第08讲 正弦型函数的性质与图像（3个知识点+13类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第三册）

第08讲 正弦型函数的性质与图象 课程标准 学习目标 1．能正确使用“五点法”“图像变换法”作出函数y＝Asin (ωx＋φ)的图像，并熟悉其变换过程． 2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、频率与振幅． 3．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，并且了解y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ对函数图像变化的影响以及它们的物理意义． 1．会用“五点法”画函数的图象，重点提升直观想象核心素养； 2．掌握与图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤； 3．掌握正弦型函数的性质，并能利用正弦型函数的性质解决简单问题。 知识点01 正弦型函数的概念及图象 1、正弦型函数的定义：一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且. 2、对函数正弦型函数图象的影响 （1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. （2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （3）ω决定了函数的周期 3、的实际意义 （1）的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； （2）在决定时小球的位置中起关键性作用，称为初相； （3）周期表示小球完成一次运动所需要的时间， 表示1s内能完成的运动次数，称为频率. 4、“五点法”画正弦型函数的图象 用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π 0 A 0 －A 0 【即学即练1】 1．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 2．（24-25高一上·天津南开·期末）函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（   ） A．， B．， C．， D．， 知识点02 正弦型函数的性质 1、定义域与值域：定义域为R，值域为 2、周期： 3、奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下， 对于 当时，函数是奇函数； 当时，函数是偶函数； 当时，函数是非奇非偶函数； 4、单调性：确定函数的单调区间的思想是把看作一个整体。 由解出的范围，可得单调递增区间； 由解出的范围，可得单调递减区间. 【即学即练2】（多选）（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知函数，则（   ） A．点是图象的一个对称中心 B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D． 知识点03三角函数图象变换 1、振幅变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 2、平移变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 3、周期变换：要得到函数（其中且）的图象，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 4、从到的两种变换途径 【即学即练3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）为了得到图像，需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 题型01 求正弦型函数的周期 【典例1】（24-25高一上·吉林白城·期末）的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小正周期是（   ） A． B． C．4 D．6 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）设函数，则为（  ） A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为 C．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数 【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 题型02 根据周期性求值 【典例2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，函数的最小正周期是，则正数的值为 . 【变式1】（23-24高一下·河南驻马店·期末）函数的最小正周期为T，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 【变式3】（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，若、满足，且的最小值为，则 . 题型03 正弦型函数的奇偶性及应用 【典例3】（24-25高一上·甘肃平凉·期末）函数为上的奇函数，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【变式1】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的奇偶性为 . 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）函数图象为上的奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 题型04 求正弦型函数的单调区间 【典例4】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）下列区间为函数的增区间的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）关于函数，下列说法正确的有（    ） A．在区间内单调递减 B．在区间内单调递增 C．在区间内单调递减 D．在区间内单调递增 【变式3】（24-25高一上·吉林·期末）函数的单调增区间为 . 【变式4】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数在区间上的单调减区间是 . 【变式5】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为 ． 题型05 由正弦型函数单调性求参数 【典例5】（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数（）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D．8 【变式2】（24-25高一上·山东·阶段练习）已知函数，若为函数的一个零点，且函数在上是单调函数，则的最大值为 . 【变式3】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数其中．若，在区间上单调递增，则的取值范围是 . 题型06 正弦型函数的值域与最值 【典例6】（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024高三·天津·专题练习）已知函数的最小正周期为.则函数在的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【变式2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数（）的最小正周期为，则在的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【变式3】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）对于的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的最大值为 . 题型07 由正弦型函数的值域求参数 【典例7】（24-25高一上·江苏南京·期末）设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为 . 【变式1】 （23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ． 【变式2】 （24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数在区间上的值域为则实数a的取值范围是 ． 【变式3】 （24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为 ． 【变式4】 （24-25高三上·安徽·期中）已知函数在上的最小值为-1，则 ． 题型08 判断正弦型函数的对称性 【典例8】（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列函数中，最小正周期是π且图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若是偶函数，则图象对称轴方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·北京延庆·期中）函数图象的对称轴方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数的最小正周期为，则的图象（    ） A．关于点对称 B．关于对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 题型09 根据正弦型函数的对称性求参数 【典例9】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，所得的函数图象关于对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·天津武清·期末）若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·安徽·期末）函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且．则图象的一个对称中心是 ；若，则的值为 ． 题型10 根据函数图像求解析式 【典例10】（24-25高一上·山东·阶段练习）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的部分图象如图所示，（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·天津西青·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数（其中，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象的对称轴为直线 D．函数的单调递增区间为 【变式4】（24-25高一上·甘肃·期末）已知函数的部分图象如图所示，则等于（    ） A． B．0 C． D． 题型11 正弦型函数间的图像变换 【典例11】（24-25高一上·全国·课后作业）如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与能构成“和谐”函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·吉林长春·期末）要得到的图象，需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【变式2】（24-25高一上·江苏南京·期末）将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【变式4】（24-25高一上·河南郑州·期末）要得到函数的图象，需（    ） A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变） C．将函数图象上所有点向左平移个单位长度 D．将函数图象上所有点向左平移个单位长度 题型12 正弦型函数的零点问题 【典例12】（24-25高一上·天津河西·期末）设函数，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·北京顺义·阶段练习）如果函数的一个零点是，那么φ可以是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，若在区间内恰好有198个零点，则的取值可以为（   ） A．132 B．133 C．198 D．199 题型13 正弦型函数性质的综合问题 【典例13】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知 (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)若，，求的值; (3)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围 【变式1】（多选）（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则（    ） A．的最大值为2 B．若，则 C．若，则 D．若函数两个零点间的最小距离为，则 【变式2】（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数，下列说法正确的是 ． ①函数为偶函数； ②函数的最小正周期为2； ③所有的整数都是函数的零点； ④函数在上为严格增函数． 【变式3】（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数， (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（24-25江苏省连云港期末）设为正数，若函数的最小正周期为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·北京平谷·期末）如果函数的一个零点是，那么可以是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数的相邻两个零点之间的距离为，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25江苏省连云港期末）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，则在的值域为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·吉林长春·期末）定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到 C． D．若函数在上至少有11个零点，则的最小值为 10．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．在区间有两个零点 C．直线是曲线的对称轴 D．在区间单调递增 11．（23-24高一上·安徽·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的一个单调递增区间为 C．函数的图象关于点对称 D．若函数在上没有零点，则 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）若函数的最小正周期是 . 13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上有两个不同的零点，则 . 14．（24-25高三上·天津·期中）函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，则函数在上的最小值为 . 四、解答题 15．（24-25高一上·山东·阶段练习）已知. (1)求函数的最小正周期： (2)求函数在上的单调区间. 16．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）函数在区间单调，其中为正整数，，且. (1)求图象的一条对称轴； (2)，求. 17．（24-25高一上·甘肃定西·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数在上的值域. 18．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的最小正周期为的一个零点是． (1)求的解析式； (2)当时，的最小值为，求的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 正弦型函数的性质与图象 课程标准 学习目标 1．能正确使用“五点法”“图像变换法”作出函数y＝Asin (ωx＋φ)的图像，并熟悉其变换过程． 2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、频率与振幅． 3．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，并且了解y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ对函数图像变化的影响以及它们的物理意义． 1．会用“五点法”画函数的图象，重点提升直观想象核心素养； 2．掌握与图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤； 3．掌握正弦型函数的性质，并能利用正弦型函数的性质解决简单问题。 知识点01 正弦型函数的概念及图象 1、正弦型函数的定义：一般地，形如的函数，在物理，工程等学科的研究中经常遇到，这类型的函数称为正弦型函数，其中都是常数，且. 2、对函数正弦型函数图象的影响 （1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. （2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. （3）ω决定了函数的周期 3、的实际意义 （1）的表示小球能偏离平衡位置的最大距离，称为振幅； （2）在决定时小球的位置中起关键性作用，称为初相； （3）周期表示小球完成一次运动所需要的时间， 表示1s内能完成的运动次数，称为频率. 4、“五点法”画正弦型函数的图象 用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π 0 A 0 －A 0 【即学即练1】 1．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）函数的周期、振幅、初相分别是（    ） A．，2， B．，， C．，2， D．，2， 【答案】D 【分析】由函数解析式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期即可. 【详解】函数， 振幅是2，初相是， 又的系数是，故函数的最小正周期是， 故选：D． 2．（24-25高一上·天津南开·期末）函数，其中，（），（a，），它的图象如图所示，则的解析式为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将点与的坐标代入函数表达式，建立关于的方程组即可求解. 【详解】点与代入中， 可得，解得，. 故选：A． 知识点02 正弦型函数的性质 1、定义域与值域：定义域为R，值域为 2、周期： 3、奇偶性：“定义域关于原点对称”，是函数具有奇偶性的前提，在满足这一前提的条件下， 对于 当时，函数是奇函数； 当时，函数是偶函数； 当时，函数是非奇非偶函数； 4、单调性：确定函数的单调区间的思想是把看作一个整体。 由解出的范围，可得单调递增区间； 由解出的范围，可得单调递减区间. 【即学即练2】（多选）（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知函数，则（   ） A．点是图象的一个对称中心 B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D． 【答案】AB 【分析】通过代入验证法，判断选项中的对称中心对称轴单调区间等结论是否成立. 【详解】已知函数， 由于，所以点是图象的一个对称中心，A选项正确； 由于，是函数最值，所以直线是图象的一条对称轴，B选项正确； 由于时，，不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误； 由于，D选项错误. 故选：AB. 知识点03三角函数图象变换 1、振幅变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 2、平移变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 3、周期变换：要得到函数（其中且）的图象，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 4、从到的两种变换途径 【即学即练3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）为了得到图像，需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】将化为，根据平移变换即可得解. 【详解】因为，所以只要将函数的图象向左平移个单位，即可得到函数的图象， 故选：C． 题型01 求正弦型函数的周期 【典例1】（24-25高一上·吉林白城·期末）的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求最小正周期即可. 【详解】函数的最小正周期， 故选:D. 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小正周期是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据求函数的最小正周期. 【详解】因为，所以函数的最小正周期． 故选：C 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的周期结合翻折得出最小正周期即可. 【详解】函数的最小正周期， 故对于函数，其最小正周期为． 故选：A. 【变式3】（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）设函数，则为（  ） A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为 C．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数 【答案】C 【分析】根据周期函数的定义判断即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确D错误. 故选：C 【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】由可得在和处取得最值，再由图象性质可得的最小值为半个周期即可. 【详解】由题得函数在处取得最小值，在处取得最大值， 则的最小值为相邻两条对称轴间的距离， 又最小正周期， 故的最小值为． 故选：B 题型02 根据周期性求值 【典例2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知，函数的最小正周期是，则正数的值为 . 【答案】2 【分析】由周期公式即可求解； 【详解】， 解得：， 故答案为：2 【变式1】（23-24高一下·河南驻马店·期末）函数的最小正周期为T，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用周期公式，代入解析式．再已知函数值，求角度即可 【详解】，则，即， 即，即，则，又，则. 故选：B. 【变式2】（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由最小正周期可得，再由正弦型函数求的最值，即可得答案. 【详解】由题设，则， 在上，故， 所以最大值与最小值的和等于1. 故选：C 【变式3】（23-24高一下·上海·阶段练习）已知，若、满足，且的最小值为，则 . 【答案】4 【分析】根据正弦函数图象的性质得到的最小值为半个周期，然后求即可. 【详解】若、满足，则函数在、处取到最值， 的最小值为，所以，解得. 故答案为：4. 题型03 正弦型函数的奇偶性及应用 【典例3】（24-25高一上·甘肃平凉·期末）函数为上的奇函数，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的性质，列式求解并赋值得答案. 【详解】由函数为上的奇函数，得， 解得，当时，，所给其他均不存在整数使其成立. 故选：C 【变式1】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义，即可判断. 【详解】函数的定义域为，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数. 故选：A 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的奇偶性为 . 【答案】奇函数 【分析】根据函数奇偶性定义判断函数的奇偶性. 【详解】因为定义域为, 又因为, 所以为奇函数. 故答案为：奇函数. 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质来求值即可. 【详解】因为， 所以． 故选：B. 【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）函数图象为上的奇函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性得到方程，求出，从而得到答案. 【详解】因为函数为上的奇函数， 所以， 即， 当时，，其他选项均不正确.. 故选：B 题型04 求正弦型函数的单调区间 【典例4】（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）下列区间为函数的增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体代入法求得题设函数的单调递增区间，从而检验得解. 【详解】对于， 令，，得，， 当时，， 当时，， 当时，， 对于A，不满足，故A错误； 对于B，不满足，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，不满足，故D错误； 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的单调性逐项判断即可. 【详解】函数， 对于AB，当时，，而正弦函数在上先递增后递减， 因此函数在区间上不单调，AB错误； 对于CD，当时，，而正弦函数在上单调递减， 因此在区间上单调递减，C错误，D正确. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）关于函数，下列说法正确的有（    ） A．在区间内单调递减 B．在区间内单调递增 C．在区间内单调递减 D．在区间内单调递增 【答案】B 【分析】利用整体思想，结合三角函数的单调性，建立不等式，可得答案. 【详解】令，解得， 令可知函数在区间内单调递增，A错误，B正确； 同理可知函数在区间内单调递减，C错误，D错误． 故选：B. 【变式3】（24-25高一上·吉林·期末）函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】以为整体，结合正弦函数单调性运算求解. 【详解】令，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为：. 【变式4】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数在区间上的单调减区间是 . 【答案】和 【分析】利用正弦函数的性质可知的单调增区间为，，故可得，从而求出函数的单调减区间，最后取特殊值便可求得上的单调减区间. 【详解】函数， 令， 解得， 即函数的单调减区间为： 令得，；令得， 所以在区间上的单调减区间为和， 故答案为：和. 【变式5】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】利用正弦函数的奇偶性整理函数，根据整体思想，结合正弦函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】， 要求的单调递增区间，即求的单调递减区间， 令，解得， 令，又，故函数的单调递增区间为． 故答案为：. 题型05 由正弦型函数单调性求参数 【典例5】（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，然后结合正弦函数的单调性及可得答案. 【详解】因为，，所以， 因为在，上单调递增， 则，得，， 又，取，则，即. 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数（）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】由函数的图象过点求得，根据函数的单调性，结合三角函数的性质列式求得的范围，即可得解. 【详解】因为函数的图象过点，所以， 因为，所以，所以， 当时，， 因为在区间上具有单调性， 所以，， 即且，， 则，， 因为，得， 因为，所以时，，则； 当时，， 综上，，即的最大值为. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·山东·阶段练习）已知函数，若为函数的一个零点，且函数在上是单调函数，则的最大值为 . 【答案】3 【分析】根据函数图象性质可得，再由区间上的单调性即可得出的最大值为3. 【详解】根据题意可得，所以， 可得； 由函数在上是单调函数，可得， 解得； 因此可得当时，取得最大值. 故答案为：3 【变式3】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数其中．若，在区间上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由得，再由正弦函数性质得不等式，解该不等式即可得解. 【详解】若，则， 因为在区间上单调递增， 所以，解得， 由，又，故或， 所以当时，得；当时，得. 所以满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 题型06 正弦型函数的值域与最值 【典例6】（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得，再结合正弦函数的图象求解即可. 【详解】由，得， 则. 故选：C. 【变式1】（2024高三·天津·专题练习）已知函数的最小正周期为.则函数在的最小值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】先根据函数的周期性求出，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】由题意，所以， 可得， 由，得， 所以当，即时，函数取得最小值. 故选：D. 【变式2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数（）的最小正周期为，则在的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】先利用最小正周期求出的值，再根据正弦函数的图象和性质求解最小值即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 当时，， 由正弦函数的图象和性质可知当即时，取最小值， 故的最小值为. 故选：C 【变式3】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）对于的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，从而转化成求在区间上的最小值，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】令，则，对称轴， 所以当时，取到最小值，最小值为， 故选：A. 【变式4】（24-25高一上·河北衡水·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【分析】根据三角恒等式化简，结合在的值域求最大值即可. 【详解】由于，所以. 又函数， 所以当时，. 故答案为：. 题型07 由正弦型函数的值域求参数 【典例7】（24-25高一上·江苏南京·期末）设为实数，若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，依题意可得，解得即可. 【详解】由，所以， 依题意可得，解得，所以的最小值为. 故答案为： 【变式1】 （23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出，根据函数恰有两个最大值，得到，得到答案. 【详解】因为，， 所以， 又 上恰有两个最大值， 所以，解得. 故答案为： 【变式2】 （24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）函数在区间上的值域为则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，结合函数在上的值域，列出不等式即可求出实数a的取值范围． 【详解】当时，， 由，可得， 函数在区间上的值域为， 根据正弦函数的图象知，，解得， 所以实数a的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】 （24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）设函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】分析可知的最大值为，结合正弦函数最值运算求解即可. 【详解】因为对任意的实数都成立，可知的最大值为， 则，可得． 因为，所以当时，取最小值，最小值为． 故答案为：． 【变式4】 （24-25高三上·安徽·期中）已知函数在上的最小值为-1，则 ． 【答案】 【分析】求出，根据最小值得到，求出答案. 【详解】，时，， 在上的最小值为-1，故， 解得. 故答案为： 题型08 判断正弦型函数的对称性 【典例8】（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的对称轴为逐一验证即可. 【详解】由 所以函数的对称轴为 当时，，只有D满足. 故选:D. 【变式1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列函数中，最小正周期是π且图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用最小正周期及对称轴，逐项验证判断得解. 【详解】对于A，函数的最小正周期为， 当时，，即函数图象关于直线对称，A是； 对于B，当时，，即函数图象不关于直线对称，B不是； 对于C，当时，，即函数图象不关于直线对称，C不是； 对于D，函数的最小正周期为，D不是. 故选：A 【变式2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若是偶函数，则图象对称轴方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求函数，根据偶函数的性质求，再代入函数的对称轴方程，即可求解. 【详解】函数是偶函数， 则，得， 令，解得. 因为，则，经验证只有D选项满足题意，此时. 故选：D. 【变式3】（23-24高一下·北京延庆·期中）函数图象的对称轴方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知正弦函数的对称轴，因此用整体的思想可以列出方程求解. 【详解】令, 解得, 所以的对称轴方程为 当时，其对称轴方程为，故B正确； 因为A，C，D均不满足对称轴方程，所以A，C，D错误. 故选：B. 【变式4】（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数的最小正周期为，则的图象（    ） A．关于点对称 B．关于对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】D 【分析】根据周期求出，代入，计算检验即可判断各选项. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以， 因为，所以AC错误； ，所以B错误，D正确. 故选：D 题型09 根据正弦型函数的对称性求参数 【典例9】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位，所得的函数图象关于对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合函数图象变换结论求出变换后的函数解析式，结合对称性条件列方程可得结论. 【详解】函数的图象向左平移个单位可得函数 由已知函数的图象关于对称， 所以，， 所以，，又， 所以，. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·天津武清·期末）若函数在区间上有且仅有2条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得函数的对称轴为，进而可得，即得. 【详解】又可得的对称轴为， 当时，，当时，，当时，， 因，由题意，可得， 故选：B 【变式2】（23-24高一下·安徽·期末）函数的图象在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦型函数的性质列出关于的不等式，求解即可． 【详解】由，设，则， 由图可知直线在线段之间，不含点， 所以，得． 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且．则图象的一个对称中心是 ；若，则的值为 ． 【答案】 答案不唯一 / 【分析】根据单调区间，以及可得，进而可得对称中心；先根据单调区间求出的可能取值，然后根据得到和的关系，根据关系以及的可能取值对照验证计算即可. 【详解】因为在区间上单调，且，，， 所以， 所以图象的一个对称中心是； 所以的最小正周期，即，又 ， 由为图象的一个对称中心，则①， 因为，所以或， 若②，①②得， 即，不存在整数，使得， 若③，①③得， 即，故不存在整数，使得， 当时，，此时， 又，得. 故答案为：；. 题型10 根据函数图像求解析式 【典例10】（24-25高一上·山东·阶段练习）函数（其中，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图象可确定最小正周期，由此可得，结合可得，由此可得. 【详解】由图象知函数周期，所以，所以， 又函数图象过点，，所以， 解得，又，所以，所以. 故选：A 【变式1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的部分图象如图所示，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最值可确定；由图象可确定最小正周期，由此可得；代入可求得，由此可得. 【详解】，，，； 最小正周期，，即， ，，， 又，，. 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·天津西青·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助图象可得，求得周期，进而求出，再由定点结合范围求出，即可得出解析式． 【详解】由题中图象可得，，故，则， 又图象过点，所以， 即，解得， 又，即，故. 故选：B. 【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数（其中，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象的对称轴为直线 D．函数的单调递增区间为 【答案】D 【分析】根据给定的图象，求出函数的解析式，再逐项分析求解即可. 【详解】观察函数图象，，函数的最小正周期,解得， ，由，得， ，则， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，由，得， 函数的图象的对称轴为直线，C错误； 对于D，由，得， 因此函数的单调递增区间为，D正确. 故选：D 【变式4】（24-25高一上·甘肃·期末）已知函数的部分图象如图所示，则等于（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据图象求出函数的解析式，利用对称性求解一个周期内的值，进而利用周期性求解即可. 【详解】由的图象可知， ，周期，故， 又且，可得， 故. 又根据函数图象的对称性可知 ， 所以， 所以 ， 故选：A. 题型11 正弦型函数间的图像变换 【典例11】（24-25高一上·全国·课后作业）如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与能构成“和谐”函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知所求函数与函数的振幅、最小正周期均相等，逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】由题意可知，所求函数与函数的振幅、最小正周期均相等， 由题意可知，函数的振幅为，最小正周期为， 对于A选项，函数的振幅为，最小正周期为，A不满足要求； 对于B选项，函数的振幅为，最小正周期为，B不满足要求； 对于C选项，函数的振幅为，最小正周期为，C不满足要求； 对于D选项，函数的振幅为，最小正周期为，D满足要求. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·吉林长春·期末）要得到的图象，需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】利用三角函数图象变换可得出结论. 【详解】因为， 为了得到的图象，需要将函数的图象向右平移个单位. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·江苏南京·期末）将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得， 再将得到的图象向右平移个单位长度，得. 故选：B 【变式3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【分析】由得到，利用左加右减的平移规律，得到答案. 【详解】，故向右平行移动个单位长度， 得到，故D正确，其他选项不正确. 故选：D. 【变式4】（24-25高一上·河南郑州·期末）要得到函数的图象，需（    ） A．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变） C．将函数图象上所有点向左平移个单位长度 D．将函数图象上所有点向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象，故A错误； 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象，故B 错误； 将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象， 故C错误； D. 将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确. 故选：D. 题型12 正弦型函数的零点问题 【典例12】（24-25高一上·天津河西·期末）设函数，若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得在上恰有3个解，结合正弦函数性质得不等式，解该不等式即可得解. 【详解】因为在上恰有3个零点， 所以在上恰有3个解， 因为时，， 所以由正弦函数性质可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数的零点转化为方程在区间有且仅有3个根，由三角函数性质可解. 【详解】函数的零点， 即方程的根， 当时，，方程在区间有且仅有3个根， 则，解得. 故选：D. 【变式2】（24-25高一上·北京顺义·阶段练习）如果函数的一个零点是，那么φ可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦函数的图像与性质，列出方程，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，函数的一个零点是，可得， 即，解得， 当时，可得. 故选：D. 【变式3】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，若在区间内恰好有198个零点，则的取值可以为（   ） A．132 B．133 C．198 D．199 【答案】ACD 【分析】令，按分类探讨一元二次根的情况，再结合正弦函数的性质求解即得. 【详解】令，则，， 由，则， 显然，即方程有两个不等的实数根，， 当时，，，此时在上恰有3个实根， 而，因此，则； 令， 当时，，，，当时， 则，， 此时在上恰有2个实根， 而，于是或， 因此或，所以n的取值可以为或或. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法解决一元二次方程的实根问题. 题型13 正弦型函数性质的综合问题 【典例13】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知 (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)若，，求的值; (3)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围 【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间是 (2) (3) 【分析】（1）根据三角函数的性质求最小正周期和单调递减区间； （2）利用诱导公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解； （3）首先设，再转化为与有2个交点，求参数的取值范围. 【详解】（1）的最小正周期是， 令， 得， 所以函数的单调递减区间是. （2），得， ， 因为，所以， 所以， 即. （3），则， 若函数在区间上有2个零点，即与在区间有2个交点， 如图， 即，得. 【变式1】（多选）（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则（    ） A．的最大值为2 B．若，则 C．若，则 D．若函数两个零点间的最小距离为，则 【答案】ACD 【分析】对于A：根据函数周期性可得，再举例说明是可以成立即可；对于B：举反例说明即可；对于C：根据函数的对称性分析判断；对于D：根据题意整理可得，即可得结果. 【详解】对于选项A：因为函数在区间上单调递增，且， 则该函数的最小正周期满足，解得. 例如，，即， 若，则，且在内单调递增， 可知函数在区间上单调递增，符合题意， 所以的最大值为2，故A正确； 对于选项B：例如，，即， 若，则，且在内单调递增， 可知函数在区间上单调递增，符合题意，故B错误； 对于选项C：因为， 若时，结合正弦型函数的对称性可知，故C正确； 对于选项D：设函数两个零点分别为， 令，即， 则，可得， 若，所以，故D正确. 故选：ACD. 【变式2】（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数，下列说法正确的是 ． ①函数为偶函数； ②函数的最小正周期为2； ③所有的整数都是函数的零点； ④函数在上为严格增函数． 【答案】①③ 【分析】运用函数图像伸缩，翻折变换，数形结合可解. 【详解】如图所示，运用函数伸缩，翻折变换，画出图像. 的定义域为R，且为偶函数，最小正周期为1， ，，故所有的整数都是函数的零点， 在上为严格增函数， 在上严格减函数， 故答案为：①③． 【变式3】（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数， (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)的最小正周期为，单调递增区间为， (2)的最大值和最小值分别为， (3) 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式即可求出周期，再由的单调增区间，整体代入即可求解； （2）令，从而得到，再利用的图象与性质，即可求解. （3）转化为在上有两个解，求出，结合正弦函数性质得到，求出答案. 【详解】（1）因为，所以的最小正周期为， 令，，求得，， 可得的单调递增区间为，． （2）由题意，则令，则， 又时，，得到， 故的最大值和最小值分别为，； （3）在区间上有两个零点， 等价于在上有两个解，即在上有两个解， 由，得， 要想在上有两个解， 则，解得， 故的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25江苏省连云港期末）设为正数，若函数的最小正周期为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用正弦型三角函数，代入计算即可. 【详解】由，且为正数，可得，解得. 故选：C. 2．（23-24高一上·北京平谷·期末）如果函数的一个零点是，那么可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意令，解方程即可得解. 【详解】由题意，解得，对比选项可知只有，符合题意. 故选：D. 3．（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数的相邻两个零点之间的距离为，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的周期求得参数，可得函数解析式，结合正弦函数的单调性解不等式，即可求得的单调递增区间. 【详解】由题意可知的最小正周期为， 故，则， 令， 则， 即的单调递增区间为， 故选：B 4．（24-25江苏省连云港期末）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换，即可求出结果. 【详解】将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到， 再将得到的图象向右平移个单位长度，得到， 故选：A. 5．（24-25高三上·上海·期中）已知函数为偶函数，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，进而可得的解析式，从而可求对称中心. 【详解】因为为偶函数， 所以，又，所以， 所以， 由，解得， 所以的对称中心为. 故选：B. 6．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，则在的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角公式化简函数，再利用正弦函数的性质，结合二次函数求出值域. 【详解】函数在上单调递增，而， ，即 函数，当时，， 当时，， 所以在的值域为. 故选：A 7．（24-25高一上·吉林长春·期末）定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期为，且当时，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，根据题意利用周期性和奇偶性，将转换到区间内，然后带入即可求解. 【详解】由已知，函数既是偶函数又是周期函数，的最小正周期是， 当时，， 所以. 故选：D. 8．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数零点的定义及三角函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以，解得， 所以实数的最大值是. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象可以由图象向左平移个单位长度得到 C． D．若函数在上至少有11个零点，则的最小值为 【答案】AD 【分析】由正弦函数的单调性判断A，由图象变换判断B，由对称性判断C，求出的解，结合周期性找出11个解后判断D． 【详解】对于A，令，则，即的一个单调增区间为，则在上单调递增，故选项正确； 对于B，图象向左平移个单位长度得到，，故选项错误； 对于C，由于，故选项错误； 对于D，若函数在上至少有11个零点，即与在上至少有11个交点，令，则或，即或， 由于函数一个周期由两个点函数值为，则在正好由11个交点，故的最小值为，故选项正确. 故选：AD． 10．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A． B．在区间有两个零点 C．直线是曲线的对称轴 D．在区间单调递增 【答案】ABD 【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性，结合函数零点的定义逐一判断即可. 【详解】对于A,代入点，得, ,,,故A正确; 对于B,由， ，所以或，所以该函数在区间有两个零点，故B正确； 对于C,代入，，故C错误; 对于D, 处于正弦函数的递增区间内，故D正确． 故选：ABD 11．（23-24高一上·安徽·期末）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的一个单调递增区间为 C．函数的图象关于点对称 D．若函数在上没有零点，则 【答案】ACD 【分析】A：利用图象求出函数的周期，由此求出，再由，求出的值，然后根据求出的值，进而可以判断；：利用的范围求出的范围，然后利用正弦函数的单调性以及整体代换的性质即可判断；：判断与0的关系，由此即可判断；：利用图象变换的性质以及数形结合建立不等式关系，由此即可判断． 【详解】：由函数图象可得，则，所以， 又，则，则，结合其范围有， 由，解得，所以，故正确； ：当时，，则函数在不单调递增，故错误； ：当 时，，所以的图象关于点,对称，故正确； 的图象是由的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍得到的， 由题图知 在上没有零点，则 在上没有零点， 由题意得，所以，故正确． 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）若函数的最小正周期是 . 【答案】 【分析】由最小正周期的计算公式求解即可. 【详解】由，所以函数的最小正周期为. 故答案为： 13．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上有两个不同的零点，则 . 【答案】/ 【分析】由得，令，则，有两个不同的解，易得关于对称，所以，即得，由可得答案. 【详解】由，得， 则在上有两个不同的解. 当时，， 令，则，有两个不同的解. 易得关于对称， 所以，即， 所以，即，所以， 所以 . 故答案为：. 14．（24-25高三上·天津·期中）函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，则函数在上的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题意利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数在的最小值． 【详解】将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象， 若函数为偶函数，又，所以，，故函数． ，，， 则函数在的最小值为， 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一上·山东·阶段练习）已知. (1)求函数的最小正周期： (2)求函数在上的单调区间. 【答案】(1) (2)的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）利用正弦函数求解函数的最小正周期， （2）结合正弦函数的单调区间求解出此函数的单调区间. 【详解】（1）最小正周期为： 令则 由 所以的单调递增区间为， （2）令则 由 所以的单调递减区间为 16．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）函数在区间单调，其中为正整数，，且. (1)求图象的一条对称轴； (2)，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单调区间判断周期范围，并利用周期性以及函数值相等可求得对称轴； （2）由周期性求得的取值，再由对称性得到与的关系式，再结合可得结果. 【详解】（1）因为函数在区间单调， 所以，即可得， 因此点和点在同一个周期内， 又，所以图象的一条对称轴为； （2）由（1）可知，即， 又为正整数，所以， 因为图象的一条对称轴为， 所以，即； 当时，，又，可得， 所以，此时，不符合题意； 当时，，又，可得， 所以，此时，符合题意； 当时，，又，可得， 所以，此时，不符合题意； 综上可得， 17．（24-25高一上·甘肃定西·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，求函数在上的值域. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据图象结合五点法可得，即可得函数解析式； （2）先由图象变换得到，然后由整体思想结合正弦函数性质得值域. 【详解】（1）由图可知，，则，得， 所以.又， 所以，即. 又，所以当时，， 所以. （2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得的图象， 再向右平移个单位长度得到的图象. 由，得，所以， 所以的值域为. 18．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的最小正周期为的一个零点是． (1)求的解析式； (2)当时，的最小值为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）借助正弦型函数的周期可得，再结合零点可得，即可得的解析式； （2）结合正弦型函数图象，可得，解出即可得. 【详解】（1）由题知，又，所以， 又因为，所以， 即：，又，则， 所以； （2）因为， 令， 因为在上的最小值为，如图： 可知须使，解得， 所以的取值范围是． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$