精品解析：湖北部分名校2025届高三上学期1月联考数学试题

湖北部分名校·新高考协作体·2025届高三1月联考高三数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算z，再求 【详解】解：因为，所以， 所以，则，所以 故选： 2. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集和并集的定义结合已知条件进行求解即可. 【详解】因为，，则， 又因为，则 故选: 3. 学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等五个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最少选择一个，则不同的选择方法共有（ ） A. 7种 B. 8种 C. 9种 D. 10种 【答案】C 【解析】 【分析】应用分步乘法原理及分类加法原理结合组合数的运算求解即可. 【详解】由题知共有两种情况， 第一种情况：美术、街舞都选，则需从剩余的三个社团中选择一个，共有种选择方法; 第二种情况：美术、街舞中选择一个，则还需从剩余的三个社团中选择两个，共有种选择方法， 故不同的选择方法共有种. 故选: 4. 已知函数与函数的图象关于直线对称.若在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性确定函数的单调区间，再利用二次函数的性质列不等式求解即可. 【详解】因为函数与函数的图象关于直线对称， 若在区间内单调递增，则在区间上单调递减， 故，解得： 故选：D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，求出，根据即可求解. 【详解】， ， ，， 故选： 6. 作边长为3的正三角形的内切圆，再作这个圆的内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去，则前n个内切圆的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得到第n个内切圆的半径和第n个正三角形的边长间的关系，进而得到内切圆半径间的关系为等比数列，代入求和公式即可. 【详解】解：设第n个正三角形的内切圆半径为，第 n个正三角形的边长为， 可知正三角形内切圆半径是正三角形边长的， 又半径为的圆内接三角形的边长满足， 即， 所以，， 即从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的， 每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 设前n个内切圆的面积和为，则， 故选 7. 若是奇函数，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得到，求出，结合函数的定义域及，求出，进而可得结果即可. 【详解】函数的定义域需满足，即， 又函数为奇函数，其定义域关于坐标原点对称，即，解得， 所以定义域为，又，即， 所以，故A正确. 故选：A 8. 已知椭圆上存在两点，到点的距离相等，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设AB中点为，则，，得到AB中垂线方程：，得出，进而可得结果. 【详解】设AB中点为且，则，， 由题意，点在线段AB中垂线上， 坐标代入椭圆方程得，所以， 所以AB中垂线方程：， 令，则，显然，故， 所以，， 故选: 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥顶点为P，AB为底面圆O的直径，，，点C在圆O上，则（ ） A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为 C. 三棱锥体积的最大值为1 D. 该圆锥内部最大的球的半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件计算圆锥底面圆半径及圆锥的高，可得选项A错误，选项B正确；根据棱锥体积公式计算面积最大值可得选项C正确；计算圆锥内切球半径可得选项D正确. 【详解】 ∵，，∴，， ∴圆锥底面圆半径为，. A.圆锥的侧面积为，选项A错误. B.圆锥的体积，选项B正确. C.， 当C为中点时，最大，最大为，故三棱锥体积的最大值为1，选项C正确. D.当球与圆锥内切时，表面积最大，此时球心在上， 设内切球球心为，半径为r，则， 过向PB作垂线，垂足为D，则， ∵，∴， ∴，解得，选项D正确. 故选：BCD. 10. 某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型，其平面图的轮廓线C为：平面内动点P到定点的距离与到定直线的距离之和为6，点P的轨迹为曲线C，则下列说法中正确的有（ ） A. 曲线C关于y轴对称 B. 点在曲线C的内部 C. 若点在C上，则 D. 曲线C上到直线和到点F的距离相等的点有无穷多个 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据题意列等式，去根号和绝对值，即可求解曲线C的轨迹方程，从而对各选项逐一判断. 【解答】设点， 因为点P到定点的距离与到定直线的距离之和为6， 所以， 当时，得， 两边平方得， 当时，得， 两边平方得， 对于A，由图易知，两段抛物线弧均关于y轴对称， 故曲线C关于y轴对称，故A正确； 对于B，如图，曲线C由两段抛物线弧组成， 在中， 令，得，故点不在曲线C的内部，故B错误； 对于C，若点在上， 得，所以， 若点在上， 同理得，故C正确； 对于D，曲线，即， 令，则的焦点坐标为，准线方程为， 则由向上平移6个单位长度可得， 所以焦点坐标为，准线方程为，所以F为焦点，为准线， 所以上的点到直线和到点F的距离都相等， 即曲线C上到直线和到点F的距离相等的点有无穷多个，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 0是的极小值点 B. 有可能有三个零点 C. 当时， D. 若存在极大值点，且，其中，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】讨论a的取值情况，利用导数研究函数的单调性和极值，进而判断A，B；当时，利用导数得到函数的单调性，判断，的大小关系，进而判断C；若存在极大值点，则，即，因为，化简等式，即可判断 【详解】解：由题意可得， 令，当时，得或， 对于A，当时， 令，解得或，则在和上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 所以在处取得极小值， 同理，当时，在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值； 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故A正确； 对于B，当时， 在和上单调递增，在上单调递减， 当，，且先增后减再增，且在处取得极小值，此时只有一个零点. 同理，当时，在和上单调递减，在上单调递增，先减后增再减，且在处取得极小值, 当，，此时此时只有一个零点. 当时，，没有零点，故B错误； 对于C，当时，在上单调递减， 又，，所以，故C正确； 对于D，若存在极大值点，则，即， 因为，所以， 所以，， 即， 又，所以，故D正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对于随机事件A，B，若，，，则__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用条件概率计算即可求解. 【详解】解：，且， ， ， ， 则 故答案为： 13. 如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上三个四等分点，若，，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用平面向量的四则运算，得到，可得，，再化简，即可求解. 【详解】 ， ， 故答案为： 14. 如图所示，四边形是边长为2的正方形ABCD在平面上的投影光线、、、互相平行，光线与平面所成角为，转动正方形ABCD，在转动过程中保持平面且，若平面ABCD与平面所成角为，且，则多面体的体积的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先证明多面体为直四棱柱，再求出该棱柱的底面边长和高即可. 【详解】解：因为，，，AB、平面， 所以平面， 因为平面，平面，且平面平面， 所以， 又因为， 所以为平行四边形， 所以，同理可得， 又因为， 所以多面体为直四棱柱， 作交于点M，平面，则平面； 同理平面；且, 所以平面平面， 又因为平面， 所以 作于N， 所以，即，又，、平面， 所以平面， 所以就是直线与平面所成角， 即， 所以 在中由正弦定理得，，， 点B到直线的距离为， 所以多面体的体积 ， ， 化简得，当且仅当时取等. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，若， （1）求 （2）若，为数列的前n项和，求 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的递推关系,结合等比数列公式求解即可； （2）采用分组转化求和法求解即可. 【小问1详解】 ， 当时，， 当时，， ， ， ， 又， 是以为首项，2为公比等比数列， ， ， 又时也满足上式， ； 【小问2详解】 ， ， ， 16. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求 （2）已知边，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知等式和正弦定理，化简即可求解. （2）利用正弦定理得，又为锐角三角形，解得，从而得到的取值范围，从而得解. 【小问1详解】 由， 可得， 即， 所以，即， 因，所以，又，所以； 【小问2详解】 由正弦定理可得， ， 因为为锐角三角形，则，解得， ， 所以的取值范围是 17. 如图在多面体中，四边形是菱形，，平面，， （1）若为中点，证明：平面 （2）在棱上有一点，且到平面的距离为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用几何关系得到，，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解点，面之间的距离，即可求解的位置，再利用向量法求解面，面之间的夹角. 【小问1详解】 证明：连接交于，连接， 是菱形，，且是的中点， 且，，， 且，四边形是平行四边形，， 又平面，平面，， 又因为，且、平面， 平面，平面， 又平面，， 四边形是菱形，，， ，为中点， ，又因为，且、平面， 平面； 【小问2详解】 ，平面， 平面且， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则， 取，得到， ， 故平面的一个法向量为， 在棱上，设， 点到平面的距离， ，故， 又，， 设平面的法向量为， ， 取，得y2，z2， 故平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则， ， 综上，二面角的正弦值为 18. 已知双曲线的上下顶点分别是M、N，过其上焦点F的直线l与双曲线的上支交于P、Q两点在y轴左侧 （1）求直线l斜率的取值范围； （2）若，求直线l的方程； （3）探究直线MP和直线NQ的斜率之比是否为定值?若是定值，求出此定值，若不是定值，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）是定值， 【解析】 【分析】（1）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用根的判别式及韦达定理列式求解. （2）由（1）中信息，结合向量关系求出斜率即得直线方程. （3）得到直线MP和直线NQ的斜率之比表达式，将根与系数表达式代入即可证明. 【小问1详解】 双曲线的上焦点， 依题意，直线不垂直于轴，设直线l的方程为：，， 由消去，得，显然， ，， 由直线l与双曲线的上支交于P、Q两点，得令，解得. 【小问2详解】 由（1）及，得，解得， 又，则，即，解得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 点，直线斜率，直线斜率， 由，得 所以，为定值.  19. 1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： （1）求的值，并用导数的定义证明： （2）已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）1，证明见解析 （2）（i）,；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用导数的新定义结合导数的定义直接求解即可；（2）（i）求导后解不等式即可；（ii）转化为不等式成立，分类求出函数的最大值即可. 【小问1详解】 ， 依据导数的定义： 【小问2详解】 （i）因为，定义域为R， 所以， 令，解之得：， 所以的单调递减区间为， （ii）因为对任意恒成立，且当时，不等式显然成立， 所以，当时，原式可转化恒成立， 令，即， 因为， 令， ， 当时，， ，在上单调递减， 所以， 即时， 所以在上单调递减， ， 所以， 当时， 因为， 所以， 所以， 所以， 综上可知：实数a的取值范围为 【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北部分名校·新高考协作体·2025届高三1月联考高三数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等五个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最少选择一个，则不同的选择方法共有（ ） A. 7种 B. 8种 C. 9种 D. 10种 4. 已知函数与函数的图象关于直线对称.若在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 作边长为3正三角形的内切圆，再作这个圆的内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去，则前n个内切圆的面积之和为（ ） A. B. C. D. 7. 若是奇函数，则值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知椭圆上存在两点，到点的距离相等，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥顶点为P，AB为底面圆O的直径，，，点C在圆O上，则（ ） A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为 C. 三棱锥体积的最大值为1 D. 该圆锥内部最大的球的半径为 10. 某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型，其平面图的轮廓线C为：平面内动点P到定点的距离与到定直线的距离之和为6，点P的轨迹为曲线C，则下列说法中正确的有（ ） A. 曲线C关于y轴对称 B. 点在曲线C的内部 C. 若点在C上，则 D. 曲线C上到直线和到点F的距离相等的点有无穷多个 11. 已知函数，则下列命题中正确的是（ ） A. 0是的极小值点 B. 有可能有三个零点 C. 当时， D. 若存在极大值点，且，其中，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 对于随机事件A，B，若，，，则__________. 13. 如图所示，已知中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若，，则__________. 14. 如图所示，四边形是边长为2的正方形ABCD在平面上的投影光线、、、互相平行，光线与平面所成角为，转动正方形ABCD，在转动过程中保持平面且，若平面ABCD与平面所成角为，且，则多面体的体积的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，若， （1）求 （2）若，为数列的前n项和，求 16. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求 （2）已知边，求的取值范围. 17. 如图在多面体中，四边形是菱形，，平面，， （1）若中点，证明：平面 （2）在棱上有一点，且到平面的距离为，求二面角的正弦值. 18. 已知双曲线的上下顶点分别是M、N，过其上焦点F的直线l与双曲线的上支交于P、Q两点在y轴左侧 （1）求直线l斜率的取值范围； （2）若，求直线l的方程； （3）探究直线MP和直线NQ的斜率之比是否为定值?若是定值，求出此定值，若不是定值，请说明理由. 19. 1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： （1）求的值，并用导数的定义证明： （2）已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$