精品解析：广东省梅州市兴宁市2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年广东省梅州市兴宁市八年级（上）期末数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 2. 在平面直角坐标系中，点M（2，3）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 实数的整数部分是（　　） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若点、都在函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 某校为了解学生参加体育锻炼的情况，随机调查100名同学一周参加体育锻炼的时间，如下表所示：同学参加体育锻炼时间的中位数是（　　） 时间（小时） 6 7 8 9 人数（人） 20 30 26 24 A. 7 B. 7.5 C. 28 D. 30 7. 某次数学综合实践课上，小明将一副三角板摆成如图所示的样子，则的大小为（　　） A. B. C. D. 8. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则中正方形的边长可能是（　　） A 1 B. C. D. 3 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等角是对顶角 B. 如果，那么 C. 两个锐角之和一定是钝角 D. 边长为1，，的三角形是直角三角形 10. 如图，四边形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知四边形的面积为121，四边形的面积为49，若用、表示直角三角形的两直角边．下列四个结论：①；②；③；④． 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点关于轴对称的点的坐标为____________． 12. 如图，在中，，是高，若，则的度数是______． 13. 如图，已知，点到数轴的距离为1，那么数轴上点所表示的数为______. 14. 如图是1个纸杯和6个叠放在一起的相同纸杯的示意图．若设杯沿高为（常量），杯子底部到杯沿底边高为，写出杯子总高度随着杯子数量（自变量）的变化规律______． 15. 如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为___________． 三、解答题（共75） 16. 计算：． 17. 已知：如图，点E、F在线段上，，且，，求证：． 18. 从2024年起，佛山市中考英语科听力部分将改为单设英语听说考试．为了适应中考，某校举行了“英语听说”大赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同的测试条件下，两人次测试成绩（单位：分）如下： 甲：，，，，． 乙：，，，，． （1）下列表格中的________，________，________； 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 （2）班主任根据这次的测试成绩，应选择谁参加大赛更合适，请说明理由． 19. 关于，方程组 （1）当时，解方程组； （2）若方程组的解满足，求的值. 20. 某通讯公司开展营销活动，设置了甲、乙两种手机资费套餐，手机资费（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示． （1）说明线段的实际意义； （2）求出乙套餐每月手机资费（元）与通话时间（分）之间的函数关系式； （3）结合图像，说明选择哪种手机资费套餐更合算． 21. 综合与实践 点O是平面直角坐标系的原点，点A、B坐标分别是． （1）求的面积； （2）点是轴上一点，当的值最小时，求的坐标； （3）在图中画出的垂线，求出格点C的坐标并证明． 22. 为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作基地农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． （1）水晶梨和鹰嘴桃单价分别是多少元？ （2）因为市场销量非常好，该商场决定再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元，那么再次购买了这两种水果各多少斤？ （3）若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 23. 如1图，已知一次函数的图像与x轴相交于点，与y轴相交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）如2图，将对折，使点恰好落在边上的点处，折痕为，求的长； （3）若点P是x轴上的一个动点，是否存在点P使得为等腰三角形．若存在，请直接写出点P的，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省梅州市兴宁市八年级（上）期末数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A．0是整数，属于有理数，故选项不符合题意； B．﹣1是整数，属于有理数，故选项不符合题意； C．2是整数，属于有理数，故选项不符合题意； D．是无理数，故选项符合题意． 故选：D 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2. 在平面直角坐标系中，点M（2，3）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据横坐标大于0，纵坐标大于0，则这点在第一象限． 【详解】解：∵2＞0，3＞0， ∴（2，3）在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标，四个象限内坐标的符号：第一象限：+，+；第二象限：﹣，+；第三象限：﹣，﹣；第四象限：+，﹣；是基础知识要熟练掌握． 3. 下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式的知识，理解并掌握最简二次根式的定义和满足条件是解题关键．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此即可获得答案． 【详解】解：A. 是最简二次根式，符合题意； B. 不是最简二次根式，不符合题意； C. 不是最简二次根式，不符合题意； D. 不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 4. 实数的整数部分是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】因为2＜＜3，由此可以得到实数的整数部分． 【详解】∵2＜＜3， ∴实数的整数部分是2． 故选B． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，关键是能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小． 5. 若点、都在函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据，可得随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵，， 点、都在函数的图象上， ∴ 故选：C． 6. 某校为了解学生参加体育锻炼的情况，随机调查100名同学一周参加体育锻炼的时间，如下表所示：同学参加体育锻炼时间的中位数是（　　） 时间（小时） 6 7 8 9 人数（人） 20 30 26 24 A. 7 B. 7.5 C. 28 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的定义解答即可． 【详解】解：由统计表可得最中间的两个数据为7和8， ∴同学参加体育锻炼时间的中位数是 故选：B． 7. 某次数学综合实践课上，小明将一副三角板摆成如图所示样子，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”．根据题意得到，根据三角形外角和定理即可求解． 【详解】解：如图，由题意得， ∵是的外角， ∴． 故选：B 8. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则中正方形的边长可能是（　　） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的面积，无理数的大小比较，计算即可． 【详解】设大正方形的边长为a，中正方形的边长为b，小正方形的边长为c， 根据题意，得， 故， ∵ ∴中正方形的可能值为， 故选B． 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 如果，那么 C. 两个锐角之和一定是钝角 D. 边长为1，，的三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用对顶角的定义，直角三角形三边关系，角的大小关系分别判断即可，解题的关键是掌握各定义和角的大小关系及直角三角形的三边关系． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故A不符合题意； B、如果，那么或，故B不符合题意； C、两个锐角之和不一定是钝角，故C不符合题意； D、，边长为1，，的三角形是直角三角形，故D符合题意． 故选： 10. 如图，四边形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知四边形的面积为121，四边形的面积为49，若用、表示直角三角形的两直角边．下列四个结论：①；②；③；④． 其中正确是（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及三角形的边的关系．根据直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答． 【详解】解：根据题意得：四边形，四边形均为正方形， ∵四边形的面积为121，四边形的面积为49， ∴正方形的边长为11，正方形的边长为7， ∵为直角三角形， ∴根据勾股定理：，故①正确； 由图可知，，故②正确； 由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 即，即；故④正确； ∴①， 又∵②， 由得，， 即，故③错误． ∴正确结论有①②④． 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点关于轴对称的点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标．根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 12. 如图，在中，，是高，若，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，由，得到，由高得到，再根据直角三角形两个锐角互余即可求出，掌握直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知，点到数轴的距离为1，那么数轴上点所表示的数为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数； 利用勾股定理求出，然后根据数轴可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴数轴上点所表示的数为， 故答案为：． 14. 如图是1个纸杯和6个叠放在一起的相同纸杯的示意图．若设杯沿高为（常量），杯子底部到杯沿底边高为，写出杯子总高度随着杯子数量（自变量）的变化规律______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据“杯子总高度杯子底部到杯沿底边高杯沿高杯子数量”，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，杯沿高为（常量），杯子底部到杯沿底边高为， 则杯子总高度随着杯子数量（自变量）的变化规律为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，是是的平分线，是线段上一点，是线段上一点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称﹣最短路线问题，角平分线的定义质，勾股定理，能用一条线段的长表示两线段和的最小值是解题的关键；作关于的对称点，则，当时，取得最小值，过点作于点，则的长，即为的最小值，勾股定理求得斜边长，然后根据等面积法，即可求解． 【详解】解：如图所示，作关于的对称点， ∴， ∵是是的平分线， ∴在上，， ∴， 当时，取得最小值， 过点作于点，则的长，即为的最小值， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共75） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 已知：如图，点E、F在线段上，，且，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查是全等三角形的判定与性质，由平行线可得，再根据线段的和差得到，运用证明全等是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 18. 从2024年起，佛山市中考英语科听力部分将改为单设英语听说考试．为了适应中考，某校举行了“英语听说”大赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同的测试条件下，两人次测试成绩（单位：分）如下： 甲：，，，，． 乙：，，，，． （1）下列表格中的________，________，________； 平均数 众数 中位数 方差 甲 乙 （2）班主任根据这次的测试成绩，应选择谁参加大赛更合适，请说明理由． 【答案】（1），， （2）选择甲，详见解析 【解析】 【分析】本题考查了平均数，众数，中位数的定义，方差的意义； （1）根据平均数，众数，中位数的定义，即可求解； （2）根据平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，即可求解． 【小问1详解】 解：甲的成绩的众数为，即； 乙的平均数为，即； 中位数为， 故答案为：，， 【小问2详解】 选择甲参加大赛； 因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加大赛更合适． 19. 关于，的方程组 （1）当时，解方程组； （2）若方程组的解满足，求的值. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）把代入方程组，用加减法解方程组即可； （）把两个方程相加得到，再根据即可得到关于的一元一次方程，解方程即可得到的值； 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入方程组得， ， 得，， 得，， 解得， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 20. 某通讯公司开展营销活动，设置了甲、乙两种手机资费套餐，手机资费（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示． （1）说明线段的实际意义； （2）求出乙套餐每月手机资费（元）与通话时间（分）之间的函数关系式； （3）结合图像，说明选择哪种手机资费套餐更合算． 【答案】（1）甲套餐月租费9元，免费通话时间为30分钟 （2） （3）当通话时间分钟时，甲套餐合算；当通话时间分钟时，甲、乙两套餐自费相同；当通话时间分钟时，乙套餐合算 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图像、一次函数的应用等知识，通过函数图像获得所需信息是解题关键． （1）结合函数图像，即可获得答案； （2）对于乙套餐，设每月手机资费（元）与通话时间（分）之间的函数关系式为，然后利用待定系数法求解即可； （3）根据函数图像，分情况讨论即可． 小问1详解】 解：由图像可知， 线段的实际意义表示甲套餐月租费9元，免费通话时间为30分钟； 【小问2详解】 解：对于乙套餐，设每月手机资费（元）与通话时间（分）之间的函数关系式为， 将点、代入， 可得， 解得， 所以，乙套餐每月手机资费（元）与通话时间（分）之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：结合图像可知， 当通话时间分钟时，甲套餐合算； 当通话时间分钟时，甲、乙两套餐自费相同； 当通话时间分钟时，乙套餐合算． 21. 综合与实践 点O是平面直角坐标系的原点，点A、B坐标分别是． （1）求的面积； （2）点是轴上一点，当的值最小时，求的坐标； （3）在图中画出的垂线，求出格点C的坐标并证明． 【答案】（1）2.5 （2） （3）作图见解析，，，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查轴对称﹣最短路线问题、待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）利用割补法求解即可； （2）作点A关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，根据轴对称求最短路径的方法可得此时的值最小，然后根据轴对称的性质得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与x轴的交点坐标即可； （3）通过构造全等三角形可作出的垂线，然后根据所作图形可得格点的坐标． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接与x轴交于点E，连接，则， ∴， ∴此时的值最小，最小值为的长， ∵点、坐标分别是、， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时， 解得：， ∴点E的坐标为； 【小问3详解】 如图，格点，即为所求，，， 证明：如图，作轴于M，轴于N， 由网格得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 同理可得： 22. 为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作基地农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． （1）水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ （2）因为市场销量非常好，该商场决定再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元，那么再次购买了这两种水果各多少斤？ （3）若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 【答案】（1）水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是元 （2）那么再次购买了鹰嘴桃斤，水晶梨为斤 （3）w关于n的函数关系式，购买的鹰嘴桃为斤时，商场的利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用、一元一次方程的实际应用： （1）设鹰嘴桃的单价为元，则水晶梨的单价为元，根据“购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元”即可列式计算； （2）设再次购买了鹰嘴桃斤，则水晶梨为斤，根据“再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元，”即可列式计算； （3）依题意，得，因为，随着的增大而增大，结合，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：设鹰嘴桃的单价为元，则水晶梨的单价为元， 依题意，得 解得 则（元） 水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是元； 【小问2详解】 解：设再次购买了鹰嘴桃斤，则水晶梨为斤 依题意，得 解得 则（千克） ∴那么再次购买了鹰嘴桃斤，水晶梨为斤； 【小问3详解】 解：∵若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元， ∴购买水晶梨的数量为斤 依题意，得 则随着的增大而增大 ∵经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤 ∴ ∴w关于n的函数关系式 则当时，由最大值，且为 ∴购买的鹰嘴桃为斤时，商场的利润最大，最大利润为元 23. 如1图，已知一次函数的图像与x轴相交于点，与y轴相交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）如2图，将对折，使点恰好落在边上的点处，折痕为，求的长； （3）若点P是x轴上的一个动点，是否存在点P使得为等腰三角形．若存在，请直接写出点P的，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的定义，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将，代入一次函数解析式可得，求出的值即可得解； （2）由题意可得，，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，根据，，进行计算即可得出答案； （3）设点的坐标为，则，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别得出方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：一次函数的图像与x轴相交于点，与y轴相交于点， ， 解得：， 一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：，， ，， ， 将对折，使点恰好落在边上的点处，折痕为， ，， ，， ， ； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， ，， ，，， 当时，则， 解得：或， 的坐标为或； 当时，则， 解得：， 的坐标为； 当时，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， 的坐标为， 综上所述，的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $