精品解析：浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期期末学业水平测试数学试题

2024-2025学年浙江省杭州市高一上学期期末学业水平测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为，，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知，第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 4. 幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，值域为，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 6 7. 某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 8. 在下列区间中，函数不存在零点的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 以下结果正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 10. 下列命题正确是（ ） A. 不存在函数、满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同 B. 命题“，”的否定是“， C. 已知，是第一象限角，则“”是“”的充要条件 D. 三个内角A，B，C满足 11 已知函数，且，，则（ ） A. 若，则对称轴方程为， B. 若，则函数向左移动得到 C. 函数周期为， D. 若在区间上单调，则最大值为9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______________. 13. 已知，M，N是直线与曲线最近的两个交点，且，则的值为_____. 14. 已知函数满足：① ；②， ；③， ，请写出一个你认为符合上述要求的函数_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，集合 （1）求 ； （2）若，求p，q的值； （3）若，求 16. 已知定义在上的函数图象关于原点对称，且 （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）解不等式 17. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角的终边与单位圆的交点为，射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，记点的纵坐标关于的函数为，终边对应角 （1）若，，求； （2）对（1）中，若，，求 ； （3）若，纵坐标为，的横坐标为，求. 18. 为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款设立优惠政策.现有应届毕业大学生甲贷款开设某型号节能板销售公司，银行提供48万元无息贷款作为启动资金，同时提供贷款120万元（年利率为）.已知该企业每月运行成本为44000元，该节能板的进价为每件140元，该店月销售量（百件）与销售价格（元）的关系如下图（每段图象为直线段，，，）. （1）请写出月利润L关于P的函数关系式； （2）当节能板的价格为每件多少元时，月利润的余额最大?并求最大余额； （3）该企业把所有利润积累起来，准备一次性还清所有贷款.假设该企业每月销售情况不变，则该企业还清贷款至少需要几年 参考数据：，，， 19. 一般地，设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数即对任意一个，都有唯一的与之对应，那么就称函数是函数的反函数，记作在中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成的形式.比如：函数的反函数求法为：第一步：反解：， ；第二步：互换字母： ；第三步：求定义域：易知原函数值域为，故反函数定义域为，反函数为记函数的反函数为，且有函数满足其中e为自然对数的底数 （1）求函数， ； （2）若关于x的不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于x方程有两根，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省杭州市高一上学期期末学业水平测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为，，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据补集的定义求出，，再由集合交集的定义求解即可. 【详解】因为全集 ， ，， 所以，， 所以 故选： 2. 已知，为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式计算可得，结合同角的三角函数关系建立方程组，解之即可求解. 【详解】由，得， 是第二象限角， ，解得 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将 两边平方，可得，计算进而可求解. 【详解】将 两边平方，得， 即，所以， 所以 故选：. 4. 幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设， 代入点得 ， 则，令， 函数的值域是. 故选：C. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求函数定义域，排除A，再根据函数奇偶性排除B，再通过特殊值排除D得答案. 【详解】函数的定义域为且，排除A项； ∵，∴是奇函数，排除C项； 再取特殊值当时，，排除D项. 故选：B. 【点睛】本题考查已知函数解析式选函数图象问题，考查函数的定义域，奇偶性，函数值等性质，是中档题. 6. 若函数的定义域为，值域为，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，确定函数在上的单调性和值域，列式求解即可得的值. 【详解】，， ∴则函数常数，且在单调递增， 又∵函数的定义域为， 函数的值域为， ， . 故选：A. 7. 某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数S与生物个体总数N研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标.生物丰富度指数d越大，水质越好.若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数S没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公式列出调整前后的生物丰富度指数表达式，对①②式进行变形，根据对数运算得出答案. 【详解】由题意得①，②， 则， 即，即， 所以， 故选：D 8. 在下列区间中，函数不存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数的零点转化为函数的图象交点，再利用数形结合可得答案. 【详解】函数零点为与的图象交点横坐标， 在同一坐标系中画出与的图象. 如下图示： 由图可知与的图象在区间上无交点. 所以选项中，函数不存在零点的区间. 故选: 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 以下结果正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用对数的运算法则计算即可判断A；根据指数幂的运算法则结合完全平方公式计算即可判断B；通过角度制与弧度制的互化可判断C；通过逆用两角差的正弦公式计算可判断D. 【详解】对于A选项， ，故A正确； 对于B选项，因为，两边平方，得， 解得，两边平方，得， 所以，故B错误； 对于C选项，，故C正确； 对于D选项，，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 不存在函数、满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同 B. 命题“，”的否定是“， C. 已知，是第一象限角，则“”是“”的充要条件 D. 三个内角A，B，C满足 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用相同函数定义即得；对于B，利用带量词的命题的否定要求即可判断；对于C，通过取反例即可排除；对于D，利用三角形内角和关系与诱导公式推理即得. 【详解】对于A，由函数的定义可知，当两个函数的定义域相同，对应关系相同， 则值域一定相同，故A正确； 对于B，命题"，"的否定是"，"，故B错误； 对于C，若取，，满足，是第一象限角，且，但，故C错误； 对于D，因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，且，，则（ ） A. 若，则对称轴方程为， B. 若，则函数向左移动得到 C. 函数周期为， D. 若在区间上单调，则最大值为9 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由已知求得，求出对称轴方程，即可判断；对于B，由已知求得，由平移变换得到，即可判断；对于C，由已知可得，求出周期，即可判断；对于D，由已知可得， 又，，验证可得的最大值，即可判断. 详解】对于A，当时，， 由，，得， 解得， ， 令，得， 即，，故A正确； 对于B，当时，， 由，，得， 解得， ， 将向左平移，得，故B错误； 对于C，由，，得， 解得，，故C正确； 对于D，函数在区间上单调， 则，解得， 所以，即， 又，，则，， 检验：当时，，此时， 又由，即， 解得，， 所以， 此时函数在区间上不单调，不满足题意； 当时，，此时， 又由，即，解得，， 所以， 此时函数在区间上是单调函数，满足题意， 综上所述，的最大值为9，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛： D选项，得到后，由，，得，，再验证可得的最大值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______________. 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用诱导公式化简计算即可 【详解】， 故答案为： 13. 已知，M，N是直线与曲线最近的两个交点，且，则的值为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据得，即可解出的值. 【详解】相邻的两个交点M，N的横坐标分别为，，，则， ∵， ∴或， 令，得，， 则，故 故答案为： 14. 已知函数满足：① ；②， ；③， ，请写出一个你认为符合上述要求的函数_____. 【答案】答案不唯一 【解析】 【分析】由题意，可知函数为偶函数，举例验证即可. 【详解】由,知函数为偶函数， 当时，，，， 可取函数，则，故满足①； 当时，，故满足②； ，，， ， 故，故满足③ 故答案为：答案不唯一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，集合 （1）求 ； （2）若，求p，q的值； （3）若，求 【答案】（1） （2） （3）解析见详解 【解析】 【分析】（1）解分式不等式即可； （2）根据集合相等，利用函数的零点和方程根的关系结合韦达定理求解； （3）先由得到p，q的关系，代入后求解含参的一元二次不等式即可. 【小问1详解】 由得，，解得，即. 【小问2详解】 由，知， ， 即，； 小问3详解】 因为，所以， 所以，即， 当，即时，，此时 当，即时，，解集为，此时； 当，即时，，此时 16. 已知定义在上的函数图象关于原点对称，且 （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并用定义证明； （3）解不等式 【答案】（1） （2）单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由关于原点对称可得，，再结合代入计算即可得； （2）借助单调性的定义证明即可； （3）结合奇函数性质及函数单调性，列不等式求解即可. 【小问1详解】 定义在上的函数图象关于原点对称， 为上的奇函数，，解得； ， 又，故，， 其满足，故为奇函数，图象关于原点对称， 即； 【小问2详解】 在上单调递增； 证明如下：令， ， 由， 则，，， ， 即在上单调递增； 【小问3详解】 由题意可得为奇函数， 故由，得，， 又在上单调递增， 则有，解得， 故不等式的解集为 17. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角终边与单位圆的交点为，射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，记点的纵坐标关于的函数为，终边对应角 （1）若，，求； （2）对（1）中，若，，求 ； （3）若，的纵坐标为，的横坐标为，求. 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求解即可； （2）根据诱导公式得，利用同角的平方关系求出，结合和两角差的正切公式计算即可； （3）根据三角函数的定义、同角的平方关系和二倍角的正余弦公式计算可得、，，结合和两角差的余弦公式计算即可求解. 【小问1详解】 因为，且，点A在第三象限， 所以； 【小问2详解】 由于，得， 即，又， 得，所以， 得， 所以， 得； 【小问3详解】 易知，， 由可知，，，， 从而，，由， 可知，所以， 从而，易知， 故 18. 为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款设立优惠政策.现有应届毕业大学生甲贷款开设某型号节能板销售公司，银行提供48万元无息贷款作为启动资金，同时提供贷款120万元（年利率为）.已知该企业每月运行成本为44000元，该节能板的进价为每件140元，该店月销售量（百件）与销售价格（元）的关系如下图（每段图象为直线段，，，）. （1）请写出月利润L关于P的函数关系式； （2）当节能板的价格为每件多少元时，月利润的余额最大?并求最大余额； （3）该企业把所有利润积累起来，准备一次性还清所有贷款.假设该企业每月销售情况不变，则该企业还清贷款至少需要几年 参考数据：，，， 【答案】（1） （2）当元时，月利润余额最大20000元 （3）最早可望在11年后还清 【解析】 【分析】（1）求出与的关系式，由题意可得，继而即可求解； （2）由（1）的解析式，分和时讨论，结合二次函数的最值即可求解； （3）设可在第n年还清，结合题意可得，代入参考数据计算继而可求解. 【小问1详解】 设该店月利润余额为L， 则由题设得， 由图可得线段的方程为：，， 即； 线段的方程为：，， 即； 所以， 所以. 即. 【小问2详解】 当时，， 所以当元时，（元）， 当时，， 当元时，（元）， 故当元时，月利润余额最大为20000元； 【小问3详解】 设可在第年还清，依题意有， 即， 的图象与的图象至多有两个点， 又当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 可知函数有两个零点，， 当时，， 又，所以最早可望在11年后还清. 19. 一般地，设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数即对任意一个，都有唯一的与之对应，那么就称函数是函数的反函数，记作在中，y是自变量，x是y的函数.习惯上改写成的形式.比如：函数的反函数求法为：第一步：反解：， ；第二步：互换字母： ；第三步：求定义域：易知原函数值域为，故反函数定义域为，反函数为记函数的反函数为，且有函数满足其中e为自然对数的底数 （1）求函数， ； （2）若关于x的不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程有两根，，求的最小值. 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据求反函数的步骤仔细计算即可求函数，的解析式 ； （2）令，则，原不等式等价于在上恒成立，分三种情况讨论，分别利用函数单调性求最值，求出实数的取值范围，综合三种情况可得答案； （3）先通过换元结合韦达定理，可得满足，， 则可化为，再利用二次函数的性质可得答案. 【小问1详解】 因为， 所以，， 所以， 所以，所以， 所以函数的反函数是， 可知，. 【小问2详解】 由（1）可证且， 因此， 令，可知， 即在上恒成立， 令， 当，可知在上单调递增， ，可知， 当时，易知不符合， 当时，可知， 只需要且， 即且， 可知， 综上：或 【小问3详解】 由可知：， 即有两根，， 令，，， 则有两根，， 满足，， 可知，， 因此 =， 令，再令， 则，， 易知当时，，故最小值为 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $