6.3 三角形的中位线-2024-2025学年八年级下册数学同步单元练习（北师大版）

同步单元练习——北师大版 6.3 三角形的中位线 一．选择题（共20小题） 1．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，如果DE＝3，那么BC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 3．如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE＝48°，则∠APD等于（　　） A．42° B．48° C．52° D．58° 4．如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，则△ADE的周长为（　　） A．1 B．2 C． D． 5．如图，平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E、F分别是AD、DC的中点，若EF＝7，则四边形EACF的周长是（　　） A．20 B．22 C．29 D．31 6．如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14米，则A、B间的距离是（　　） A．18米 B．24米 C．28米 D．30米 7．已知：如图，DE是△ABC的中位线，若AD＝4，AE＝5，BC＝12，则△ADE的周长为（　　） A．7.5 B．15 C．30 D．24 8．如图，DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积之比是（　　） A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 9．△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，作△DEF，若△ABC的面积是12，则△DEF的面积是（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 10．如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2007个三角形的周长是（　　） A． B． C． D． 11．顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是（　　） A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．任意四边形 12．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，测量找到AC和BC的中点D、E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（　　） A．3300 m B．2200 m C．1100 m D．550 m 13．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝5，则BC＝（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 14．若△ABC的面积为12，则以△ABC三边的中点为顶点的三角形的面积等于（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 15．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，已知BC＝10，则DE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 16．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 17．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（　　） A．3cm B．26cm C．24cm D．65cm 18．如果等边三角形的边长为3，那么连接各边中点所成的三角形的周长为（　　） A．9 B．6 C．3 D． 19．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（　　） A．5m B．10m C．20m D．40m 20．如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，可以在池塘的一侧选取一点O，连接OA，OB，并分别取它们的中点D，E，连接DE，现测出AO＝36米，BO＝30米，DE＝20米，那么A，B间的距离是（　　） A．30米 B．40米 C．60米 D．72米 二．填空题（共10小题） 21．如图是跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直．以O为横板AB的中点，AB绕点O上下转动，横板AB的B端最大高度h是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设AB＝2m，OC＝0.5m，通过计算得到此时的h1，再将横板AB换成横板A′B′，O为横板A′B′的中点，且A′B′＝3m，此时B′点的最大高度为h2，由此得到h1与h2的大小关系是：h1　 　h2（填“＞”、“＝”或“＜”）．可进一步得出h随横板的长度的变化为　 　（填“不变”或“改变”） 22．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是 　 　． 23．已知在△ABC中，BC＝a．如图1，点B1、C1分别是AB、AC的中点，则线段B1C1的长是　 　；如图2，点B1、B2，C1、C2分别是AB、AC的三等分点，则线段B1C1+B2C2的值是　 　；如图3，点B1、B2、…、Bn，C1、C2、…、∁n分别是AB、AC的（n+1）等分点，则线段B1C1+B2C2+…+Bn∁n的值是　 　． 24．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC于点N．若AB＝12，AC＝18，则MD的长为　 　． 25．如图，△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点，若S△CMN＝2，则S四边形ABNM＝　 　． 26．如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB＝3cm，则AE的长为　 　cm． 27．△ABC中，AB＝2a+1，BC＝2a﹣3，BD平分∠ABC，过点C作CD⊥BD于点D，E是AC的中点，连接DB，则DE＝　 　． 28．如图，在△ABC中，∠ACB＝48°，点D，E分别是AB，AC的中点，若点F在线段DE上，且∠AFC＝90°，则∠FAE的度数为 　 　． 29．如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AB边上的中点，若△ADE的面积是2，则△ABC的面积是 　 　． 30．等腰三角形的两条中位线分别为3和5，则等腰三角形的周长为 　 　． 三．解答题（共10小题） 31．下面是证明三角形中位线定理一种添加辅助线的方法，完成证明．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点． 求证：DE∥BC，． 证明：如图，延长DE至F，使EF＝DE，连接CF． 32．如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，E为AB中点，连接CE、CD，求证：CD＝2EC． 33．如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？ 34．下面是证明三角形中位线定理的两种方法，选择其中一种，完成证明过程． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 已知：如图，在△ABC中，点 D、E分别是AB、AC边的中点． 求证：DE∥BC，DEBC. 方法一： 证明：如图，延长DE至点F，使得DE＝FE，连接CF． 方法二： 证明：如图，过点A作直线AM∥BC，过点D作直线MN∥AC交直线AM于M，交BC于N 35．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CFBC，连接CD和EF． （1）求证：DE＝CF； （2）求EF的长． 36．证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； 已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB，AC中点． 求证：DE∥BC，． 下面是证明的两种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明． 方法一 证明：如图，延长DE至F，使EF＝DE，连接CF、CD、AF． 方法二 证明：如图，过E作EF∥AB交BC于F，过A作AM∥BC交FE于M． 37．下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．求证：DE∥BC，且DEBC． 方法一 证明：如图，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF． 方法二 证明：如图，过点A作AM∥BC，过点D作直线MN∥AC交直线AM于M，交BC于N． 38．下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点． 求证：DE∥BC，且． 方法一 证明：如图，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF． 方法二 证明：如图，过点C作CF∥AB交DE的延长线于F． 39．如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点．对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题： Ⅰ．若D是AB的中点，，则E是AC的中点； Ⅱ．若DE∥BC，，则D，E分别是AB，AC的中点； Ⅲ．若D是AB的中点，DE∥BC，则E是AC的中点． （1）小明通过对命题Ⅰ的思考，发现命题Ⅰ是假命题． 他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条件的点E，从而直观判断E不一定是AC的中点． 小明尺规作图的方法步骤如下： ①在图2中，作边BC的垂直平分线，交BC于点M， ②在图2中，以点D为圆心，以BM的长为半径画弧与边AC交于点E和E'． 请你在图2中完成以上作图． （2）小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明． 40．我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线有如下性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．下面请对这个性质进行证明． （1）如图1，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，求证：DE∥BC，且； （2）如图2，四边形ABCD中，点M是边AB的中点，点N是边CD的中点，若AD∥BC，AD＝4，MN＝5，直接写出BC的长． 同步单元练习——北师大版 6.3 三角形的中位线 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B C C C B D C C C 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B C C C B B D C B 一．选择题（共20小题） 1．【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DEBC，从而求出BC． 【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点． ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE， ∵DE＝3， ∴BC＝2×3＝6． 故选：C． 2．【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理，判断出四边形ADEF平行四边形，根据平行四边形的性质求出ADEF的周长即可． 【解答】解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点， ∴DE∥AC，EF∥AB， DEAC＝5，EFAB＝3， ∴四边形ADEF平行四边形， ∴AD＝EF，DE＝AF， ∴四边形ADEF的周长为2（DE+EF）＝16， 故选：D． 3．【答案】B 【分析】由翻折可得∠PDE＝∠CDE，由中位线定理得DE∥AB，所以∠CDE＝∠DAP，进一步可得∠APD＝∠CDE． 【解答】解：∵△PED是△CED翻折变换来的， ∴△PED≌△CED， ∴∠CDE＝∠EDP＝48°， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， ∴∠APD＝∠CDE＝48°， 故选：B． 4．【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理，DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，得DE，AD，AE而解得． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1， ∴DE，AD，AE ∴△ADE的周长为． 故选：C． 5．【答案】C 【分析】先由平行四边形ABCD，可得，AD＝BC＝6，CD＝AB＝10，再由E、F分别是AD、DC的中点，可得AEAD＝3，CFCD＝5，根据三角形中位线定理，可得AC＝2EF＝14，从而求出四边形EACF的周长． 【解答】解：已知平行四边形ABCD， ∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝10， 又E、F分别是AD、DC的中点， ∴AEAD＝3，CFCD＝5， ∴由三角形中位线定理得： AC＝2EF＝2×7＝14， ∴四边形EACF的周长为：EA+AC+CF+EF ＝3+14+5+7＝29， 故选：C． 6．【答案】C 【分析】根据D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【解答】解：∵D、E是OA、OB的中点，即DE是△OAB的中位线， ∴DEAB， ∴AB＝2DE＝2×14＝28米． 故选：C． 7．【答案】B 【分析】欲求周长，只要再求出DE的长就可以，根据三角形中位线定理DE等于BC的一半． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DEBC12＝6， ∴△ADE的周长为4+5+6＝15． 故选：B． 8．【答案】D 【分析】由DE是△ABC的中位线，可证得DE∥BC，进而推得两个三角形相似，然后利用相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴△ADE∽△ABC， 相似比为，面积比为． 故选：D． 9．【答案】C 【分析】易证两个三角形的相似，进而利用面积比等于相似比的平方得到所求三角形的面积． 【解答】解：∵D、E、F分别是BC、CA、AB的中点， ∴DEAB，EFBC，DFAC， ∴△EDF∽△ACB，相似比为DE：AB＝1：2， ∴S△DEFS△ABC12＝3． 故选：C． 10．【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解． 【解答】解：根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半， 那么第二个三角形的周长＝△ABC的周长1， 第三个三角形的周长为＝△ABC的周长（ ）2， 第2007个三角形的周长． 故选：C． 11．【答案】C 【分析】顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，理由为：根据题意画出四边形ABCD，E，F，G，H分别为各边的中点，写出已知，求证，由E，H分别为AB，AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH与FG平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出EFGH为平行四边形，再由EF为三角形ABC的中位线，得出EF等于AC的一半，由EH等于BD的一半，且AC＝BD，可得出EH＝EF，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得证． 【解答】解：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形， 如图所示： 已知：E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，且AC＝BD， 求证：四边形EFGH为菱形， 证明：∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点， ∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线， ∴EH∥BD，EHBD，FG∥BD，FGBD， ∴EH∥FG，EH＝FGBD， ∴四边形EFGH为平行四边形， 又EF为△ABC的中位线， ∴EFAC，又EHBD，且AC＝BD， ∴EF＝EH， ∴四边形EFGH为菱形． 故选：C． 12．【答案】B 【分析】由D为AC的中点、E为BC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，根据DE的长度结合三角形中位线定理即可得出AB的长度． 【解答】解：∵D为AC的中点，E为BC的中点， ∵DE为△ABC的中位线， 又∵DE＝1100m， ∴AB＝2DE＝2200m． 故选：B． 13．【答案】C 【分析】利用三角形的中位线定理求得BC即可． 【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DEBC， ∵DE＝5， ∴BC＝10． 故选：C． 14．【答案】C 【分析】根据中位线的性质可得出△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解； 【解答】解：作任意△ABC，分别取三边的中点为D、E、F，如图所示， ∵D、E、F分别为三边的中点， ∴， ∵EF∥DC，DE∥EC， ∴四边形EFDC是平行四边形， ∴∠EFD＝∠C， ∵EF∥BD，DE∥BF， ∴四边形EFBD是平行四边形， ∴∠DEF＝∠B， ∴△ABC∽△DEF， ∵AB：DE＝1：2， ∴， ∴， 故选：C． 15．【答案】C 【分析】由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得DE的值即可． 【解答】解：∵△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， 故DEAD10＝5． 故选：C． 16．【答案】B 【分析】利用三角形的中位线定理可以得到：DEAC，EFBC，DFAB，则△DEF的周长是△ABC的周长的一半，据此即可求解． 【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点， ∴DEAC， 同理 EFBC，DFAB， ∴C△DEF＝DE+EF+DF（AC+BC+AB）20＝10． 故选：B． 17．【答案】B 【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，易得三角形三边的长，即可求得周长． 【解答】解：∵D，E，F分别是△ABC的三边的中点， ∴DEAC，DFBC，EFAB， ∴AC+BC+AB＝2（DE+DF+EF）＝2×（3+4+6）＝26（cm）． 故选：B． 18．【答案】D 【分析】等边三角形的边长为3，根据三角形的中位线定理可求出中点三角形的边长，所以中点三角形的周长可求解． 【解答】解：连接各边中点所成的线段是等边三角形的中位线，每条中位线的长是，故新成的三角形的周长为3． 故选：D． 19．【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点， ∴AB＝2CD＝20（m）， 故选：C． 20．【答案】B 【分析】连接AB，可知DE为△OAB的中位线，由中位线定理可求得AB的长． 【解答】解： 如图，连接AB， ∵D、E分别为OA和OB的中点， ∴DE为△OAB的中位线， ∴AB＝2DE＝40米， 故选：B． 二．填空题（共10小题） 21．【答案】见试题解答内容 【分析】过点B作BD⊥AD，B′D′⊥A′B′，根据三角形中位线定理即可得出结论． 【解答】解：过点B作BD⊥AD，B′D′⊥A′B′， ∵OC是△ABD与△A′B′D′的中位线， ∴BD＝B′D′＝OC，即h1＝h2， 故答案为：＝，不变． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可． 【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点H． ∵∠A＝∠FPB＝60°， ∴AH∥PF， ∵∠B＝∠EPA＝60°， ∴BH∥PE， ∴四边形EPFH为平行四边形， ∴EF与HP互相平分． ∵G为EF的中点， ∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN． ∵CD＝10﹣2﹣2＝6， ∴MN＝3，即G的移动路径长为3． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】先根据三角形的中位线定理得出B1C1的长，再作图2中三角形的中位线，根据三角形的中位线定理和梯形的中位线定理推得B1C1+B2C2的值，依此类推得出B1C1+B2C2+B3C3的值，从而得出B1C1+B2C2+…+Bn∁n的值． 【解答】解：∵点B1、C1分别是AB、AC的中点， ∴B1C1BCa， 作图2中三角形的中位线MN，则MNa， 则B1C1a①，B2C2a②， ①+②得，B1C1+B2C2aa＝a， 同理得出B1C1+B2C2+B3C3aaaa， … B1C1+B2C2+…+Bn∁nna． 故答案为na． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BD＝DN，AB＝AN，再求出CN，然后判断出DM是△BCN的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答． 【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD， ∴BD＝DN，AB＝AN＝12， ∴CN＝AC﹣AN＝18﹣12＝6， 又∵M为△ABC的边BC的中点 ∴DM是△BCN的中位线， ∴MDCN6＝3， 故答案为：3． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：∵M、N分别为AC，BC的中点， ∴NM∥AB，AB＝2MN， ∴△CMN∽△CAB， ∴（）2， ∵S△CMN＝2， ∴S△ABC＝8， ∴S四边形ABNM＝8﹣2＝6， 故答案为：6． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】应先根据所给条件判断出△ABE的形状，得到∠BAE的度数，利用所给线段即可求得AE长． 【解答】解：∵△AEB′是△AEB翻折而成， ∴∠FAB＝∠FAB′， ∵FG∥AD ∴∠FB′A＝∠B′AD 在直角三角形AB′E中，F是AE的中点，AF＝B′F ∴∠FAB′＝∠FB′A ∴∠FAB′＝∠B′AD＝∠BAE∠BAD90°＝30° 在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得AE＝2． 故答案为2． 27．【答案】2． 【分析】如图，延长CD交AB于F，构造等腰三角形BFC和△AFC的中位线，利用等腰三角形的性质和三角形中位线定理作答． 【解答】解：如图，延长CD交AB于F， ∵BD平分∠ABC，过点C作CD⊥BD于点D， ∴BD是△BFC的中线，BF＝BC＝2a﹣3． ∴点D是CF的中点． ∵E是AC的中点， ∴DE是△AFC的中位线， ∴DEAF． ∵AF＝AB﹣BF＝2a+1﹣（2a﹣3）＝4． ∴DE＝2． 故答案为：2． 28．【答案】66°． 【分析】延长AF交BC于G，先由中点定义，AE＝CE，中位线性质得DE∥BC，根据平行线分线段成比例，得到，又因∠AFC＝90°从而由线段垂直平分线性质得CA＝CG，根据等边对等角可得∠CAF＝∠CGA，即可由三角形内角和定理求解． 【解答】解：延长AF交BC于G， ∵点D，E分别是AB，AC的中点． ∴DE∥BC，AE＝CE， ∴， ∴AF＝FG， ∵∠ACB＝48°，AG⊥CF， ∴CA＝CG， ∴∠CAF＝∠CGA， ∴， 故答案为：66°． 29．【答案】8． 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可以得到△ABC的面积． 【解答】解：∵点D、E分别是BC、AB的中点， ∴S△ABC＝2S△ABD，S△ABD＝2S△AED， ∵△AED的面积为2， ∴△ABC的面积为8， 故答案为：8． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】因为三角形中位线的长度是相对应边长的一半，所以此三角形有一条边为6，一条为10；那么就有两种情况，或腰为10，或腰为6，再分别去求三角形的周长． 【解答】解：∵等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，∴等腰三角形的两边长为6，10， 当腰为6时，则三边长为6，6，10；周长为22； 当腰为10时，则三边长为6，10，10；周长为26； 故答案为：22或26． 三．解答题（共10小题） 31．【答案】见解析． 【分析】在△ABC中，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．证明四边形BDFC是平行四边形，可得结论． 【解答】证明：在△ABC中，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF． 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴∠A＝∠ECF，AD＝CF， ∴AD∥CF， 又∵AD＝BD， ∴CF＝BD， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DE∥BC，DEBC． 32．【答案】见试题解答内容 【分析】取AC的中点F，连接BF，根据中点的性质可得到AE＝AF，再根据SAS判定△ABF≌△ACE，由全等三角形的对应边相等可得到BF＝CE，再利用三角形中位线定理得到DC＝2BF，即证得了DC＝2CE． 【解答】证明：取AC的中点F，连接BF， ∵AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的中点， ∴AE＝AF， ∵∠A＝∠A，AB＝AC， ∴△ABF≌△ACE（SAS）， ∴BF＝CE， ∵BD＝AB，AF＝CF， ∴DC＝2BF， ∴DC＝2CE． 33．【答案】见试题解答内容 【分析】根据中位线定理证明MH＝NH，进而证明∠HMN＝∠HNM，∠HMN＝∠PQA，所以△APQ为等腰三角形，即AP＝AQ． 【解答】解：AP＝AQ．理由如下： 如图，取BC的中点H，连接MH，NH． ∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MHEC． ∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NHBD． ∵BD＝CE，∴MH＝NH．∴∠HMN＝∠HNM； ∵MH∥EC，∴∠HMN＝∠PQA， 同理∠HNM＝∠QPA． ∴△APQ为等腰三角形， ∴AP＝AQ． 34．【答案】见解析． 【分析】方法一：由中点可得AD＝BD，AE＝CE，利用SAS可证得△ADE≌△CFE，则有∠ADE＝∠F，AD＝CF，从而有CF∥AB，CF＝BD，可判定四边形BCFD是平行四边形，即有DF＝BC，DF∥BC，从而可求证DEBC； 方法二：如图，过点A作直线AM∥BC，过点D作直线MN∥AC交直线AM于M，交BC于N，根据平行四边形的性质得到AM＝CN，MN＝AC，根据全等三角形的性质得到AM＝BN，DM＝DN，根据平行四边形的性质得到DE＝CN，DE∥CN，于是得到结论． 【解答】证明：方法一：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴AD＝BD，AE＝CE， 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴∠ADE＝∠F，AD＝CF， ∴CF∥AB，CF＝BD， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DF＝BC，DF∥BC， ∴DEDFBC； 方法二：证明：如图，过点A作直线AM∥BC，过点D作直线MN∥AC交直线AM于M，交BC于N， ∵AM∥BC，MN∥AC， ∴四边形AMND是平行四边形， ∴AM＝CN，MN＝AC， ∵AM∥CN， ∴∠M＝BND， ∵点 D是AB边的中点， ∴AD＝BD， 在△AMD与△BND中， ， ∴△AMD≌△BND（AAS）， ∴AM＝BN，DM＝DN， ∴DNMN，AMBC， ∵CEAC， ∴DN＝CE， ∴四边形DNCE是平行四边形， ∴DE＝CN，DE∥CN， ∴DEBC，DE∥BC． 35．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DEBC，进而得出DE＝FC； （2）利用平行四边形的判定与性质得出DC＝EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长． 【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵延长BC至点F，使CFBC， ∴DE＝FC； （2）解：∵DEFC， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DC＝EF， ∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2， ∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2， ∴DC＝EF． 36．【答案】见解析部分． 【分析】方法一：结合已给出的辅助线，先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明四边形BDFC是平行四边形，问题得证； 方法二：结合已给出的辅助线，先证明四边形AMFB是平行四边形，再证明△AME≌△CFE，接着证明四边形AMED是平行四边形，问题得证； 【解答】解：方法一：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF、CD、AF． ∵D、E分别是△ABC的边AB，AC中点， ∴，AE＝ECAC， 又∵EF＝DE， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴AD∥CF，AD＝CF， ∴BD∥CF，BD＝CF， ∴四边形BDFC是平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC，即DE∥BC， ∵EF＝DE， ∴， ∴； 方法二：过E作EF∥AB交BC于F，过A作AM∥BC交FE于M， 同理有：，， ∵EF∥AB，AM∥BC， ∴四边形AMFB是平行四边形， ∴AM＝FB，AM∥FB，AB＝MF， ∴∠AME＝∠EFC，∠MAE＝∠ECF，∠AME＝∠EFC， ∵AE＝EC， ∴△AME≌△CFE（AAS）， ∴AM＝FC，EM＝EF， ∴， ∵AB＝MF， ∴， ∵EF∥AB， ∴四边形AMED是平行四边形， ∴AM＝ED，AM∥ED， ∵AM＝FC，AM＝FB，AM∥BC， ∴， ∴DE∥BC，． 37．【答案】见解答． 【分析】选择方法一：根据题意，先证明△ADE≌△CFE，然后证明四边形DBCF是平行四边形，即可得出结论． 【解答】解：选择方法一，证明如下： 根据题意，如图： 延长DE 到F点，使DE＝EF， ∵E是AC的中点， ∴AE＝EC． 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）． ∴AD＝CF，∠ADE＝∠CFE． ∴AB∥CF， ∵D是AB的中点， ∴BD＝AD， ∴BD∥CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴DE∥BC，DEBC． 38．【答案】见解答过程． 【分析】方法一：由中点可得AD＝BD，AE＝CE，利用SAS可证得△ADE≌△CFE，则有∠ADE＝∠F，AD＝CF，从而有CF∥AB，CF＝BD，可判定四边形BCFD是平行四边形，即有DF＝BC，DF∥BC，从而可求证DEBC； 方法二：由中点可得AD＝BD，AE＝CE，由平行线的性质可得∠ADE＝∠F，利用AAS可证得△ADE≌△CFE，则有AD＝CF，DE＝FE，从而有CF＝BD，可判定四边形BCFD是平行四边形，即有DF＝BC，DF∥BC，从而可求证DEBC； 【解答】证明：方法一：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴AD＝BD，AE＝CE， 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（SAS）， ∴∠ADE＝∠F，AD＝CF， ∴CF∥AB，CF＝BD， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DF＝BC，DF∥BC， ∴DEDFBC； 方法二：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∵CF∥AB， ∴∠ADE＝∠F， 在△ADE与△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AD＝CF，DE＝FE， ∴CF＝BD， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DF＝BC，DF∥BC， ∴DEDFBC． 39．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据小明尺规作图的方法画出图形即可； （2）分别以命题Ⅱ，Ⅲ为真命题，加以证明． 【解答】解：（1）所画图形如解如图． （2）真命题为命题II． 证明：如图，过点E作EM∥AB交BC边于点M，连接DM， 又∵DE∥BC， ∴四边形EDBM是平行四边形， ∴BD＝EM，DE＝BM， 又∵， ∴DE＝BM＝CM， ∴四边形DECM是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴DM＝CE，DM∥CE， ∴DM∥AE， 又∵EM∥AD， ∴四边形ADME是平行四边形， ∴AD＝EM，DM＝AE， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴D，E分别是AB，AC的中点． 【一题多解】真命题为命题III． 证明：如图，延长ED至点F，使DF＝DE，连接BF， ∵D是AB边的中点， ∴AD＝BD． 又∵∠ADE＝∠BDF， ∴△ADE≌△BDF（SAS）， ∴AE＝BF，∠AED＝∠BFD， ∴AC∥BF， ∵EF∥BC， ∴四边形BCEF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∴BF＝CE， ∴CE＝AE， ∴E是AC的中点． 40．【答案】（1）见解析； （2）6． 【分析】（1）如图所示，延长DE到F，使得DE＝FE，证明△AED≌△CEF，得到∠A＝∠FCE，AD＝CF，则AD∥CF，再由点D是AB的中点，得到AD＝BD＝CF，即可证明四边形BCFD是平行四边形，则DE∥BC，DF＝BC，再由DE＝FE，即可证明； （2）如图所示，连接AN并延长交BC延长线于E，证明△ADN≌△ECN，得到AD＝CE＝4，AN＝NE，即点N是AE的中点，由（1）的结论可知BE＝2MN＝10，则BC＝BE﹣CE＝6． 【解答】（1）证明：如图所示，延长DE到F，使得DE＝FE，连接CF． ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△AED和△CEF中， ， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴∠A＝∠FCE，AD＝CF， ∴AD∥CF， ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD＝CF， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DE∥BC，DF＝BC， 又∵DE＝FE， ∴， ∴DE∥BC，且； （2）解：如图所示，连接AN并延长交BC延长线于E， ∵AD∥BC， ∴∠NAD＝∠NEC，∠NDA＝∠NCE， ∵点N是CD的中点， ∴DN＝CN， 在△ADN和△ECN中， ， ∴△ADN≌△ECN（AAS）， ∴AD＝CE＝4，AN＝NE，即点N是AE的中点， 又∵点M是AB的中点， ∴由（1）的结论可知BE＝2MN＝10， ∴BC＝BE﹣CE＝10﹣4＝6． 学科网（北京）股份有限公司 $$