精品解析：江西省景德镇一中2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

景德镇一中2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 命题人：邱金龙 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40.0分.各小题均只有唯一正确的答案） 1. 某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是（ ） 0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 A. 36 B. 16 C. 11 D. 14 2. 在某次测量中得到的A样本数据如下17，25，11，27，18，19，31，27，41，16，若，B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 3. 若,则函数的图象一定经过（ ） A 第一、二象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 4. （ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为，则系统的可靠性是（ ） A. 0.504 B. 0.994 C. 0.496 D. 0.06 7. 已知某药店只有，，三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（ ） A 0.7 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.26 8. 已知函数为奇函数，则下列叙述错误的是（ ） A. B. 函数在定义域上是单调增函数 C. D. 函数所有零点之和大于零 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为获得该校学生的身高（单位：cm）信息，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为50的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为170，方差为17；女生身高的平均数力160，方差30.下列说法中正确的是（ ） A. 样本中男生人数为30 B. 每个女生入样概率均为 C. 样本的平均数为166 D. 样本的方差为22.2 10. 下列各式化简运算结果为1的是（ ） A. B. C. 且 D. 11. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.下列选项成立的（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某校高一年级一名学生五次月考数学成绩（满分100分）分别为78，82，86，90，96，则这名学生五次月考数学成绩的第60百分位数为___________. 13. 已知函数，若，，则的取值范围是________． 14. 设函数，.若函数恰有个零点，则实数的取值范围是_______. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数且点在函数的图象上． （1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （2）求不等式的解集； （3）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 16. 手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图： （1）求直方图中值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； （2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数； （3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于等于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间的概率. 17. 随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. （1）设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小； （2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； （3）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 18. 设函数， （1）若，求使不等式对恒成立的的取值范围； （2）若，且在上的最小值为，求的值. 19. 已知函数，，. （1）若，解关于的方程； （2）设，函数在区间上的最大值为3，求的取值范围； （3）当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇一中2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 命题人：邱金龙 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40.0分.各小题均只有唯一正确的答案） 1. 某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39．现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是（ ） 0647 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 A. 36 B. 16 C. 11 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机数表法来求得正确答案. 【详解】由左至右依次读取，编号为：， 所以选出来的第5个零件编号是. 故选：C 2. 在某次测量中得到的A样本数据如下17，25，11，27，18，19，31，27，41，16，若，B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】C 【解析】 【分析】 根据样本数据的特征及计算方法分析即可. 【详解】当A样本数据都减，每个数据大小改变，则数据的中位数、众数都发生变化， 设A样本数据的平均数为，则B样本数据的平均数变为， 所以B样本数据中保持不变， 根据方差的计算公式可知，B样本数据的方差保持不变. 故选：C. 【点睛】本题考查样本数据的数字特征，一般地，设样本数据为的平均数为，方差为，则有： （1）数据的平均数为，方差为不变； （2）数据的平均数为，方差为； （3）数据的平均数为，方差为. 3. 若,则函数的图象一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据,，得到，且是是R上的减函数判断. 【详解】因为,， 所以，且函数是R上的减函数， 图象如图所示： 所以其图象一定经过第二、三、四象限， 故选：D 4. （ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用分数指数幂的运算法则直接计算出结果. 【详解】因为， 故选：D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可以根据指数函数和对数函数的单调性得出的范围，然后即可得出的大小关系. 【详解】解：，， ∴． 故选：D 6. 如图所示，表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为，则系统的可靠性是（ ） A. 0.504 B. 0.994 C. 0.496 D. 0.06 【答案】B 【解析】 【分析】根据并联线路的特征，只有三个开关同时发生故障，系统才不正常，可以考虑对立事件求解. 【详解】系统正常工作的概率为， 即可靠性为0.994. 故选：B 7. 已知某药店只有，，三种不同品牌的N95口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的N95口罩，若甲、乙买品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.26 【答案】C 【解析】 【分析】 甲、乙两人买相同品牌的N95口罩，可分为三种情况，即甲、乙两人都买品牌或品牌或品牌的N95口罩，利用独立事件的概率公式，分别求出这三种情况对应的概率，再利用互斥事件的概率公式，即可得结果． 【详解】由题意，得甲、乙两人买品牌口罩的概率都是0.3，所以甲、乙两人买相同品牌的N95口罩的概率为． 故选：C． 【点睛】方法点睛：利用相互独立事件的概率求复杂事件概率的解题思路：（1）把待求事件拆分成若干个彼此互斥的简单事件的和；（2）将彼此互斥的简单事件转化为若干个已知（易求）概率的相互独立事件的积；（3）代入概率公式求解． 8. 已知函数为奇函数，则下列叙述错误的是（ ） A. B. 函数在定义域上是单调增函数 C. D. 函数所有零点之和大于零 【答案】D 【解析】 【分析】根据是奇函数，求得参数的值，再求该函数的单调性、值域、以及零点，即可求得判断和选择. 【详解】因为为奇函数，且其定义域为，故， 即，解得，又当时，， 因为， 又定义域为，故为上的奇函数，故正确； 因为是单调增函数，为单调减函数，故为单调增函数，故正确； 又，，则，故正确； 又的定义域为，且为奇函数，也为奇函数，故的零点之和为零，故错误； 综上所述，正确的是. 故选：. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，为获得该校学生的身高（单位：cm）信息，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为50的样本.经计算得到样本中男生身高的平均数为170，方差为17；女生身高的平均数力160，方差30.下列说法中正确的是（ ） A. 样本中男生的人数为30 B. 每个女生入样的概率均为 C. 样本的平均数为166 D. 样本的方差为22.2 【答案】AC 【解析】 【分析】由分层抽样可判断A；计算女生入样的概率可判断B；计算样本的均值可判断C；计算样本的方差可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：抽样比， 所以样本中男生有人，故选项A正确； 对于B：每个女生入样的概率等于抽样比，故选项B不正确； 对于C：由分层抽样知，样本中男生有人，男生有人， 所有的样本均值为：，故选项C正确； 对于D：设男生分别为，，，，平均数，， 女生分别为，，，，平均数，， 样本的平均数为，方差为， 因为 ， 而， 所以， 同理可得， 所以， 故选项D不正确； 故选：AC 10. 下列各式化简运算结果为1的是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据指对数的运算性质依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，原式； 对于B选项，原式； 对于C选项，原式； 对于D选项，原式. 故选：AD. 11. 已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.下列选项成立的（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. ，，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知条件知在上为偶函数，且在上单调递减，即上单调递增，且上，上，最大值，即可判断各项的正误. 【详解】由①②知：在上为偶函数；在上单调递减，即上单调递增； 上，上，最大值. ∴对于A：，故正确； 对于B：知，或，即或，故错误； 对于C：由时，有，故正确； 对于D：上函数的图象是连续不断，可知，使有，故正确. 故选：ACD 点睛】关键点点睛： 由题设的函数性质，确定函数的奇偶性、单调区间、函数值的符号以及最值，进而根据各选项的描述判断正误. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某校高一年级一名学生五次月考数学成绩（满分100分）分别为78，82，86，90，96，则这名学生五次月考数学成绩的第60百分位数为___________. 【答案】88 【解析】 【分析】根据百分位数的定义即可求解. 【详解】∵5×0.6＝3，∴第60百分位数为. 故答案为：88. 13. 已知函数，若，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 先利用已知条件，结合图象确定的取值范围，设，即得到是关于t的二次函数，再求二次函数的取值范围即可. 【详解】先作函数图象如下： 由图可知，若，，设，则，， 由知，；由知，； 故，， 故时，最小值为，时，最大值为， 故的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题解题关键是数形结合，通过图象判断的取值范围，才能分别找到与相等函数值t的关系，构建函数求值域来突破难点. 14. 设函数，.若函数恰有个零点，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数部分解析式，由此画出和两个函数图象，根据两个函数图象有3个交点，找到临界位置即可确定a的取值范围. 【详解】当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 在同一平面直角坐标系中画出函数和的函数图象如图所示， 由，得，由，得. 由图可知，当两个函数图象有3个交点， 也即函数恰有3个零点时，a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：（1）求出分段函数的解析式； （2）将函数零点问题转化为两函数图象交点问题，找到临界位置是解题的关键. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数且点在函数的图象上． （1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象； （2）求不等式的解集； （3）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1），图像见解析（2）（3） 【解析】 【分析】（1）将点代入中,即可求解的值,进而求得函数的解析式,画出函数f（x）的图象. （2）分为两种情况分别求解不等式,再取并集即可得不等式的解集. （3）欲求满足方程有两个不相等的实数根的取值范围,可使函数与有两个不同的交点,画出二者的图象即可判断出实数的取值范围. 【详解】解：（1）由的图象经过点, 可得,即,解得, 则, 函数图象如下图： （2）即为或, 即或, 则解集为； （3）有两个不相等的实数根, 即有的图象和直线有两个交点, 由图象可得,即, 可得的取值范围是． 【点睛】本题主要考查函数的概念与图象、对数与对数函数、函数与方程以及一次函数和二次函数. 16. 手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图： （1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数； （2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数； （3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于等于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间的概率. 【答案】（1），中位数为125 （2）112人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形的面积和为1求出，再求中位数得解； （2）直接利用频率分布直方图估计职工一天行走步数不大于13000的人数； （3）先求出在区间中有32人，在区间中有8人，在区间中有8人，再利用古典概型的概率公式求出这两人均来自区间的概率. 【小问1详解】 由题意得， 解得； 设中位数为， 则，解得， 所以中位数是125. 【小问2详解】 由， 所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人. 【小问3详解】 在区间中有人， 在区间中有人， 在区间中有人， 按分层抽样抽取6人， 则从中抽取4人，中抽取1人，中抽取1人； 设从中抽取职工为，从中抽取职工为，从中抽取职工为， 则从6人中抽取2人的情况有共15种情况，它们是等可能的， 其中满足两人均来自区间的有共有6种情况， 所以； 所以两人均来自区间的概率为. 17. 随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. （1）设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小； （2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； （3）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费” 根据概率计算即可求解; （2）根据题意列出事件可能然后根据概率公式即可求解; （3）根据题意列出事件可能然后根据概率公式即可求解. 【小问1详解】 这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费” 则 【小问2详解】 设这对夫妻中，“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，则. 设事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”. 则. 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为； 【小问3详解】 设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生补考费用之和为200元”，则 ， . 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为 18. 设函数， （1）若，求使不等式对恒成立的的取值范围； （2）若，且在上的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先得函数是上的奇函数，且函数是减函数，进而转化问题为不等式恒成立，进而结合求解即可； （2）令，则根据其单调性可得，，对称轴为，分别讨论和时，的最小值即可求解． 【小问1详解】 因为，所以是奇函数， 因为为减函数，为增函数，所以是减函数， 所以是奇函数且是减函数， 所以不等式， 可变为， 则，即恒成立， 所以，即， 解得：，故的取值范围是. 【小问2详解】 由，得， 解得或（舍）， 所以 令，当时，， 所以， ①当即时，，解得（舍去）， ②当即时，，解得：符合题意， 所以. 【点睛】方法点睛：对于指数复合型函数求值域或最值，往往需要换元，转化为关于新元的二次函数，再利用二次函数的性质求最值，注意新元的取值范围． 19. 已知函数，，. （1）若，解关于的方程； （2）设，函数在区间上的最大值为3，求的取值范围； （3）当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）将代入函数的解析式，并求出函数的定义域，利用对数的运算法则可解出方程； （2）当时，，分、和三种情况讨论，去绝对值，分析函数在区间上的单调性，结合该函数在区间上的最大值为，可求出实数的取值范围； （3）利用对数的运算性质可得出，可知该函数在区间上为减函数，由题意得出对任意的恒成立，求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则，定义域为. 由，可得，可得， 解得或（舍去），因此，关于的方程的解为； （2）当时，. 当时，对任意的恒成立，则， 此时，函数在区间上为增函数，，合乎题意； 当时，对任意的恒成立，则， 此时，函数在区间上为减函数，，解得，不合乎题意； 当时，令，得，此时， 所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数. ，，由于，所以，解得. 此时，. 综上所述，实数的取值范围是； （3）， 由于内层函数在区间为减函数，外层函数为增函数， 所以，函数在区间上为减函数， 所以，， 由题意可得，可得， 所以，. ①当时，； ②当时，令，设， 可得. 下面利用定义证明函数在区间上的单调性， 任取、且，即， ， ，，，，即， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，函数取得最大值. 综上所述，函数在上的最大值为，. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查对数方程的求解、考查了利用带绝对值函数的最值求参数，同时也考查了函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $