3.4 乘法公式 （1） 课件2024-2025学年浙教版七年级数学下册

3.4 乘法公式（1） 浙教版七年级下册 多项式与多项式相乘： （x ＋ 2)( x＋3） =x2 ＋3x ＋2x ＋6 =x2 ＋5x ＋6. (a+b)(p+q) =ap +aq +bp +bq 温故知新: 在合并同类项之前，展开式的项数恰好等于两个多项式的项数的积． 多项式与多项式相乘的展开式 填一填 (x+1)(x–1) = (2+m)(2–m) = (2x+1)(2x–1) = x2 – x + x – =x2 – 22 – 2m + 2m – m2 (2x)2 – 2x + 2x –12 = – m2 =（2x）2 – 12 (x +1) ( x – 1) = x2 – 12 (2 +m) (2 – m) = 22 – m2 (2x+1) (2x – 1) = – 12 (a )(a )= +b – b a2 – b2 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 文字语言： 符号语言： 证明： (a+b)(a –b) =a2 –ab + ab – b2 =a2 – b2 平方差公式 多项式与多项式相乘的展开式： 这两个数的平方差， 结构特征①： 平方差公式 (a )(a )= +b – b a2 – b2 “＋、－” （1） 运算符号：加号、减号 运算要求：正确、灵活、合理、简洁 结构特征②： 相同项 符号相反项的平方 符号相同项的平方 相反项 平方差公式 (a )(a )= +b – b a2 – b2 “＋、－” （2） 性质符号：正号、负号 运算要求：正确、灵活、合理、简洁 a b a+b a-b (a+b) a2–b2 = S矩形 a a a b 几何解释 b S大正方形– S小正方形 = 面积算两次 (a–b) a – b b 例1.运用平方差公式进行计算: =（3x)2–(5y)2 = 9x2–25y2 步骤：1、判断；2、调整； 填一填： (a-b)(a+b) a b a2-b2 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x) 1 x -3 a 12-x2 (-3)2-a2 a 1 a2-12 0.3x 1 (0.3x)2-12 灵活：不死板，会变化 例2 用平方差公式计算： 解 运用平方差公式计算： （1）； （2）． ＝（2000＋1）×（2000−1） ＝ ＝4000000−1 ＝3999999 ＝（1000−2）×（1000＋2） ＝ ＝1000000−4 ＝999996． 简便计算 a b b (a+b) (a-b) b (a+b) (a-b) a a a b (a + b)(a − b) = a2 − b2. b 几何直观 归纳整理 (a+b) (a-b)=a2 -b2 平方差公式 符号语言 文字语言 两数和 与两数差= 这两数的平方差 观察公式，满足什么特征的多项式相乘，可用平方差公式呢？ 左式特征： 右式结果： (相同项)2-(相反项)2 1.运用平方差公式计算： (1) (3x＋2)(3x－2) 分析：在(1)中，可以把 3x 看成 a ，把 2 看成 b， 即 (3x+2)(3x-2)= ( 3x)2 - 22 (a+ b)(a - b) = a2 - b2 解：（1） (3x+2)(3x-2) = ( 3x)2 - 22 =9x2 -4 夯实基础，稳扎稳打 分析：在(2)中，可以把 -x 看成 a，把 2y 看成 b， 即 (-x+2y) (-x-2y) = ( -x)2 - ( 2y)2 (a+b) ( a - b) = a2 - b2 解：（2） (-x+2y)(-x-2y) = ( -x)2 - ( 2y)2 = x2 - 4y2 运用平方差公式计算： (2) (-x+2y)(-x-2y). (3) 102×98 =(100+2) ×(100-2) =1002 - 22 =10000-4 =9996 =(50+0.5)(50-0.5) =502-0.52 =2500-0.25 =2499.75； (4)50.5×49.5 3：请用简便的方法计算 20222 – 2024×2020 20222 – 2024×2020 = 20222 –（2022+2）（2022–2） = 20222 –（20222 – 22） = 20222 – 20222+22 = 4 解： × 连续递推，豁然开朗 4.计算： ( y+2)( y-2 ) - ( y-1 )( y+1 ) = y2 - 22 - ( y2-1) = y2 - 4 - y2+1 = - 3 =(2a+b)(2a-b) =(2a)2-b2 =4a2-b2. 适当交换位置 5 运用平方差公式计算： (1) (b+2a)(2a-b); （2）（-a-b）（a-b） ＝（-b）2－a2 ＝b2－a2 =（-b-a）（-b+a） 合理变形 紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用. （3）（-2y－3x）（2y－3x） ＝（-3x）2－（2y）2 ＝9x2－4y2 （4）（5a2＋3b2）（-5a2＋3b2） ＝（3b2 ）2－（5a2 ）2 ＝9b4－25a4 随堂练习 =（－3x-2y）（－3x+2y） = （3b2＋5a2）（3b2-5a2） 6.利用平方差公式计算: （1）（a-2)(a+2)(a2 + 4) =(a2-4)(a2+4) =a4-16. (2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). =（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8. 思维拓展，更上一层 (2＋1)(22＋1)(24＋1)（28+1）+1 =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)+1 =(28-1)(28+1)+1 =216-1+1 =216 （3） 给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的进步；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。 ——高斯 2.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2的位置,你能根据 两个图形的面积关系得到的数学公式是 . $$