精品解析：湖北省荆州市八县2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题

2024-2025学年湖北省荆州市“荆州八县”高一上期末数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到，从而根据交集概念求出答案. 【详解】由，解得，故， ∴． 故选：B 2. 已知某扇形的弧长和面积都为1，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用弧长公式和扇形面积公式即可得解. 【详解】设扇形的半径为r，圆心角为， 根据扇形面积公式，得， ， 又扇形弧长公式， 故选：B. 3. 已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围. 【详解】由题意得，二次函数对称轴为直线，幂函数在为增函数， ∵函数区间上单调递减， ∴，解得， ∴a的取值范围是. 故选：D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简等式，即可求解. 【详解】 ， ，解得：或，  ，则 ，   故选：A. 5. 下列区间内存在方程的根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的零点个数与方程的实根个数的关系，利用零点存在定理结合图形判断即得. 【详解】令，显然函数在R上连续，因， 故 在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根． 如图，作出函数和的图象，由图可知和在有两个交点， 因，，即， 所以在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根， 由选项可知只有C项符合题意. 故选：C 6. 某人拥有一辆价值20万元的轿车，已知轿车以每年8%的幅度贬值，则这个人至多几年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万元的价格成交（参考数据：，）（ ） A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得轿车价格与年份之间的函数关系式为，再根据指数函数的单调性即可得解. 【详解】由题意知，轿车价格与年份之间的函数关系式为， ∴，故， ∴， 故这个人至多3年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万的价格成交． 故选：A. 7. 已知函数与（）交于和两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意不妨设，从而利用对数函数性质可得，再利用函数的单调性求解. 【详解】由题意知：，不妨设，则，， 且，所以， 所以的取值范围是．故C正确. 故选：C. 8. 设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【详解】当时，，；因，即x每增大4，对应的纵坐标都变原来的2倍. 当时，，故，则， ； 当时，，故，则， ； 当时，，故，则，. 如图，依题意令，解得或，由图知当时，恒成立，即须使，故得： ． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题. 对于递推倍减函数的恒成立问题，解题关键在于根据恒成立条件，分别求得在对应区间上的函数解析式，结合函数图象的理解，求得参变量的范围. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知韦恩图分析出了阴影部分所表示的集合的元素满足的条件，进而根据集合运算的定义可得答案. 【详解】根据图中阴影可知，符合题意， 又，∴也符合题意． 故选：AC 10. 设表示不超过的最大整数，如，已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 当时，函数的值域是 C 若方程只有一个实数根，则 D. 若方程有两个不相等的实数根，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由已知，结合新定义作出函数图像，数形结合进行求解. 【详解】作出函数图像如图 函数的图象不关于y轴对称，故A错误； 当时，函数， 故，即函数的值域是，故B正确； 由图可知，与的图象必有一个交点，若方程只有一个实数根，则，故C正确； 若方程有两个不相等的实数根，即与的图象有两个交点，结合图象可得，故D错误. 故选：BC. 11. 设，，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用，逐项求解即得. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确． 故选：ACD 【点睛】方法点睛：运用基本不等式求最值，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为第二象限角，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合角所在象限，借助同角三角函数基本关系计算即可得. 【详解】由为第二象限角，则， 故. 故答案为：. 13. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，函数单调递减，列不等式方程组，求解即可. 【详解】由题意可知，函数在上为减函数，则， 函数在上为减函数，且有， 则有，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数（）有三个不同的零点，，，其中，则____________． 【答案】64 【解析】 【分析】利用换元法可得到，再根据得到两根，利用数形结合从而可求解. 【详解】令，则，由可化为，∵，∴， 即必有两个不同的根，，且， 故，异号，设为负，为正，结合题意，可画出大致示意图如下： 由图可知，即有唯一解， 即有两个解，，且，故 ， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是采用换元法，设，转化为二次方程根的问题，再结合对数函数和一次函数图象与性质，最后利用韦达定理代入计算即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 对下列两个式子进行化简求值. （1）； （2）已知为角终边上一点，求的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算法则和指数函数运算法则，化简即可求解； （2）根据题意得，利用同角三角函数的基本关系，弦化切，即可求解. 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 因为为角终边上一点， 则由三角函数概念可得， 所以 16. 已知集合，，若是的真子集，求实数m的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】将集合A和集合B进行化简，分和进行讨论，列出不等式解出结果即可. 【详解】∵集合，∴， 又为的真子集，当时，， 解得或． 当时，（等号不同时成立），解得． 综上所述，实数m的取值范围是． 17. 荆州鱼糕是湖北特色美食的代表之一，被誉为“荆州一绝”，深受广大消费者喜爱.某厂家欲生产荆州鱼糕，经过市场调研发现，生产荆州鱼糕需投入年固定成本3万元，每生产x吨另需投入流动成本万元，且，若荆州鱼糕的售价为40元/千克，且该厂家2025年生产的吨荆州鱼糕均能售完. （1）求该厂家2025年的利润（单位：万元）的函数解析式； （2）求该厂家2025年的产量为多少吨时，该厂家所获年利润最大?最大年利润是多少? 【答案】（1） （2）当2025年的产量为15吨时，该厂家所获年利润最大，最大年利润是55万元 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，求解分段函数的表达式即可； （2）利用二次函数和基本不等式求分段函数在各段的最大值，比较大小，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，鱼糕售价为40元/千克，则1吨荆州鱼糕售价为万元， 当时， ， 当时， ， 故2025年的利润的函数解析式为 . 【小问2详解】 当时，， 当时，取得最大值； 当时， ， 当且仅当，即时取等号， 即当时，取得最大值， 因为 ， 所以当2025年的产量为15吨时，该厂家所获年利润最大，最大年利润是55万元. 18. 已知定义域为的函数对于，，都满足，且当时，． （1）求，并用定义法判断在区间上的单调性； （2）是否存在实数k，使得关于x不等式，恒成立？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），在区间上单调递增 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值；利用函数的单调性的定义，令，，且，则，可知，利用所给条件进行证明即可； （2）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，借助二次不等式恒成立问题，讨论计算即可求解. 【小问1详解】 令，则，即， 令，，且，则， ， 又当时，，∴，∴， 故在区间上单调递增． 【小问2详解】 不存在，理由如下： ∵在区间上单调递增，且关于x的不等式恒成立， ∴， 即在区间上恒成立． 当时，二次函数的图象的对称轴， ∴当时，， 又，即，解得：， ∴，故当时，无满足题意的实数k． 当时， ∵二次函数的图象的对称轴， ∴只需，解得，无解. 故当时，无满足题意的实数k． 综上所述，不存在实数k，使得关于x的不等式恒成立． 19. 定义一种新运算“”， （1）计算； （2）判断与的大小关系，并给出证明； （3）已知关于x的不等式恰有4个整数解，求m的取值范围. 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题设对“”的定义，求解即可； （2）分别求解与，即可判断两者大小； （3）化简得，即，根据题意，列关于m的不等式方程，求解即可. 【小问1详解】 由题意可得 【小问2详解】 证明：由题意可得， ， ； 【小问3详解】 ， ，化简得， ，即， 要想满足题意只有四个整数解，则必有，则或，① 令，， 的一个零点必在内，不等式恰有4个整数解， 个整数解是0，，故， 另一个零点在区间内，，即 由①②解得或， 的取值范围是或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年湖北省荆州市“荆州八县”高一上期末数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知某扇形的弧长和面积都为1，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列区间内存在方程的根的是（ ） A. B. C. D. 6. 某人拥有一辆价值20万元的轿车，已知轿车以每年8%的幅度贬值，则这个人至多几年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万元的价格成交（参考数据：，）（ ） A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 7. 已知函数与（）交于和两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 10. 设表示不超过的最大整数，如，已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 函数偶函数 B. 当时，函数的值域是 C. 若方程只有一个实数根，则 D. 若方程有两个不相等的实数根，则 11. 设，，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为第二象限角，且，则______. 13. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______. 14. 已知函数（）有三个不同的零点，，，其中，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 对下列两个式子进行化简求值. （1）； （2）已知为角终边上一点，求的值. 16. 已知集合，，若是的真子集，求实数m的取值范围． 17. 荆州鱼糕是湖北特色美食的代表之一，被誉为“荆州一绝”，深受广大消费者喜爱.某厂家欲生产荆州鱼糕，经过市场调研发现，生产荆州鱼糕需投入年固定成本3万元，每生产x吨另需投入流动成本万元，且，若荆州鱼糕的售价为40元/千克，且该厂家2025年生产的吨荆州鱼糕均能售完. （1）求该厂家2025年的利润（单位：万元）的函数解析式； （2）求该厂家2025年的产量为多少吨时，该厂家所获年利润最大?最大年利润是多少? 18. 已知定义域为函数对于，，都满足，且当时，． （1）求，并用定义法判断在区间上单调性； （2）是否存在实数k，使得关于x的不等式，恒成立？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由． 19. 定义一种新运算“”， （1）计算； （2）判断与的大小关系，并给出证明； （3）已知关于x的不等式恰有4个整数解，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$