第11章 解三角形（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第11章 解三角形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D．或 2．（24-25高三上·全国·阶段练习）△ABC的三个内角、、所对的边分别为、、，若， ，则＝（      ） A．2 B． C． D．3 3．（23-24高一下·北京·期末）在中，，则的外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024高二上·江苏·学业考试）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D． 7．（2025·广东·一模）如图，已知，，，，则（    ）    A． B． C．或 D． 8．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·浙江温州·期末）在中，角所对的边为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．（为的外接圆半径） 10．（23-24高一下·江苏盐城·期中）在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，，，则C的值可以是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·四川成都·模拟预测）设中，.下列命题正确的有（   ） A．若，则的周长的取值范围是 B．若，则的面积的最大值是 C．若，则的周长的取值范围是 D．若，则的面积的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则 . 13．（24-25高三上·广西·阶段练习）将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板（）的长直角边与含45°角的三角板（）的斜边恰好重合.与相交于点，若，则 . 14．（2025高三·全国·专题练习）在中，的平分线为与交于点，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（黑龙江省六校联合体2025届高三上学期模拟数学试卷）在锐角中，，， (1)求； (2)若为的中点，求. 16．（24-25高三上·广东潮州·期末）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 17．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为的中点，，求的面积. 18．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 19．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 解三角形（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小. 【详解】由正弦定理得，即， 又因为，则， 所以或. 故选：D 2．（24-25高三上·全国·阶段练习）△ABC的三个内角、、所对的边分别为、、，若， ，则＝（      ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算得解. 【详解】由正弦定理得，所以. 故选：B 3．（23-24高一下·北京·期末）在中，，则的外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】正弦定理求外接圆半径 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理得的外接圆的半径. 故选：A 4．（2024高二上·江苏·学业考试）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理边角互换结合余弦定理可得答案. 【详解】因，则， 则. 故选：A 5．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】诱导公式二、三、四、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理，结合圆内接四边形的对角互补，即可求出长度. 【详解】 连接，由题意四边形为圆的内接四边形可知, 则在三角形中由余弦定理得：， 在三角形中由余弦定理得：， 因为，所以，即，解得. 故选：C 6．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用和角的正切公式推得判断A；利用正弦定理边化角推理判断BCD. 【详解】对于A，在中，由，得， 整理得 ，则都是锐角， 是锐角三角形，A正确； 对于B：由及正弦定理得， 即，则或，即或， 因此是等腰三角形或直角三角形，B错误； 对于C，由及正弦定理，得， 即，而是的内角，则，是等腰三角形，C正确； 对于D，由是的内角及正弦定理，得，D正确. 故选：B 7．（2025·广东·一模）如图，已知，，，，则（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】由正弦定理得，从而求出，再由余弦定理得，由此能求出． 【详解】，，，所以. ， ， ， ， 解得或（舍） 故选：D 8．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形面积公式及其应用、向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】由向量的加法法则结合三点共线确定点的位置，再结合三角形的面积公式求解即可； 【详解】    由可得，即， 设，因为三点共线，则存在实数，使得， 将代入可得 ，即， 由于不共线，则，解得， 即，， 同理，设，则， 因为三点共线，所以，即， 又由三角函数的诱导公式可得， 所以 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能结合图形利用三点共线确定点的位置，即得到和，再结合三角形的面积公式求解即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·浙江温州·期末）在中，角所对的边为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．（为的外接圆半径） 【答案】BCD 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】对于A，给出作为反例即可；对于B，直接利用三角形的内角和为即可；对于C，使用余弦定理即可；对于D，使用面积公式和正弦定理即可. 【详解】对于A，由于当时，，从而，，故A错误； 对于B，由于三角形的内角和为，所以，故B正确； 对于C，若，由于，故. 所以，这就得到. 从而 ， 再由得到，即，故C正确； 对于D，有，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对正弦定理和余弦定理的运用. 10．（23-24高一下·江苏盐城·期中）在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，，，则C的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理解三角形，逐项进行判断. 【详解】由正弦定理，有，得， 由且，得或. 故选：BD 11．（2024·四川成都·模拟预测）设中，.下列命题正确的有（   ） A．若，则的周长的取值范围是 B．若，则的面积的最大值是 C．若，则的周长的取值范围是 D．若，则的面积的最大值是 【答案】BCD 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、求三角形面积的最值或范围 【分析】由三角形的三边关系可求出周长的取值范围，可判断AC选项；根据三角形的面积公式求出面积的最大值，可判断B选项；利用余弦定理、同角三角函数的基本关系结合三角形的面积公式可求出面积的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A。当时，，由三角形三边关系可得，， 所以，因此的周长的取值范围是，故A错误； 对于B，由，可知， 当时，的面积取到最大值，故B正确； 对于C，当时，由，即，得； 由，得，从而， 所以， 因此的周长的取值范围是，故C正确； 对于D，由余弦定理可得， 可得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则 . 【答案】4 【知识点】正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理，边角互化即可求解. 【详解】由正弦定理得， 则， 故答案为：4 13．（24-25高三上·广西·阶段练习）将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板（）的长直角边与含45°角的三角板（）的斜边恰好重合.与相交于点，若，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】首先设，则，，利用余弦定理得到，再根据求解即可. 【详解】由题可知， 设，则，， 由余弦定理， 则， 解得，∴，， 则，，. 由可得：， 则，解得， 则，所以. 故答案为： 14．（2025高三·全国·专题练习）在中，的平分线为与交于点，，则 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】方法一：利用两个小三角形面积之和等于大三角形面积得到即可求得结果； 方法二：通过余弦定理解得第三边长，利用角平分线定理求得的长，在中解三角形即可求出结果. 【详解】方法一：设， 因为， 所以， 化简得，， 故， 因为，所以， 所以，则． 因为，所以， 所以， 故答案为：. 方法二：由余弦定理得， 由角平分线定理得， 所以，， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（黑龙江省六校联合体2025届高三上学期模拟数学试卷）在锐角中，，， (1)求； (2)若为的中点，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理即可得到答案. （2）先由余弦定理求得，或，再利用余弦定理即可求得结果，将不符合题意的舍去即可. 【详解】（1），， 由正弦定理得：，，             又因为为锐角，. （2）在中由余弦定理得： ，或     若，则，则为钝角，舍去             ，因为为中点， 在中，              在中， 16．（24-25高三上·广东潮州·期末）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解； （2）利用面积公式求出，再由余弦定理求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 所以，又，所以， 则，又，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理，即， 即，所以， 所以（负值已舍去）， 所以的周长为. 17．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为的中点，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换化简求解即可； （2）解法一：由为的中点可得，两边平方，利用向量数量积的运算公式和余弦定理可得，代入三角形的面积公式即可求解；解法二：分别在，，中利用余弦定理，再结合，联立解出，代入三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）根据题意由正弦定理得， 因为，所以， 即， 即， 因为，所以， 又因为所以， 而，所以. （2）解法一：由为的中点知， 两边同时平方得， 即，所以， 又在，由余弦定理得， 所以，所以的面积为. 解法二：在中，由余弦定理可得，整理得① 在中，，在中，， 而，所以， 故，即②, 由①②得，，所以的面积为. 18．（24-25高二上·广东惠州·阶段练习）已知函数． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)若，且，求的值． (3)在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 【答案】(1),对称中心为 (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、辅助角公式、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【详解】（1）. 令，则，， 函数的对称中心为，. （2）由可知，， 化简得， ，，， . （3）由可得， 即， 又，则，则，所以. 由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得. 所以，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 19．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、正弦定理解三角形、已知数量积求模 【分析】（1）由题意可知，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出、、，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）设、，利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【详解】（1）由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则，. 则，所以. （2）由，，得，， 且， 所以，， ，则， ， 因为与的夹角为，则，解得. （3）依题意设、， 且，，， 因为为的中点，则， 因为为中点，同理可得， 所以，， 由题意可知，，， 则， 在中依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，，， ， 为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． / 学科网（北京）股份有限公司 $$