专题8.7 整式乘法（全章挑战综合压轴题分类专题）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题8.7 整式乘法（全章挑战综合压轴题分类专题） 【考点目录】 第一部分 综合篇 【知识点1】运算巩固提升 【考点1】单项式乘单（多）项式.....................................................................................................................1 【考点2】多项式乘多项式................................................................................................................................3 【考点3】乘法公式综合运算............................................................................................................................4 【知识点4】夯实化简求值 【考点4】单项式乘单（多）项式化简求值......................................................................................................6 【考点5】多项式乘多项式化简求值.................................................................................................................7 【考点6】乘法公式化简求值............................................................................................................................8 【知识点3】整式乘法的应用 【考点7】整式乘法中不含某项问题...............................................................................................................10 【考点8】整式乘法中的整体思想问题...........................................................................................................12 【考点9】乘法公式中参数问题......................................................................................................................14 【考点14】整体乘法中的规律问题.................................................................................................................17 【考点10】整体乘法与几何面积问题.............................................................................................................19 第二部分 压轴篇 【考点15】整体式乘法运算............................................................................................................................22 【考点16】整式乘法化简求值........................................................................................................................24 【考点17】乘法公式与几何面积探究.............................................................................................................26 【考点18】整体乘除法运算规律探究.............................................................................................................29 【题型展示与解析】 第一部分 综合篇 【知识点1】运算巩固提升 【考点1】单项式乘单（多）项式 1．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据积的乘方，单项式乘单项式运算法则，即可求解， （2）根据乘法分配律及单项式乘单项式运算法则，即可求解， 本题考查了，乘法分配律及单项式乘单项式运算法则，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 解：（1）解：， （2）解：． 2．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用单项式乘以多项式的每一项即可得到答案； （2）先计算括号内的单项式乘法和加法，再计算单项式的乘法即可． 解：（1）解： （2） 3．（2023八年级上·全国·专题练习）计算下列各题． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算； （2）先根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算，再合并同类项． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【考点2】多项式乘多项式 1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查整式的乘法，熟练掌握整式乘法运算法则是解题关键． （1）利用多项式乘以多项式计算，再合并同类项即可； （2）先计算多项式乘以多项式，然后去括号，合并同类项即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可； （2）利用多项式乘以多项式法则展开计算，再合并同类项即可得到结果． 解：（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式乘法和一元一次方程的解法；先利用整式乘法把方程化简为一元一次方程，再解方程即可． 解： 【考点3】乘法公式综合运 1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算，正确掌握多项式乘多项式法则及乘法公式是解题关键． （1）利用多项式乘多项式法则即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式去掉括号，再合并同类项即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，先把原式变形为，再利用乘法公式求解即可． 解：原式 ． 3．（24-25八年级上·四川乐山·期中）用简便方法计算： （1） （2） 【答案】（1）252004；（2）1 【分析】本题考查利用平方差公式和完全平方公式简便计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键． （1）由，结合完全平方公式计算即可； （2）由，结合平方差公式计算即可． 解：（1）解：， ； （2）解： ． 【知识点4】夯实化简求值 【考点4】单项式乘单（多）项式化简求值 1．（22-23七年级·上海·假期作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 1 【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 解： ， 当时，原式． 【点拨】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和代数式求值，正确计算是解题的关键． 2．（2022·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 【考点5】多项式乘多项式化简求值 1．（24-25七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：，且单项式与是同类项． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法，求代数式的值，同类项的定义；先按照整式乘法法则展开，再合并同类项，得，结合单项式与是同类项，得出，即，代入进行计算，即可作答． 解： ； ∵与是同类项， ∴， 即， ∴． 2．（22-23八年级上·四川绵阳·周测）先化简再求值：，其中； 【答案】， 【分析】本题考查整数运算中的化简求值，先进行乘法运算，再合并同类项，化简后，代值计算即可． 解：原式 ； 当时，原式． 3．（2024·北京·一模）已知，求代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算化简原式，再将整理为，代入即可求解． 解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【考点6】乘法公式化简求值 1．（上海市静安区2024-2025学年上学期七年级期末数学试卷）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先求出，再根据完全平方公式拓展公式，进行作答，即可求解； 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 2．（24-25九年级上·北京顺义·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把代入化简后的式子中进行计算，即可解答． 解：， ． ． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中，． 【答案】（1）；1；（2）；3 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值． （1）利用单项式乘以多项式和平方差公式展开，再合并同类项得到化简结果，代入数值计算即可； （2）利用平方差和完全平方公式展开，合并同类项，再计算多项式除以单项式得到化简结果，代入数值计算即可． 解：（1）解： ． 当时， 原式； （2） ； 当，时，原式． 【知识点3】整式乘法的应用 【考点7】整式乘法中不含某项问题 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含与项，得到与项的系数为0，进行求解即可； （2）先化简，再把，的值代入计算即可． 解：（1）解：∵ ， ∵积中不含与项 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴ ， ． 2．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）若的计算结果中不含和的项，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据题意得出，，求出的值，再代入计算即可． 解： ． 的计算结果中不含和的项， ，， 解得，． ． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的整式与相乘的积不含x的二次项和三次项，求． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知整式乘法的运算法则，根据多项式乘以多项式法则先计算，再根据相乘的积不含x的二次项和三次项，则x的二次项和三次项的四处为0，求出的值，代入利用有理数乘方运算法则计算即可． 解： ， 关于x的整式与相乘的积不含x的二次项和三次项， ， ，则， ． 【考点8】整式乘法中的整体思想问题 1．（18-19七年级下·全国·课后作业）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的、的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：． 请你用上述方法解决问题：已知，求的值． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案． 本题考查了单项式乘多项式，整体代入是解题关键． 解： ． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， （1）求的值． （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（） 把转化为，再利用整体代入法计算即可； （）利用单项式乘以多项式的乘法法则展开，再利用整体代入法计算即可； 本题考查了积的乘方的逆应用，单项式乘多项式，掌握积的乘方的逆应用是解题关键． 解：（1）解：； （2）解： ， ， ， ， ． 3．（23-24七年级上·江西上饶·期中）阅读材料： 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则． “整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，求的值； （3）探索：已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查整式的混合运算，完全平方公式的变形运用，整体代入计算的运用，掌握整式的混合运算法则，完全平方公式的运用是解题的关键． （1）根据材料提示的“整体思想”的运算方法即可求解； （2）将代数式变形为，再运用整体代数计算即可； （3）运用完全平方公式变形，再整体代入计算即可． 解：（1）解： ， 故答案为：． （2）解：， ∵， ∴原式． （3）解：已知，， ∴，， ∵ ， ∴ ． 【考点9】乘法公式中参数问题 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，代数式． （1）化简代数式A； （2）若是一个完全平方式，求A的值． 【答案】（1）（2）． 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，整式的加减，是解题关键． （1）根据完全平方公式，平方差公式，去括号，合并即得； （2）根据完全平方式特征，知，得，代入A即可求解． 解：（1）解： ； （2）解：是一个完全平方式， ， ， ． 2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知：整式，整式． （1）化简：； （2）若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式． 【答案】（1）；（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了整式的化简，完全平方式特点，熟练掌握整式的混合运算法则以及完全平方式的结构特征是解题的关键． （1）将A、B代入，然后根据整式的混合运算法则计算即可； （2）根据完全平方式的结构特征解答即可． 解：（1）解：，， ； （2）解：由题可得：， 是关于x的一个完全平方式， 则可以为， 原式 ， 整式可以是（答案不唯一）． 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： （1）计算； （2）若是一个完全平方式，求常数的值； （3）若，，求的值． 【答案】（1）14；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式混合运算，完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算求出，然后再根据完全平方公式，即可求出k的值； （3）原式利用题中的新定义计算得出，根据，得出，求出的值即可． 解：（1）解： ； （2）解： ， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得：． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【考点14】整体乘法中的规律问题 1.（24-25八年级上·广东东莞·期中）（1）填空并观察下列各式的规律： ________； ； ； ； …… 可得到________． （2）猜想：________（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的规律问题， 对于（1），根据题目中的规律可得结果； 对于（2），根据（1）中的例子可以写出相应的猜想； 对于（3），把（2）中式子中的代入求解． 解：（1）； ； 故答案为：，； （2），根据（1）中规律可得； 故答案为：； （3），设（2）中式子中的， 则有， 即， ∴． 2.（24-25八年级上·广西玉林·期末）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘法的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”系数的规律，计算展开式的系数和是（） A．256 B．1024 C．64 D．512 【答案】A 【分析】此题考查了数字变化规律及多项式乘多项式，熟练掌握杨辉三角形的变化规律是解本题的关键．根据“杨辉三角”的规律求出所求即可． 解：根据“杨辉三角”得： 的展开式中的系数分别为1，6，15，20，15，6，1， 的展开式中的系数分别为1，7，21，35，35，21，7，1， 的展开式中的系数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1， 则的展开式的系数和是， 故选：A． 3．（24-25八年级上·山东日照·期末）“杨辉三角”是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的计算结果中的各项系数，杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都由数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两数之和．观察下列各式及其展开式： 根据规律，的展开式中含项的系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解答此题的关键． 观察图表寻找规律∶三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是由数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的数之和． 解：由杨辉三角形可得， ， 即的展开式中含项的系数为， 故答案为：． 【考点10】整体乘法与几何面积问题 1．（24-25八年级上·山东临沂·期末）在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：． 请你解答下面的问题：利用图1中的三种卡片若干张拼成图，可以解释等式： ； 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，利用两种方法，表示出大长方形的面积，即可得出结论． 解：大长方形的面积可表示为：，也可以表示为：， ∴； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 【答案】 / 【分析】（）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得； （）根据图阴影面积和图面积相等即可直接填空； （）根据平方差公式计算即可； 本题考查了平方差公式的证明和应用，理解平方差公式的结构特征是解题的关键． 解：（）阴影面积是， 故答案为：； （）图面积为：， ∴根据图形可以得到乘法公式， 故答案为：； （） ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）如图，点C是线段AB上的一点，分别以为边在的同侧作正方形和正方形，连接，当时，的面积记为，当时，的面积记为，…，以此类推，当时，的面积记为，计算： ． 【答案】410 【分析】本题考查图形类规律探究，完全平方公式在图形中的应用．连接，易得，进而得到，推出，再进行计算即可． 解：连接，则， ∴，    ∴的边上的高与的边上的高相等， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：410． 第2部分 压轴篇 【考点15】整体式乘法运算 1．（21-22七年级下·江苏无锡·阶段练习）数学课上，在计算（x+a）（x+b）时，琪琪把b看成6，得到的结果是x2+8x+12，莹莹把a看成7，得到的结果是x2+12x+35．根据以上提供的信息： （1）请求出a、b的值； （2）请你写出原算式并计算正确的结果． 【答案】（1）a＝2，b＝5；（2）原式为，正确结果为x2+7x+10． 【分析】（1）考查了整式乘法的看错问题，将错就错，即可得出正确的a、b的值； （2）将a、b的值代入式子，利用多项式乘多项式运算法则计算即可． 解：（1）解：∵琪琪把b看成6，得到的结果是x2+8x+12， ∴， ∴， ∴，， 解得， ∵莹莹把a看成7，得到的结果是x2+12x+35， ∴ ∴ ∴，， 解得， （2）当a＝2，b＝5时， ＝x2+5x+2x+10 ＝x2+7x+10． 【点拨】本题主要考查了整式乘法的看错问题及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 2．（19-20七年级上·上海长宁·期中）计算 （1）            （2） （3）          （4）（简便运算） 【答案】（1）;（2）;（3）;（4）7.99 【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可； （2）原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算，合并即可； （3）利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可； （4）原式变形为然后利用完全平方公式与平方差公式展开再计算即可. 解： 故答案为（1）；（2）；（3）；（4）7.99. 【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键． 【考点16】整式乘法化简求值 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）中括号内先根据完全平方公式与平方差公式展开，合并同类项，再做中括号外的除法，最后代入数据求值即可； （2）将拆分项变形，整体代入，再变形整体代入化简即可． 解：（1）原式 ， 将，代入， 则原式． （2）， 原式 ． 【点拨】本题主要考查了整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式，平方差公式，合并同类项，多项式除以单项式，折分项，整体代入求值，是解题的关键． 2．（2024八年级·全国·竞赛）已知实数满足等式和，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减、完全平方公式和其性质等知识，对已知条件进行恰当的变形，结合完全平方公式的非负性即可得出答案，熟练运用整式和完全平方公式的化简是解题的关键． 解： ． 3． （21-22七年级下·山西晋中·期中） （1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）①平方差公式或完全平方公式或或（写出1种即可）；②一，丢了括号或去括号时符号出错（合理即可）；③-16 【分析】（1）利用单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）①平方差公式或完全平方公式； ②根据去括号法则可知第一步出现了错误； ③根据整式的混合运算顺序解答即可． 解：（1）原式 （2）①第一步运算用到了乘法公式或； 故答案为：或． ②以上步骤第一步出现了错误，错误的原因是去括号时符号错误； 故答案为：一；去括号时符号错误． ③ 当，时，原式． 【点拨】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． 【考点17】乘法公式与几何面积探究 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，且．若图①中阴影部分的面积为3，图②中四边形的面积为5，求图②中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算与图形的面积、正方形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由题意可得、两式相加得．再根据图①可得，进而得到，最后根据图②中四边形的面积为5列式计算即可． 解：∵， ∴， ∴，， 两式相加得． ∵图①中阴影部分的面积为3， ∴． ∵， ∴． ∵图②中四边形的面积为5， ∴图②中阴影部分的面积为． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）请分别用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法一：______；方法二：______； （2）观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：_______ （3）利用（2）的结论，尝试解决以下问题： ①已知，，则的值为______； ②已知：，求的值； （4）两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1）；；（2）；（3）①25；②25；（4）8 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）方法一：直接求小正方形面积即可；方法二：利用大正方形的面积减4个长方形的面积计算即可； （2）根据大正方形的面积减4个长方形的面积等于阴影部分的面积解答即可； （3）①根据（2）所求关系解答即可；②将（2）所求关系变形为，再求解即可； （4）由题意可知，，，即可求出．结合，可求出，最后根据求解即可． 解：（1）解：方法一：直接计算阴影部分的面积为； 方法二：利用大正方形的面积减4个长方形的面积计算为； （2）解：由图2可知； （3）解：①由（2）可知； ②∵， ∴． ∵， ∴ ； （4）解：∵， ∴． 由图可知的底为x，高为2， ∴． 的底为2，高为， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴阴影部分面积和为8． 【考点18】整体乘除法运算规律探究 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了”（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： （1）补充完整的展开式，　　　． （2）的展开式中共有　　　项，所有项的系数和为　　　； （3）利用上面的规律计算：． （4）今天是星期五，过了天后是星期几？（直接写答案） 【答案】（1）；（2）8，；（3）；（4）如果今天是星期五，过了天后是星期六． 【分析】此题主要了考查了杨辉三角的规律探索以及应用能力，关键是能根据完全平方式准确理解并运用杨辉三角． （1）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图即可得到答案； （2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律共项，所有项系数的和为，即可得到答案； （3）利用（1）（2）的规律，可取，，代入计算即可得到答案． （4）根据，可得出都能被7整除，则除以7余1，则可得出答案． 解：（1）解：利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：    ， 故答案为：； （2）解：由题意得，利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示：    共2项，所有项系数的和为； 共3项，所有项系数的和为； 共4项，所有项系数的和为； …… ∴共项，所有项系数的和为， ∴共8项，所有项系数的和为， 故答案为：8，； （3）解：由题意可知 ， ∴可取，， 即原式； （4）解：今天是星期五，过了天后是星期六， ∵（a，b，c，d，e，为各项的系数） ∵都能被7整除， ∴除以7余1， ∴如果今天是星期五，过了天后是星期六． 2．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）仔细观察，探索规律： （1）； ； ． ①______（其中为正整数，且）； ②______； ③______； ④______； ⑤______； （2）根据上述规律求的值； （3）根据上述规律：的值为______． 【答案】（1）（1）①，②，③，④，⑤，；（2）；（3）342 【分析】本题考查了平方差公式以及拓展应用，多项式乘以多项式规律等知识，熟练掌握平方差公式并根据题目中呈现的式子发现其中规律并灵活应用是解题关键． （1）根据结果的规律得出答案； （2）将写成，通过（1）规律即可求解； （3）由得当，，，将变形为，即可得到再进行计算即可求解． 解：（1）解：（1）由上式的规律可得，， ①故答案为：； 由题干中提供的等式的规律可得， ②； 故答案为：； ③， 故答案为：； ④ 故答案为：； ⑤， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴取，，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.7 整式乘法（全章挑战综合压轴题分类专题） 【考点目录】 第一部分 综合篇 【知识点1】运算巩固提升 【考点1】单项式乘单（多）项式.....................................................................................................................1 【考点2】多项式乘多项式................................................................................................................................2 【考点3】乘法公式综合运算............................................................................................................................2 【知识点4】夯实化简求值 【考点4】单项式乘单（多）项式化简求值......................................................................................................2 【考点5】多项式乘多项式化简求值.................................................................................................................2 【考点6】乘法公式化简求值............................................................................................................................3 【知识点3】整式乘法的应用 【考点7】整式乘法中不含某项问题...............................................................................................................3 【考点8】整式乘法中的整体思想问题...........................................................................................................3 【考点9】乘法公式中参数问题......................................................................................................................4 【考点14】整体乘法中的规律问题.................................................................................................................5 【考点10】整体乘法与几何面积问题.............................................................................................................6 第二部分 压轴篇 【考点15】整体式乘法运算............................................................................................................................7 【考点16】整式乘法化简求值........................................................................................................................7 【考点17】乘法公式与几何面积探究.............................................................................................................8 【考点18】整体乘除法运算规律探究.............................................................................................................8 【题型展示与解析】 第一部分 综合篇 【知识点1】运算巩固提升 【考点1】单项式乘单（多）项式 1．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）计算： （1） （2） 2．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）计算： （1） （2） 3．（2023八年级上·全国·专题练习）计算下列各题． （1）； （2）． 【考点2】多项式乘多项式 1．（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算： （1）． （2）． 2．（24-25八年级上·全国·阶段练习）计算 （1）； （2）． 3．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）解方程：． 【考点3】乘法公式综合运 1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）计算： （1）； （2） 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算：． 3．（24-25八年级上·四川乐山·期中）用简便方法计算： （1） （2） 【知识点4】夯实化简求值 【考点4】单项式乘单（多）项式化简求值 1．（22-23七年级·上海·假期作业）先化简，再求值：，其中． 2．（2022·江苏无锡·一模）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）若恒成立，求的值． 【考点5】多项式乘多项式化简求值 1．（24-25七年级上·四川成都·期末）先化简，再求值：，且单项式与是同类项． 2．（22-23八年级上·四川绵阳·周测）先化简再求值：，其中； 3．（2024·北京·一模）已知，求代数式的值． 【考点6】乘法公式化简求值 1．（上海市静安区2024-2025学年上学期七年级期末数学试卷）已知，，求的值． 2．（24-25九年级上·北京顺义·期末）已知，求代数式的值． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）先化简，再求值： （1），其中； （2），其中，． 【知识点3】整式乘法的应用 【考点7】整式乘法中不含某项问题 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若的积中不含与项． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 2．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）若的计算结果中不含和的项，求的值． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）已知关于x的整式与相乘的积不含x的二次项和三次项，求． 【考点8】整式乘法中的整体思想问题 1．（18-19七年级下·全国·课后作业）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的、的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：． 请你用上述方法解决问题：已知，求的值． 2．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：原式 请你用上述方法解决问题：已知， （1）求的值． （2）求的值． 3．（23-24七年级上·江西上饶·期中）阅读材料： 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则． “整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并______； （2）已知，求的值； （3）探索：已知，，求的值． 【考点9】乘法公式中参数问题 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，代数式． （1）化简代数式A； （2）若是一个完全平方式，求A的值． 2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知：整式，整式． （1）化简：； （2）若是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式． 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： （1）计算； （2）若是一个完全平方式，求常数的值； （3）若，，求的值． 【考点14】整体乘法中的规律问题 1.（24-25八年级上·广东东莞·期中）（1）填空并观察下列各式的规律： ________； ； ； ； …… 可得到________． （2）猜想：________（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：． 2.（24-25八年级上·广西玉林·期末）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘法的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”系数的规律，计算展开式的系数和是（） A．256 B．1024 C．64 D．512 3．（24-25八年级上·山东日照·期末）“杨辉三角”是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处）的计算结果中的各项系数，杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都由数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两数之和．观察下列各式及其展开式： 根据规律，的展开式中含项的系数为 ． 【考点10】整体乘法与几何面积问题 1．（24-25八年级上·山东临沂·期末）在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：． 请你解答下面的问题：利用图1中的三种卡片若干张拼成图，可以解释等式： ； 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在边长为的正方形上裁去边长为的正方形． （1）图，阴影面积是 ； （2）图是将图中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； （3）运用得到的公式，计算： ． 3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）如图，点C是线段AB上的一点，分别以为边在的同侧作正方形和正方形，连接，当时，的面积记为，当时，的面积记为，…，以此类推，当时，的面积记为，计算： ． 第2部分 压轴篇 【考点15】整体式乘法运算 1．（21-22七年级下·江苏无锡·阶段练习）数学课上，在计算（x+a）（x+b）时，琪琪把b看成6，得到的结果是x2+8x+12，莹莹把a看成7，得到的结果是x2+12x+35．根据以上提供的信息： （1）请求出a、b的值； （2）请你写出原算式并计算正确的结果． 2．（19-20七年级上·上海长宁·期中）计算 （1）            （2） （3）          （4）（简便运算） 【考点16】整式乘法化简求值 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）（1）先化简，再求值：，其中，； （2）已知，求的值． 2．（2024八年级·全国·竞赛）已知实数满足等式和，求的值． 3． （21-22七年级下·山西晋中·期中） （1）化简： （2）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务 先化简，再求值：，其中，． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 当，时，原式．第四步 任务： ①第一步运算用到了乘法公式______（写出1种即可）； ②以上步骤第______步出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 【考点17】乘法公式与几何面积探究 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，且．若图①中阴影部分的面积为3，图②中四边形的面积为5，求图②中阴影部分的面积． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）请分别用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法一：______；方法二：______； （2）观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：_______ （3）利用（2）的结论，尝试解决以下问题： ①已知，，则的值为______； ②已知：，求的值； （4）两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 【考点18】整体乘除法运算规律探究 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著回的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了”（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： （1）补充完整的展开式，　　　． （2）的展开式中共有　　　项，所有项的系数和为　　　； （3）利用上面的规律计算：． （4）今天是星期五，过了天后是星期几？（直接写答案） 2．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）仔细观察，探索规律： （1）； ； ． ①______（其中为正整数，且）； ②______； ③______； ④______； ⑤______； （2）根据上述规律求的值； （3）根据上述规律：的值为______． 1 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