第9讲 函数与平面直角坐标系（讲义）-备战2025年浙江中考数学一轮复习

备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第三单元 函数 第9讲 平面直角坐标系与函数初步 ( 课标要求 ) 1.认识并能画出平面直角坐标系，了解平面直角坐标系内点的特征，能根据坐标确定点的位置，能点的位置写出它的坐标； 2.掌握关于原点、坐标轴对称的点的坐标特征，能综合运用图形的坐标的特征解决简单的实际问题； 3.了解函数的概念并能确定自变量的取值范围，能根据条件列出函数关系式并求出函数值，能用描点法画函数图象. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1平面直角坐标系 ☆ 平面直角坐标系作为数与形的桥梁、函数入门工具重要性不言而喻，平面直角坐标系和函数初步几乎年年都会考查,分值为10分左右，主要考查坐标的相关概念与坐标变换、函数的相关概念和实际应用等。预计2025年浙江中考还将出现，难度不高，在选择、填空题中出现的可能性较大。 考点2点的坐标特征与变换 ☆☆ 考点3函数的概念 ☆☆☆ 考点4 函数图象信息 ☆☆ ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．平面直角坐标系的概念及点的坐标特征： (1)各象限内点的坐标特征如图所示． (2)点到坐标轴或坐标原点的距离：点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，到坐标原点的距离为． (3)特殊点的坐标特征：点P(x，y)在x轴上为(x，0)，在y轴上为(0，y)．若在第一、三象限的角平分线上，则x＝y；若在第二、四象限的角平分线上，则x＋y＝0． (4)坐标系内点的对称及平移： 点P(x，y) 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 对称点的坐标 (x，－y) (－x，y) (－x，－y) 将点P(x，y)向左(或右)平移a(a＞0)个单位，得对应点为(x－a，y)或(x＋a，y)．向上(或下)平移b(b＞0)个单位，得对应点为(x，y＋b)或(x，y－b)． (5)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： ①平行于x轴的直线上，所有点的 纵 坐标相等． ②平行于y轴的直线上，所有点的 横 坐标相等． 2．函数与图象： (1)函数的定义： 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量． (2)函数自变量的取值范围： 由表达式给出的函数，自变量的取值范围应使表达式有意义．对于实际意义的函数，自变量的取值范围还应使实际问题有意义． (3)函数的三种表示方法： ①解析法；②列表法；③图象法． (4)函数图象的画法： ①列表；②描点；③连线． ( 深度讲练 ) ■考点一　平面直角坐标系的相关概念► ◇典例1：（2024•新泰市一模）如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，﹣1），则点C的坐标为（　　） A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1） 【思路点拨】根据点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，﹣1）确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案． 【解析】解：如图， 点C的坐标为（﹣1，1）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了了坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向． 【变式训练】 1．（2024•太原二模）“计里画方”是中国古代一种按比例尺绘制地图的传统方法，绘图时先在图上布满方格，然后按方格绘制地图内容．小华按照“计里画方”的方法，绘制了蒙山大佛旅游区的局部示意图（如图）．若该图中“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），则景点“蒙山氧吧”的坐标为（　　） A．（﹣1，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2） 【思路点拨】“蒙山氧吧”在“蒙山晓月”左面的第三格，所以横坐标要减去3；根据“蒙山氧吧”在“开化寺”上方的第四格，所以纵坐标要加上4，即可求出答案． 【解析】解：1﹣3＝﹣2； ﹣2+4＝2， ∴“蒙山氧吧”的坐标为（﹣2，2）， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是根据左减上加的方法来求点的坐标． 2．（2024•甘孜州）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为（1，90°），（2，240°），则点C的位置可以表示为 　（3，30°）　． 【思路点拨】首先结合雷达探测器测得的图形和方位角的定义分别得到点C在图中的方位角，再得到点C到点O的距离，由此即可得到点C的位置． 【解析】解：∵点A，B的位置可以分别表示为（1，90°），（2，240°）， ∴点C的位置可以表示为（3，30°）， 故答案为：（3，30°）． 【点睛】本题考查的是用坐标确定位置，理解方位角的意义是解题的关键． ■考点二 点的坐标特征与变换► ◇典例2：1．（2024•杭州三模）点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5） 【思路点拨】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【解析】解：∵点P位于第二象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度， ∴点的坐标为（﹣3，5）． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负． 2．（2024•雅安）在平面直角坐标系中，将点P（1，﹣1）向右平移2个单位后，得到的点P1关于x轴的对称点坐标是（　　） A．（1，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（1，﹣1） 【思路点拨】直接利用平移的性质得出对应点坐标，再利用关于x轴对称点的性质得出答案． 【解析】解：∵将点P（1，﹣1）向右平移2个单位后， ∴平移后的坐标为（3，﹣1）， ∴得到的点P1关于x轴的对称点坐标是（3，1）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质以及平移的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 【变式训练】 1．（2024•广西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为（2，1），则点Q的坐标为（　　） A．（3，0） B．（0，2） C．（3，2） D．（1，2） 【思路点拨】根据平面直角坐标系中点Q的位置即可得出答案． 【解析】解：点Q的坐标为（3，2）． 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是熟练掌握点的坐标的表示方法． 2．（2024•上城区二模）若点（m，n）在第二象限，则点（n+1，m）在第 　四　象限． 【思路点拨】先根据题意判断出m，n的符号，进而可得出结论． 【解析】解：∵点（m，n）在第二象限， ∴m＜0，n＞0， ∴n+1＞0， ∴点（n+1，m）在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】本题考查的是点的坐标，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键． 3．（2024•长沙）在平面直角坐标系中，将点P（3，5）向上平移2个单位长度后得到点P′的坐标为（　　） A．（1，5） B．（5，5） C．（3，3） D．（3，7） 【思路点拨】根据点平移时坐标的变化规律即可解决问题． 【解析】解：将点P向上平移2个单位长度，则其横坐标不变，纵坐标增加2， 所以点P′的坐标为（3，7）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 4．（2024•恩施市模拟）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，已知PQ平行于x轴且PQ＝4，则点Q的坐标是（　　） A．（6，﹣3）或（﹣2，﹣3） B．（6，﹣3） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）或（7，﹣2） 【思路点拨】先根据题意得出P点坐标，根据PQ平行于x轴设出Q点的坐标，进而可得出结论． 【解析】解：∵第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2， ∴P（2，﹣3）， ∵PQ平行于x轴， ∴设Q（x，﹣3）， ∵PQ＝4， ∴|x﹣2|＝4， ∴x＝6或x＝﹣2， ∴Q（6，﹣3）或（﹣2，﹣3）． 故选：A． 【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上各点的纵坐标相等是解题的关键． 5．（2024•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2020的坐标为 　（1010，0）　． 【思路点拨】根据前几个坐标的规律可得：A4n（2n，0），A4n+1（2n，1），A4n+2（2n+1，1），A4n+3（2n+1，0），然后根据规律求解即可． 【解析】解：根据题意可知，A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），A7（3，0），A8（4，0），…… 可得坐标规律为：A4n（2n，0），A4n+1（2n，1），A4n+2（2n+1，1），A4n+3（2n+1，0）， ∵2020＝4×505， ∴点A2020的坐标为（1010，0）， 故答案为：（1010，0）． 【点睛】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． ■考点三　函数的概念及自变量的取值范围► ◇典例4：（2024•哈尔滨）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≠5　． 【思路点拨】根据反比例函数分母不为0求解即可． 【解析】解：∵y＝， ∴x﹣5≠0， 故答案为：x≠5． 【点睛】本题考查了反比例函数自变量x的取值范围，掌握分母不为0是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024•无锡）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≥3 【思路点拨】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【解析】解：由题意得：x﹣3≥0， 解得：x≥3， 故选：D． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2．（2024•铁锋区三模）在函数中，自变量x的取值范围是　x≥0且x≠2　． 【思路点拨】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0列式计算即可得解． 【解析】解：由题意得，x≥0且x﹣2≠0，x+1≠0， 解得x≥0且x≠2，x≠﹣1， 所以，x≥0且x≠2． 故答案为：x≥0且x≠2． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3．（2024•甘肃）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A．y＝3x B．y＝4x C．y＝3x+1 D．y＝4x+1 【思路点拨】由图得到小桌长与宽的数量关系，从而得到长桌与宽的数量关系． 【解析】解：由图可知，小桌的长为2x尺，则y＝x+x+2x，即y＝4x． 故选：B． 【点睛】本题考查函数关系式、图形的变化类，由图得到小桌长与宽的数量关系，从而得到长桌与宽的数量关系是解题的关键． ■考点四 函数图象信息题► ◇典例5：（2024•顺河区一模）如图（折线ABCDE）描述了一辆汽车在某一直路上行驶的过程中，汽车离出发地的距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的变量关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车共行驶了100千米；②汽车在1.5至2小时之间匀速行驶；③汽车在整个行驶过程中（含停留过程）的平均速度为千米/时；④汽车出发后3小时至4.5小时之间，其行驶的速度在逐渐减小，其中正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【思路点拨】根据图象中的数据，结合速度、时间、路程之间的关系，对上述说法进行判断，即可解题． 【解析】解：①由图知，汽车单趟行驶了100千米，往返一共行驶了200千米，故①错误； ②汽车在1.5至2小时之间是休息状态没有行驶，故②错误； ③汽车在整个行驶过程中平均速度为（千米/时），故③正确； ④∵汽车出发后3小时至4.5小时之间，图象为一条直线， ∴其行驶的速度为匀速，故④错误； 综上所述，正确的为③； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决 【变式训练】 1．（2024•久治县二模）小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A．当t＝41时，h＝15 B．在运动过程中过山车的最高高度为98米 C．当30＜t≤41时，过山车的高度在不断下降 D．在0≤t≤60范围内，过山车只有1次高度达到80米 【思路点拨】根据某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象逐项分析判断即可求解． 【解析】解：A、结合图象，当t＝41时，h＝15，故该选项正确，不符合题意； B、结合图象，过山车距水平地面的最高高度为98米，故该选项正确，不符合题意； C、当30＜t≤41时，过山车的高度在不断下降，故该选项正确，不符合题意； D、在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80米时，t的值有3个，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数的图象，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 2．（2024•瑞安市二模）已知点P（﹣3、a），Q（3，a），R（5，a+2）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】由点P（﹣3、a），Q（3，a）关于y轴对称，可排除选项A、C，再根据Q（3，a），R（5，a+2），可知在y轴的右侧，y随x的增大而增大，从而排除选项B． 【解析】解：由P（﹣3、a），Q（3，a）在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项A、C不符合题意； 由Q（3，a），R（5，a+2），可知在y轴的右侧，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意，选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． ( 真题演练 ) 1．（2024•钱塘区三模）在平面直角坐标系中，坐标为（﹣2024，2025）的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】根据象限内点的坐标特征即可得出答案． 【解析】解：横坐标为负，纵坐标为正的点在第二象限内． 故选：B． 【点睛】本题主要考查点的坐标，牢记各象限内点的坐标性质是解题的关键． 2．（2024•沿河县一模）如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 【思路点拨】先判断出小手盖住的点在第二象限，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【解析】解：由图可知，小手盖住的点在第二象限， （3，2），（﹣3，2），（3，﹣2），（﹣3，﹣2）中只有（﹣3，2）在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 3．（2024•贵州）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为（﹣2，0），（0，0），则“技”所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置． 【解析】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，正确建立直角坐标系是解题的关键． 4．（2024•绵阳）蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为M1，若点M的坐标为（﹣2，﹣3），则点M1的坐标为（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（2，3） 【思路点拨】由题意得，点M（﹣2，﹣3）与点M1关于y轴对称，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可得答案． 【解析】解：由题意得，点M（﹣2，﹣3）与点M1关于y轴对称， ∴点M1的坐标为（2，﹣3）． 故选：A． 【点睛】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标、坐标确定位置、轴对称图形，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 5．（2024•扬州）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于坐标原点的对称点P′的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2） 【思路点拨】根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可． 【解析】解：∵点P（1，2）， ∴关于坐标原点的对称点P′的坐标为（﹣1，﹣2）． 故选：A． 【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）是解题的关键． 6．（2024•广元）如果单项式﹣x2my3与单项式2x4y2﹣n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点（m，n）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【思路点拨】根据两个单项式的和仍是一个单项式，可求出m，n的值，进而得出点（m，n）所在象限． 【解析】解：因为单项式﹣x2my3与单项式2x4y2﹣n的和仍是一个单项式， 所以2m＝4，2﹣n＝3， 解得m＝2，n＝﹣1， 所以点（2，﹣1）所在的象限为第四象限． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意求出m，n的值并熟知每个象限内点的坐标特征是解题的关键． 7．（2024•舟山一模）如图，是1个纸杯和n个叠放在一起的纸杯示意图，n个纸杯叠放所形成的高度为h，设杯子底部到杯沿底边高H，杯沿高a（H，a均为常量），h是n的函数，h随着n的变化规律可以用表达式（　　）描述． A．h＝H+（n﹣1）a B．h＝H+na C．h＝H+（n+1）a D．h＝na 【思路点拨】根据题意列出解析式，h，a是常量，n，H是变量，直接判断即可． 【解析】解：由题可知，h＝H+a（n﹣1）， 因为h，a是常量，n，H是变量， 因此此情景中变量之间的函数关系为一次函数． 故选：A． 【点睛】此题考查一次函数的定义，根据题意列出解析式是解题关键． 8．（2024•自贡）如图，在平面直角坐标系中，D（4，﹣2），将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置．则点B坐标为（　　） A．（2，4） B．（4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，4） 【思路点拨】根据点D的坐标得出OC＝4，CD＝2，根据旋转得出OA＝OC＝4，AB＝CD＝2，从而得到B的坐标为（2，4）． 【解析】解：∵D（4，﹣2）， ∴OC＝4，CD＝2， ∵旋转， ∴OA＝OC＝4，AB＝CD＝2， ∴B（2，4）， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标系中旋转的特点，掌握旋转前后两个图形全等是解题的关键． 9．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系中，已知直线l：x＝2和直线m：y＝﹣1，点P（x，y）的位置如图所示，则（　　） A．x＞2，y＞﹣1 B．x＞2，y＜﹣1 C．x＜2，y＞﹣1 D．x＜2，y＜﹣1 【思路点拨】根据所给平面直角坐标系，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解析】解：根据所给图象可知， 点P（x，y）在直线l的左侧，且直线l为x＝2， 所以x＜2． 点P（x，y）在直线m的上方，且直线m为y＝﹣1， 所以y＞﹣1． 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形性质，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 10．（2024•徐州）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（　　） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 【思路点拨】根据函数图像分析即可． 【解析】解：由图像可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速行驶， 则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键． 11．（2024•河北）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：． 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（　　） A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0） C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1） 【思路点拨】先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照Q16的反向运动理解去分类讨论：①Q16先向右1个单位，不符合题意；②Q16先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为（6，1），那么最后一次若向右平移则为（7，1），向左平移则为（5，1）． 【解析】解：根据已知：点P3（2，2）横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P4（2，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P5（1，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位………，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1.9），则按照“和点”Q16 反向运动16次即可，可以分为两种情况： ①Q16先向右1个单位得到Q15（0，9），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q15向右平移1个单位得到Q16，故矛盾，不成立； ②Q16先向下1个单位得到Q15（﹣1，8），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个 单位得到Q16，故符合题意， ∴点Q16先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为（﹣1+7，9﹣8），即（6，1）， ∴最后一次若向右平移则为（7，1），若向左平移则为（5，1）， 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标系内点的平移运动，读懂题意，熟练掌握平移与坐标关系，利用反向运动理解是解决本题的关键． 12．（2024•黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≥3　． 【思路点拨】由题意可得x﹣3≥0且x+2≠0，解得x的取值范围即可． 【解析】解：由题意可得x﹣3≥0且x+2≠0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3． 【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，结合已知条件列得正确的不等式是解题的关键． 13．（2024•辽宁）在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（2，﹣1），B（1，0），将线段AB平移后，点A的对应点A′的坐标为（2，1），则点B的对应点B′的坐标为 　（1，2）　． 【思路点拨】根据点A及点A对应点的坐标，得出平移的方向和距离，据此可解决问题． 【解析】解：因为点A坐标为（2，﹣1），且平移后对应点A′的坐标为（2，1）， 所以2﹣2＝0，1﹣（﹣1）＝2， 所以1+0＝1，0+2＝2， 所以点B的对应点B′的坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2）． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键． 14．（2024•蒙阴县一模）如图1，动点P从A点出发，沿着矩形ABCD的边，按照路线A→B→C→D→A匀速运动一周到A点停止，速度为1cm/s．AP的长y（cm）与运动时间t（s）的关系图象如图2，则矩形对角线AC的长为 　5cm　． 【思路点拨】当0≤x＜4、4≤x＜7两段，分别求得矩形的边长再用勾股定理即可得解． 【解析】解：根据题意，结合函数图象，可知： 当0≤x＜4时，点P在AB上运动； 当x＝4时，点P运动到点B，即AB＝1×4＝4（cm）； 由图知，点P在AB，CD上运动时间均为4s，则在BC上运动了3s， 即由A到C运动了7s； 当4≤x＜7时，点P在BC上运动； 当x＝7时，点P运动到点C，即CB＝1×（7﹣4）＝3（cm）． 在矩形ABCD中，AB＝4，CB＝3，则， 故答案为：5cm． 【点睛】本题考查了矩形的性质，动点问题的函数图象，利用了数形结合的思想，解答本题的关键是读懂题意，从图象的变化与动点运动位置的改变确定动点的所需关系量． 15．（2024•青浦区三模）五子连珠棋和象棋、围棋一样，深受同学们喜爱，其规则是：在15×15的正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图所示，是两个五子棋爱好者甲和乙对弈图（甲执黑子先行，乙执白子后行），若白棋①的位置是（﹣1，﹣2），白棋②的位置是（2，1）． （1）请在图中建立平面直角坐标系，并写出黑棋M的位置是 　（6，2）　； （2）甲必须在何处落子，才不会让乙在短时间内获胜，直接写出对应的点的位置． 【思路点拨】（1）利用直角坐标系写出黑棋M的位置的坐标即可； 根据五子连棋的规则，乙已把（2，6）（3，5）（4，4）三点凑成在一条直线，甲只有在此三点两端任加一点即可保证不会让乙在短时间内获胜，据此即可确定点的坐标． 【解析】解：（1）黑棋M的位置如图所示： 黑棋M的坐标为（6，1）， 故答案为：（6，1）； （2）根据题意得，乙执的白棋已有三点（0，3）（1，2）（2，1）在一条直线上， 甲只有在此直线上距离（﹣1，4）（3，0）最近的地方占取一点才能保证不会让乙在短时间内获胜， 即为点（﹣1，4）或（3，0）． 【点睛】本题考查了点的坐标的确定及生活中的棋类常识，正确理解题意和识图是解题的关键． 16．（2024•瑞安市二模）综合与实践：如何测算容器内装饰物的高度． 素材1：如图1，是一个瓶身为圆柱形的小口径容器，其高度为12cm，容器里面有一圆柱形装饰物，且这两个圆柱的底面积之比为5：2． 素材2：为了测算该容器内圆柱形装饰物的高度，小羽以5cm3/s的速度向容器内匀速注水，在注水过程中，容器内水面高度h随时间t的变化规律如图2所示． 任务1：设注入水的体积为V（cm3），容器底面积为S（cm2）．当0≤t≤6时，请用两种不同的方式表示V： ①用含t的代数式表示V． ②用含S，h的代数式表示V． 任务2：求容器内圆柱形装饰物的高度． 【思路点拨】（1）①根据水流速度乘以流水时间可得结论； ②根据圆柱底面积乘以高可得结论； （2）前6秒注入水的高度为h cm，后14秒注入水的高度为h′cm，先求出前6秒注入水的体积，再求出后14秒注入水的体积，得出＝，根据圆柱容器的高度为12cm，可得h＝5． 【解析】解：（1）根据图象可知，当流水注入时间为6秒时，水面与圆柱形装饰物齐平； ①水流的速度为5cm3/s，水流的时间为t s，注入水的体积为：V＝5t； ②圆柱形的小口径容器底面积为S cm2， ∵这两个圆柱的底面积之比为5：2， ∴空余处的面积为，高度为h， ∵0≤t≤6， ∴； （2）由图象知，溉注水时间为20秒时，圆柱容器注满，高度为12cm，设前6秒注入水的高度为h cm，后14秒注入水的高度为h′cm， ∵这两个圆柱的底面积之比为5：2， ∴空余处的面积为， ∴， ＝， ， 而h+h′＝12， ∴， 解得，h＝5， 即：容器内圆柱形装饰物的高度为5cm． 【点睛】本题考查函数图象，认识立体图形，圆柱的计算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$备战2025年浙江中考数学一轮复习·讲义 第三单元 函数 第9讲 平面直角坐标系与函数初步 ( 课标要求 ) 1.认识并能画出平面直角坐标系，了解平面直角坐标系内点的特征，能根据坐标确定点的位置，能点的位置写出它的坐标； 2.掌握关于原点、坐标轴对称的点的坐标特征，能综合运用图形的坐标的特征解决简单的实际问题； 3.了解函数的概念并能确定自变量的取值范围，能根据条件列出函数关系式并求出函数值，能用描点法画函数图象. ( 备考指南 ) 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1平面直角坐标系 ☆ 平面直角坐标系作为数与形的桥梁、函数入门工具重要性不言而喻，平面直角坐标系和函数初步几乎年年都会考查,分值为10分左右，主要考查坐标的相关概念与坐标变换、函数的相关概念和实际应用等。预计2025年浙江中考还将出现，难度不高，在选择、填空题中出现的可能性较大。 考点2点的坐标特征与变换 ☆☆ 考点3函数的概念 ☆☆☆ 考点4 函数 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．平面直角坐标系的概念及点的坐标特征： (1)各象限内点的坐标特征如图所示． (2)点到坐标轴或坐标原点的距离：点P(x，y)到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ，到坐标原点的距离为 ． (3)特殊点的坐标特征：点P(x，y)在x轴上为 ，在y轴上为 ．若在第一、三象限的角平分线上，则 ；若在第二、四象限的角平分线上，则 ． (4)坐标系内点的对称及平移： 点P(x，y) 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 对称点的坐标 将点P(x，y)向左(或右)平移a(a＞0)个单位，得对应点为( ，y)或( ，y)．向上(或下)平移b(b＞0)个单位，得对应点为(x， )或(x， )． (5)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征： ①平行于x轴的直线上，所有点的 坐标相等． ②平行于y轴的直线上，所有点的 坐标相等． 2．函数与图象： (1)函数的定义： 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x，y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的 ，x叫做 ． (2)函数自变量的取值范围： 由表达式给出的函数，自变量的取值范围应使表达式有意义．对于实际意义的函数，自变量的取值范围还应使 有意义． (3)函数的三种表示方法： ① ；② ；③ ． (4)函数图象的画法： ①列表；② ；③连线． ( 深度讲练 ) ■考点一　平面直角坐标系的相关概念► ◇典例1：（2024•新泰市一模）如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，﹣1），则点C的坐标为（　　） A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1） 【变式训练】 1．（2024•太原二模）“计里画方”是中国古代一种按比例尺绘制地图的传统方法，绘图时先在图上布满方格，然后按方格绘制地图内容．小华按照“计里画方”的方法，绘制了蒙山大佛旅游区的局部示意图（如图）．若该图中“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为（﹣1，﹣2）、（1，﹣2），则景点“蒙山氧吧”的坐标为（　　） A．（﹣1，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，2） D．（2，﹣2） 2．（2024•甘孜州）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为（1，90°），（2，240°），则点C的位置可以表示为 　　． ■考点二 点的坐标特征与变换► ◇典例2：1．（2024•杭州三模）点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5） 2．（2024•雅安）在平面直角坐标系中，将点P（1，﹣1）向右平移2个单位后，得到的点P1关于x轴的对称点坐标是（　　） A．（1，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（1，﹣1） 【变式训练】 1．（2024•广西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为（2，1），则点Q的坐标为（　　） A．（3，0） B．（0，2） C．（3，2） D．（1，2） 2．（2024•上城区二模）若点（m，n）在第二象限，则点（n+1，m）在第 　　象限． 3．（2024•长沙）在平面直角坐标系中，将点P（3，5）向上平移2个单位长度后得到点P′的坐标为（　　） A．（1，5） B．（5，5） C．（3，3） D．（3，7） 4．（2024•恩施市模拟）在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，已知PQ平行于x轴且PQ＝4，则点Q的坐标是（　　） A．（6，﹣3）或（﹣2，﹣3） B．（6，﹣3） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）或（7，﹣2） 5．（2024•甘南州）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2020的坐标为 　 　． ■考点三　函数的概念及自变量的取值范围► ◇典例4：（2024•哈尔滨）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　　． 【变式训练】 1．（2024•无锡）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≥3 2．（2024•铁锋区三模）在函数中，自变量x的取值范围是　 　． 3．（2024•甘肃）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A．y＝3x B．y＝4x C．y＝3x+1 D．y＝4x+1 ■考点四 函数图象信息题► ◇典例5：（2024•顺河区一模）如图（折线ABCDE）描述了一辆汽车在某一直路上行驶的过程中，汽车离出发地的距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的变量关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车共行驶了100千米；②汽车在1.5至2小时之间匀速行驶；③汽车在整个行驶过程中（含停留过程）的平均速度为千米/时；④汽车出发后3小时至4.5小时之间，其行驶的速度在逐渐减小，其中正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练】 1．（2024•久治县二模）小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A．当t＝41时，h＝15 B．在运动过程中过山车的最高高度为98米 C．当30＜t≤41时，过山车的高度在不断下降 D．在0≤t≤60范围内，过山车只有1次高度达到80米 2．（2024•瑞安市二模）已知点P（﹣3、a），Q（3，a），R（5，a+2）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． ( 真题演练 ) 1．（2024•钱塘区三模）在平面直角坐标系中，坐标为（﹣2024，2025）的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024•沿河县一模）如图，小明用手盖住的点的坐标可能为（　　） A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3，﹣2） 3．（2024•贵州）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为（﹣2，0），（0，0），则“技”所在的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024•绵阳）蝴蝶颜色炫丽，翩翩起舞时非常美丽，深受人们喜爱，它的图案具有对称美，如图，蝴蝶图案关于y轴对称，点M的对应点为M1，若点M的坐标为（﹣2，﹣3），则点M1的坐标为（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（2，3） 5．（2024•扬州）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于坐标原点的对称点P′的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（1，2） 6．（2024•广元）如果单项式﹣x2my3与单项式2x4y2﹣n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点（m，n）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2024•舟山一模）如图，是1个纸杯和n个叠放在一起的纸杯示意图，n个纸杯叠放所形成的高度为h，设杯子底部到杯沿底边高H，杯沿高a（H，a均为常量），h是n的函数，h随着n的变化规律可以用表达式（　　）描述． A．h＝H+（n﹣1）a B．h＝H+na C．h＝H+（n+1）a D．h＝na 8．（2024•自贡）如图，在平面直角坐标系中，D（4，﹣2），将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置．则点B坐标为（　　） A．（2，4） B．（4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，4） 9．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系中，已知直线l：x＝2和直线m：y＝﹣1，点P（x，y）的位置如图所示，则（　　） A．x＞2，y＞﹣1 B．x＞2，y＜﹣1 C．x＜2，y＞﹣1 D．x＜2，y＜﹣1 10．（2024•徐州）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（　　） A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩 B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息 C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间 D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家 11．（2024•河北）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：． 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（　　） A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0） C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1） 12．（2024•黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　　． 13．（2024•辽宁）在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（2，﹣1），B（1，0），将线段AB平移后，点A的对应点A′的坐标为（2，1），则点B的对应点B′的坐标为 　　． 14．（2024•蒙阴县一模）如图1，动点P从A点出发，沿着矩形ABCD的边，按照路线A→B→C→D→A匀速运动一周到A点停止，速度为1cm/s．AP的长y（cm）与运动时间t（s）的关系图象如图2，则矩形对角线AC的长为 　　． 15．（2024•青浦区三模）五子连珠棋和象棋、围棋一样，深受同学们喜爱，其规则是：在15×15的正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图所示，是两个五子棋爱好者甲和乙对弈图（甲执黑子先行，乙执白子后行），若白棋①的位置是（﹣1，﹣2），白棋②的位置是（2，1）． （1）请在图中建立平面直角坐标系，并写出黑棋M的位置是 　　； （2）甲必须在何处落子，才不会让乙在短时间内获胜，直接写出对应的点的位置． 16．（2024•瑞安市二模）综合与实践：如何测算容器内装饰物的高度． 素材1：如图1，是一个瓶身为圆柱形的小口径容器，其高度为12cm，容器里面有一圆柱形装饰物，且这两个圆柱的底面积之比为5：2． 素材2：为了测算该容器内圆柱形装饰物的高度，小羽以5cm3/s的速度向容器内匀速注水，在注水过程中，容器内水面高度h随时间t的变化规律如图2所示． 任务1：设注入水的体积为V（cm3），容器底面积为S（cm2）．当0≤t≤6时，请用两种不同的方式表示V： ①用含t的代数式表示V． ②用含S，h的代数式表示V． 任务2：求容器内圆柱形装饰物的高度． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$