精品解析：贵州省安顺市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

安顺市2024—2025学年度九年级第一学期期末考试 数 学 学 科 试 卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1.全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2.一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3.不能使用科学计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列有理数中比小的是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较，利用了正数大于0，0大于负数，注意两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小．根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，可得答案． 【详解】解：， 中比小，   故选：C． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 2024年10月30日，中国“神箭”长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心托举神舟十九号载人飞船点火升空，前往距地球约400000米的中国空间站．其中400000用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将400000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选C． 4. 吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是关键． 根据由平行线的性质逐项判定即可． 【详解】解：A、由推出和是同位角，由两直线平行、同位角相等可知该选项正确，符合题意； B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意； C、和不是同旁内角，由不能判定，故此选项不符合题意； D、无法判断和关系，故此选项不符合题意． 故选：A． 5. 每一个外角都是的正多边形是（ ） A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角及外角和．根据正多边形的每个外角相等，且外角和为，即可求解． 【详解】解：（边） ∴这个正多边形是正六边形． 故选：D 6. 某生物学家想通过随机抽取的方式来估计50只小白鼠中雄鼠的个数，这些小白鼠被抓取后能够清晰地判断性别．将小白鼠随机放置在实验箱后，从中随机抽出一只小白鼠，记下它的性别后再放回实验箱中，不断重复这一过程，通过大量重复的试验后，发现抽到雌鼠的频率稳定在0.4，则实验箱中雄鼠的个数约为（ ） A. 25 B. 30 C. 20 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．利用频率估计概率可估计实验箱中雄鼠的概率，然后求出实验箱中雄鼠的个数． 【详解】解：由题意可得，发现抽到雌鼠的频率稳定在0.4，则实验箱中雄鼠的个数约为：． 故选：B． 7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. y随着x的增大而增大 C. 其图象可由的图象向下平移1个单位长度得到 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的平移变换、一次函数的性质等知识点，掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征、平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、当时，，即一次函数的图象经过点，选项A错误，不符合题意； B、由，则y随着x的增大而减小，选项B错误，不符合题意； C、由由的图象向上平移1个单位长度得到，故选项C错误，不合题意； D、由，，则一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意． 故选：D． 8. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了，利用数轴比较数的大；由a所在位置，得出a的取值范围，即可判断、，根据不等式的性质得出的取值范围，即可判断、，即可求解， 【详解】解：由数轴可知：，则：、错误，不符合题意， ∵，则：正确，符合题意，错误，不符合题意， 故选：C． 9. 如图，正方形的两边、分别在轴，轴上，点在边上，以点为旋转中心，把顺时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形性质、坐标与图形旋转变换等知识点，掌握正方形的性质是解题的关键． 做题时分两种情况，顺时针和逆时针旋转，作出相应图形进行计算即可．作出图形分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：如图：以点为旋转中心，把顺时针旋转， ∵， ∴正方形的边长为3， ∴， ∵四边形是正方形， ， 由旋转性质可得：，， ∴在x轴上， ∴． 故选：A． 10. 如图1，已知，画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（    ） A. 嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧 B. 嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C. 琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段的长为半径画弧 D. 琪琪作图判定两个三角形全等的依据是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据作图过程结合全等三角形的判定定理分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由图可得： 嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧；第二步是用圆规截取线段的长，则判定的依据是，故A正确，B错误； 淇淇第一步作图时，用圆规截取线段的长；第二步作图时是以为圆心、线段的长为半径画弧，则判定的依据是，故C、D正确； 故选：B． 11. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：， 故选：A． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般． 12. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④若点，，，为函数图象上的两点，则．其中正确结论的个数是( )． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线与轴交点个数可判断；②根据抛物线对称轴可判断；③根据抛物线与轴的另一个交点坐标可判断；④根据、两点离对称轴的距离的大小，可判断． 【详解】解：由函数图象可知抛物线与轴有2个交点， 即，故①正确； 对称轴为直线， ，即，故②错误； 抛物线与轴的交点坐标为且对称轴为， 抛物线与轴的另一交点为， 将代入解析式可得，，故③错误； 由，可知点离对称轴距离较远， ，故④正确； 综上，正确的结论是：①④， 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数，的符号由抛物线开口方向决定；的符号由对称轴的位置及的符号决定；的符号由抛物线与轴交点的位置决定；抛物线与轴的交点个数，决定了的符号，此外还要注意，对应函数值的正负来判断其式子的正确与否． 二、填空题（每小题4分，共16分．） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 14. 小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】此题考查概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率(A)．根据概率公式计算即可． 【详解】解：因为总共有5人， 所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是． 故答案为：． 15. 已知点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到轴的距离为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值是解题的关键．根据题意可知，第一象限内点到轴的距离为，得出，求解即可得出答案． 【详解】解：第一象限内点到轴的距离为， 点坐标为， ， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，由点分别是边、、、中点证明四边形为平行四边形，然后根据菱形的性质证明四边形为矩形，在上方作直线，且到的距离为，即，由，则点在直线上，然后作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，交直线于点，交于点，根据两点之间线段最短可得当点三点共线时，最短为长，然后由等边三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于， ∵点分别是边、、、中点， ∴为的中位线， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在上方作直线，且到的距离为，即， ∵， ∴点在直线上， 如上图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，交直线于点，交于点， 由对称性可知：， ∴， 根据两点之间线段最短可得：当点三点共线时，最短为长， ∴周长的最小， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得：, ∵分别为中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-线段最短问题，等边三角形的判定与性质，菱形性质，勾股定理，矩形的判定与性质，三角形中位线性质定理，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 二、解答题（本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）从下列三个方程中任选2个组成方程组，并解这个方程组． ①；②；③． 【答案】（1）； （2）选①②得： 由，得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解是 选①③得： ， 将②代入①，得， 解得， 把代入②得：， ∴原方程组的解是； 选②③得：， 将②代入①可得， 解得， 把代入②，得， ∴原方程组的解是． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、解二元一次方程组，熟练掌握运算方法是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、乘方、绝对值，再去括号，最后计算加减即可； （2）任意两两组上成方程组，根据解二元一次方程组的解法，计算即可得出答案． 【详解】解：（1） ； （2） 略 18. 某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八（1）班和八（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 八（1）班20名学生成绩：90，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，95，95. 八（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95. 【描述数据】 八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 2 a b 2 【分析数据】 八（1）班和八（3）班20名学生成绩分析表 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 91 n 95 36.5 八（3）班 91 90 p 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． （1）请补全条形统计图，并求出______， ______； （2）请结合数据分析，哪个班级的成绩更好一些？ （3）从上面4名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如图所示： 92.5；90 （2） 八（1）班， 理由：八年级（1）班和八年级（3）班的平均成绩相同，但八年级（1）班的中位数和众数都比八年级（3）班高，即八年级（1）班高分段人数较多．因此八年级（1）班成绩较好． （3） 【解析】 【分析】（1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，即可补全条形统计图，再由中位数和众数的定义求解即可； （2）根据中位数、众数、平均数分析即可得解； （3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人， 将八年级（1）班20名学生成绩从小到大排列为：80，80，80，85，85，90，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，95，100，100， 故中位数， 由八（3）班20名学生成绩可得出现的次数最多，故， 故答案为：92.5，90； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设八年级（1）班的两名100分的学生用A、B表示．八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，则随机抽两名学生的所有情况如下： (1)班 　（3）班 A B X Y A B X Y 一共有12种等可能的结果，其中两名同学在同一个班级的有、、、共4种， ∴所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率为：． 【点睛】本题考查了中位数、众数、条形统计图、列表法或画树状图求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 19. 如图，四边形为矩形，对角线、交于点O， 过D点作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定、勾股定理等知识点，掌握矩形的性质是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，再结合即可证明结论； （2）由矩形的性质可得、，由勾股定理可得，最后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 20. 教育部印发的《义务教育劳动课程标准（2022版）》中指出，劳动课程要以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．安顺市某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上A型劳动工具的单价比B型劳动工具的单价便宜5元，用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同． （1）求A，B两种型号劳动工具的单价各是多少元？ （2）学校计划购买A，B两种型号的劳动工具共100把，若购买支出不超过2200元，那么最多购买B种型号的劳动工具多少把？ 【答案】（1）A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元 （2）40把 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程与一元一次不等式的应用； （1）设B型劳动工具单价为元，则A型劳动工具单价为元，由用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同，再建立分式方程求解即可； （2）设购买B型劳动工具把，则购买A型劳动工具 把，根据购买支出不超过2200元，再建立不等式求解即可； 【小问1详解】 解：设B型劳动工具单价为元，则A型劳动工具单价为元， ， 解得， 经检验：是原分式方程的解, ， 答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元； 【小问2详解】 解：设购买B型劳动工具把，则购买A型劳动工具 把，根据题意得： ， 解得：， 所以m得最大值为40 ， 答：最多购买B种型号的劳动工具40把. 21. 第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： （1）如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； （2）如图3，在中，，是边上的高，，求的长度． 【答案】（1） ∵外面大正方形的面积，里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ∴，整理，得． （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题、等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先用两种方法表示出图形的面积，然后整理即可； （2）由勾股定理可得，再运用等面积的方法解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， 由勾股定理，得：， 是边上的高， ， ∴． 22. 某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求图中线段所在直线的函数表达式； （2）当时，与成反比例关系．假设某人晚上喝完毫升低度白酒，那么此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】（1） （2）第二天早上能驾车出行 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数的综合运用，掌握待定系数法，一次函数、反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）设直线的解析式为，将点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得，则设双曲线的解析式为，将点代入可得反比例函数解析式，当时，，根据从晚上到第二天早上时间间距为小时，由此即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：当时，，即， ∴， 设双曲线的解析式为，将点代入得：， ， 由得，当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为小时， ， 第二天早上能驾车出行． 23. 如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径 ∴直线是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直径所对的圆周角等于90度可得出，由等边对等角可得出，结合已知条件进一步即可得出，进而证明直线是的切线． （2）先求出，再由圆周角定理得出，再由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，最后根据代入求解即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，圆周角定理，证明某直线是圆的切线，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 24. 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我只要取，就能求出y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②当时，有最小值为；（2）甲的说法合理； （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即： ∴当时，有最大值，为． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键： （1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①把代入，得： ②∵， ∴当时，有最小值为； （2）∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）略 25. 数学课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学实践活动． （1）操作判断 操作一：对折正方形纸片，使与重合，把纸片展平，得到折痕； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时（如图），与的数量关系是 ． （2）迁移探究 将正方形纸片，按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．当点在上时（如图2），则__________，并证明该结论． （3）拓展应用 在（2）的探究中，令对角线与、分别交于点、，连接，改变点在上的位置，当点在线段上时（如图3），若正方形的边长为，，求的长． 【答案】（1）； （2）， 证明：如图所示， ， 四边形是正方形， ，， 由折叠知， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， （3）的长为． 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质以及全等三角形、相似三角形和勾股定理的综合运用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）结合折叠的性质，即可得到； （2）结合折叠的性质可得，得到，进而通过HL定理，求得，，即可求得的度数； （3）通过三角形相似，勾股定理即可得到． 【小问1详解】 解：由折叠得， ∴ 故答案为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示， 四边形是正方形， 对角线与、分别交于点、， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ∵， ， ， ∴， ， ， ∴， 四边形是正方形， ， ， ， ， ∴， 答：的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安顺市2024—2025学年度九年级第一学期期末考试 数 学 学 科 试 卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1.全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分．考试时间为120分钟．考试形式闭卷． 2.一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3.不能使用科学计算器． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列有理数中比小的是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 1 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2024年10月30日，中国“神箭”长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心托举神舟十九号载人飞船点火升空，前往距地球约400000米的中国空间站．其中400000用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 每一个外角都是的正多边形是（ ） A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 6. 某生物学家想通过随机抽取的方式来估计50只小白鼠中雄鼠的个数，这些小白鼠被抓取后能够清晰地判断性别．将小白鼠随机放置在实验箱后，从中随机抽出一只小白鼠，记下它的性别后再放回实验箱中，不断重复这一过程，通过大量重复的试验后，发现抽到雌鼠的频率稳定在0.4，则实验箱中雄鼠的个数约为（ ） A. 25 B. 30 C. 20 D. 35 7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. y随着x的增大而增大 C. 其图象可由的图象向下平移1个单位长度得到 D. 图象经过第一、二、四象限 8. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的两边、分别在轴，轴上，点在边上，以点为旋转中心，把顺时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，已知，画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（    ） A. 嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧 B. 嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C. 琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段的长为半径画弧 D. 琪琪作图判定两个三角形全等的依据是 11. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④若点，，，为函数图象上的两点，则．其中正确结论的个数是( )． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题4分，共16分．） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 14. 小亮了解了祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶这5位著名数学家的生平简介，知晓他们取得的伟大成就对我国乃至世界数学发展起到的巨大推进作用，准备在数学课上随机选取其中一位的成就进行分享，选到数学家赵爽的概率是______． 15. 已知点为平面直角坐标系第一象限内的一个点，坐标为，且点到轴的距离为，则的值为______． 16. 如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为______． 二、解答题（本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）从下列三个方程中任选2个组成方程组，并解这个方程组． ①；②；③． 18. 某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八（1）班和八（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 八（1）班20名学生成绩：90，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，95，95. 八（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95. 【描述数据】 八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 2 a b 2 【分析数据】 八（1）班和八（3）班20名学生成绩分析表 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 91 n 95 36.5 八（3）班 91 90 p 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． （1）请补全条形统计图，并求出______， ______； （2）请结合数据分析，哪个班级的成绩更好一些？ （3）从上面4名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 19. 如图，四边形为矩形，对角线、交于点O， 过D点作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 20. 教育部印发的《义务教育劳动课程标准（2022版）》中指出，劳动课程要以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．安顺市某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上A型劳动工具的单价比B型劳动工具的单价便宜5元，用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同． （1）求A，B两种型号劳动工具的单价各是多少元？ （2）学校计划购买A，B两种型号的劳动工具共100把，若购买支出不超过2200元，那么最多购买B种型号的劳动工具多少把？ 21. 第十四届国际数学教育大会于2021年在上海举办，其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，请你用等面积法探究下列问题： （1）如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请用它验证勾股定理：； （2）如图3，在中，，是边上的高，，求的长度． 22. 某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． （1）求图中线段所在直线的函数表达式； （2）当时，与成反比例关系．假设某人晚上喝完毫升低度白酒，那么此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 23. 如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 24. 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我只要取，就能求出y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 25. 数学课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学实践活动． （1）操作判断 操作一：对折正方形纸片，使与重合，把纸片展平，得到折痕； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点在上时（如图），与的数量关系是 ． （2）迁移探究 将正方形纸片，按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．当点在上时（如图2），则__________，并证明该结论． （3）拓展应用 在（2）的探究中，令对角线与、分别交于点、，连接，改变点在上的位置，当点在线段上时（如图3），若正方形的边长为，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $