专题8.1 平方根（4大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题8.1 平方根（4大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 【要点提示】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. （≥0）的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【知识点2】平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；3）0的平方根和算术平方根均为0． 【要点提示】 （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【知识点3】平方根的性质 【知识点4】平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【考点与题型目录】 【考点一】概念的理解辨析 【题型1】平方根概念理解.....................................................2 【考点二】性质的掌握运用 【题型2】算术平方根的非负性.................................................3 【考点三】平方根的运算巩固 【题型3】求一个数的平方根...................................................3 【题型4】已知一个数的平方根求这个数.........................................3 【题型5】利用平方根解方程...................................................3 【题型6】估计算术平方根的取值范围...........................................4 【题型7】求算术平方根的整数部分和小数部分...................................4 【考点四】平方根的应用 【题型8】平方根的应用.......................................................4 【题型9】算术平方根的应用...................................................5 【题型10】与算术平方根有关的规律探究........................................6 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接..........................................................6 【题型12】拓展延伸..........................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念的理解辨析 【题型1】平方根概念理解 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（    ） A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）若的平方根是它本身，则的值是 ． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）若数字有两个平方根，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．整数 D．分数 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【题型2】算术平方根的非负性 【例2】（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）已知x、y是实数，且，则的值是 ． 【变式1】（22-23八年级上·北京石景山·期末）已知，则 ． 【变式2】（23-24七年级下·吉林白城·期末）若 ． 【题型3】求一个数的平方根 【例3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）求下列各数的平方根： （1）121； （2）0.81； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）若与的和是单项式，则的平方根是（   ） A．81 B． C． D．3 【变式2】（23-24八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知、满足，则的平方根为 ． 【题型4】已知一个数的平方根求这个数 【例4】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，求m和这个正数． 【变式1】（24-25八年级上·山西·阶段练习）若 是的一个平方根，则的值是（   ） A． B．1 C． D．8 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）一个正数的两个不同的平方根分别为和，则的值为 ． 【题型5】利用平方根解方程 【例5】（24-25七年级下·全国·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（21-22七年级上·江苏盐城·期中）如图是一个计算程序，当输出值y＝25时，输入值x为 ． 【题型6】估计算术平方根的取值范围 【例6】（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． （1）求这个正数； （2）请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 【变式1】（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【变式2】（2022·北京门头沟·一模）写出一个比大且比小的整数 ． 【题型7】求算术平方根的整数部分和小数部分 【例7】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【变式1】（2021·北京·中考真题）已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【变式2】（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【考点四】平方根的应用 【题型8】平方根的应用 【例8】（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值． 【变式1】（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 【变式2】（21-22七年级下·辽宁大连·期末）如图，已知一个等腰直角三角形的直角边长为，把这个等腰直角三角形以的速度向右沿直线平移．当图中阴影部分面积为，则这个等腰直角三角形平移的时间为 s．    【题型9】算术平方根的应用 【例9】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形． （1）大正方形的边长是_____________． （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为，且面积为？ 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，每个小正方形的边长为，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，侧这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）一个大正方形的周长是一个小正方形周长的2倍，若小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ． 【题型10】与算术平方根有关的规律探究 【例10】（24-25七年级上·全国·假期作业）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … （1）表格中________，________． （2）①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，那么 ． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期中）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接 【例1】（2019·山东滨州·中考真题）若与的和是单项式，则的平方根为（　　）． A．4 B．8 C．±4 D．±8 【例2】（2020·湖北荆州·中考真题）若单项式与是同类项，则的值是 ． 【题型12】拓展延伸 【例1】（2022·河北邯郸·三模）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【例2】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则： ①（6，6）表示的数是 ； ②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.1 平方根（4大知识点5大考点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 【要点提示】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. （≥0）的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 【知识点2】平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；3）0的平方根和算术平方根均为0． 【要点提示】 （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 【知识点3】平方根的性质 【知识点4】平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【考点与题型目录】 【考点一】概念的理解辨析 【题型1】平方根概念理解.....................................................2 【考点二】性质的掌握运用 【题型2】算术平方根的非负性.................................................4 【考点三】平方根的运算巩固 【题型3】求一个数的平方根...................................................5 【题型4】已知一个数的平方根求这个数.........................................6 【题型5】利用平方根解方程...................................................7 【题型6】估计算术平方根的取值范围...........................................8 【题型7】求算术平方根的整数部分和小数部分..................................10 【考点四】平方根的应用 【题型8】平方根的应用......................................................11 【题型9】算术平方根的应用..................................................14 【题型10】与算术平方根有关的规律探究.......................................15 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接.........................................................17 【题型12】拓展延伸.........................................................19 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念的理解辨析 【题型1】平方根概念理解 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（    ） A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查平方根，根据正数和零有平方根，而负数不存在平方根解题即可． 解：当时，没有平方根，小丁说法错误； 当为正数时，没有平方根，小张说法正确； 因为，所以一定有平方根，小刘说法正确； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）若的平方根是它本身，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的性质求解即可． 解：∵的平方根是它本身， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）若数字有两个平方根，则一定是（   ） A．正数 B．负数 C．整数 D．分数 【答案】A 【分析】本题主要考查的是平方根有关的知识，熟记并灵活地掌握负数没有平方根，一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据负数没有平方根，一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0，本题即可解决 解：A．选项A正数一定有2个平方根，符合题意，正确； B．选项B负数没有平方根，错误； C．选项C整数既包括正整数也包括负整数，不一定有平方根，错误； D．选项D分数既包括正分数也包括负分数，不一定有平方根，错误； 故选：A． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）“的平方根是”，用数学式子表达为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据算术平方根和平方根的定义进行解题即可． 解：“的平方根是”，用式子表示为． 故选：C． 【题型2】算术平方根的非负性 【例2】（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）已知x、y是实数，且，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是非负数的性质．根据平方和算术平方根的非负性，求出x、y的值，代入计算得到答案． 解：由题意得，，， 解得，，， ∴， 故答案为：8． 【变式1】（22-23八年级上·北京石景山·期末）已知，则 ． 【答案】2 【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性，得到，，解得，的值，代入，即可求解， 本题考查了，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，求代数式的值，解题的关键是：熟练掌握根据非负性，确定代数式的值． 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 【变式2】（23-24七年级下·吉林白城·期末）若 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根有意义的条件，解不等式组；根据算术平方根有意义的条件可求得x的值，从而求得y的值．根据算术平方根有意义的条件求出x的值是关键． 解：由题意得：，即， 故， 所以； 故答案为：． 【题型3】求一个数的平方根 【例3】（24-25七年级下·全国·随堂练习）求下列各数的平方根： （1）121； （2）0.81； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的定义，是解题的关键． （1）-（4）根据平方根的定义，进行求解即可； 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）若与的和是单项式，则的平方根是（   ） A．81 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，平方根．同类项的概念：字母相同，相同字母的指数也相同的单项式；由题意知，与是同类项，由同类项概念可求得a与b的值，从而求得的值，进一步计算即可求解． 解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知、满足，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列式求出的值，再求出的值，然后求出，再利用平方根的定义解答． 解：根据题意得，且， 解得且， 所以，， 此时， 所以，， ， 的平方根是， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数．同时考查了平方根的定义． 【题型4】已知一个数的平方根求这个数 【例4】（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，求m和这个正数． 【答案】， 【分析】本题考查了平方根的定义，正确把握正数的平方根是一对相反数是解题关键．根据一个数的两个平方根互为相反数，列方程解答即可． 解：和是同一个正数的两个平方根， ， 解得， 则，， 这个正数为． 【变式1】（24-25八年级上·山西·阶段练习）若 是的一个平方根，则的值是（   ） A． B．1 C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据平方根求原数，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 解：∵ 是的一个平方根， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·广东深圳·期末）一个正数的两个不同的平方根分别为和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的应用；根据题意可得，得出，进而得出的值，即可求解． 解：由题可知，， 解得， 则． 故答案为：81． 【题型5】利用平方根解方程 【例5】（24-25七年级下·全国·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）原方程无解 【分析】本题考查了利用平方根解方程，能熟练利用平方根的定义解方程是解题的关键． （1）将方程化为，由平方根的定义，即可求解； （2）将方程化为，由平方根的性质，即可求解； 解：（1）解：， ， ，； （2）解：， ， 负数没有平方根， 原方程无解． 【变式1】（24-25八年级上·河北唐山·期中）现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的运算，平方根的应用，理解新运算是关键；由规定的新运算得：，整理后用平方根的定义即可求解 解：∵， ∴， 即 解得：， 故选：C． 【变式2】（21-22七年级上·江苏盐城·期中）如图是一个计算程序，当输出值y＝25时，输入值x为 ． 【答案】6或-4/-4或6 【分析】根据计算程序列出方程，求解即可． 解：由题意得，（x-1）2=25 解得x-1=5或x-1=-5 即x=6或x=-4 故答案为：6或-4． 【点拨】本题考查一元二次方程的解法，涉及直接开平方，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【题型6】估计算术平方根的取值范围 【例6】（23-24七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和． （1）求这个正数； （2）请估算的算术平方根在哪两个连续整数之间． 【答案】（1）81；（2）的算术平方根在之间 【分析】本题考查了平方根及算术平方根： （1）根据题意得，进而可解得，则可得，再根据平方根的定义即可求解； （2）由（1）得，进而可得，再利用算术平方根的估算方法即可求解； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 解：（1）解：由题意得， 解得：， ∴， 这个正数是81． （2）由（1）得：， ， ∵， ∴， 的算术平方根在之间． 【变式1】（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）小丽家有一块的正方形菜地，估计这块菜地的边长在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 解：∵小丽家有一块的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在之间， 故选：B． 【变式2】（2022·北京门头沟·一模）写出一个比大且比小的整数 ． 【答案】2/3/4 【分析】利用估算无理数大小的逼近方法，求出 和的范围，即可求解． 解： ， ， ， ， ∴比大且比小的整数为：2或3或4． 故答案为：2或3或4（写其一即可）． 【点拨】本题主要考查估算无理数的大小，熟练掌握用有理数逼近无理数的方法是解题关键． 【题型7】求算术平方根的整数部分和小数部分 【例7】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点拨】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 【变式1】（2021·北京·中考真题）已知．若为整数且，则的值为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】由题意可直接进行求解． 解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点拨】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 【考点四】平方根的应用 【题型8】平方根的应用 【例8】（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系． 根据大小正方形的面积之差的2倍等于重叠部分面积，由此列式可解． 解：∵空白部分面积之和为， ∴ ∴ 则 ∵ ∴ 【变式1】（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米，根据扩大后的正方形黄瓜地的种植面积是现在的3.24倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 解：设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米， 依题意得：， 即 ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴需要延长边长4米． 故选：C 【变式2】（21-22七年级下·辽宁大连·期末）如图，已知一个等腰直角三角形的直角边长为，把这个等腰直角三角形以的速度向右沿直线平移．当图中阴影部分面积为，则这个等腰直角三角形平移的时间为 s．    【答案】/ 【分析】用含有t的代数式各相关线段的长，再利用阴影部分面积以及三角形面积求出的面积，继而根据线段的和差列出方程求解即可． 解：设移动的时间为，且； 则，，    ∵阴影部分面积为， ∴的面积为， 即， ∴， ∴（负值舍去） ∴， 解得：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了平移的性质，等腰直角三角形的定义，平方根的应用，掌握等腰直角三角形的定义以及梯形的面积公式是解题的关键． 【题型9】算术平方根的应用 【例9】（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形． （1）大正方形的边长是_____________． （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为，且面积为？ 【答案】（1）30；（2）能 【分析】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键． （1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，再判断即可． 解：（1）解：大正方形的边长是； 故答案为：30； （2）解：能 设长方形纸片的长为，宽为， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为 【变式1】（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，每个小正方形的边长为，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，侧这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的实际运用，根据题意得到五个小正方形面积，进而可得到大正方形的边长，即可解题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：分割图形如下： 故这个正方形的边长是：， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）一个大正方形的周长是一个小正方形周长的2倍，若小正方形的面积为6，则大正方形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了算术平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则，由于小正方形的面积为6，则，继而可求，则大正方形的面积即可求解． 解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 则由题意得， 则， ∵小正方形的面积为6， ∴， 则， ∴大正方形的面积为， 故答案为：24． 【题型10】与算术平方根有关的规律探究 【例10】（24-25七年级上·全国·假期作业）观察表格并回答下列问题．      … 0.0001 0.01 1 100 10000 …      … 0.01      1      100 … （1）表格中________，________． （2）①已知，则________； ②已知，，求m的值． 【答案】（1）0.1，10；（2）①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 解：（1）根据算术平方根的定义得， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由根据题意，由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， 所以由可知， 故答案为：0.245； ②∵， ∴根据表格中数据总结规律可知，0.03464的小数点向右移动了3位得到34.64， ∴由上述表格可知被开方数0.0012小数点需要向右移动6个单位得到2m， 解得，， 所以的值为600． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质即可求解，解题的关键是掌握算术平方根的性质． 解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期中）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型11】中考链接 【例1】（2019·山东滨州·中考真题）若与的和是单项式，则的平方根为（　　）． A．4 B．8 C．±4 D．±8 【答案】D 【分析】根据单项式的定义可得和是同类项，因此可得参数m、n,代入计算即可. 解：由与的和是单项式，得 ． ，64的平方根为． 故选D． 【点拨】本题主要考查单项式的定义，关键在于识别同类项，根据同类项计算参数. 【例2】（2020·湖北荆州·中考真题）若单项式与是同类项，则的值是 ． 【答案】2 【分析】先根据同类项的定义求出m与n的值，再代入计算算术平方根即可得． 解：由同类项的定义得： 解得 则 故答案为：2． 【点拨】本题考查了同类项的定义、算术平方根，熟记同类项的定义是解题关键． 【题型12】拓展延伸 【例1】（2022·河北邯郸·三模）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 【例2】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）将、、、……按如图方式排列．若规定（x，y）表示第x排从左向右第y个数，则： ①（6，6）表示的数是 ； ②若在（x，y），则（2x﹣y）3的值为 ． 【答案】 【分析】观察式子，得到如下规律，第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列，根据规律求解即可． 解：观察式子可得， 第1排的个数为，前1排的总数为， 第2排的个数为，前2排的总数为，从右到左依次增大排列， 第3排的个数为，前3排的总数为，从左到右依次增大排列， 第4排的个数为，前4排的总数为，从右到左依次增大排列， …… 第排的个数为个，前排的总数为个，奇数排是从左到右依次增大排列，偶数排是从右到左依次增大排列， （6，6）表示第6排从左向右第6个数 前5排的总数为25，第6排的个数为11个，为偶数排，从右向左依次增大， 第6排中，从左向右第6个数，也就是从右向左第6个数， 所以（6，6）表示的数为； 因为， 所以是在第45排，即 第45排，为奇数排，从左向右依次增大， 因为，所以 将，代入得 故答案为：， 【点拨】此题考查了数字类规律的探索问题，涉及了有理数的乘方，算术平方根，解题的关键是理解题意，正确找出数字的规律． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$