精品解析：新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州新源县2023-2024学年上学期期中质量监测九年级数学试卷

新源县2023-2024学年第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 满分120分时间120分钟 一、单选题（每题3分，共27分） 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（　　　） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知、是方程两根，则和的值为（ ） A. 1，6 B. 1， C. ， D. ，6 5. 抛物线可由如何平移得到（ ） A. 先向右平移2个单位，再向下平移5个单位 B. 先向右平移2个单位，再向上平移5个单位 C 先向左平移2个单位，再向下平移5个单位 D. 先向左平移2个单位，再向上平移5个单位 6. 如图，在中，，，将此三角形绕点沿逆时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛，则参加比赛的队伍共有（　　） A. 8支 B. 9支 C. 10支 D. 11支 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（每题3分，共18分） 10. 方程的根是______． 11. 抛物线的对称轴是直线_____． 12. 点关于原点对称点的坐标是________． 13. 抛物线开口向下，则的取值范围是 _____． 14. 如图，抛物线与直线交于两点，当时，则x的取值范围是 ________． 15. 读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位同学算得快，多少年华属周瑜？则周瑜去世时的年龄是_______岁． 三、解答题 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接．求证：． 18. 如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）． （1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕原点逆时针方向旋转90°后的图△A2B2C2;； （3）求△A2B2C2的面积． 19. 某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前1m处跳起盖帽拦截，已知乙最大摸高为m，那么他能否获得成功？请说明理由． 20. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动． （1）经过多长时间，的面积等于？ （2）的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均匀增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由． 22. 如图，四边形是正方形，点是边上一点，点是延长线上一点，且，通过观察，回答下列问题： （1）可以看作是哪个三角形绕哪一个点旋转多少度得到的图形？ （2）是什么形状的三角形？说明理由． 23. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应，销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售利润为y元． （1）每天的销售量为________瓶，每瓶洗手液的利润是________元．（用含x的代数式表示）； （2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？ （3）当销售单价上涨多少元时（物价部门规定销售单价不得高于23元），这款洗手液每天销售利润最大，最大利润为多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新源县2023-2024学年第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 满分120分时间120分钟 一、单选题（每题3分，共27分） 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程，即可一一判定． 【详解】解：、为是一元二次方程，故此选项符合题意； 、是分式方程，故此选项不符合题意； 、为二元二次方程，故此选项不符合题意； 、当时，方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解题的关键． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为， 故选：． 【点睛】本题主要考查抛物线顶点式的理解，掌握抛物线顶点式的形式即表示意义是解题的关键． 4. 已知、是方程的两根，则和的值为（ ） A. 1，6 B. 1， C. ， D. ，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可． 【详解】解：依题意，得， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记一元二次方程的根与系数的关系是本题的关键． 5. 抛物线可由如何平移得到（ ） A. 先向右平移2个单位，再向下平移5个单位 B. 先向右平移2个单位，再向上平移5个单位 C. 先向左平移2个单位，再向下平移5个单位 D. 先向左平移2个单位，再向上平移5个单位 【答案】C 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可得到抛物线． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了抛物线的平移和抛物线解析式，熟练掌握抛物线平移的变化规律：“左加右减，上加下减”是解题的关键． 6. 如图，在中，，，将此三角形绕点沿逆时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，，再求出，进而． 【详解】解：根据旋转可得：，， ∴， ∴，即， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，正确得出旋转角是解题的关键． 7. 黑龙江省中学生排球锦标赛共进行了110场双循环比赛，则参加比赛的队伍共有（　　） A. 8支 B. 9支 C. 10支 D. 11支 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列一元二次方程解应用题求解即可． 【详解】设参加比赛的队伍共有x支， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ∴参加比赛的队伍共有11支． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，分析题意列方程是解题的关键． 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程（），则有−⇔方程有两实根，−⇔方程有两不等实根，−⇔方程有两相等实根，−⇔方程没有实根．也考查了一元二次方程的定义．解题关键是掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式可得且，解之得出的范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 是二次项系数不能为，， 即且． 故选：D． 9. 如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③方程的两个根是，；④；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的开口确定，根据对称轴为可得，，即且，二次函数与轴的交点可得，则，可判断①；二次函数与轴有两个交点，则，即，可判断②；二次函数和轴的一个交点坐标为，且对称轴为，则另一交点坐标为，即方程的两个根是，，可判断③；将代入可得，，可判断④；根据函数图象，对称轴以及开口方向可以判定⑤． 【详解】解：二次函数的开口向下，则， 对称轴为可得，，即且， 二次函数与轴的交点为，可得，则，①正确； 二次函数与轴有两个交点，则，即，②正确； 二次函数和轴的一个交点坐标为，且对称轴为，则另一交点坐标为， 由二次函数与一元二次方程的关系可得：方程的两个根是，，③正确； 将代入可得，，④正确； ，开口向下，对称轴为 则时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而增大，⑤正确， 正确的个数为5． 故选：A 【点睛】此题考查了二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． 二、填空题（每题3分，共18分） 10. 方程根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法，配方法，因式分解法，求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 移项后再因式分解求得两根即可． 【详解】解： ， ∴， ∴或， 解得： ， 故答案为： ． 故答案为：． 11. 抛物线的对称轴是直线_____． 【答案】 【解析】 【分析】把解析式化为顶点式可求得答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴是直线， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 12. 点关于原点对称点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 13. 抛物线开口向下，则的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得到，求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 解得：， m取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数，当时，开口向下，当时，开口向上，是解题的关键． 14. 如图，抛物线与直线交于两点，当时，则x的取值范围是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，当时，则x的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值，然后数形结合求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，则x的取值范围是抛物线图象在直线图象下方对应的所有的的取值， ∵图象交于两点， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合． 15. 读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位同学算得快，多少年华属周瑜？则周瑜去世时的年龄是_______岁． 【答案】36 【解析】 【分析】设个位数字，则十位数字，根据个位平方与寿符，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：设个位数字，则十位数字为，由题意，得： ， 整理，得：， 解得：， 当时，两位数为：；当时，两位数为， ∵而立之年， ∴25不合题意，舍去； ∴周瑜去世时的年龄是岁； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 三、解答题 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解： ∴ ∴， ∴或， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 17. 如图，在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】结合等边三角形的性质、旋转的性质，利用证明，推出，进而可得，即可证明． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点C按顺时针方向旋转后得到， ∴，， ∴， 即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是证明． 18. 如图，在直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）． （1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1； （2）画出将△ABC绕原点逆时针方向旋转90°后的图△A2B2C2;； （3）求△A2B2C2的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A2B2C2的面积． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作； （3）△A2B2C2的面积＝2×3． 【点睛】本题考查了作图—旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 19. 某学校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ （2）此时，若对方队员乙在甲前1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为m，那么他能否获得成功？请说明理由． 【答案】（1）能够投中，理由见解析； （2）能够盖帽拦截成功，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）代入求出值． （1）观察函数图象可知：抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是．设抛物线的解析式是，根据抛物线上点的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征验证篮圈中心点是否在抛物线上，此题得解； （2）代入求出值，由该值小于可得出盖帽拦截成功． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是． ∴可设抛物线的解析式是． 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线解析式为． 当时，， 篮圈的中心点在抛物线上， 能够投中． 【小问2详解】 当时，， 能够盖帽拦截成功． 20. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动． （1）经过多长时间，的面积等于？ （2）的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】（1）经过时，的面积等于； （2）不会，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的动点与一元二次方程的综合，掌握动点的运动规律，三角形的面积与一元二次方程的运用， （1）的面积等于，设运动时间为t，则可用含t的式子表示，，根据数量关系，列方程即可求解； （2）计算出面积的一半，在根据（1）中的方法即可求解． 【小问1详解】 解：点P的速度是，点Q的速度是，Q分别从点A，当点Q运动到点C时，，， ∴点P从点A到点B的时间为秒，点Q从点B到点C的时间为秒，Q运动的时间为， ∴，， ∴， 即， 解方程得，，（舍去）， ∴经过时，的面积等于； 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴， 设运动时间为a秒，根据题意得， ， ∴. ∵， ∴关于a的一元二次方程无解， ∴不存在的面积会等于面积的一半． 21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均匀增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由． 【答案】（1） （2）校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据进馆人次的月平均增长率相同列方程求解； （2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与比较大小即可． 【小问1详解】 解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得： ， ， ，或舍， 答：进馆人次的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：∵进馆人次的月平均增长率为， 第四个月的进馆人次为：， 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键． 22. 如图，四边形是正方形，点是边上一点，点是延长线上一点，且，通过观察，回答下列问题： （1）可以看作是哪个三角形绕哪一个点旋转多少度得到的图形？ （2）是什么形状的三角形？说明理由． 【答案】（1）可以看作是绕点顺时针旋转得到 （2）等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）因为，，可证，再观察旋转中心，旋转角，回答问题； （2）根据旋转的性质可知，，旋转角，可知是等腰直角三角形． 【小问1详解】 解：可以看作是绕点顺时针旋转得到； 【小问2详解】 ，，， ， ，， ， 所以是等腰直角三角形． 【点睛】观察图中的全等三角形，根据旋转的知识判断旋转中心，旋转方向及旋转角，根据旋转的性质判断特殊三角形． 23. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应，销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售利润为y元． （1）每天的销售量为________瓶，每瓶洗手液的利润是________元．（用含x的代数式表示）； （2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？ （3）当销售单价上涨多少元时（物价部门规定销售单价不得高于23元），这款洗手液每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）， （2）销售单价应上涨2元或6元 （3）当销售单价上涨3元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利为315元． 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶，则每天的销售量为瓶，每瓶洗手液的利润为元； （2）利用这款洗手液的日销售利润=每瓶洗手液的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （3）利用这款洗手液的日销售利润=每瓶洗手液的利润×每天的销售量列出函数解析式，根据函数的性质求函数最值． 【小问1详解】 设这款洗手液的销售单价上涨x元，根据销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶，每天的销售量为瓶； 每瓶洗手液的利润为元； 【小问2详解】 依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：销售单价应上涨2元或6元； 小问3详解】 由题意得：， ∵，∴当时y随x的增大而减小， ∵销售单价不得高于23元 ∴当时，y最大，最大值为315． 答：当销售单价上涨3元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为315元． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $