精品解析：江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高一上学期1月期末质量监测数学试题

2024-2025学年度灌南县1月期末质量监测 数学试题 （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合A={1，2，3}，B={x|x2-2x+m=0}，若A∩B={2}，则B=（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据A∩B即可得出2∈B，从而可求出m=0，解方程x2-2x=0得x，从而得出B． 【详解】∵A∩B={2}； ∴2∈B； ∴4-4+m=0； ∴m=0； ∴B={x|x2-2x=0}={0，2}． 故选D． 【点睛】本题考查交集的定义及运算，描述法、列举法的定义，以及元素与集合的关系，属于基础题． 2. 设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据所在象限，求出的范围，即可得到的取值范围，从而判断所在的象限，再根据，即可得到，从而得解； 【详解】解：因为是第三象限角，所以，，所以，，则是第二或第四象限角，又，即，所以是第二象限角； 故选：B 3. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的周期为， 将函数的图象向右平移个周期即个单位， 所得图象对应的函数为， 故选D. 4. 已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】由得，即，记； 由得，解得 因为是的充分不必要条件，所以， 所以，解得. 故选：A 5. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别令、和，运算求解即可. 【详解】因为， 令，可得； 令，可得； 两式相加可得， 令，可得； 则，即. 故选：D. 6. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，分别求出、、的值，即可得出函数解析式. 【详解】根据题意，设， 由题意可知，为第一象限角，且， 又因为，则，， 函数的最小正周期为， 所以， 所以点的纵坐标与时间的函数关系为. 故选：C. 7. 已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数与的图象，由图可得出，分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出关于的表达式，由可得出、关于的表达式，进而可得出关于的函数关系式，结合函数单调性可求得结果. 【详解】作出函数与的图象如下图所示： 由图可得， 当时，， 由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 即关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得， 由图可得， 由得，则， 可得，，所以，， 所以，， 因为函数在上为增函数， 故当时，，因此，的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求解函数零点个数以及范围的问题，关键是画出函数图象，根据题意分析交点间的关系，并结合函数的性质，利用数形结合求解，属于难题. 8. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍． 如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B． 【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求. 9. 定义：在平面直角坐标系中，若存在常数，使得函数的图象向右平移个单位长度后，恰与函数的图象重合，则称函数是函数的“原形函数”.下列四个选项中，函数是函数的“原形函数”的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据所给定义，即函数的平移规则计算可得. 【详解】解：由，知，将向右移动一个单位可得到，故选项正确； 由知，将向右移动个单位可得到，故选项正确； 由知，将向下移动个单位可得到，故选项不正确； 由知，将向右移动个单位可得到，故选项正确； 故选：． 【点睛】本题考查函数图象的变换，同时也涉及了三角函数的恒等变换以及指对数的运算，属于中档题． 10. 设函数，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为； ②它的图象关于直线成轴对称图形； ③它的图象关于点成中心对称图形； ④在区间上是增函数. 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，命题正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③①④ C. ①③②④ D. ①④②③ 【答案】AC 【解析】 【分析】根据每个选项中的条件求出函数的解析式，再结合正弦性函数的基本性质判断结论即可. 【详解】对于A选项，①②③④， 由①可得，， 由②可得，解得， 因为，则，则， 对于③，，③对， 对于④，当时，， 所以，函数在区间上是增函数，④对，故A中命题成立； 对于B选项，②③①④，由②③无法确定函数的最小正周期，从而①④无法判断， 故B中的命题不成立； 对于C选项，①③②④， 由①可得，， 由③可得，可得， 因为，则，则， 对于②，因为， 所以，函数的图象关于直线成轴对称图形，②对， 对于④，当时，， 所以，函数在区间上是增函数，④对，故C中的命题为真命题； 对于D选项，①④②③， 由①可得，， 由④，当时，， 因为，则， 因为函数在区间上是增函数， 则，解得，无法确定的值，此时，命题②③无法判断，故D中的命题为假命题. 故选：AC. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间为 B. ，，且， C. 规定，，其中，则 D. 若，则方程有两个不等实数根 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数性质确定的单调性与奇偶性，根据复合函数的单调性即可判断A；不妨设，作差，变形判断符号即可得判断B；根据复合函数的性质得，，从而可判断C；确定函数的取值范围和图象性质即可得的取值范围，从而判断D. 【详解】易得的定义域为，所以，所以为奇函数． 当时，是增函数， 因为，所以．故在上单调递增，且． 因为函数的单调递增区间为， 所以根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为，A正确． 当时，，,，且，不妨取， 所以， 因为，,，且，所以， 故，所以，B正确． 当时，，所以，， ，，…， ，代入可得，C正确． 因为，则曲线如图所示： 当方程有两个不等实数根时，可得，D错误． 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上. 12. 函数的定义域___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据真数大于零以及偶次根式被开方数非负列不等式，解得定义域. 【详解】由题意得 故答案为： 【点睛】本题考查函数定义域与解三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题. 13. 若已知，函数在上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦函数的单调性得出不等关系． 【详解】函数的单调递增区间为，， 则，， 解得，，又由，且，，得，所以． 故答案为：． 14. 函数，若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到，再由基本不等式计算可得. 【详解】函数的定义域为， 又， 则，因为， 所以， 所以，当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 四､解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是关于的方程的两个根. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理，结合同角三角函数的基本关系求出，然后利用诱导公式和立方和公式求解可得； （2）根据诱导公式和商数关系化简，结合（1）中结论可得. 【小问1详解】 由已知原方程判别式，即，所以或. 因为，所以. 所以或（舍去）.所以. . 【小问2详解】 . 16. 一研究小组在对某学校的学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图像的一部分，当时，曲线是函数，且图像的一部分.根据研究，当注意力指数不小于80时听课效果最佳. （1）求的函数关系式； （2）有一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完？请说明理由. 【答案】（1） （2）能，理由见详解 【解析】 【分析】(1)根据所给的函数图像先求出当t∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点，代入函数求出t∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可. (2)对分段函数，分别解不等式，求出的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断. 【小问1详解】 当时，设， 将点(14,81)代入得， ∴当时，； 当时，将点代入，得. 所以 【小问2详解】 当时， ， 解得:， 所以； 当时，， 解得，所以， 综上时学生听课效果最佳. 此时. 所以，教师能够合理安排时间讲完题目. 故老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完. 17. 已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若对任意，，，总有恒成立，求取值范围． 【答案】（1）奇函数 （2）在上单调递增，证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）令，结合得，利用奇函数定义即可证明； （2）先利用条件证时，，然后利用函数单调性的定义以及已知条件，判断函数单调性即可； （3）先判断在R上的单调递增，求出函数的最值，然后将问题转化为恒成立，即对恒成立，列不等式组求解即可. 【小问1详解】 函数为R上的奇函数.证明如下： 易知函数的定义域为，令，则， 又，所以，所以函数为奇函数. 【小问2详解】 在上的单调递增，证明如下： 由（1）知，， 当时，，所以， 从而， ，则， 因为，所以，又当时，， 所以，所以，所以， 故在上的单调递增. 【小问3详解】 由（1）知，函数为R上的奇函数，所以， 由（2）知，当时，，且在上的单调递增， 所以在上的单调递增， 所以当时，函数的最大值为，最小值为， 又任意，总有恒成立， 所以，即， 由题意，对恒成立，令，则， 所以，解得或， 故实数的取值范围是. 18. 已知函数与的图象关于直线对称． （1）若是奇函数，求实数的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知实数，满足，．求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象的对称可知，再由奇函数的定义列方程解方程； （2）代入函数解析式，分离常数构造新函数，利用换元法结合对勾函数的单调性可得最值，进而确定参数范围； （3）根据指数与对数的运算化简可得，构造函数，利用定义法可确定函数单调递增，则可得，即，进而可得解. 【小问1详解】 由已知函数与的图象关于直线对称， 则， 则， 又函数是奇函数， 所以， 整理可得， 又不恒为，所以， 此时或， 均满足奇函数， 所以； 【小问2详解】 由，即， 由（1）得， 则可转化为， 即不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则，所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 即在上的最大值为， 即， 所以，即； 【小问3详解】 由实数，满足，， 所以，，则， 所以，，即，，， 令，，则 设，则，，， 所以，即， 所以在上单调递增． 因为方程等价于， 所以，即， 所以． 19. 若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． （1）试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你的理由． （2）已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据定义，求出是否为幂函数即可得； （2）①结合“积幂函数”，计算即可得，再令，可得，再构造函数，结合零点的存在性定义及其单调性即可得证；②由题意计算可得，结合复合函数单调性，可得在上的单调性，再结合零点与方程的根的关系即可得解. 【小问1详解】 对任意的，， 所以，、恒成立， 所以，函数、的定义域均为， ， 故函数与互为“和幂函数”； 【小问2详解】 ①， 由函数与互为“积幂函数”， 则，即，故， 则与， 则， 令，即，令， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 故在定义域内单调递增， 又，， 故在上存在唯一零点， 即函数存在负零点，且负零点唯一； ②，则， 又，则当时，， 由在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，则当时， 在上单调递增，在上单调递减， 由，则，又，， 若函数在上有两个零点， 则在上有两个不同根，故. 【点睛】关键点点睛：②中关键点在于利用对数运算，得到，即可由单调性，得到单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度灌南县1月期末质量监测 数学试题 （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设集合A={1，2，3}，B={x|x2-2x+m=0}，若A∩B={2}，则B=（　　） A. B. C. D. 2. 设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A B. C. D. 4. 已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求. 9. 定义：在平面直角坐标系中，若存在常数，使得函数的图象向右平移个单位长度后，恰与函数的图象重合，则称函数是函数的“原形函数”.下列四个选项中，函数是函数的“原形函数”的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 设函数，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为； ②它的图象关于直线成轴对称图形； ③它的图象关于点成中心对称图形； ④在区间上是增函数. 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，命题正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③①④ C. ①③②④ D. ①④②③ 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的单调递增区间为 B. ，，且， C. 规定，，其中，则 D. 若，则方程有两个不等实数根 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上. 12. 函数定义域___________. 13. 若已知，函数在上单调递增，则的取值范围是______． 14. 函数，若，则的最小值为______. 四､解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是关于的方程的两个根. （1）求的值； （2）求的值. 16. 一研究小组在对某学校的学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图像的一部分，当时，曲线是函数，且图像的一部分.根据研究，当注意力指数不小于80时听课效果最佳. （1）求的函数关系式； （2）有一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完？请说明理由. 17. 已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，． （1）判断的奇偶性； （2）判断在上的单调性，并证明； （3）若对任意，，，总有恒成立，求取值范围． 18. 已知函数与的图象关于直线对称． （1）若是奇函数，求实数的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知实数，满足，．求的值． 19. 若函数为幂函数，则称与互为“和幂函数”；若函数为幂函数，则称与互为“积幂函数”． （1）试问函数与是否互为“和幂函数”？请说明你理由． （2）已知函数与互为“积幂函数”． ①证明：函数存在负零点，且负零点唯一． ②已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，若函数在上有两个零点，求的取值范围（结果用含字母的区间表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$