第2课 二次根式的性质-2024-2025学年八年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第2课 二次根式的性质 ( 目标导航 ) 学习目标 1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、类比、猜想的思想方法. 2.理解二次根式的性质. 3.了解最简二次根式的概念.会用二次根式的性质化简二次根式. 4.会运用二次根式的性质进行有关计算. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次根式的性质 （1）()2＝a(a≥0)． （2）＝|a|＝ （3）＝·(a≥0，b≥0)． （4）＝(a≥0，b＞0)． 知识点02 最简二次根式的概念 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ( 能力拓展 )考点01 二次根式的性质 【典例1】化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【即学即练1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 考点02 最简二次根式的概念 【典例2】下面各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A．＝4 B．＝ C．＝±5 D．＝﹣1 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列等式一定正确的是（　　） A．＝± B．﹣＝3 C．＝a D．＝﹣3 5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 6．计算：＝　　． 7．化简：＝　　． 8．化简＝ 　　． 9．化简：＝　　． 10．化简： （1）＝ 　　； （2）＝ 　　． 11．化简： （1） （2） （3） （4）﹣ 12．化简： （1）； （2）； （3）； （4）（a＞0）． 13．安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈10N/kg） （1）求从45m高空抛物到落地的时间； （2）已知高空拋物动能（单位：J）＝10（单位：N/kg）×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能） 题组B 能力提升练 14．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 15．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．2a+b B．﹣2a﹣b C．﹣b D．b 16．若，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m＝1 C．m≤1 D．m≠1 17．设a、b、c分别是三角形三边的长，则＝ 　　． 18．等式成立的条件是 　　． 19．计算： （1）+； （2）﹣（）2+． 题组C 培优拔尖练 20．若化简﹣|1﹣x|的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（　　） A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 21．二次根式化成最简结果为（　　） A． B． C． D． 22．若x满足（x+2024）（2025+x）＝4，则代数式的值为　　． 23．观察下列各式及验证过程： ＝，验证：＝＝＝； ＝，验证：＝＝＝； ＝，验证：＝＝＝； ＝，验证：＝＝＝； （1）按照上述四个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥1为整数）表示的等式． 24．阅读下面的求解过程，然后回答问题．有这样一道题目：将化简，若能找到两个数a和b，使a2+b2＝m且ab＝，则m+2可化为a2+b2+2ab，即（a+b）2，从而使得能化简： 例如：因为7+2， 所以+1． 请你仿照上例，完成下列问题： （1）已知，则a＝　　，b＝　　； （2）计算下列式子： ①； ②． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课 二次根式的性质 ( 目标导航 ) 学习目标 1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、类比、猜想的思想方法. 2.理解二次根式的性质. 3.了解最简二次根式的概念.会用二次根式的性质化简二次根式. 4.会运用二次根式的性质进行有关计算. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次根式的性质 （1）()2＝a(a≥0)． （2）＝|a|＝ （3）＝·(a≥0，b≥0)． （4）＝(a≥0，b＞0)． 知识点02 最简二次根式的概念 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ( 能力拓展 )考点01 二次根式的性质 【典例1】化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】（1）直接利用二次根式的性质化简求出即可； （2）直接利用二次根式的性质化简求出即可； （3）直接利用二次根式的性质化简求出即可； （4）直接利用二次根式的性质化简求出即可． 【解析】解：（1）＝×＝2×7＝14； （2）＝＝10； （3）＝； （4）＝||＝||． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 【即学即练1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】（1）根据二次根式的性质，二次根式开方是大数减小数，可得答案； （2）根据二次根式开方是大数减小数，绝对值是非负数，可化简式子，再根据实数的加减可得答案； （3）根据二次根式的意义，可得答案； （4）根据二次根式的意义，可得答案． 【解析】解：（1）原式＝； （2）原式＝π﹣3+6﹣π＝3； （3）原式＝＝13； （4）原式＝＝12． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式开方是大数减小数． 考点02 最简二次根式的概念 【典例2】下面各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解析】解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、＝＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 【即学即练2】下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解析】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟知其定义是解题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据平方根和立方根的定义计算，负数的立方根是负数，正数的立方根是正数，0的立方根是0． 【解析】解：A、＝4，此选项错误； B、＝﹣3，此选项正确； C、无意义，此选项错误； D、＝，此选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、立方根的计算，解题的关键是注意二次根式被开方数和开方结果都是非负数． 2．下列计算正确的是（　　） A．＝4 B．＝ C．＝±5 D．＝﹣1 【思路点拨】根据二次根式的性质以及立方根的性质即可求出答案． 【解析】解：A、原式＝2，故A不符合题意． B、原式＝＝，故B符合题意． C、原式＝5，故C不符合题意． D、原式＝1，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的性质以及立方根的性质，本题属于基础题型． 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式的性质化简判断即可． 【解析】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 4．下列等式一定正确的是（　　） A．＝± B．﹣＝3 C．＝a D．＝﹣3 【思路点拨】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解析】解：A、原式＝9，不符合题意； B、原式＝﹣|﹣3|＝﹣3，不符合题意； C、原式＝|a|，不符合题意； D、原式＝﹣3，符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，以及立方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据最简二次根式的定义判断即可． 【解析】解：A.＝＝，故A不符合题意； B.＝2，故B不符合题意； C.＝，故C不符合题意； D.是最简二次根式，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 6．计算：＝　5　． 【思路点拨】先将被开方数化为52，然后按照化简即可． 【解析】解：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握：，属于基础题，比较简单． 7．化简：＝　2　． 【思路点拨】根据二次根式的乘法得到原式＝＝×，然后利用二次根式的性质化简即可． 【解析】解：原式＝ ＝× ＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|． 8．化简＝ 　4﹣π　． 【思路点拨】利用二次根式的性质化简． 【解析】解：原式＝4﹣π． 故答案为：4﹣π． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质． 9．化简：＝　　． 【思路点拨】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解析】解：原式＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是利用二次根式的性质进行化简． 10．化简： （1）＝ 　8　； （2）＝ 　　． 【思路点拨】（1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可． 【解析】解：（1）＝×＝8； 故答案为：； （2）＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 11．化简： （1） （2） （3） （4）﹣ 【思路点拨】根据二次根式的性质：＝|a|，＝a和绝对值的代数定义求解． 【解析】解：（1）＝0.3； （2）＝＝0.6； （3）＝|﹣|＝； （4）﹣＝﹣|﹣π|＝﹣π． 【点睛】此题主要考查二次根式的性质，同时还要掌握绝对值的代数意义． 12．化简： （1）； （2）； （3）； （4）（a＞0）． 【思路点拨】根据二次根式的性质，可化简二次根式，可得答案． 【解析】解：（1）原式＝＝0.1×0.4＝0.04； （2）原式＝＝； （3）原式＝＝4×2×32＝72； （4）原式＝． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，注意（3）中的因式分解，再开方． 13．安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈10N/kg） （1）求从45m高空抛物到落地的时间； （2）已知高空拋物动能（单位：J）＝10（单位：N/kg）×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能） 【思路点拨】（1）把h＝45m代入进行计算化简即可； （2）将t＝4代入计算出h，然后将h及物体质量的值代入高空抛物动能计算即可． 【解析】解：（1）当h＝45m时，（S）， ∴从45m高空抛物到落地的时间为3s； （2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下： 当t＝4s时，， ∴， 2h＝160， h＝80， ∴高空抛物动能＝10×0.2×80＝160＞65， ∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运用和化简，解题关键是理解题意，正确代入求值． 题组B 能力提升练 14．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解析】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 15．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．2a+b B．﹣2a﹣b C．﹣b D．b 【思路点拨】由数轴可知，a＜0，b＞0，|a|＞b，根据＝﹣（a+b）+a计算求解即可． 【解析】解：由数轴可知，a＜0，b＞0，|a|＞b， ∴a+b＜0， ∴原式＝﹣（a+b）+a＝﹣b， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．若，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m＝1 C．m≤1 D．m≠1 【思路点拨】先由得出1﹣m≥0，再进行计算，即可作答． 【解析】解：由题意得，1﹣m≥0， ∴m≤1， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，根据题意得出关于m的不等式是解题的关键． 17．设a、b、c分别是三角形三边的长，则＝ 　2c　． 【思路点拨】先利用三角形的三边关系，再化简二次根式． 【解析】解： ＝|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|． ∵a、b、c分别是三角形三边的长， ∴b+c＞a，a+c＞b． ∴原式＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣c﹣a） ＝b+c﹣a+a+c﹣b ＝2c． 故答案为：2c． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，掌握三角形的三边关系、绝对值的意义是解决本题的关键． 18．等式成立的条件是 　﹣1≤x＜0　． 【思路点拨】利用二次根式的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x的一元一次不等式组求解即可． 【解析】解：∵有意义， ∴， 解得﹣1≤x＜0， 故答案为：﹣1≤x＜0． 【点睛】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 19．计算： （1）+； （2）﹣（）2+． 【思路点拨】（1）直接利用二次根式的性质化简求出即可； （2）直接利用二次根式的性质化简求出即可． 【解析】解：（1）+＝+＝3； （2）﹣（）2+ ＝2﹣2+2 ＝2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 题组C 培优拔尖练 20．若化简﹣|1﹣x|的结果为5﹣2x，则x的取值范围是（　　） A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 【思路点拨】根据完全平方公式和＝|a|，把多项式化简为|x﹣4|﹣|1﹣x|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可． 【解析】解：原式＝﹣|1﹣x|＝|x﹣4|﹣|1﹣x|， 当x＜1时， 此时1﹣x＞0，x﹣4＜0， ∴（4﹣x）﹣（1﹣x）＝4﹣x﹣1+x＝3，不符合题意， 当1≤x≤4时， 此时1﹣x≤0，x﹣4≤0， ∴（4﹣x）﹣（x﹣1）＝5﹣2x，符合题意， 当x＞4时， 此时x﹣4＞0，1﹣x＜0， ∴（x﹣4）﹣（x﹣1）＝﹣3，不符合题意， ∴x的取值范围为：1≤x≤4， 故选B． 【点睛】本题主要考查了绝对值及二次根式的化简，解题关键是熟练掌握利用分类讨论的思想解决问题． 21．二次根式化成最简结果为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可得x＜0，进而可得结果． 【解析】解：根据二次根式有意义的条件可知： x＜0， ∴原式＝﹣＝﹣． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式的性质． 22．若x满足（x+2024）（2025+x）＝4，则代数式的值为　3　． 【思路点拨】设x+2024＝a，2025+x＝b，则a﹣b＝﹣1，ab＝4，然后求出a2+b2的值，再根据算术平方根的定义即可得出结果． 【解析】解：设x+2024＝a，2025+x＝b， 则a﹣b＝﹣1， ∵（x+2024）（2025+x）＝4， ∴ab＝4， ∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝（﹣1）2+2×4＝9， ∴＝＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键． 23．观察下列各式及验证过程： ＝，验证：＝＝＝； ＝，验证：＝＝＝； ＝，验证：＝＝＝； ＝，验证：＝＝＝； （1）按照上述四个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥1为整数）表示的等式． 【思路点拨】（1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）根据题意找出规律即可得出结论． 【解析】解：（1）由题意可得，＝＝＝； （2）针对上述各式反映的规律可知，＝＝＝． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，根据题意找出规律是解答此题的关键． 24．阅读下面的求解过程，然后回答问题．有这样一道题目：将化简，若能找到两个数a和b，使a2+b2＝m且ab＝，则m+2可化为a2+b2+2ab，即（a+b）2，从而使得能化简： 例如：因为7+2， 所以+1． 请你仿照上例，完成下列问题： （1）已知，则a＝　3　，b＝　2　； （2）计算下列式子： ①； ②． 【思路点拨】（1）由题意知，，计算求解，然后作答即可； （2）利用完全平方公式，计算求解即可． 【解析】解：（1）∵， ∴， ∴a＝3，b＝2， 故答案为：3，2． （2）①由题意得，； ∴； ②由题意得，， ∴． 【点睛】本题考查了算术平方根，完全平方公式．熟练掌握算术平方根，完全平方公式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$