精品解析：甘肃省白银市靖远县第四中学2024-2025学年高三上学期1月高考仿真模拟数学试题

普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟卷 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解对数不等式，再结合交集的定义计算判断即可. 【详解】. 故选：A. 2. 已知，其中为虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法运算及复数相等得，然后利用复数的除法运算求解即可. 【详解】. 故选：D 3. 已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解二次不等式分别求出和的范围，根据必要不充分条件的概念列不等式求解即可. 【详解】因为，即， 则或，即， 又是的必要不充分条件，则或，即或. 则的取值范围为. 故选：B 4. 已知向量、满足，，若，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的值，利用投影向量的定义可求得向量在上的投影向量的坐标. 【详解】由，得，所以，， 向量在上的投影向量为. 故选：C. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式结合已知条件可求出、的值，利用切化弦可得出的值，利用两角和的正弦公式可求得的值，利用二倍角的余弦公式可求得，据此可求得所求代数式的值. 【详解】由可得， 所以，， ， 所以，， 因此，. 故选：B. 6. 已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标，然后利用平行线间距离公式求解即可． 【详解】由题知，，令，得， 又，可得点， 所以点到直线的距离最短， 为. 故选：A. 7. 某高校有8名研究生要去小兴安岭采集植物样本，其中男生6人，女生2人，将这8人分成两组，若要求每组至少2人，且两名女生不单独成组，则不同的分组方案共有（ ） A. 240种 B. 158种 C. 126种 D. 118种 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，分组方案有4，4和3，5及2，6三种情况，利用组合计算每种情况，即可求解. 【详解】根据题意，分3种情况讨论： ①分为4，4的两组时，不会出现两名女生单独成组情况，有种分组方法； ②分为3，5的两组时，有种分组方法； ③分为2，6的两组时，有种分组方法，其中有1种两名女生单独成组情况， 则有27种符合条件的分组方法，故共有种分组方法. 故选：D 8. 已知数列，若该数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ） A. 26 B. 27 C. 28 D. 29 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，构造新数列，利用分组求和法，并借助单调性求出最小正整数的值. 【详解】依题意，设原数列为， 令， ， 令数列的前项和为，则， 而是单调递增数列，， 则使的最小整数，又 ，于是，又， 所以满足的最小正整数的值为28. 故选：C 【点睛】关键点点睛：把给定数列按分组并求和是求解问题的关键. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为是圆锥的一个轴截面，是底面圆周上异于的一点，则（ ） A. 的面积为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为 C. 由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为 D. 若，则三棱锥的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，根据圆锥的侧面积为，求出圆锥的高得解；对B，根据扇形的弧长公式运算得解；对C，由题，细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长运算得解；对D，根据题意可得，即为等腰直角三角形，由三棱锥体积公式求解. 【详解】对于A，设圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为， 即，又的面积为，故A正确； 对于B，圆锥的侧面展开图的圆心角，故B正确； 对于C，如图，由点出发绕圆锥侧面旋转一周， 又回到点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长， 且，故C正确； 对于D，， 所以三棱锥的体积为，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数的图象如图所示，是直线与曲线的两个交点，且，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. 的图象关于原点对称 C. 在上单调递增 D. 若关于的方程在有两个不同的根，则实数的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象知，结合特殊角的正弦值求得，利用特殊点求，即可判断A，根据平移法则求得的解析式，根据余弦函数性质判断BC，将问题转化为有两个不同的根，利用余弦函数的性质列不等式求解判断D. 【详解】由函数的图象知，设， 由，可得，令，即， 结合图象可得，则，即，得， 把，即， 又，所以，则，故A正确； 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数 的图象， 易知不是奇函数，所以的图象不关于原点对称，故B错误； 当时，， 由余弦函数的单调性可知在上不是单调函数，故C错误； 由，得，所以， 当时，， 因为关于的方程在有两个不同的根， 所以，解得，故D正确. 故选：AD 11. 已知函数有且只有两个极值点，记极值点为，则（ ） A. B. 随的增大而减小 C. 随的减小而减小 D. 随的增大而增大 【答案】BD 【解析】 【分析】先把函数有且只有两个极值点转化为有且只有两不等实根，进而得出有两个根，再构造函数应用导函数得出函数的单调性进而分别判断各个选项. 【详解】由函数有且只有两个极值点，得导函数有且只有两个不同零点，函数的定义域为， 令，可得，因为函数有两个零点，即有两个根， 设，此时直线与函数的图象有两个交点，可得， 当时，，单调递增；当时，单调递减，所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值， 当时，；当时，， 因为直线与函数的图象有两个交点，所以，故A错误； 因为函数有两个零点，此时，当增大趋近于时，随之增大，趋近于1，而随之减小，也趋近于1， 则减小，所以随的增大而减小，故B正确； 当增大趋近于时，；当减小趋近于0时，，所以，所以不随的减小而减小，故C错误； 因为，所以①，不妨令，则②，联立①②，解得， 所以，不妨设，函数定义域为，可得，不妨设， 函数定义域为，可得，在，函数定义域为，可得， 所以函数在上单调递减，此时，即函数在上单调递减，此时，即， 所以函数在上单调递减，则随着的增大而减小， 知随着的增大而减小，所以随着的增大而增大，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，根据导函数的单调性结合各个选项分别计算判断. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，设，则______. 【答案】0 【解析】 【分析】利用的奇偶性和周期性求得，即可得解. 【详解】由题知，是奇函数且是周期为4的周期函数， 又当时， 则 ， 故. 故答案为：0 13. 已知，记，若是唯一的最大值，则的值为______. 【答案】13.8 【解析】 【分析】先求出，然后利用是唯一的最大值列不等式组，利用组合数运算求得，进而利用二项分布的期望公式得，最后利用期望的性质求解即可. 【详解】依题意，，由是唯一的最大值，得 即则 即解得，而，因此，所以， 所以. 故答案为：13.8 14. 已知双曲线的离心率为，若的右焦点到一条渐近线的距离为分别是双曲线的左、右焦点，则双曲线的方程为______，圆与双曲线在第一象限内交于点，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据离心率和焦点到渐近线的距离及，列方程组求得，即可求解双曲线方程； 设，，在中，由余弦定理得即，在中，将两边平方得②，消去t即可求解. 【详解】由题知，，解得，所以曲线； 由双曲线的定义可知.因为，设，. 在中，， 即①， 在中，是中点，则， 两边平方可得， 所以②， 所以， 即，所以. 故答案为：； 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 据国家权威机构统计，中国有3000万青少年具有不同程度的心理障碍，中小学生心理障碍患病率高达，心理治疗专家表示，现在很多家庭只关注孩子的文化课学习，却往往忽略了青少年时期最重要的人格形成因子——心理健康的培养和矫正.现随机调查了200名青少年是否参加过心理健康培训及其心理健康问题得到如下结果： 参加过培训 未参过培训 合计 心理健康 64 36 100 有心理障碍 46 54 合计 90 200 （1）求； （2）从未参加过培训的90人中按心理是否健康分层抽样抽取5人，再从这5人中任选2人做一次心理疏导，恰好抽取到1人心理健康1人有心理障碍的概率是多少？ （3）判断是否有的把握认为心理健康与参与培训有关. 附：. 0.150 0.100 0.050 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）， （2） （3）有的把握 【解析】 【分析】（1）根据列联表求解； （2）根据分层抽样确定抽取5人中，心理健康的有2人，有心理障碍的有3人，再根据古典概型计算概率即可； （3）假设：心理健康与参与培训无关联，根据列联表中的数据，计算，再根据小概率值做出判断即可. 【小问1详解】 根据题意，可得，. 【小问2详解】 从未参加过培训的90人中按心理是否健康分层抽样抽取5人中，心理健康的有人，则有心理障碍的有3人， 设心理健康的两人为，心理障碍的3人分别为， 所以从这5人中任选2人做一次心理疏导，共有，共10种， 恰好抽取到1人心理健康1人有心理障碍有6种，恰好抽取到1人心理健康1人有心理障碍的概率是. 【小问3详解】 零假设：心理健康与参与培训无关联， 根据题意，由列联表中的数据， 可得， 根据小概率值的独立性检验，我们能推翻不成立， 故有的把握认为心理健康与参与培训有关. 16. 已知数列的首项为，且满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和为； （3）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将递推数列变形，结合等差数列的定义，即可证明； （2）由（1）的结果根据等差数列的前项和公式可求. （3）分别讨论为奇、偶的两种情况的前项和. 【小问1详解】 因为，， 若，则，与矛盾， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知， 数列的前项和为. 【小问3详解】 因为， 设数列的前n项和为， 当n为偶数时，， 因为， 所以， 当为奇数时，为偶数. ， 所以. 17. 已知曲线，从上任意不在轴上的一点向轴作垂线，为垂足，是线段的中点. （1）求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形； （2）已知，若为轨迹上位于轴同侧的两点，且共线，求四边形面积的最大值. 【答案】（1），以为焦点，长轴长为4，去掉长轴端点的椭圆 （2）最大值为2 【解析】 【分析】（1）设，则，由中点坐标公式得，代入曲线的方程化简即可求解，注意轨迹的完备性. （2）由题意，直线与轨迹的另一交点为与轨迹的另一交点为，根据对称性知四边形的面积为四边形的面积的一半，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，求出，两平行线与的距离，进而求得，换元，利用二次函数性质求得最大值，再求直线的斜率不存在时的面积，即可得解. 【小问1详解】 设，则，由中点坐标公式得. 因为点在曲线上，所以. 故线段的中点的轨迹的方程为. 且轨迹是以为焦点，长轴长为4，去掉长轴端点的椭圆. 【小问2详解】 因为为轨迹上位于轴同侧的两点，且共线， 所以，直线与轨迹的另一交点为与轨迹的另一交点为， 根据对称性知四边形的面积为四边形的面积的一半， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 与椭圆两交点的坐标分别为， 由得 所以， 所以 . 直线的方程为， 两平行线与的距离， 所以 ， 令，则， 所以， 当时，最大，最大值为2 当直线的斜率不存在时，， 故四边形的面积的最大值为2. 18. 在多面体中，四边形与四边形均为直角梯形，，且点四点共面. （1）证明：①平面平面； ②多面体是三棱台. （2）若，动点在内部及边界上运动，且，求异面直线与所成角的最小值. 【答案】（1） 证明：①如图①，四边形与四边形均为直角梯形，，故， 因为平面平面，所以平面， 同理可得平面，因为平面， 所以平面平面. 证明：②如图②，在梯形中，延长交于点， 平面平面，同理平面， 又平面平面. 故直线相交于点， 又由（1）可知：平面平面， 故多面体是三棱台. （2） 【解析】 【分析】（1）①根据线线平行得到线面平行，进而利用面面平行的判定定理证明即可； ②由面面平行的性质定理得平面平面，由平面基本性质证得直线相交于点，即可证明直线相交于点. （2）先通过线面垂直的判定定理得平面，进而得点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆（在内部及边界上），再建立空间直角坐标系，结合辅助角公式利用向量法求出异面直线夹角余弦值的表达式，利用正弦函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 ①略；②略. 【小问2详解】 四边形与四边形均为直角梯形，， ，又，平面，平面， 又动点在内部及边界上运动，且， 是等腰直角三角形，， 点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆（在内部及边界上）. 如图以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， . 设异面直线与所成角为，则 ， 设（取为锐角）， 则. ，且为锐角，， ， 当，即时，异面直线与所成角取得最小值. 19. 已知函数. （1）若函数有且只有一个零点，求实数的值； （2）已知，证明：当时，只有一个极值点，且； （3）当时，函数，若函数的极值点恰好是函数的零点，记为函数的导函数，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数判断出的单调性可得答案； （2）求出，令，判断出只有一个零点使得，即，再根据的单调性可得答案； （3）即证明，根据函数的极值点是求出，且有两个解分别为代入相加求出，求出，代入，再利用其单调性可得答案. 【小问1详解】 . 令，得， 当时，，当时，， 在上单调递增， 在上单调递减，的最大值为. 当时，，当时，， 有且只有一个零点，等价于. ； 【小问2详解】 当时，， 所以， 令，则在上单调递增， 又， 所以只有一个零点，且，使得，即， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以只有一个极值点，且； 【小问3详解】 要证明，即证明. . 令，得， 函数的极值点是， ， 恰好是函数的零点， 即有两个解分别为， ，③ ，④ 由③+④得， 整理得，即. 为函数的导函数，， ， ， 易知在上为增函数， 当时，有最小值，最小值为， 所以， 所以. 【点睛】关键点睛：第三问关键点代入相加求出，求出，代入. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟卷 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，其中为虚数单位，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量、满足，，若，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是曲线上一点，则点到直线的最短距离为（ ） A. B. C. D. 7. 某高校有8名研究生要去小兴安岭采集植物样本，其中男生6人，女生2人，将这8人分成两组，若要求每组至少2人，且两名女生不单独成组，则不同的分组方案共有（ ） A. 240种 B. 158种 C. 126种 D. 118种 8. 已知数列，若该数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ） A. 26 B. 27 C. 28 D. 29 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，圆锥的底面半径为1，侧面积为是圆锥的一个轴截面，是底面圆周上异于的一点，则（ ） A. 的面积为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为 C. 由点出发绕圆锥侧面旋转一周，又回到点的细绳长度最小值为 D. 若，则三棱锥的体积为 10. 已知函数的图象如图所示，是直线与曲线的两个交点，且，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. 的图象关于原点对称 C. 在上单调递增 D. 若关于的方程在有两个不同的根，则实数的取值范围为 11. 已知函数有且只有两个极值点，记极值点为，则（ ） A. B. 随的增大而减小 C. 随的减小而减小 D. 随的增大而增大 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，设，则______. 13. 已知，记，若是唯一的最大值，则的值为______. 14. 已知双曲线的离心率为，若的右焦点到一条渐近线的距离为分别是双曲线的左、右焦点，则双曲线的方程为______，圆与双曲线在第一象限内交于点，则______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 据国家权威机构统计，中国有3000万青少年具有不同程度的心理障碍，中小学生心理障碍患病率高达，心理治疗专家表示，现在很多家庭只关注孩子的文化课学习，却往往忽略了青少年时期最重要的人格形成因子——心理健康的培养和矫正.现随机调查了200名青少年是否参加过心理健康培训及其心理健康问题得到如下结果： 参加过培训 未参过培训 合计 心理健康 64 36 100 有心理障碍 46 54 合计 90 200 （1）求； （2）从未参加过培训的90人中按心理是否健康分层抽样抽取5人，再从这5人中任选2人做一次心理疏导，恰好抽取到1人心理健康1人有心理障碍的概率是多少？ （3）判断是否有的把握认为心理健康与参与培训有关. 附：. 0.150 0.100 0.050 0.010 2.072 2.706 3.841 6.635 16. 已知数列的首项为，且满足. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和为； （3）求数列的前项和. 17. 已知曲线，从上任意不在轴上的一点向轴作垂线，为垂足，是线段的中点. （1）求动点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形； （2）已知，若为轨迹上位于轴同侧的两点，且共线，求四边形面积的最大值. 18. 在多面体中，四边形与四边形均为直角梯形，，且点四点共面. （1）证明：①平面平面； ②多面体是三棱台. （2）若，动点在内部及边界上运动，且，求异面直线与所成角的最小值. 19. 已知函数. （1）若函数有且只有一个零点，求实数的值； （2）已知，证明：当时，只有一个极值点，且； （3）当时，函数，若函数的极值点恰好是函数的零点，记为函数的导函数，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $