第09讲 余弦函数的性质与图像（2个知识点+13类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

第09讲 余弦函数的性质与图象 课程标准 学习目标 1．会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像． 2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值． 1．通过余弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养． 2．借助余弦函数图像和性质的应用，提升学生的直观想象和数学运算核心素养. 知识点01 余弦函数的图象 1．余弦函数与余弦曲线：对于任意一个角，都有唯一确定的余弦与之对应，所以是一个函数，一般称为余弦函数。函数的图象成为余弦曲线。 2．余弦函数图象的三种画法 （1）描点法：同正弦曲线的画法，通过列表、描点、连线、作图画出余弦函数在上的图象； （2）五点法：在函数，的图象上，有5个关键点：，，，，，描出五个关键点后，用平滑的曲线连接，可得，的图象。 （3）平移法：根据诱导公式，可知的图象可由的图象向左平移个单位得到（如图所示）。 【即学即练1】（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 知识点02 余弦函数的性质 1．定义域与值域：定义域为R，值域为 当且仅当，时，； 当且仅当，时，； 2．奇偶性：偶函数 3．周期性：最小正周期为 4．单调性：单调增区间为；单调减区间为 5．对称性：对称轴为，对称中心为 【即学即练2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 题型01 五点法作余弦函数图像 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）用五点法画出函数在区间内的图象． 【变式1】用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式2】函数的简图是（    ） A． B． B． C． D． 【变式3】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数. (1)填写下表，并画出在上的图象； 0 (2)写出的解集. 题型02 余弦函数与不等式 【典例2】（24-25高一下·黑龙江·阶段练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）满足的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式3】函数的定义域为 . 【变式4】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在内，使成立的x的取值范围是 ． 题型03 余弦函数的周期性 【典例3】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·山东日照·期中）函数的最小正周期是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）若函数的最小正周期是2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 题型04 余弦函数的奇偶性 【典例4】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）“”是“函数为奇函数”的 （    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 【变式2】（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数是奇函数，则时， ． 【变式3】（23-24高一下·北京·期末）已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为 . 【变式4】（23-24高二上·广西贵港·期末）已知函数是奇函数，则 ． 题型05 余弦函数的对称性 【典例5】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【变式1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于坐标原点对称 【变式3】（2024·陕西榆林·二模）若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型06 余弦函数的单调性 【典例6】（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·甘肃白银·期中）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．的图象关于点对称 【变式3】（2024·全国·模拟预测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 题型07 根据余弦函数的单调性求参数 【典例7】（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上严格减，实数的取值范围是 . 【变式1】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 （2024·江西宜春·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ． 【变式3】若函数在上不单调，则实数的取值范围是 . 题型08 利用单调性比较大小 【典例8】（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式中，正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【变式1】已知为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】设，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型09 余弦函数的值域与最值问题 【典例9】（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数的最大值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）函数，，当 时，最小且最小值为 ． 题型10 根据函数值域求参数 【典例10】（23-24高一下·山东日照·期末）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数的定义域为，值域为，那么的值为（    ）． A．－6 B．－3 C． D． 【变式2】（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·四川成都·期中）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型11 与余弦函数有关的零点问题 【典例11】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知函数的一个零点是，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·湖南永州·期末）已知函数在区间上单调递减，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是 . 【变式3】（23-24高一下·上海·阶段练习）设常数，．若函数在区间上恰有2024个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为 题型12 余弦函数的图像变换 【典例12】（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 【变式1】（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（    ） A．的周期为 B．若，则 C．将的图像向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数 D．函数在上有2个零点 【变式2】（23-24高一·全国·假期作业）已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高三上·北京·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（    ） A．为偶函数 B． C．当时，在上有3个零点 D．若在上单调递减，则的最大值为9 题型13 根据图像求函数的解析式 【典例13】（多选）（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．函数在区间单调递增 D．当时，函数有8个零点 【变式1】（多选）（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，且函数的图像如图所示，则（    ） A． B．若，则 C．已知，若为偶函数，则 D．若在上有两个零点，则的取值范围为 【变式2】（24-25高一上·山西晋城·期末）已知函数 的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有5个零点，求m的取值范围. 【变式3】（23-24高一上·山西·期末）如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的所有零点之和． 一、单选题 1．（2021·海南·模拟预测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）为了得到余弦函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 3．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 5．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．若，则的最小值为 6．（2024·天津南开·一模）关于函数，则下列结论中： ①为该函数的一个周期； ②该函数的图象关于直线对称； ③将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象： ④该函数在区间上单调递减. 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 7．（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·云南昆明·期末）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（22-23高一上·河北唐山·期中）设函数，则（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 10．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数（，，）在处取得最小值，与此最小值点相邻的的一个零点为，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．在上单调递减 11．（24-25高一上·吉林松原·期末）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．为偶函数 C．在上单调递减 D．在上有6个零点 三、填空题 12．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的值域为 . 13．（24-25高三上·天津河北·期中）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域 . 14．（24-25高一上·江苏盐城·期末）将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为 . 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期与单调递增区间； (2)求函数在区间上的值域． 16．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数. (1)求函数的对称中心坐标； (2)求函数的单调递减区间； (3)若，求函数的值域. 17．（青海省名校联盟2024-2025学年高一上学期期末联合考试数学试题）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有两个不同的零点，求的取值范围. 18．（23-24高一下·江西南昌·期中）已知函数（其中，）. (1)求它的定义域； (2)求它的单调区间； (3)判断它的奇偶性； (4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期. 19．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，对任意，当时，的最小值为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，图象关于轴对称． (1)求： (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 余弦函数的性质与图象 课程标准 学习目标 1．会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像． 2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值． 1．通过余弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养． 2．借助余弦函数图像和性质的应用，提升学生的直观想象和数学运算核心素养. 知识点01 余弦函数的图象 1．余弦函数与余弦曲线：对于任意一个角，都有唯一确定的余弦与之对应，所以是一个函数，一般称为余弦函数。函数的图象成为余弦曲线。 2．余弦函数图象的三种画法 （1）描点法：同正弦曲线的画法，通过列表、描点、连线、作图画出余弦函数在上的图象； （2）五点法：在函数，的图象上，有5个关键点：，，，，，描出五个关键点后，用平滑的曲线连接，可得，的图象。 （3）平移法：根据诱导公式，可知的图象可由的图象向左平移个单位得到（如图所示）。 【即学即练1】（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（    ） A．0，，π，，2π B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【答案】A 【分析】结合“五点法”作图特征，直接求出结论即可. 【详解】函数的最小正周期为， 用“五点法”作的图象，即作函数在上的图象， 所以五个关键点的横坐标为0，，π，，2π. 故选：A 知识点02 余弦函数的性质 1．定义域与值域：定义域为R，值域为 当且仅当，时，； 当且仅当，时，； 2．奇偶性：偶函数 3．周期性：最小正周期为 4．单调性：单调增区间为；单调减区间为 5．对称性：对称轴为，对称中心为 【即学即练2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数 C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数 【答案】A 【分析】根据余弦函数的周期性和奇偶性即可得解. 【详解】定义域是，关于原点对称， 因为， 所以函数为偶函数， 又， 所以是最小正周期为的偶函数. 故选：A. 题型01 五点法作余弦函数图像 【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）用五点法画出函数在区间内的图象． 【答案】作图见解析 【分析】利用一个周期内的五点法作图即可. 【详解】列表如下： 0 0 1 0 0 描点、连线得函数在区间内的图象如图所示：    【变式1】用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据五点作图法结合余弦函数的图象即可得解. 【详解】由“五点法”作图知：令，，，，， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：B. 【变式2】函数的简图是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【解析】由cos（﹣x）＝cosx及余弦函数的图象即可得解． 【详解】由知，其图象和的图象相同， 故选B． 【变式3】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数. (1)填写下表，并画出在上的图象； 0 (2)写出的解集. 【答案】(1)表格见解析，图象见解析 (2) 【分析】（1）令分别等于，，，作图. （2）整体思想：令，求解即可 【详解】（1） 0 0 0 （2）由，得，， 故的解集为 题型02 余弦函数与不等式 【典例2】（24-25高一下·黑龙江·阶段练习）函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，即. 解得， 所以函数的定义域. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）满足的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦函数的性质即可求解 【详解】结合余弦函数的性质可得， 故满足的角的集合为 故选：C 【变式2】函数定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，即 解得， 所以函数的定义域. 故选：A. 【变式3】函数的定义域为 . 【答案】， 【分析】利用真数大于0列出不等式，求出定义域. 【详解】由题意得：，即， 所以. 故答案为：， 【变式4】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在内，使成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意在同一个坐标系中画出在内的函数图像，由图求出不等式的解集 【详解】解：在同一个坐标系中画出在内的函数图像，如图所示， 则使成立的x的取值范围是， 故答案为： 题型03 余弦函数的周期性 【典例3】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数最小正周期的求法求得正确答案. 【详解】依题意，的最小正周期. 故选：D 【变式1】（23-24高一下·山东日照·期中）函数的最小正周期是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据给定的函数，利用余弦型函数的周期公式计算即得. 【详解】函数的最小正周期是. 故选：D 【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）若函数的最小正周期是2，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据周期公式即可得到答案. 【详解】依题意．所以ω的值为， 故选：B. 【变式3】（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】由题意可得是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值就是函数的半周期长. 【详解】函数，若对于任意的，都有， 则是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值即为函数的半周期长， 而函数的最小正周期，因此. 故选：B 题型04 余弦函数的奇偶性 【典例4】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）“”是“函数为奇函数”的 （    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据诱导公式及正弦函数的性质、充分条件和必要条件即可得解. 【详解】当“”时，是奇函数； 当“函数为奇函数”时，不一定为， 如时，是奇函数， 所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件. 故选：B 【变式1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的奇偶性求出，再根据诱导公式即可得解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，解得， 则. 故选：A. 【变式2】（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数是奇函数，则时， ． 【答案】 【分析】由函数为奇函数，可知即可求解. 【详解】因为函数是奇函数， 所以,即, 又因为，所以令，， 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·北京·期末）已知函数为奇函数， 则符合条件的一个的取值可以为 . 【答案】（答案不唯一，） 【分析】由正余弦型函数的奇偶性，结合诱导公式列式求解即得. 【详解】函数为奇函数，则， 所以符合条件的一个的取值可以为. 故答案为： 【变式4】（23-24高二上·广西贵港·期末）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】由已知结合奇函数的定义即可求解． 【详解】因为是奇函数，则， 所以 即，则， 经检验，满足题意. 故答案为：． 题型05 余弦函数的对称性 【典例5】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】利用余弦函数图象的对称性，由对称轴和对称中心方程求得的表达式，即可求得其取值. 【详解】根据图象关于直线对称可得，解得; 又关于点对称可得，解得； 经检验当时，符合题意. 故选：C 【变式1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】令，可得. 所以当时，，故满足条件. 故选：A 【变式2】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的最大值为2 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于坐标原点对称 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】的最小正周期，故A错误； 的最大值为，故B错误； 因为，所以的图象关于直线对称，故C正确； 因为， 所以的图象不关于坐标原点对称，故D错误. 故选：C. 【变式3】（2024·陕西榆林·二模）若函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦函数的对称性直接求解. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，得， 因为，所以. 故选：C. 【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦型函数为奇函数，则初相是，从而可求最小值. 【详解】由题得函数为奇函数，则，，故， 故当时，取得最小值． 故选：D. 题型06 余弦函数的单调性 【典例6】（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的单调递减区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先变形，再根据余弦函数的单调性即可求解. 【详解】已知， 令，，得，， 所以函数的单调递减区间为，. 故选：. 【变式1】（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简函数，再应用整体代换计算余弦函数的单调减区间即可. 【详解】， 令，则， 所以函数的单调递减区间为． 故选：A． 【变式2】（23-24高一下·甘肃白银·期中）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】由求出的范围，结合余弦函数单调性判断AC；代入验证确定对称性判断BD. 【详解】对于AC，当时，，则函数在上先增后减，A，C错误； 对于B，而，则的图象不关于直线对称，B错误； 对于D，，则的图象关于点对称， D正确． 故选：D 【变式3】（2024·全国·模拟预测）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整体法得到不等式，求出单调递增区间. 【详解】，令， , 故函数的单调递增区间为. 故选：D． 题型07 根据余弦函数的单调性求参数 【典例7】（24-25高一上·上海·课后作业）函数在区间上严格减，实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分与讨论，求出的范围，结合余弦函数的单调性即可求解. 【详解】当时，因为，所以. 因为函数在区间上严格减， 所以，解得； 当时，因为，所以， 故不可能满足函数在区间上严格减. 综上所述，，即实数的取值范围是. 故答案为:. 【变式1】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由，可得， 要使得函数在区间上单调递减， 则满足且，解得，即的取值范围是. 故选：D. 【变式2】 （2024·江西宜春·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据区间上的长度不大于半个周期求出，再根据的范围确定所满足的范围，由在区间上单调递减，得到的取值范围. 【详解】因为在区间上单调递减，所以， 则，即，所以， 因为，，所以， 因为，所以，， 因为在区间上单调递减， ，所以，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：. 【变式3】若函数在上不单调，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出使函数在上具有单调性的的取值范围，再用集合的补集运算求出符合题意的的取值范围． 【详解】由题意得， 若函数在上单调递增， 则, 解得：， 所以， 解得， 即， 因为，所以且， 所以，      ① 若函数在上单调递减， 则, 解得， 所以， 解得， 即， 因为，所以且， 所以，      ② 又因为函数在上不单调，且， 所以的取值为①②所表示的不等式的补集， 即或. 故答案为：或. 题型08 利用单调性比较大小 【典例8】（24-25高一上·全国·课后作业）下列不等式中，正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】①由函数在区间内单调递减判断；②由函数在区间内单调递减判断；③由函数在区间内单调递减判断；④由函数在区间内单调递增判断. 【详解】由于，且函数在区间内单调递减，则，①正确； 由于，且函数在区间内单调递减， 则，②错误； 由于，则，③正确； 由于，且函数在区间内单调递增，则，④错误． 故选：B 【变式1】已知为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由锐角三角形可知，即，则有. 【详解】为锐角三角形的两个内角，则，即， ，， 余弦函数在上单调递减，所以. 对于等边三角形，A、C、D都不对； 故选：B. 【变式2】设，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断的范围，再利用指数函数和对数函数的单调性得到的范围，即可比较大小. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：C. 【变式3】（23-24高三上·辽宁抚顺·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用指数、对数、三角函数的性质，找到中间变量，进行比较即可. 【详解】 ，，， . 故选: C. 【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式可得，，由余弦函数单调性比较，根据函数单调性比较的大小，结合奇偶性可得结论. 【详解】因为， 由，则． 所以， 又在区间内单调递增， 则， 又函数为偶函数，故则， 所以． 故选：D. 题型09 余弦函数的值域与最值问题 【典例9】（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则， 故，故的值域为. 故选:C. 【变式1】（24-25高一上·湖南常德·阶段练习）在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的取值范围，确定的取值范围，再结合余弦函数的图象可求所给函数的值域. 【详解】因为，所以， 由余弦函数的图象可知：即，故函数的值域为. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用余弦型函数的性质求出结果. 【详解】如图为函数在的图象，易知，时，函数的值域为. 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数的最大值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法结合同角的三角函数关系和二次函数的性质求解即可； 【详解】， 令，所以， 该函数在上单调递增，所以. 故选：B. 【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）函数，，当 时，最小且最小值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法令，由余弦型函数单调性可得的取值范围，再结合二次函数的性质即可得答案. 【详解】令， ∴， ．∵ 在上是减函数，∴当，即时，． 故答案为：，. 题型10 根据函数值域求参数 【典例10】（23-24高一下·山东日照·期末）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得在处取得最大值，再结合余弦函数的性质求解即得. 【详解】由对任意的实数x都成立，得在处取得最大值， 则，解得， 所以的最小值是. 故选：B 【变式1】（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数的定义域为，值域为，那么的值为（    ）． A．－6 B．－3 C． D． 【答案】B 【分析】求得复合三角函数值域即可得解. 【详解】因为，所以，， ，， ∴，， 故选：B． 【变式2】（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据余弦型函数的值域与周期性可得解. 【详解】由， 函数值域为， 又对任意的实数，在区间上的值域均为， 则， 解得， 故选：D. 【变式3】（23-24高一下·四川成都·期中）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为，，恒成立为真命题，分离参数，再构造函数，利用二次函数可求得最小值，从而可得结果. 【详解】因为命题p是假命题，所以其否定命题为真命题， 即，恒成立， 所以恒成立， 因为， 而，所以， 所以当时，取得最小值， 所以. 故选：A 题型11 与余弦函数有关的零点问题 【典例11】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给角的范围求出的范围，再由余弦函数的图象与性质建立不等式得解. 【详解】当时，. 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得. 故选：C 【变式1】（23-24高一下·辽宁辽阳·期中）已知函数的一个零点是，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合零点的定义，有，解方程即可. 【详解】函数的一个零点是，则有， 即，则，即， 所以当时，有最小值. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·湖南永州·期末）已知函数在区间上单调递减，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】当时，求出的取值范围，根据函数在区间内的零点个数可得出关于的不等式；当时，求出的取值范围，根据函数在区间上的单调性，可得出关于的不等式组，综合可得出的取值范围. 【详解】因为函数在区间上恰有个零点， 令，可得，当时，， 所以，，解得， 又因为函数在区间上单调递减， 当时，， 则，其中， 所以，，解得，， 由解得，故，则， 综上所述，正实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一下·上海·阶段练习）设常数，．若函数在区间上恰有2024个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为 【答案】 【分析】对函数化简得，利用换元法有，，求出，知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据函数在区间有上个零点，从而求出值. 【详解】由题意， 令，，所以，， 且，则，，， 记的两零点为、， 因为，不妨设， 当时，则，解得，， 可知在（k为正整数）内零点个数为3k， 在内零点个数为， 因为，则； 当，则，， 可知在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以或； 综上n的所有可能值为：，，. 故答案为：. 题型12 余弦函数的图像变换 【典例12】（23-24高一下·山东青岛·期末）将的图象向左平移个单位得到函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．是的一个零点 D．是的一个单调减区间 【答案】B 【分析】先根据三角函数图象变换规律求出的解析式，然后逐个分析判断即可. 【详解】将的图象向左平移个单位得, ， 所以， 对于A，的最小正周期为，所以A错误， 对于B，因为， 所以为图象的一条对称轴，即的图象关于对称，所以B正确， 对于C，因为， 所以不是的零点，所以C错误， 对于D，由，得，得， 因为在上单调递增，所以是的一个单调增区间，所以D错误. 故选：B 【变式1】（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（    ） A．的周期为 B．若，则 C．将的图像向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数 D．函数在上有2个零点 【答案】B 【分析】对于A，根据题意确定周期范围，再根据图象关于点对称，结合正弦函数的对称中心求解即可；对于B，由A知，结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对于C，根据三角函数平移性质判断即可；对于D，根据余弦函数值直接求解即可. 【详解】对于A，因为函数在上单调， 所以的最小正周期T满足，即，所以， 因为的图象关于点对称， 所以，得， 所以当时，，所以，故A错误； 对于B，，， 则为，则为半周期，即，故B正确； 对于C，将的图象向右平移个单位长度后得的图象，为奇函数，故C错误； 对于D，，即， 令，当时，，故仅有，故D错误． 故选：B. 【变式2】（23-24高一·全国·假期作业）已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数，根据三角函数的图象变换得到，令，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可. 【详解】函数，向右平移个单位长度，得， 再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到， 令，得，所以， 若函数在上没有零点，则需， 所以，所以， 若函数在上有零点，则， 当时，得，解得， 当时，得，解得， 综上：函数在上有零点时，或， 所以函数在上没有零点，. 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式3】（23-24高三上·北京·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（    ） A．为偶函数 B． C．当时，在上有3个零点 D．若在上单调递减，则的最大值为9 【答案】D 【分析】先用诱导公式进行变形，再由平移变换和两角和的正弦公式化简得出函数的解析式，利用定义得出奇偶性，进而判断A，将代入函数，即可判断B，由余弦函数的性质可判断C、D. 【详解】由， 其图象向左平移个单位长度后得到函数的图象， 则， 又，则，得， 则， 对A，函数的定义域为，，则函数为偶函数，A正确； 对B，，B正确； 对C，当时，，由，得， ，所以可取，当时，在上有3个零点，C正确； 对D，由，解得， 则函数在单调递减， 因为在上单调递减，所以，解得，即的最大值为5，D错误. 故选：D. 题型13 根据图像求函数的解析式 【典例13】（多选）（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．函数在区间单调递增 D．当时，函数有8个零点 【答案】ACD 【分析】根据图象的振幅、周期求出和的值，根据图象的特殊点和的范围求出的值，可判断选项A、B是否正确；根据求出的解析式及整体替换思想求出的单调增区间可判断C；化简解析式，将一个函数的零点个数问题，转化为两个新函数的交点个数问题可判断D. 【详解】对于选项A，由图知，，得到， 则，选项A正确； 对于选项B，，又因为， 所以，故选项B错误； 对于选项C，当时，，单调递增，所以选项C正确； 对于选项D，， 整理得，， 令，得 观察图象知，和在上共8个交点， 所以在上共有8个零点，故选项D正确. 故选：ACD    【变式1】（多选）（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，且函数的图像如图所示，则（    ） A． B．若，则 C．已知，若为偶函数，则 D．若在上有两个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】由图象求出的解析式可判断A；若，可得可判断B；由为偶函数可得，求出可判断C；令，即在上有两个零点，可得，解不等式可判断D. 【详解】由题意得，，又由， 可得，又， 所以，故选项A正确； 若，则， 故选项B错误； 若为偶函数， 则，即，故选项C正确； 令，则， 即在上有两个零点， ，解得：，故选项D正确. 故选：ACD. 【变式2】（24-25高一上·山西晋城·期末）已知函数 的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有5个零点，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象可得，，将代入解析式,结合即可得出解析式； （2）由，得到，根据余弦函数的性质求出值域； （3）将函数零点问题转化为在上恰有5个解，换元后转化为函数与在区间有5个交点，数形结合，结合余弦函数图象列不等式求解即可. 【详解】（1）由函数的图象，可得，， 则，所以． 将点代入函数解析式可得， 解得，因为，所以，所以； （2）因为，所以，所以， 所以，即的值域为； （3）由（1）知，则， 由函数在上恰有5个零点， 即在上恰有5个解，即在上恰有5个解， 因为，所以， 即函数与在区间有5个交点， 由图象知，只需即可，解得，故. 【变式3】（23-24高一上·山西·期末）如图，已知函数的图象与轴相交于点，图象的一个最高点为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的所有零点之和． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据函数图象求出周期，即可求得，再将点代入解析式求出即可； （2）先根据函数平移的性质求出，将函数的零点问题转化为函数图象交点的问题，根据函数的对称性求解. 【详解】（1）设的最小正周期为，则， 所以，所以， 又因为函数的图象的一个最高点为， 所以，所以， 所以， 因为，所以，所以． （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 令，得， 考虑与图象的所有交点的横坐标之和， 函数与的图象都关于点对称， 令，解得， 函数与的图象如图所示： 故两函数的图象有且仅有9个交点从左到右分别为， 所以，，，， 所以，故函数的所有零点之和为9. 一、单选题 1．（2021·海南·模拟预测）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 对于，，为对数函数，不是奇函数，不符合题意， 对于，，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意， 对于，，为正弦函数，是奇函数，不符合题意， 对于，，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意， 故选：． 2．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）为了得到余弦函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用余弦函数图象变换判断得解. 【详解】把函数图象上所有的点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得函数的图象. 故选：B 3．（23-24高一下·河北承德·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的函数，列出不等式，再解三角不等式即得. 【详解】函数的意义，则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B 4．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数，，则的单调递增区间是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】根据题意，由余弦型函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，令， 解得，， 令，则， 令，， 又，所以的单调递增区间是，. 故选：D 5．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．若，则的最小值为 【答案】B 【分析】根据余弦函数的性质一一判断. 【详解】因为，所以的最小正周期，故A错误； 当，则，因为在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误； 当，则，所以， 所以在上不存在最小值，故D错误. 故选：B 6．（2024·天津南开·一模）关于函数，则下列结论中： ①为该函数的一个周期； ②该函数的图象关于直线对称； ③将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象： ④该函数在区间上单调递减. 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】对①，根据周期公式求出最小正周期结合周期函数定义判断；对②，根据余弦函数的对称性代入验证；对③，根据平移变换求平移后函数表达式判断；对④，根据余弦函数的单调性求解判断. 【详解】对于①，由周期公式可得，所以函数的最小正周期为，所以，均是其周期.故①正确； 对于②，当时，，所以是其对称轴，故②正确； 对于③，将函数图象向左平移个单位得到，故③错误； 对于④，，，由余弦函数的单调性可知，函数在上单调递减，故④正确. 综上，正确的有①②④. 故选：C. 7．（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦函数的单调性求出单调递增区间，可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得，函数的增区间为，且， 解得. 由题意可知：. 于是，解得. 又，于是. 故选：A. 8．（24-25高一上·云南昆明·期末）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平移后的函数解析式，再结合余弦函数的性质列式求解. 【详解】依题意，的图象关于直线对称， 则，解得，而，则， 所以当时，取得最小值. 故选：B 二、多选题 9．（22-23高一上·河北唐山·期中）设函数，则（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．在单调递减 【答案】ABC 【分析】根据余弦函数的性质逐一分析判断即可得解. 【详解】则，故的一个周期为，故A正确； 因为，故的图象关于直线对称，故B正确； ，故的一个零点为，故C正确. 当时，，函数先增后减，故D错误. 故选：ABC. 10．（23-24高一上·浙江温州·阶段练习）已知函数（，，）在处取得最小值，与此最小值点相邻的的一个零点为，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．在上单调递减 【答案】AC 【分析】由结合题意与余弦型函数的性质可得的解析式，可得A、B；再借助解析式对C、D逐一验证即可. 【详解】由最小值为，，可得， 由在处取得最小值，且与此最小值点相邻的一个零点为， 故，即，又，则， 有，解得， 又，则，即， 故A正确、B错误； ， 由为奇函数，故为奇函数，即C正确； 若，则， 而不是的单调递减区间， 故不是的单调递减区间， 故D错误. 故选：AC. 11．（24-25高一上·吉林松原·期末）已知函数，则（    ） A．的最大值为 B．为偶函数 C．在上单调递减 D．在上有6个零点 【答案】BC 【分析】根据三角函数和对勾函数的最值可以求得的最值，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，根据复合函数的单调性，判断的单调性，结合三角函数的周期性和对勾函数可以判断零点的个数. 【详解】令，， 当时，在上单调递减，在上单调递增，则； 当时，在上单调递增，在上单调递减，则. 则的值域为，则的最大值为1，故A错误； 因为的定义域为， ，所以为偶函数，故B正确； 在上单调递增，且当时，的值域为. 因为函数在上单调递减，所以在上单调递减，故C正确； 当时，单调递增，的值域为，， 函数在上有5个零点，所以在上有5个零点，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】将函数式化为，结合余弦函数值域及二次函数性质求值域. 【详解】由，而， 当时，； 当时，； 综上，函数值域为. 故答案为： 13．（24-25高三上·天津河北·期中）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在区间上的值域 . 【答案】 【分析】先根据平移变换的原则求出函数的解析式，再根据余弦函数的性质即可得解. 【详解】由题意， 因为，所以，所以， 所以函数在区间上的值域为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·江苏盐城·期末）将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据图像变换可得，再以为整体，结合余弦函数性质列式求解即可. 【详解】余弦函数的图象向左平移个单位，可得， 再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，可得， 因为，且，则， 由题意可得：，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期与单调递增区间； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用余弦函数性质求出最小正周期及单调递增区间. （2）利用相位的范围，结合余弦函数的单调性求出最值即可. 【详解】（1）函数的最小正周期； 由，，得， 所以函数的单调递增区间为. （2）由，得，而在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，而，则， 所以函数在区间上的值域为. 16．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数. (1)求函数的对称中心坐标； (2)求函数的单调递减区间； (3)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整体法即可根据求解， （2）利用整体法即可列不等式求解， （3）利用整体法求解，即可结合余弦函数的性质求解. 【详解】（1）令，解得：，此时， 的对称中心为； （2）令，解得：， 的单调递减区间为 （3）当时，，则， ，即的值域为 17．（青海省名校联盟2024-2025学年高一上学期期末联合考试数学试题）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据图象周期求出，再由过定点求出，进而求出解析式； （2）由，得到.整体代入求出最值即可; （3）由，得到.结合在上有两个不同的零点，得到，解不等式即可. 【详解】（1）由图可得的最小正周期. 因为，且，所以. 因为的图象经过点，所以， 所以，即. 因为，所以， 则. （2）因为，所以. 当，即时，取得最大值，最大值为； 当，即时，取得最小值，最小值为. 故在上的值域为. （3）因为，所以. 由，得，因为在上有两个不同的零点，所以， 解得. 故的取值范围为. 18．（23-24高一下·江西南昌·期中）已知函数（其中，）. (1)求它的定义域； (2)求它的单调区间； (3)判断它的奇偶性； (4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期. 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)非奇非偶函数 (4)周期函数，周期为 【分析】（1）可结合余弦函数的图象，解便可得出的定义域;     （2）可以看出原函数是由和复合而成的复合函数，这样根据余弦函数、对数函数，以及复合函数的单调性便可求出单调区间； （3）可以看出的定义域不关于原点对称，从而得出为非奇非偶函数； （4）由为周期函数，且周期为可判断的周期性，并可得出它的周期. 【详解】（1）解得：， ∴， ∴的定义域为，； （2）设，， 解，得：， 解，得：， ∴ 在上单调递增，在上单调递减； ①若，则为增函数， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为; ②若，则为减函数， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）的定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数； （4）因为为周期函数，且最小正周期为， 所以 所以为周期函数，最小正周期为. 19．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，对任意，当时，的最小值为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，图象关于轴对称． (1)求： (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意求得，得到，结合三角函数的图象变换得到，根据图象关于轴对称，得出，即可求解； （2）根据的表达式，结合给定的不等式的条件，求解实数的取值范围． 【详解】（1）解：当时，的最小值为， 所以， 可得， 将的图象向左平移个单位长度得到的图象， ，因为图象关于轴对称， ，， 由于，取，得． （2）由（1）得到， 由题意，当时，恒成立， 可以转化为，， 化简得到：， ，所以， ， ， 故且，又， 解得： 所以的取值范围为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$