长是． 故答案为：12． 3．（2024·广东·模拟预测）若，则以a，b，c为边长的三角形的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查非负性，勾股定理的逆定理，根据非负性，求出的值，再利用勾股定理逆定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴以a，b，c为边长的三角形的形状是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 直角三角形的性质与判定 ►题型01 利用直角三角形的性质求解 1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论． 【详解】由示意图可知：和都是直角三角形， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 2．（2023·西藏·中考真题）如图，已知，点A在直线a上，点B，C在直线b上，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质与三角形的内角和为进行解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题可知：， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（2023·海南·中考真题）如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（    ）      A．60° B．50° C．45° D．40° 【答案】D 【分析】延长交直线n于点D，根据平行线的性质求出，再根据直角三角形的特征解答即可． 【详解】延长交直线n于点D，如图所示．    ∵， ∴． 在中，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的特征等，作出辅助线是解题的关键． 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与折叠，直角三角形的性质，由折叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点A落在边上的点F处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据菱形的性质可得，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得，即可得解． 本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ∵E是的中点， ， ∴。 故选：A． 6．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形，为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 7．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是 【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过作于，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题． 过作于，设，由含度角的直角三角形的性质得到，由锐角的正切定义得到 ，判定是等腰直角三角形，因此 ，得到 ，求出，即可得到的长． 【详解】解：过作于， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴． 答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是． ►题型02 根据已知条件判定直角三角形 1.（2023·福建漳州·统考一模）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理，能证明有一个角是90度即可确定是直角三角形． 【详解】解：由三角形内角和定理得， ①当时，，，能确定是直角三角形； ②当时，，能确定是直角三角形； ③当时，，能确定是直角三角形； ④当时，，不能确定是直角三角形； 综上可知，能确定是直角三角形的条件有3个， 故选C． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理． 2.（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理判断A和B即可；根据三角形的内角和定理判断C和D即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵ ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形的内角和定理等于是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边a、b的平方和等于第三边c的平方，即，那么这个三角形是直角三角形． ►题型03 与直角三角形有关的面积计算 1．（2023·广西南宁·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，点A，B在x轴上，且，垂足为P，PA交y轴于点C，，的面积是2．则k的值是（    ）    A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接，过点P作，垂足为D，证明为等边三角形，设，利用求出，得到点P坐标，根据的面积是2，列出方程，求出，再将点P坐标代入中，可得k值． 【详解】解：如图，连接，过点P作，垂足为D，    ∵， ∴，即为等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴，即， ∵的面积是2， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数表达式，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线，勾股定理，解题的关键是判断出为等边三角形，得到点P坐标． 2.（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，将两个全等的正方形与重叠放置，若，，则图中阴影部分的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于，连接，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】设与交于，连接， 四边形和正方形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积正方形的面积的面积的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 3.（2023·云南曲靖·统考二模）如图，在中，，则的面积等于 ．    【答案】 【分析】根据角所对直角边是斜边的一半求出，根据勾股定理求出，计算出的面积，即可得解； 【详解】∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理，准确根据角所对直角边是斜边的一半求解是解题的关键． 4.（2023·河北唐山·统考模拟预测）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若重叠部分的面积是，则的长是 ． 【答案】 【分析】根据重叠部分的面积求出，利用直角三角形角的性质求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵重叠部分的面积， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，等角对等边证明边相等，直角三角形角的性质，正确掌握各知识点是解题的关键． 命题点二 勾股定理 ►题型01 利用勾股定理求线段长 1．（2025·广东·模拟预测）如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点E．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，矩形的性质，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可． 【详解】解：如图，过点F作于G， 根据正八边形可得， 由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， ， 同理， ， 故答案为：． 2.（2023·安徽·统考模拟预测）在中，，，，则线段的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况讨论：为锐角时，过点作，分别在和中求出，从而可求出；为钝角时，同样的方法可求出． 【详解】解：分两种情况讨论： 为锐角时，如图，    过点作， 在中， ∵，， ∴， ∴， 中， ∵，， ∴， ∴； 为钝角时，如图，    过点作交的延长线于点， 同可求得：，， ∴， 综上，的长为或， 故选：． 【点睛】此题考查了勾股定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是需要注意分情况求解． 3.（2023·广东云浮·统考一模）如图，切于C，点D从C出发，以每秒的速度沿方向运动，运动1秒时，运动2秒时长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质、勾股定理，掌握切线性质是关键．先证得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵切于C， ∴， ∵点D从C出发，以每秒的速度沿方向运动， ∴运动1秒时， 又∵运动1秒时， ∴在中，由勾股定理得：， ∵运动2秒时长为， ∴此时． 故选：C． ►题型02 利用勾股定理求面积 1.（2023·河北石家庄·统考三模）若一个正三角形和一个正六边形的面积相等，则正三角形与正六边形的边长比为（    ） A． B． C． D．2：1 【答案】A 【分析】设正三角形和一个正六边形的边长分别为a、b．构建面积相等构建方程即可解决问题． 【详解】解：设正三角形边长分别为a，如图，作于D，    则，， ∴正三角形的面积为， 设正六边形的边长b， 同理正六边形的面积为， 由题意：， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 2.（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点，假设点P的坐标为（5，3），点M是⊙P上的一动点，那么面积的最大值为（　　）    A．64 B．48 C．32 D．24 【答案】C 【分析】过点P作轴于点D，连接，易得，，然后由垂径定理，即可求得的长，继而求得的长，继而求得答案． 【详解】解：过点P作轴于点D，在上方，与⊙P的交点即面积最大时动点的位置，连接，，    ∵点P的坐标为， ∵⊙P与y轴相切于点C， ∴，， ∴， 在Rt中，， ∵， ∴， 当点M位于时，面积最大，最大值为：． 故选C． 【点睛】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，添设辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 3.（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）如图，在中，，D是的中点，于点E，则的面积与的面积之比为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，易证为等边三角形，从而得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理得出，从而得出，然后根据等边三角形的性质及勾股定理得出，从而得出 ，即可得出答案． 【详解】解：连接    为等边三角形 D是的中点， ， 的面积与的面积之比为 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键． ►题型03 已知两点坐标求两点距离 1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴．　 ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为． 故选C． 2．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，1为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质的应用．依据题意，可得，，再由，从而，进而得解． 【详解】解：由题意，得，． ， 由两点距离公式可得：． ． 或5． 又， ． 故选：C． 3．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例的图象相交于，两点，直线且，点在直线上且，则的值 ． 【答案】或 【分析】连接、，由线段垂直平分线的性质得出，，求出反比例函数解析式为，设，则，，求出，从而得出，推出直线的解析式为，，进而得出，，由等腰三角形的性质得出，由正切的定义得出，求出的值即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵直线且， ∴垂直平分，点为的中点， ∴，， ∵直线与反比例的图象相交于，两点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设，则，， ∴， ∴， 由图可得：， ∴ 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴，即， ∴直线的解析式为，， ∵点在直线上， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质、线段垂直平分线的性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． ►题型04 判断勾股数问题 1．（2024·江苏南京·三模）下列各组数中是勾股数的为（    ） A． B． C．7，8，9 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数的知识，理解勾股数的定义是解题关键．勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ∵，，又∵，∴不是勾股数，不符合题意； B.∵ 不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意； C. ∵，，又∵，∴7，8，9不是勾股数，不符合题意； D. ∵，∴是勾股数，符合题意． 故选：D． 2．（2024·四川德阳·二模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5：5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，m为正整数），则其股是 （结果用含m的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数的定义及求法：满足的三个正整数称为勾股数；根据题意得为偶数，设其股是，则玄为，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：∵m为正整数， ∴为偶数， 设其股是a，则弦为， 根据勾股定理得，， 解得：， 故答案为：． 3．（2024·河北秦皇岛·一模）我们把满足的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若是一组勾股数，n为正整数． (1)当，时，请用含n的代数式表示，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数； (2)当，时，用含n的代数式表示，再完成下列勾股数表． a b c _____ 40 41 11 60 _____ 【答案】(1)，当时，满足题意的最小整数 (2)，9，61 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据变形式 可得到结果，根据的算术平方根是最小整数得到结果； （2）根据变形式得到结果，根据变形式 得即可得到c的值，根据变形成 得到a的值． 【详解】（1）解：， 把，代入中， 得， ∵n为正整数， ∴当时，满足题意的最小整数； （2）， ，，， ，，， 补全勾股数表如下： 4．（2024·浙江·模拟预测）在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数： … … … (1)当时，______，______． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1)60  61 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了勾股数，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股数是解题的关键． （1）根据表格中的数据即可得到答案； （2）．根据表格中的数据找出规律即可得到答案； （3）根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：60，61 （2）解：由（1）可得，， 当时， （3）解： ． 结论成立． ►题型05 利用勾股定理解决折叠问题 1．（2025·上海普陀·一模）中，，，，点D在边上，，如图所示．点E在边上，将沿着翻折得，其中点B与点对应，交边于点G，交的延长线于点H．如果是等腰三角形，那么 ．    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先画出图形，过点作于点，确定如果是等腰三角形，则只能是，设，则，再证出，根据相似三角形的性质可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下：过点作于点，    ∵， ∴， ∵交边于点，交的延长线于点， ∴， ∴如果是等腰三角形，则只能是为顶角，， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∵在中，，，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 由折叠的性质得：，， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 2．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是矩形，，．点E为边的中点，点F为边上一点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则的长是 ．    【答案】或 【分析】分两种情况：当点在点左侧时，设交于点，过点作于点，则四边形为矩形，，由折叠可知，，由平行线的性质可得，于是，，利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质求得，，于是，，则，代入计算即可得到答案；当点在点右侧时，设交于点，过点作于点，同理可得，，四边形为矩形，，利用相似三角形的性质求得，，进而去除，则，代入计算即可求解． 【详解】解：当点在点左侧时，如图，设交于点，过点作于点， 则， 点为边的中点， ， 四边形为矩形，， ，，， ， 四边形为矩形， ，， 由折叠可知，，， ， ， ，即， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， ； 当点在点右侧时，如图，设交于点，过点作于点， 同理可得：，，四边形为矩形，，， 在中，， ， ，即， ，， ， ． 综上，的长是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 4．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．    【答案】5 【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据折叠可知，可知，， 则，在中，，则， ∴，则， 设，则， 在中，，即：， 解得：， 即：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键． 5．（2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，． 折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点． 【解决问题】 (1)当点与点重合时，求的长； (2)设直线与直线相交于点，当时，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的相关应用，结合题意画出图形是解题的关键． （1）过点C作，则，，再求出，根据勾股定理求出，当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合， 则有，设，则，再利用勾股定理即可得出． （2）分两种情况，当点F在上时和当点F在的延长线上时，设，，则 ，利用三个角的正切值相等表示出个线段的长度，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点C作， 则，， ∴， ∴ ， ， 当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合， 则有， 设，则， ∵ ∴在中， 解得：， 故 （2）如图2，当点F在上时，如下图： 由(1)可知， ∵ ∴， 设，，则 ， 根据折叠的性质可得出：，． ∵， ∴， ∵ ∴在中，， 则， 解得：， 如图3，当点F在的延长线上时， 同上， 在中， 设，，， ， 在中， ， 则 解得， 则， 综上：的值为：或． ►题型06 勾股定理与网格问题 1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形格点的位置上，连接，相交于点，根据图中提示所添加的辅助线，可以求得的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合．由题得：，，，根据勾股定理求出，，进而求出，即可求解． 【详解】解：由题得，，，， ，， ，， 在中，， 则， 故选：C． 2．（2024·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上．    （1）线段的长为 ； （2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 图见解析，说明见解析 【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）作点关于、的对称点、，连接、，分别与、相交于点、，的周长等于的长，等腰三角形的腰长为，当的值最小时，的值最小，此时是切点，由此作图即可． 【详解】（1）由勾股定理可知，， 故答案为： （2）如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求．    3．（2023·宁夏·中考真题）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，，均在格点上．下列结论：    ①点与点关于点中心对称； ②连接，，，则平分； ③连接，则点，到线段的距离相等． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据描述，作图，逐一进行判断即可； 【详解】解：①如图：    点与点关于点中心对称；故①正确； ②如图：    由图可知：， ∴为等腰三角形， ∵经过的中点， ∴平分，故②正确； ③如图，点到的距离为，点到的距离为，    ∴， ∴点，到线段的距离相等，故③正确； 综上，正确的有①②③； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查中心对称图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．解题的关键是根据描述，正确的画图，熟练掌握相关知识点． ►题型07 勾股定理与无理数 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数1的点为圆心，所作正方形的对角线长为半径画半圆，交数轴于点、，则点所表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴的有关问题、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出单位正方形的对角线的长． 先求出单位正方形的对角线的长，此即为半径长，再加1即可得到答案． 【详解】数轴上正方形对角线长为， 由图可知1和B之间距离为， 点B表示的数为． 故选：D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理可得，即得，据此即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点表示原点，点表示的数为 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 3．（2024·贵州贵阳·一模）如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是求出，即可得的值． 【详解】解：由图可得，， 表示的数比表示的数小， ， ， ， ， 的值最接近的整数是， 故答案为：． ►题型08 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，分别以它的三边为边向外作正方形，，，分别过点，作，，垂足分别为，．要知道阴影部分的面积，只需知道下列某个图形的面积，这个图形是（    ） A． B．正方形 C．正方形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．过点A作，过点B作，设，则，再证明，可得，同理，可得，再由阴影部分的面积梯形的面积梯形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作，过点B作， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积梯形的面积梯形的面积 ， ∵的面积， ∴阴影部分的面积 的面积， 即要知道阴影部分的面积，只需知道下列某个图形的面积，这个图形是． 故选：A 2．（2024·广东中山·模拟预测）在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明是解题的关键． 证，得，同理，． 【详解】解：如图所示， 在和中， ， ， ，， ， 同理可证， ． 故答案为：10． 3．（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 由图形可得，阴影部分的面积为两小半圆与直角三角形的面积和减去大半圆的面积，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 则阴影部分的面积 ， 故答案为：12． ►题型09 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 1.（2022·广东佛山·校考一模）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：； (3)求证： ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）在中，由勾股定理得：，根据等面积法即可求解； （2）根据题意得出，进而根据，，得出 （3）延长至点，使，连结，证明，，得出，根据，即可得出 ． 【详解】（1）在中，，，， 由勾股定理得： ， ，， ， 即 ， 解得： ； （2）证明：点是的中点， ， ， ， ，， ； （3）证明：延长至点，使，连结， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键． 2.（2021·广东广州·统考一模）如图，ΔABC中，∠BAC120°，AB=AC，点A关于直线BC的对称点为点D，连接BD，CD． （1）求证：四边形ABDC是菱形； （2）延长CA到E，使得AB=BE．求证：BC2-AC·CE=AC2； （3）在（2）小题条件下，可知E，B，D，C四点在同一个圆上，设其半径为a(定值），若BC=kAB，问k取何值时，BE·CE的值最大？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）时，取得最大值． 【分析】（1）根据对称的性质得到相应线段相等即可证明； （2）作于，在中，表示出，在中表示出，两者作差，再根据线段的等量代换、平方差公式化简即可得； （3）作直径连接，设，，将用（2）所得结论表示出来，再将在中用勾股定理表示出来，建立等式得到与的关系式，将转成二次函数型最值问题，根据的取值范围，确定参数的范围，再根据二次函数的性质取最大值． 【详解】解：（1）作图如图，是的对称点， ，， 又， ， 是菱形； （2）作于， ， ， 在中，， 在中，， ， 又， ， ， ； （3）作直径连接， 则，， 设， 则，， 设， 则， ， 在中，， 中，， ， ， 在中，， 由（2）， ， ，对称轴为，开口向下， ， ， ， ， ，即， 又， ， 又， ， ， 解得， 故的最终取值范围：， 时，，取得最大值． 【点睛】本题考查了菱形性质与判定，勾股定理的应用，圆周角定理，解直角三角形，三角函数的应用；熟练地进行线段的等量代换，会利用参数构建等式是解决本题的关键． ►题型10 利用勾股定理证明线段的平方关系 1.（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．    (1)判断与间的数量关系，并说明理由； (2)直接写出线段、、间满足的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件得出，即，即可得出； （2）证明，得出，，进而根据四边形内角和为，求得，进而勾股定理即可得证． 【详解】（1）理由如下， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， 如图所示，连接，    由（1）可得 ∵ ∴ ∴，， ∵ ∴ ∵ 在四边形中， ∴是直角三角形， ∴ 又是等腰直角三角形， ∴，即, 又∵， ∴ 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2.（2023·北京平谷·统考一模）在中，，为边中点，连接，与相交于点，过作，交于点，连接． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)判断的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据垂直定义，得出，，根据等角的余角相等得出结论； （3）延长到使，连接，,根据边角边定理证出， 从而证出，，根据勾股定理得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，进而得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示： （2） ， ， ， ， ， ； （3）结论：； 延长到使，连接，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 垂直平分, ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和线段垂直平分线的性质等知识，构造恰当的三角形全等，利用勾股定理解决问题是解本题的关键． 3.（2023·陕西咸阳·统考一模）在中，，是的中点，作．分别交，于点，，连接 (1)【尝试探究】如图1，若，求证； (2)【深入研究】如图2，试探索（1）中的结论在一般情况下是否仍然成立； (3)【解决问题】如图3，若，，点，，，在同一个圆上，求面积的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）证明，得到，推出，由勾股定理，得到，即可得证； （2）延长至，使，连接，易得四边形是平行四边形，得到，进而得到，，推出垂直平分，得到，即可得证； （3）根据，推出，利用（2）的结论，设，求出之间的关系式，利用面积公式将三角形的面积转化为二次函数求最值即可得解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），仍然成立． 证明：延长至，使，连接， ∵点O是的中点， ∴， ∴互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴； （3）解：∵，点，，，在同一个圆上， ∴是圆的直径， ∴， 由②知，， 又， ∴， 设， 则：， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴当时，的面积的最大值是． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，二次函数求最值．本题的综合性强，属于中考常考压轴题．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． ►题型11 勾股定理的证明方法 1．（2024·山西太原·模拟预测）赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（    ） A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．函数思想 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：题中根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 2．（2024·辽宁大连·三模）在学习了《勾股定理》一课后，小明同学对于它的证明方式非常好奇，并动手操作，完成了其中一些证明并给出了示意图．请你根据示意图帮助小明同学判断，一定不能完成定理证明的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题关键是掌握通过不同的方法计算证明勾股定理的方法．用不同方法，逐一进行证明，即可获得答案． 【详解】解：A.设计的图形中，如下图，    ∵， ∴， ∴， ∴可完成定理证明，故本选项不符合题意； B.设计的图形中，如下图，    ∵， ∴， ∴， ∴可完成定理证明，故本选项不符合题意； C.设计的图形中，不能完成勾股定理的证明，符合题意； D.设计的图形中，如下图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴可完成定理证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（2024·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考：请阅读下列材料，完成相应任务． 从勾股定理的“无字证明”谈起 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用一些几何图形验证勾股定理．如图1是古印度的一种证明方法：过正方形的中心O，作两条互相垂直的直线，将正方形分成4份，所分成的四部分和一小正方形恰好能拼成一个大正方形．这种方法，不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．    意大利著名画家达·芬奇用如图2所示的方法证明了勾股定理，其中图甲的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图丙的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图甲中空白部分的面积为，图丙中空白部分的面积为． 任务： (1)下面是小亮利用图2验证勾股定理的过程，请你帮他补充完整． 解：根据题意，得________ ． ∵， ∴________，即________． (2)我国是最早了解勾股定理的国家之一．东汉末年数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造了勾股定理的无字证明“青朱出入图”．如图3，若，，则的长度为________． (3)在初中的数学学习中，我们已经接触了很多代数恒等式．一些代数恒等式也可以通过“无字证明”来解释．可以借助图4直观地解释的代数恒等式为________．借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而帮助我们解决问题，在此过程中体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．公理化思想    C．数形结合思想    D．从特殊到一般的思想 (4)借助图5可以直观解释的式子为________．（填序号） ①；        ②； ③；        ④． (5)实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【答案】(1)；； (2) (3)；C (4)② (5)，图形见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要考查勾股定理的几何证明、完全平方式在几何中的应用，涉及了正方形的性质、相似三角形的性质和判定以及勾股定理的应用等知识点，熟练掌握面积的不同表示方法得到相应的等式是解题的关键． （1）根据图甲的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，即可求出，再进行化简即可求解； （2）根据正方形的性质以及勾股定理求出，再根据相似三角形的判定和性质即可求出； （3）根据“大正方形的面积9个小正方形面积之和”即可求解，主要体现的是数形结合的思想； （4）根据“大正方形的面积稍大正方形面积稍小正方形面积2个长方形面积”即可求解； （5）借助数形结合的思想，设计一个边长为的正方形即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ． ∵， ∴，即． 故答案为：；；． （2）∵，， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）由图可知，，体现了数形结合的思想， 故答案为：； 故选：C． （4）由图可知，， 故选：②． （5），图形如图所示：    ►题型12 以弦图为背景的计算题 1．（2023·内蒙古·中考真题）如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，再接着利用勾股定理得到关于的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可. 【详解】∵小正方形的面积为，大正方形的面积为25， ∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为5， 设直角三角形短的直角边为，则较长的直角边为，其中， ∴，其中， 解得：，， ∴， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 2．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是 ． 【答案】 【分析】作交于点，不妨设，设，通过四边形是正方形，推出，得到，然后证明，利用相似三角形对应边成比例，得到，从而表示出，的长度，最后利用和表示出正方形和的面积，从而得到． 【详解】解：作交于点，不妨设，设 四边形是正方形 在和中，， 由题意可知， 正方形的面积， 正方形的面积 ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 3．（2023·湖北鄂州·中考真题）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（）拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与、、分别相交于点P、O、Q，若，则的值是 ．    【答案】 【分析】设，，则，证明，利用相似三角形的性质求出，可得，，利用勾股定理求出和，进而可得的长，再证明，可得，然后根据正方形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， 即， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程以及二次根式的混合运算等知识，证明，求出的长是解题的关键． ►题型13 利用勾股定理构造图形解决问题 1．（2024·辽宁抚顺·一模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“秋千静止的时候，踏板高地1尺，将它往前推送两步(两步＝10尺)时，此时踏板升高到离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长?”如图，若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程． 【详解】解：设秋千的绳索长为 尺，根据题意可列方程为：即． 故选：C 2．（2024·江西吉安·一模）我国古代数学名著《九章算术》卷九记载了一个有关“勾股”的问题：今有户不知高广，杆不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户高几何．其大意是：今有门，不知其高宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺，斜放，竿与门对角线恰好相等，问门高是多少？若设门高为x尺，则可列关于x的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 3．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)秋千绳索的长度为尺 (2)能， 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图，过点作，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解； （2）由题可知，，．在中，得出，同理，．再根据，列等式即可求出． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点B． 设秋千绳索的长度为x尺． 由题可知，，，， ∴． 在中，由勾股定理得： ∴． 解得． 答：秋千绳索的长度为尺． （2）能． 由题可知，，． 在中，， 同理，． ∵， ∴． ∴． ►题型14 利用勾股定理解决实际问题 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的底面圆周长为 ，母线长为30，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（    ） v   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为，根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为，进而即可求解． 【详解】解：∵这个圆锥的底面圆周长为 ， ∴ 解得： ∵ 解得： ∴侧面展开图的圆心角为 如图所示，即为所求，过点作， ∵，，则 ∵，则 ∴，，    故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角为解题的关键． 3．（2025·广西柳州·一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 4．（2023·四川德阳·中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．    【答案】 【分析】：如图，连接，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱，，点M为的中点，当在右侧处时，可得，当在下方时，由等边三角形的性质可得：，此时，如图，当按下图方式展开时，延长，过作于，作于，作于，则，四边形为矩形，可得，，，，此时重合，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱，，点M为的中点，    当在右侧处时， ∴，， ∴， 当在下方时，由等边三角形的性质可得：， 此时， 如图，当按下图方式展开时，延长，过作于，作于，作于，则，四边形为矩形， ∴，，    则， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴此时重合， ∴，， ∴， ∵， ∴小虫爬行的最短路程等于． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，最短路径的理解，清晰的分类讨论是解本题的关键． 5．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 6.（2023·陕西西安·统考三模）如图，一艘海警船在A处发现北偏东方向相距12海里的B处有一艘可疑货船，该艘货船以每小时10海里的速度向正东航行，海警船立即以每小时14海里的速度追赶，到C处相遇，求海警船用多长时间追上了货船？ 【答案】2小时 【分析】如图，设t小时追上了货船，则，，在中，根据勾股定理可得，解方程即可解决问题． 【详解】 解：如图，设t小时追上了货船，则，， 由题意，，， ，，， 在中，， 解得或舍弃， 答：货轮从出发到客轮相逢所用的时间2小时． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角、等腰三角形的判定、路程、时间、速度之间的关系等知识，解题的关键是掌握方向角的定义，属于中考常考题型． ►题型15 勾股定理与规律探究问题 1.（2023·广东东莞·校联考二模）如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查规律型：图形变化类，由特殊情况总结出一般规律，先用勾股定理求出第二个正方形的边长，进而找到与之间的关系，依次类推，得出规律，进而得出答案． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ， ∴， ∴， 故选：A． 2.（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为……依此规律，则第2023年等腰三角形中，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，可得点，，在第二象限，，，，推出，可得结论． 【详解】解：在平面直角坐标系中，，，绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形． 第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为， ∴； 第二次变化后得列等腰三角形，点的对应点为，； ∴； 第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为； ∴； …… 由图可知： 绕点每次顺时针旋转，并且腰长增加1， ∴旋转三次完成一周，故点，，，……在第三象限， ，，，…… ，， ∴， ∴点到轴距离为，到轴距离为 ，， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 3.（2023·山东聊城·统考一模）如图，已知，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，…按此规律进行下去，则的直角边的长为 ． 【答案】 【分析】通过锐角三角函数和勾股定理，依次求得每个三角形的两条直角边，再从其中找出规律，即可得出结论． 【详解】解：由题意得： 在中，，； 在中，，； 在中，，； 在中，，； …… 在中，，， 当时，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、找规律—数字的变化类，读懂题意，找到直角边长度的变化规律是解题的关键． 命题点三 勾股定理逆定理 ►题型01 图形上与己知两地构成直角三角形的点 1．（2023·辽宁沈阳·一模）在平面直角坐标系中，已知点，，若点C在一次函数的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的C点的个数有 个． 【答案】4 【分析】根据已知可求得直线与两轴的交点，①分别过点A、点B作垂线，可得出符合题意的点C，②利用圆周角定理，可得出符合条件的两个点C． 【详解】由题意知，直线与x轴的交点为，与y轴的交点为，如图： 过点A作垂线与直线的交点， 过点B作垂线与直线的交点， 过、中点E(−2，0)，作垂线与直线的交点为， 则， 所以以4为半径，以点为圆心的圆与直线必有两个交点， ∴共有四个点能与点A，点B组成直角三角形． 故答案为：4． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、圆周角定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征、圆周角定理和勾股定理的逆定理． 2．（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的网格问题、勾股定理逆定理等知识点，应用勾股定理逆定理得到是直角三角形成为解题的关键． 先应用勾股定理逆定理得到是直角三角形，然后分别求得、，最后比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． ►题型02 在网格中判定直角三角形 1．（2024·河南南阳·三模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，点M为上一点，以点C为圆心，的长为半径作圆与边相切于点N，已知为该圆的一部分，则图中由线段及所围成的阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】由题意知，，，，则，，可得是等腰直角三角形，，如图，连接，则，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， 如图，连接， ∵是切点， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，切线的性质，扇形面积等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，切线的性质，扇形面积是解题的关键． 2．（2023·浙江温州·二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点，，请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的整点三角形． (1)在图1中画一个． (2)在图2中画一个，使点Q的横纵坐标相等，且的面积等于3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分类讨论分别为直角边和斜边时，共3种情况； （2）根据点Q的横纵坐标相等，可得点Q在第一象限的角平分线上，选择合适的点即可； 【详解】（1）解：如图，当分别为直角边和斜边时， （2）解：如图： 点Q的横纵坐标相等， 点Q在直线上， 根据割补法依次计算可得：点Q的位置如上图． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，割补法求面积，根据面积确定点坐标等知识点，直角坐标系性质的熟练运用是解题关键． 3．（2023·广东·中考真题）综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明：    (1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系； (2)证明（1）中你发现的结论． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）和均是等腰直角三角形，； （2）证明是等腰直角三角形即可. 【详解】（1）解： （2）证明：连接，    设小正方形边长为1，则，， ， 为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， 故 【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键． 4．（2023·吉林长春·模拟预测）在的正方形网格中，点均在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图①中，过点作． (2)在图②中，以的一边为直角边，构造一个与面积相等的格点直角三角形． (3)在图③中，作，使的面积等于面积的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点、，连接即可； （2）取格点，连接，，则即为所求； （3）取格点F、M、N，连接交于点J，连接交于点K，连接并延长，交于点E，交于点D，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的直线； 连接，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． （2）解：如图，即为所求作的三角形； ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，即为所求作的平行四边形； 根据格点特点可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形， 设边上的高为，边上的高为，边上的高为， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了格点作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与网格问题，勾股定理的逆定理，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理和逆定理． ►题型03 利用勾股定理逆定理求解 1．（2023·湖北·中考真题）如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据网格的特点作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据，进行计算即可解答． 【详解】解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，    由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，，，．若在中点M处建一个网络基站，该基站的覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（    ） A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y 【答案】A 【分析】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到点的距离．根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得的长，然后与比较大小，即可解答本题． 【详解】解：，，． ， 是直角三角形， ， 点是斜边的中点， ， 是直角三角形，是斜边的中线， ， ， 点、、都在圆内， 这三栋楼都在该基站覆盖范围内． 故选：A 3．（2024·河北唐山·三模）对于题目：如图1，在钝角中，，，边上的中线，求的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法． 则下列说法正确的是（   ） A．只有方法一可行 B．只有方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 【答案】C 【分析】图2中，证明，则，，，证明四边形是平行四边形，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法一可行；图3中，由题意知，是的中位线，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法二可行． 【详解】解：图2中，∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴；方法一可行； 图3中，由题意知，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴；方法二可行； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线是解题的关键． ►题型04 利用勾股定理解决实际生活问题 1．（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可． 【详解】解：连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计： 方案一：图形中的圆过点A、B、C； 方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率100%．以上方案一、二的利用率分别为a、b，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，相似三角形判定及性质．根据题意将方案一中，连接，，，利用勾股定理逆定理得出，继而得到为该圆的直径，即可求出，后方案二中证明，利用性质求出，即可得到答案． 【详解】解：方案一中，连接，，， ， ∵棱长为1cm的正方体纸盒， ∴，， ∴，即， ∴为该圆的直径， ∴该圆的半径为：， ∴， 方案二中先将图进行命名： ， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，故选：D． 3．（2024·广东清远·二模）综合与实践 主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺． 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用， （1）由勾股定理逆定理求出，则可得出结论； （2）在边上量一小段，在边上量一小段，这时只要量一下是否等于即可． 【详解】（1）解：垂直，理由为： 在中，因为，，， 所以， ， 所以， 所以． （2）解：在边上量一小段， 在边上量一小段，， 这时只要量一下是否等于即可． 4．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图1，图2分别是某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑竿、箱长、拉杆的长度都相等，即，点B、F在线段上，点C在上，支杆． (1)若时，B，D相距，试判定与的位置关系，并说明理由； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用： （1）连接，根据题意可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答； （2）过点F作，垂足为H，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （2）解：过点F作，垂足为H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 基础巩固 1．如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；如图，证明；求出，得到，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，将两个矩形叠合放置，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余，因为两个矩形叠合放置，所以，因为，则，即可作答． 【详解】解：如图： ∵两个矩形叠合放置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，是的角平分线．如果点D到的距离为1，那么的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，含角的直角三角形的性质等知识，过D作于E，由题意可知，，根据角平分线的定义得，则，得出，再利用含角的直角三角形的性质可得的长，从而解决问题． 【详解】解：过D作于E，由题意可知，， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 4．如图，的内接正六边形的边长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．连接、、，设与交于点，根据正六边形的性质可得，推出、是等边三角形，，，得到，，得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接、、，设与交于点， 多边形是正六边形， ， ， 、是等边三角形，，， ，， ， ， ， 故选：A． 5．如图，在的三边摆放火柴，使火柴之间间隔相同且垂直于各边，则边应摆放火柴的根数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设相邻两根火柴之间间隔的距离为，得到，，由题得，得到，即可得到答案． 【详解】解：设相邻两根火柴之间间隔的距离为， ，， ， ， 边应摆放火柴的根数为， 故选： B． 6．如图，在正方形中，点为正方形内一点，延长交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，作，而，可得，设，求解，，可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，作，而， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 7．如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边上点F处，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、折叠性质、勾股定理，熟练掌握折叠性质和勾股定理求解是解答的关键． 设，由折叠性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， 在中， ， ∴， 设 在中，， ∴，解得， 故选：A． 8．如图，已知正方形的边长为，点是正方形的边上的一点，点关于的对称点为，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理；延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，由折叠的性质得到，通过，于是得到．由等腰三角形的性质得到，由余角的性质得到，于是求得，得，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， 点关于直线的对称点为， ， 在与中， ， ， ， ， ，， ， ， 正方形的边长为， ， 设， ， 即， 解得：． 故答案为：． 9．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．1，2，5 C．4，4，4 D．6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形三边的关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A.，不能构成直角三角形，不符合题意； B.，不能构成三角形，不符合题意； C.，不能构成直角三角形，不符合题意； D. ，能构成直角三角形，符合题意； 故选D． 10．如图，在正方形中，，延长至点，使得．分别连接，为的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，易得是直角三角形，再根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴． 故选C． 11．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，掌握旋转的性质是解题的关键．由，，可得，由旋转得，即得为等边三角形，得到，再根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，的高与交于点O，若，则 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质．利用直角三角形两个锐角互余求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：和是的高， ， 在中，，， ， ； 故答案为：． 13．如图，在中，，是边上的高，， ，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，掌握所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键； 先根据直角三角形两锐角互余可得，进而得到，根据所对的直角边等于斜边的一半可得；同理可得，最后根据即可解答． 【详解】解：∵，是边上的高，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：6. 14．如图，将矩形绕点旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与点重合．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，解题的关键是根据矩形和旋转的性质得到相等线段．根据旋转的性质得出，，，结合已知得出，再根据矩形的性质得到，即可得出，再利用勾股定理即可得答案． 【详解】解：如图，连接， 由旋转可知：，，， ∵的中点恰好与点重合， ∴， ∵矩形中，，， ∴．， ∴， 故答案为：6 15．如图，点、分别是线段和的中点，、交于点，且，，，那么长是 ． 【答案】3 【分析】连接，由三角形中位线定理推出，，判定，推出，设，，由勾股定理得到，，求出，得到． 【详解】解：连接， ∵D、E分别是线段和的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， 设，，则，， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴（舍去负值）， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，二元二次方程组，关键是由勾股定理得到关于x、y的方程组． 16．如图，在中，点为线段上一点，连接，将沿折叠使点落在点处，使，连接，，若，，，则 （用表示），的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，如图，记的交点为，求解，可得，再利用可得，过作于，结合等腰三角形的判定与性质以及勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，记的交点为， ∵将沿折叠使点落在点处，使， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 过作于， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：， 17．如图，是中边上的高线，若，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据直角三角形两个锐角互余，求得，进一步计算求解． 【详解】解：因为，， 所以． 因为， 所以． 18．如图，中，，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出，结合垂直和直角三角形的两锐角互余得出，，根据等角的余角相等，得出，结合对顶角相等和等角对等边即可证明； （2）结合题意和直角三角形的两锐角互余得出，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边对等角，直角三角形的两锐角互余，直角三角形中角所对的边是斜边的一半，等角的余角相等，等角对的等边，对顶角相等等；熟练掌握等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的性质是解题的关键． 19．在等边三角形中，点D为边上的一点，连接． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2将线段绕点A顺时针旋转到，连接交于点F．求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）如图所示，过点D作于H，求出，得到，利用勾股定理得到，再证明，得到，则； （2）如图所示，在上截取，连接交于T，证明，得到，，证明，由旋转的性质可得，，进而推出，，则，，由此证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作于H， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，在上截取，连接交于T ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是关键． 20．已知的算术平方根是，的平方根是，125的立方根是，判断以，，为边长的三角形的形状，并说明理由． 【答案】直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的乘法、平方根与立方根、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．先根据算术平方根、平方根与立方根、二次根式的乘法可得的值，从而可得的值，再根据勾股定理的逆定理求解即可得． 【详解】解：以，，为边长的三角形是直角三角形．理由如下： ∵的算术平方根是，的平方根是，125的立方根是， ∴，，， 解得，，， ∴，，， ∴， ∴以，，为边长的三角形是直角三角形． 21．【阅读】 我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分別为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）已知一个中，，，．求面积． 【答案】（1）；（2）9 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、二次根式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据求出，再代入计算即可得解；或将三边代入公式计算即可得解； （2）作于，则，设，则，由勾股定理得出，求出的值，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴ ； ； （2）如图：作于，则， 设，则， 由勾股定理可得：， ， ∴， 解得：， ∴， ∴． 能力提升 1．如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点作于点，根据矩形的性质得，由得，由勾股定理得，证明得，即，证明得∴继而得到，设，则，得，解得：，再根据可得结论． 【详解】如图，过点作于点，      ∵矩形中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 在中，， ∴的长是． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等积变换等知识点．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2．某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有的全等三角形纸片（如图①）拼成一个正三角形（如图②），即．连接，，，若长是2，的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，正确得出与的面积相等是解题关键．过点作于点，过点作，交延长线于点，先求出和，根据含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，根据三角形的面积公式可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求出，由此即可得． 【详解】解：如图②，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，，，，， ∴， ∴在中，， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴在中，， ∴， ∴， 同理可得：， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可证：， ∴，， ∴， 又∵，， ∴是等边三角形， 如图②，过点作于点， 则， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，正方形的边长为4，点E从点A出发沿着线段向点D运动（点E不与点A，点D重合），同时，点F从点D出发沿着线段向点C运动（点F不与点D，点C重合），点E与点F的运动速度相同，与相交于点G，则有下列结论： ①；②；③当点F运动到的中点时，；④当时，四边形的面积为；其中正确结论的个数有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【分析】根据题意可证，可判定结论①；可证明，得到，再用替换，即可证明②；连接，证明 ，可得四点共圆，则，继而，根据余角相等，即可证明，即可判断③根据可判定结论④，由此即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 连接，    当点F运动到的中点时， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵由结论①正确可知，， ∴， ∴， 若，即， ∵在中，， ∴，则， ∴， ∴四边形的面积是，故结论④正确； ∴正确的个数为4， 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定，勾股定理的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 4．四边形中，，，，，，将沿过点的一条直线折叠，点的对称点落在四边形的对角线上，折痕交边于点（点不与点重合），那么长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分点的对称点落在对角线上和落在对角线上两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当点的对称点落在对角线上时， 由折叠可得，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图，当点的对称点落在对角线上时，设与相交于点， 由折叠可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 综上，长为或， 故答案为：或． 5．如图，在中，，，将沿翻折得到，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，点E为的中点，连接，，则 ；若，则的面积是 ． 【答案】 30 / 【分析】连接与相交于点，连接，先利用三角形的内角和定理求得，再由由折叠可得，，，可证明为等腰直角三角形，得到，；由旋转得，，可得，，，进而得到为等边三角形，得到，，进而可得，证明，得到，即可得，由得四点共圆，利用圆周角定理可得，进而利用直角三角形的性质可得，，利用线段垂直平分线的判定和等边三角形的性质可求得；利用直角三角形的性质可得，，得到，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接与相交于点，连接， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 由旋转得，，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， ∴，垂直平分， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：30；． 【点睛】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，四点共圆是解答的关键． 6．【问题提出】： 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，（），交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数 （2）再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示） 【问题拓展】： （3）如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【分析】（1）过点作的延长于H，，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，求出或，由（2）知：，，利用等腰三角形与赼有三角形的性质，以及勾股定理即可求解. 【详解】解：（1）过点作的延长于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）在上截取，使，连接． ，， ． ∵菱形， ∴， ， ． ． ， ， ． ． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．如图， ，点G为边的三等分点， ∴或， ，或，． ∵菱形， ∴ ∴ ，， 由（2）知， ， ． 或 ∴或． 由（2）知：，， ∴或， ∵，， ∴或， ∵，， ∴ ∴ 由勾股定理，得，即， ∴或． 【点睛】此题考查菱形性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟悉菱形性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质． 7．（1）如图1，在中，，，点D为线段上一点，连接， ①若，求的长； ②如图2，当，作平分，交于E，求的长； （2）如图3，在中，，，点D为射线上一点，连接，将线段绕A点顺时针旋转得，连接，当时，求的长． 【答案】（1）①；②；（2）或 【分析】此题重点考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性较强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）①由，求得，则，而，由勾股定理得，于是得到问题的答案； ②设，则，根据勾股定理求得，作于，由角平分线的性质得，证明，得，，设，则，在中，根据勾股定理得，求解可得； （2）由，得，，根据勾股定理求得，，作于，利用三角形面积求得 ，根据勾股定理求得 ，作于，证明，得，，进而可得，根据勾股定理即可求得；当点在点右侧时，根据勾股定理求出，，得到，在上取点，使，连接，可证明，得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：（1）① ， ， ， ， ， ； ②设，则， 在中， ， ， ， ， 作于， 平分， ，，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， 即的长为； （2） ， ， ， ， ， ，， 作于， ， ， ， 中， ， 作于， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 中，． 当点在点右侧时，如图4， 由题得 ， ， ， ， 设， ， ， 经检验：是方程的解， ， ， ， 在上取点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． 8．【问题情境】 数学活动课上，老师让同学们准备了一些等边三角形纸片、正方形纸片和等腰直角三角形纸片，通过折、拼的方式探索其中蕴含的数学知识． 【数学思考】 （1）希望小组选用等边三角形纸片进行折叠，并提出问题：如图1，将等边三角形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，折痕分别交，于，两点．求证：； （2）善思小组选用正方形纸片进行折叠，并提出问题：如图2，将正方形沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，折痕分别交，于，两点，设，交于点．若，求的长； 【拓展探究】 （3）智慧小组将两个不同的等腰直角三角形拼在一起，并提出问题：如图3，与都是等腰直角三角形，点在边上，，交于点．若，，请直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）； 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，推导出，结合等边三角形，可得，得到，结合，，可得． （2）结合正方形性质和折叠性质课推导出，设，表示．在中，用勾股定理可求、，用相似比，即可求． （3）由等腰直角三角形性质三角形内角和、平角定义可推导出，结合，可得，设，在中，用勾股定理求得，由相似比可求，得到．过点作于点，可证，相似比求，则可求． 【详解】（1）证明： 是等边三角形， ． 由折叠的性质，得，，． ，， ． 又 ， ． ． ，， ． （2）四边形是正方形， ，． 由折叠的性质，得，． ，， ． 又 ， ． ． 是的中点，． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． ，． ， ． ． （3） 与都是等腰直角三角形， ，，，． ，， ． 又 ， ． ． ，，． 设． 在中，由勾股定理，得，即，解得，（舍去）． ． ∴， ∴， ． 如图，过点作于点，则． 又 为公共角， ∴． ，即．． ． 【点睛】本题考查勾股定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定等的综合应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定，并能正确作图是解题关键． $$