黄金卷02（内蒙古专用）（新中考题型）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（内蒙古专用） 黄金卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果x的倒数是-0.5，那么它的相反数是（ ） A．2 B．-2 C． D． 2．如图，已知，则的度数是（  ）    A． B． C． D． 3．截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（    ）    A． B． C． D．   4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，正方形内接于，其边长为，则的内接正三角形的边长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，中，半径，弦交于D，过B作的切线，交的延长线于C，，则的长为（  ）． A． B． C． D． 7．如图，射线、分别表示买牛肉和买猪肉所需费用（单位：元）与购买数量（单位：千克）的关系，已知买牛肉每千克所需的费用比买猪肉每千克所需的费用的倍少元，设买猪肉每千克所需的费用为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c和二次函数y＝cx2+bx+a在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共4小题，每题3分，共12分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程） 9．阅读对话，解答问题： 分别用、表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，则在（，）的所有取值中使关于的一元二次方程有实数根的概率为 ． 10．如图，是的直径，C是上一点，连接，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长，交于点P，连接．若．则的度数为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线交于点，连接，当轴时，的值是 ． 12．如图， 四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点 P，使它到四个顶点的距离之和最小， 则P点坐为 ． 三、解答题：（（本大题共6小题，满分64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）） 13．（本小题满分8分）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 14．（本小题满分10分）根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下： 男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38 女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32 根据以上信息，解答下列问题： (1)男生成绩的众数为______，女生成绩的中位数为______； (2)判断下列两位同学的说法是否正确． (3)教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率． 15．（本小题满分10分）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元） (1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由． (2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价． (3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围． 16．（本小题满分11分）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 17．（本小题满分12分）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴、分别是和的中位线， ∴，（____①____） ∴． 同理可得：． ∴中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________． 18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 答案第8页，共8页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（内蒙古专用） 黄金卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如果x的倒数是-0.5，那么它的相反数是（ ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据倒数及题意得到x的值，然后根据相反数进行求解即可． 【详解】解：由x的倒数是-0.5，所以x=-2，则它的相反数为2； 故选A． 【点睛】本题主要考查倒数及相反数，熟练掌握求一个数的倒数及相反数是解题的关键． 2．如图，已知，则的度数是（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对顶角相等，利用等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到与平行，再利用两直线平行内错角相等及邻补角定义即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图，   ， ，和为对顶角， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，邻补角的定义，对顶角相等等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，邻补角的定义，对顶角相等，是解题的关键． 3．截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（    ）    A． B． C． D．   【答案】A 【分析】根据几何体的三视图可进行求解． 【详解】 解：由图可知该几何体的主视图是  ； 故选：A． 【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂相乘，平方差公式的运算，分别根据乘方、同底数幂相乘，同底数幂相乘，平方差公式进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 5．如图，正方形内接于，其边长为，则的内接正三角形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、、，作于，先求出圆的半径，在中利用度角的性质即可解决问题． 【详解】解；连接、、，作于， 四边形是正方形， ∴， 是直径，， ∴， ∵， ∴， 是等边三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 6．如图，中，半径，弦交于D，过B作的切线，交的延长线于C，，则的长为（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角是解题的关键．连接，先根据切线的性质得到，则利用勾股定理可计算出，接着证明得到，则，然后在中利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图∶连接， ∵为切线， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故选：D． 7．如图，射线、分别表示买牛肉和买猪肉所需费用（单位：元）与购买数量（单位：千克）的关系，已知买牛肉每千克所需的费用比买猪肉每千克所需的费用的倍少元，设买猪肉每千克所需的费用为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题的关键．设买猪肉每千克所需的费用为元，则每千克牛肉需要元，再结合图像列出方程即可． 【详解】解：设买猪肉每千克所需的费用为元，则每千克牛肉需要元， 根据题意可得：， 故选：D． 8．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c和二次函数y＝cx2+bx+a在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象得出b＞0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴b＞0， A．∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴c＞0，b＜0，a＜0， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误； B．∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交y轴的正半轴， ∴c＜0， b＞0，a＞0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B正确； C．∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴， ∴c＜0，b＞0，a＜0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C错误； D．∵二次函数图象开口向上，对称轴为y轴，∴a＞0，b=0， 这与反比例函数的b＞0矛盾，D错误，故选：B 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想． 二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不需要解答过程） 9．阅读对话，解答问题： 分别用、表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，则在（，）的所有取值中使关于的一元二次方程有实数根的概率为 ． 【答案】． 【详解】试题分析：用列表法易得（a，b）所有情况,看使关于x的一元二次方程x2-ax+2b=0有实数根的情况占总情况的多少即可． 试题解析：（a，b）对应的表格为： ∵方程x2-ax+2b=0有实数根， ∴△=a2-8b≥0． ∴使a2-8b≥0的（a，b）有（3，1），（4，1），（4，2）， ∴p（△≥0）=． 考点：1．列表法与树状图法；2．根的判别式． 10．如图，是的直径，C是上一点，连接，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长，交于点P，连接．若．则的度数为 ． 【答案】26 【分析】首先由直径得到，然后利用直角三角形两锐角互余得到，然后由角平分线的概念得到，最后利用同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】∵是的直径， ∴ ∵ ∴ 由作图可得，平分 ∴ ∴． 故答案为：26． 【点睛】此题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，角平分线的尺规作图，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线交于点，连接，当轴时，的值是 ． 【答案】 【分析】先求出OC=5，再利用菱形的性质得到AC=OB=OC=5，AC∥OB则B（-5,0），故而得到点A的坐标为（-8,4），再利用待定系数法确定直线OA的解析式为y=-x，则可确定D（-5,），将点D的坐标代入中可得到k的值. 【详解】过点C作CE⊥x轴于点E， ∵C, ∴OE=-a，CE=4， ∵=， ∴OE=3，OC=5， ∵四边形OBAC是菱形， ∴AC=OB=OC=5，AC∥OB ∴B（-5,0），A（-8,4）， 设直线OA的解析式为y=mx， 将点A的坐标代入得到-8m=4，解得m=-， ∴直线OA的解析式为y=-x， 当x=-5时，y=， ∴D（-5，）， 将点D的坐标代入， ∴k==， 故答案为：. 【点睛】此题考查菱形的性质，锐角三角函数，待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，此题中根据菱形的性质求出点A的坐标是解题的关键. 12．如图， 四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点 P，使它到四个顶点的距离之和最小， 则P点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段最短，一次函数的实际应用．连接、，交于点P，由两点之间线段最短，可得出的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长，到四个顶点的距离之最小的点就是点P，分别求出和的解析式，并求出其交点坐标即可得出答案． 【详解】解：连接、，交于点P，如图所示， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长， ∴到四个顶点的距离之和最小的点就是点P， 设所在直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得： ∴所在直线的解析式为 设所在直线的解析式为 点，在直线上， ∴ 解得： ∴所在直线的解析式为 联立两直线 解得：， ∴点P的坐标为：． 故答案为：． 三、解答题：（本大题共6小题，满分64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（本小题满分8分）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】都错误，见解析 【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可． 【详解】小丁和小迪的解法都错误； 解：去分母，得， 去括号，得， 解得，， 经检验：是方程的解． 【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 14．（本小题满分10分）根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下： 男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38 女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32 根据以上信息，解答下列问题： (1)男生成绩的众数为______，女生成绩的中位数为______； (2)判断下列两位同学的说法是否正确． (3)教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率． 【答案】(1)7.38，8.26 (2)小星的说法正确，小红的说法错误 (3) 【分析】本题考查用树状图或列表法求概率，众数和中位数的定义，掌握列表法或树状图求概率是解题的关键． （1）利用中位数和众数的定义解题即可； （2）根据优秀等次的要求进行比较解题即可； （3）列表格得到所有可能的结果数，找出符合要求的数量，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：男生成绩7.38出现的次数最多，即众数为7.38， 女生成绩排列为：8.16，8.23，8.26，8.27，8.32，居于中间的数为8.26，故中位数为8.26， 故答案为：7.38，8.26； （2）解：∵用时越少，成绩越好， ∴7．38是男生中成绩最好的，故小星的说法正确； ∵女生8.3秒为优秀成绩，， ∴有一人成绩达不到优秀，故小红的说法错误； （3）列表为： 甲 乙 丙 甲 甲，乙 甲，丙 乙 乙，甲 乙，丙 丙 丙，甲 丙，乙 由表格可知共有6种等可能结果，其中抽中甲的有4种， 故甲被抽中的概率为． 15．（本小题满分10分）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元） (1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由． (2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价． (3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)活动一更合算 (2)400元 (3)当或时，活动二更合算 【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可； （2）设这种健身器材的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可； （3）由题意得活动一所需付款为元，活动二当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，然后根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时， 活动一需付款：元，活动二需付款：元， ∴活动一更合算； （2）设这种健身器材的原价是元， 则， 解得， 答：这种健身器材的原价是400元， （3）这种健身器材的原价为a元， 则活动一所需付款为：元， 活动二当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， ①当时，，此时无论为何值，都是活动一更合算，不符合题意， ②当时，，解得， 即：当时，活动二更合算， ③当时，，解得， 即：当时，活动二更合算， 综上：当或时，活动二更合算． 【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用． 16．（本小题满分11分）如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． (1)求证：； (2)若的半径，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 17．（本小题满分12分）综合与实践 顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点． 求证：中点四边形是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴、分别是和的中位线， ∴，（____①____） ∴． 同理可得：． ∴中点四边形是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①________ 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 ②________ （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③________ ④________ 结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________． 【答案】（1）①中位线定理 （2）证明见解析 （3）②矩形 （4）证明见解析 （5）补图见解析；③且；④正方形 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识 （1）利用三角形中位线定理即可解决问题； （2）根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题； （3）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （4）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （5）根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题. 【详解】（1）①证明依据是：中位线定理； （2）证明：∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴， ∴． 同理可得：． ∵ ∴ ∴中点四边形是菱形． （3）②矩形； 故答案为：矩形 （4）证明∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴，， ∴． 同理可得：． ∵ ∴， ∴ ∴中点四边形是矩形． （5）证明：如图4，∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴， ∴． 同理可得：． ∵ ∴ ∴中点四边形是菱形． ∵ 由（4）可知 ∴菱形是正方形． 故答案为：③且；④正方形    18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在最大值；最大值为 (3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式； （2）先求出点C的坐标为，连接、、，根据轴对称的性质得出，，得出当最大时，最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，求出最大值即可； （3）过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，设点M的坐标为：，得出，，证明，得出，从而得出，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：存在最大值； 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接、、，如图所示： ∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大， ∴最大值为：． （3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， 设点M的坐标为：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 综上分析可知：点M坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 试卷第22页，共23页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（内蒙古专用） 黄金卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A D A D D B 二、填空题（共12分） 9．． 10．26 11． 12． 三、解答题（共64分） 13．都错误，见解析 【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可． 【详解】小丁和小迪的解法都错误； 解：去分母，得， 去括号，得，（4分） 解得，， 经检验：是方程的解．（8分） 【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 14．(1)7.38，8.26 (2)小星的说法正确，小红的说法错误 (3) 【分析】本题考查用树状图或列表法求概率，众数和中位数的定义，掌握列表法或树状图求概率是解题的关键． （1）利用中位数和众数的定义解题即可； （2）根据优秀等次的要求进行比较解题即可； （3）列表格得到所有可能的结果数，找出符合要求的数量，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：男生成绩7.38出现的次数最多，即众数为7.38， 女生成绩排列为：8.16，8.23，8.26，8.27，8.32，居于中间的数为8.26，故中位数为8.26， 故答案为：7.38，8.26；（4分） （2）解：∵用时越少，成绩越好， ∴7．38是男生中成绩最好的，故小星的说法正确； ∵女生8.3秒为优秀成绩，， ∴有一人成绩达不到优秀，故小红的说法错误；（6分） （3）列表为： 甲 乙 丙 甲 甲，乙 甲，丙 乙 乙，甲 乙，丙 丙 丙，甲 丙，乙 由表格可知共有6种等可能结果，其中抽中甲的有4种， 故甲被抽中的概率为．（10分） 15．(1)活动一更合算 (2)400元 (3)当或时，活动二更合算 【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可； （2）设这种健身器材的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可； （3）由题意得活动一所需付款为元，活动二当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，然后根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时， 活动一需付款：元，活动二需付款：元， ∴活动一更合算；（3分） （2）设这种健身器材的原价是元， 则， 解得， 答：这种健身器材的原价是400元，（6分） （3）这种健身器材的原价为a元， 则活动一所需付款为：元， 活动二当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， ①当时，，此时无论为何值，都是活动一更合算，不符合题意， ②当时，，解得， 即：当时，活动二更合算， ③当时，，解得， 即：当时，活动二更合算， 综上：当或时，活动二更合算．（10分） 【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用． 16．（11分）(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴；（5分） （2）解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴．（6分） 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 17．（12分）（1）①中位线定理 （2）证明见解析 （3）②矩形 （4）证明见解析 （5）补图见解析；③且；④正方形 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识 （1）利用三角形中位线定理即可解决问题； （2）根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题； （3）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （4）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题； （5）根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题. 【详解】（1）①证明依据是：中位线定理；（1分） （2）证明：∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴， ∴． 同理可得：． ∵ ∴ ∴中点四边形是菱形．（4分） （3）②矩形； 故答案为：矩形（5分） （4）证明∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴，， ∴． 同理可得：． ∵ ∴， ∴ ∴中点四边形是矩形．（8分） （5）证明：如图4，∵分别是的中点， ∴分别是和的中位线， ∴， ∴． 同理可得：． ∵ ∴ ∴中点四边形是菱形． ∵ 由（4）可知 ∴菱形是正方形． 故答案为：③且；④正方形（12分）    18．（13分）(1) (2)存在最大值；最大值为 (3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式； （2）先求出点C的坐标为，连接、、，根据轴对称的性质得出，，得出当最大时，最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，求出最大值即可； （3）过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，设点M的坐标为：，得出，，证明，得出，从而得出，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：；（3分） （2）解：存在最大值； 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接、、，如图所示： ∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大， ∴最大值为：．（7分） （3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， 设点M的坐标为：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（9分） 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：；（10分） 当时，，，则： ， 解得：（舍去）， 此时点M坐标为：；（11分） 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：；（12分） 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：；（13分） 综上分析可知：点M坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 答案第8页，共9页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$