第10章 三角恒等变换易错训练与压轴训练（3易错+6压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第10章 三角恒等变换 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 两角和与差的余弦公式应用错误（弄混了中间连接号） 1 易错题型二 辅助角公式化简错误 2 易错题型三 求角时忽略了角的范围 4 压轴题型一 利用正切公式化简求值 7 压轴题型二给角求值 9 压轴题型三给值求角 13 压轴题型四 三角函数综合（恒（能）成立问题） 19 压轴题型五 三角函数零点问题 25 压轴题型六 三角函数综合 29 02 易错题型 易错题型一 两角和与差的余弦公式应用错误（弄混了中间连接号）　 例题1：（23-24高一下·全国·课堂例题）.( ) 【答案】正确 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角差的余弦公式判断即可. 【详解】，所以正确； 故答案为：正确 例题2：（2024高二下·云南·学业考试）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角差的余弦公式可求解. 【详解】. 故选：A. 巩固训练 1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】诱导公式二、三、四、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用诱导公式以及逆用两角和的正弦公式求解. 【详解】 . 故选:D 2．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两角和的正切公式以及诱导公式求得正确答案. 【详解】， ， 所以， 所以 故选：A 易错题型二 辅助角公式化简错误 例题1：（23-24高三上·广东广州·期中）已知，则 . 【答案】/ 【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式、诱导公式五、六 【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可． 【详解】， ∴，则，故， ， 故答案为： 例题2：（23-24高一下·四川南充·阶段练习）若，，则 . 【答案】 【知识点】辅助角公式 【分析】利用辅助角公式求出，再利用特殊角的三角函数求解即可. 【详解】若，则，即， 而，故，可得，解得， 故得， 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·课后作业）当函数取得最大值时， ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】便于求最大值的三角函数式是，利用辅助角公式将函数转化为所需要的形式，进而就可以求得最大值及取得最大值时的值. 【详解】， 又，， 当，即时，. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值为 . 【答案】5 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】由三角恒等变换中的辅助角公式，将化成正弦型三角函数，从而求得答案. 【详解】 ，， 当时，有最大值5. 故答案为：5 易错题型三 求角时忽略了角的范围　 例题1：（山西省太原市2024-2025学年高一上学期1月期末学业诊断数学试卷）已知. (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】(1)（）； (2) 【知识点】求cosx(型)函数的值域、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式 【分析】（1）由，再利用正弦函数的性质求解； （2）先由平移变换得到，再利用余弦函数的性质求解. 【详解】（1）解：， 由（）得， ∴的单调减区间为（）； （2）由题意得， ∵，∴， ∴， ∴在上的值域为. 例题2：（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，进而求出其周期. （2）由指定区间求出相位的范围，再利用正弦函数性质求出值域. 【详解】（1）函数， 所以函数的最小正周期 （2）当时，，正弦函数在上递增，在上递减， 因此函数在上递增，在上递减，， 而，，则， 所以的值域为. 巩固训练 1．（24-25高一上·北京·期末）已知函数， (1)求函数的单调递增区间； (2)求在上的最小值和最大值及相应自变量x的值. 【答案】(1) (2)时，取得最小值；时，取得最大值. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先化简，再求解，即可； （2）根据的范围，确定的范围，将看成整体，结合的单调性、最值求解即可. 【详解】（1）， ， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为：. （2）因为，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，即时，取得最小值， 当时，即时，取得最大值. 2．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移 个单位后得到的图象，求在区间 上的最小值. 【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）化简解析式，根据正弦函数复合函数单调性和周期公式即可求解； （2）根据求出的范围，再根据正弦函数最值即可求解. 【详解】（1） . 则其最小正周期为， 由，，解得， 则的单调递增区间为：； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象， 则. ，∴. 03 压轴题型 压轴题型一 利用正切公式化简求值　 例题1：（24-25高三上·山西·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两角和的正切公式和诱导公式求解. 【详解】根据两角和的正切公式，， 可得，即； 根据诱导公式，， 故原式. 故选：A. 例题2：（24-25高三上·上海·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知中，，且，判断的形状，并说明理由. 【答案】（1），（2）是正三角形，理由见解析 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）由诱导公式求得，弦化切即可求解； （2）由题知即，进而，再结合已知得，进而或，再分类讨论即可求解. 【详解】（1）由， 可得，即， 所以. （2）因为， 所以，即， 因为，所以. 因为，且， 所以或，即或， 当，则，此时无意义，矛盾． 当，则，满足题意，此时是正三角形． 所以是正三角形 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知锐角满足，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用已知和平方关系求出判断出的范围，利用两角和的正切公式求出，可得答案. 【详解】因为，所以， 由，解得，， 因为为锐角，所以，此时，可得， 所以， 由得 ， 因为为锐角，所以，可得， 由得， 可得. 故选：B. 2．（24-25高一上·河南郑州·期末）在中，已知，则角 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据题意由两角和的正切公式可得，即可得，求出结果. 【详解】由，得， 即，又， 所以，则， 故答案为： 压轴题型二给角求值 例题1：（2024·云南大理·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、给值求值型问题 【分析】首先根据辅助角公式化简并求解的值，然后根据余弦二倍角公式求解的值，最后利用诱导公式求解的值即可. 【详解】由于，可得：，即， 又由于， . 故选：B. 例题2：（2024·山东淄博·二模）设，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】给值求值型问题、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先对变形，进而表示出，再代值计算即得. 【详解】由，得， 则，即， 因此， 而，所以. 故选：A 例题3：（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】给值求值型问题 【分析】利用差角的正弦公式化简给定等式得，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算得解. 【详解】依题意，， 则，所以. 故选：A 巩固训练 1．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】给值求值型问题 【分析】对平方得，根据及同角三角函数基本关系式得，进而得出且；根据及，利用同角三角函数基本关系式得，再由二倍角公式得出，进而有，，最后由两角和的余弦公式计算即可. 【详解】由题意得，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，且, 所以，且. 因为，所以，又，所以， 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数给值求值，解题关键是寻找已知角与所求角的关系，综合运用同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角恒等变换进行求解，易错点是因忽略角的范围而导致三角函数值的符号出现错误. 2．（2024·辽宁丹东·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】给值求值型问题、辅助角公式、二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】解法1：令，，利用两角和与差的正弦公式化简即可求得，再利用二倍角公式即可求解；解法2：利用两角和的正弦公式将展开，可得，再利用辅助角公式求得，最后利用二倍角公式即可求解. 【详解】解法1：由，得， 得， 得，所以， 所以． 解法2：将 展开得， 整理得， 即， 所以． 故选：A 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】给值求值型问题、二倍角的正弦公式、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】首先利用三角函数的基本关系求出的值，再根据二倍角公式求出的值，最后利用诱导公式计算的得出结果. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以， 所以， 所以. 故答案为： 压轴题型三给值求角 例题1：（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1） . （2）若，且，，则 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角恒等变换的化简问题、给值求角型问题 【分析】（1）通分，利用倍角公式以及利用展开化简计算即可； （2）先通过角的范围求出，，再利用展开计算即可. 【详解】（1） ; （2）因为，所以， 又，所以，则， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 因为，， 所以， 所以 ， 所以. 例题2：（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、已知弦（切）求切（弦）、二倍角的余弦公式、给值求角型问题 【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系求出即可得解. （2）由（1）的结论，结合二倍角的余弦函数化简求得. （3）利用和角的正切公式，结合角的范围求得角的大小. 【详解】（1）由，得，解得， 而，则，， 因此，所以. （2）由（1）得. （3）由（1）知，，则， ，，则，所以. 例题3：（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、给值求值型问题、给值求角型问题 【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【详解】（1）由， 解得， 所以； （2）， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 巩固训练 1．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，，且，，求的值. 【答案】(1)5 (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、给值求角型问题 【分析】（1）先用诱导公式化简，然后转化为用表示，再根据条件列方程求解即可； （2）利用（1）的结果先求出，，然后利用展开计算，确定角的范围即可求角. 【详解】（1）由已知，即， 因为，即，解得； （2）依题意，由，得， 解得，， ∴. ∵，，∴， 又，∴， ∴， ∴. 2．（23-24高一上·天津南开·期末）已知，且 (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正切公式、给值求角型问题 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系式求出，然后利用二倍角公式即可求值； （2）先求，再由，运用两角差的余弦公式，注意到的范围，计算得到结果. 【详解】（1）由， 得 所以． 于是 （2）因为 所以 所以 因为， 所以,所以 3．（23-24高三上·吉林白城·阶段练习）已知． (1)求的值； (2)若，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】（1）根据题意化简可得，再根据同角三角函数的关系求解即可； （2）先求得，再根据正切函数值分析可得，进而可得. 【详解】（1）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， ． （2）由，可得， 则， 因为，所以，又，则， 因为，又，则， 所以，所以． 压轴题型四 三角函数综合（恒（能）成立问题）　 例题1：（山西省晋中市2024-2025学年高一上学期1月期末调研测试数学试卷）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最值； (3)在（2）的条件下，若对任意，都存在，使得，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由三角恒等变换化简后，根据正弦型三角函数的性质求单调增区间； （2）求出平移后函数解析式，再由正弦型函数的值域、最值的求法求解； （3）由题意转化为，分别求不等式两边函数的最大值即可得解. 【详解】（1） . 令，，得，. 所以的单调递增区间为，. （2）根据（1）知，. 令，当时，. 根据正弦函数的性质，当，即时，取得最小值，此时取得最小值； 当，即时，取得最大值1，此时取得最大值2. 所以，. （3）不等式等价于. 令函数，根据题意，有. 由（2）得，由绝对值的几何意义可知， 当时，，由，解得，故； 当时，，由，解得，无解. 综上，实数a的取值范围为. 例题2：（2024高一·全国·专题练习）已知函数，. (1)当时，求函数的对称中心； (2)若为奇函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、函数不等式恒成立问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】（1）直接根据正弦函数的性质即可得结果； （2）由奇偶性可得，通过两角和与差的公式化简得，由的范围求出的范围，通过分离参数思想即可得结果. 【详解】（1）由题设，令，可得， 所以函数的对称中心为. （2）由题设，，又，则，故， 由， 所以恒成立，即恒成立， 又，则，故， 所以. 例题3：（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数，其中. (1)若函数在区间内有且仅有3个零点，求的取值范围； (2)当时，若对任意实数，存在实数，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数不等式恒成立问题、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的性质可得，解出即可得； （2）由题意结合正弦函数与指数函数的性质可得，参变分离后计算即可得解. 【详解】（1）由题意有：， 在内有且仅有3个零点， 方程在内恰有三个不相等的实数根， 即与直线在内恰有三个交点， 令，则， 则与直线在内恰有三个交点， ，解得， 故的取值范围为； （2）当时，， 当时，， ，， 由题意，存在，使得，即成立， ，， 故实数的取值范围为. 巩固训练 1．（23-24高一下·云南曲靖·期中）已知函数的最小正周期是． (1)求的解析式，并求的单调递减区间； (2)将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数的图象，若时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)，单调递减区间为， (2) 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）化简函数解析式，根据复合函数单调性的判断方法求出单调递减区间即可； （2）根据题意，分离参数即可求解. 【详解】（1）有题意知， 由，解得， 所以． 由，得 ，，， 所以单调递减区间为， （2）依题意得， 因为，所以 当时，恒成立， 所以只需，转化为求的最大值与最小值． 当时，为单调减函数， 所以， 从而，，即， 故的取值范围是． 2．（22-23高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知向量，，函数. (1)求函数在上的单调递增区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，. (2). 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、二倍角的余弦公式、数量积的坐标表示、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先求出的解析式并结合三角恒等变换公式化简得，再令，解出该不等式并结合即可得解. （2）由（1）得的单调性，结合和得和 ，再结合即可得解. 【详解】（1） ， 由，得， 因为，所以或， 所以在上的单调递增区间为，. （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 所以，又，，所以， 由题，，解得. 3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，函数． (1)求函数的周期及对称中心； (2)若，且，求的值； (3)将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，对称中心为； (2)； (3)． 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、给值求值型问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】（1）先倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期的计算公式以及对称中心的求法即可求解； （2）先求得、，再将所求转化为，再结合正弦两角差公式即可求解； （3）先求解析式，然后将恒成立问题，参变量分离后，转化为最值问题即可求解. 【详解】（1） ． ， 令． 对称中心为； （2）由（1）知，， ，又， ， ． （3）由（1）知，， 由题意，， 当时，， 恒成立恒成立． ． 压轴题型五 三角函数零点问题　 例题1：（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，其中.请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并解答下列问题. 条件①：； 条件②：最大值为； 条件③：在区间上单调，且最大值为； (1)求函数的对称中心； (2)若方程在区间内有且仅有1个实根，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简函数，选②求得两个值，对应两个不同函数，不符合题意，由条件①③求出函数式，再借助正弦函数性质求出对称中心. （2）确定函数相位的范围，由零点情况列式求出范围. 【详解】（1）依题意，， 若选②，，解得或， 当时，，当时，， 因此选②，可以求得两个不同函数，不符合题意，即条件②不可选； 于是选条件①③，由①知，，解得，， 由③知，函数的最小正周期为，即，解得，，函数唯一确定， 由，得， 所以函数的对称中心为. （2）由（1）知，，由，得， 当时，，依题意，在内有且仅有1个实根， 则，解得， 所以m的取值范围是. 例题2：（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数，当时，函数有零点，求的取值范围 【答案】(1)，； (2). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和辅助角公式进行化简，再借助正弦函数的性质求解即可. （2）利用正弦函数的性质求出函数在上的值域，再利用零点的意义求出范围. 【详解】（1）依题意，， 所以的最小正周期； 由，得， 所以的对称轴方程. （2）由（1）知，，当时，， 则，， 由函数有零点，得，解得. 所以的取值范围是. 巩固训练 1．（23-24高一下·北京·期中）设，其中. (1)当时，求x的值； (2)求的单调递增区间； (3)若关于x的方程有两个解，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求sinx型三角函数的单调性、利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）运用向量垂直的坐标结论可解； （2）数量积的坐标运算，后整体代入即可求单调递增区间； （3）参变分离后转化为两个函数的交点，结合图像可解. 【详解】（1）由题意得,， 则，则，则. （2）， 令，解得， 又，则，故的单调递增区间. （3）若关于x的方程有两个解，即有两个解， 即与在上有两个交点. 画出在上的图象如下. 当，，则实数m 的取值范围为. 2．（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)求函数在区间上的所有零点之和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、求零点的和 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，再根据正弦函数单调性可得其值域； （2）求出函数在区间上的所有零点即可得结果. 【详解】（1）易知 因为，所以， 由正弦函数单调性可得， 则的值域为 （2）因为，所以， 由得 所以，解得， 所以函数在区间上的所有零点之和为. 压轴题型六 三角函数综合　 例题1：（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，， (1)求的值以及的对称轴; (2)将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，若 ，求的取值范围; (3)已知 ，求的值. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、辅助角公式 【分析】（1）根据已知条件代入运算，求得，再根据余弦函数的性质求解； （2）利用图象变换求出的解析式，根据余弦函数的性质解不等式； （3）利用平方关系求出，将转化为，利用两角差的余弦公式求解. 【详解】（1）根据题意，，又， ，解得， ，令，， 所以的对称轴为. （2）由题可得，， 所以，即， ，         即，      所以的取值范围是，. （3）， ， 当时，， 当时，， 所以. 例题2：（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的单调区间； (3)若，函数，求不等式的解集. 【答案】(1)最小正周期为 (2)单调递增区间为，，单调递减区间为 (3) 【知识点】解正弦不等式、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简函数，然后利用周期公式求解即可； （2）先求得，然后结合正弦函数的单调性求出单调区间即可； （3）将不等式化简为，根据正弦函数的单调区间，结合特殊角的三角函数值求解不等式即可. 【详解】（1） ， 函数的最小正周期为； （2）由（1）知， 又函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 由，解得， 当时，，当时，， 由，解得， 当时，. 函数在上的单调递增区间为，，单调递减区间为； （3）∵函数的最小正周期为， ， 不等式等价于，， 即，即， 令则或，，或， 方程在内的实数根为，， 结合（2）的结论知，当时，符合题意. 不等式的解集为. 例题3：（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数 (1)求函数的单调递减区间； (2)若将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①求函数的解析式； ②若，其中，求的值. 【答案】(1). (2)①；② 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、用和、差角的正弦公式化简、求值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）化简可得，由，可求函数的单调递减区间； （2）（i）利用平移变换与伸缩变换可求得的解析式；（ii）由已知可得，根据同一个角的正余弦的平方关系和两角和的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）， 令，得， 则函数的单调递减区间为. （2）（i）由题意，将函数的图象先向左平移个单位长度， 得到， 再将所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变）， 得到函数的图象，则. （ii）由得，， ，则， ， 即. 巩固训练 1．（浙江省温州市2024-2025学年高一上学期期末教学质量统一检测数学试卷A卷）已知函数． (1)若，求的值； (2)已知函数在上存在零点，求的最小值； (3)当时，若函数的图象在区间上恰有一条对称轴，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】特殊角的三角函数值、利用正弦函数的对称性求参数、由正切（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由可得出的值； （2）由结合参变量分离法可得出，结合求出的取值范围，即可得出实数的最小值； （3）利用三角恒等变换化简可得出，其中，可取，根据求出的取值范围，根据题意得出的取值范围，结合可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，则. （2）因为， 可得， 当时，， 所以， ， 因为，则，则， 因此，实数的最小值为. （3）因为， 其中，可取， 当时，，且，， 由题意可得，解得，故，故. 因此，实数的取值范围是. 2．（天津市五区县重点校2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值域. 【答案】(1)最小正周期为π，单增区间为 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用辅助角公式，再用整体思想进行求解单调区间即可； （2）利用好平移变换和伸缩变换，再利用整个思想求值域即可. 【详解】（1） 的最小正周期为π； 令，则， 的单增区间为. （2）的图象向左平移个单位长度得到 的图象， 再将图象上所有点的横坐标缩小到原来得到图象， 得到的图象，， 当则， 当即时，单调递增 当即时，单调递减， 又， 在的值域为. 3．（24-25高一上·广西南宁·期末）函数（，）的部分图象如图所示． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， ； (2). 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、由图象确定正（余）弦型函数解析式、用和、差角的余弦公式化简、求值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用余弦函数性质，把相位看成一个整体来解不等式，即可得单调区间； （2）利用相位整体角思想，把所求的角转化，再用余弦两角和公式求解即可. 【详解】（1）由图象可知：，解得：， ， ； ，，解得：， 又，，， 令，解得：； 的最小正周期为，单调递增区间为. （2），， 又，， 又， . / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 三角恒等变换 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 两角和与差的余弦公式应用错误（弄混了中间连接号） 1 易错题型二 辅助角公式化简错误 2 易错题型三 求角时忽略了角的范围 2 压轴题型一 利用正切公式化简求值 3 压轴题型二给角求值 4 压轴题型三给值求角 5 压轴题型四 三角函数综合（恒（能）成立问题） 7 压轴题型五 三角函数零点问题 10 压轴题型六 三角函数综合 12 02 易错题型 易错题型一 两角和与差的余弦公式应用错误（弄混了中间连接号）　 例题1：（23-24高一下·全国·课堂例题）.( ) 例题2：（2024高二下·云南·学业考试）（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）（    ） A． B． C．1 D． 易错题型二 辅助角公式化简错误 例题1：（23-24高三上·广东广州·期中）已知，则 . 例题2：（23-24高一下·四川南充·阶段练习）若，，则 . 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·课后作业）当函数取得最大值时， ． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值为 . 易错题型三 求角时忽略了角的范围　 例题1：（山西省太原市2024-2025学年高一上学期1月期末学业诊断数学试卷）已知. (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 例题2：（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的值域. 巩固训练 1．（24-25高一上·北京·期末）已知函数， (1)求函数的单调递增区间； (2)求在上的最小值和最大值及相应自变量x的值. 2．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移 个单位后得到的图象，求在区间 上的最小值. 03 压轴题型 压轴题型一 利用正切公式化简求值　 例题1：（24-25高三上·山西·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高三上·上海·阶段练习）（1）已知，求的值； （2）已知中，，且，判断的形状，并说明理由. 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知锐角满足，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南郑州·期末）在中，已知，则角 . 压轴题型二给角求值 例题1：（2024·云南大理·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 例题2：（2024·山东淄博·二模）设，若，，则（　　） A． B． C． D． 例题3：（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁丹东·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，则 ． 压轴题型三给值求角 例题1：（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1） . （2）若，且，，则 . 例题2：（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，，求的值. 例题3：（23-24高一下·江苏南通·期中）已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 巩固训练 1．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，，且，，求的值. 2．（23-24高一上·天津南开·期末）已知，且 (1)求的值； (2)求的值． 3．（23-24高三上·吉林白城·阶段练习）已知． (1)求的值； (2)若，，且，求的值． 压轴题型四 三角函数综合（恒（能）成立问题）　 例题1：（山西省晋中市2024-2025学年高一上学期1月期末调研测试数学试卷）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最值； (3)在（2）的条件下，若对任意，都存在，使得，求实数a的取值范围. 例题2：（2024高一·全国·专题练习）已知函数，. (1)当时，求函数的对称中心； (2)若为奇函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围. 例题3：（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数，其中. (1)若函数在区间内有且仅有3个零点，求的取值范围； (2)当时，若对任意实数，存在实数，使成立，求实数的取值范围. 巩固训练 1．（23-24高一下·云南曲靖·期中）已知函数的最小正周期是． (1)求的解析式，并求的单调递减区间； (2)将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数的图象，若时，恒成立，求的取值范围． 2．（22-23高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知向量，，函数. (1)求函数在上的单调递增区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 3．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，函数． (1)求函数的周期及对称中心； (2)若，且，求的值； (3)将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．当时，恒成立，求实数的取值范围． 压轴题型五 三角函数零点问题　 例题1：（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，其中.请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定，并解答下列问题. 条件①：； 条件②：最大值为； 条件③：在区间上单调，且最大值为； (1)求函数的对称中心； (2)若方程在区间内有且仅有1个实根，求m的取值范围. 例题2：（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知函数 (1)求函数的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数，当时，函数有零点，求的取值范围 巩固训练 1．（23-24高一下·北京·期中）设，其中. (1)当时，求x的值； (2)求的单调递增区间； (3)若关于x的方程有两个解，求实数m 的取值范围． 2．（23-24高一下·江苏扬州·期末）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)求函数在区间上的所有零点之和. 压轴题型六 三角函数综合　 例题1：（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，， (1)求的值以及的对称轴; (2)将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，若 ，求的取值范围; (3)已知 ，求的值. 例题2：（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的单调区间； (3)若，函数，求不等式的解集. 例题3：（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数 (1)求函数的单调递减区间； (2)若将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①求函数的解析式； ②若，其中，求的值. 巩固训练 1．（浙江省温州市2024-2025学年高一上学期期末教学质量统一检测数学试卷A卷）已知函数． (1)若，求的值； (2)已知函数在上存在零点，求的最小值； (3)当时，若函数的图象在区间上恰有一条对称轴，求的取值范围． 2．（天津市五区县重点校2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值域. 3．（24-25高一上·广西南宁·期末）函数（，）的部分图象如图所示． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若，，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$