第10章 三角恒等变换（知识归纳+题型突破）（10题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第10章 三角恒等变换（10题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点02：两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点03：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 知识点04：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 知识点05：降幂公式 ① ② 知识点06：半角公式 ① ② ③ 知识点07：辅助角公式： (其中) 知识点08：万能公式 ① ② ③ 03 题型归纳 题型一 两角和与差公式的简单应用　 例题1：（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据三角函数的定义求三角函数值，再根据两角和的正弦公式化简求值. 【详解】点是角终边上一点， ， . 故选：D. 例题2：（2024高二上·河南安阳·学业考试）已知角的终边上有一点，则 . 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据三角函数的定义可得，即可根据正切的和角公式求解. 【详解】由题意可得， 故， 故答案为： 例题3：（23-24高一上·云南昆明·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】（1）利用同角三角函数关系求解即可； （2）利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以． （2）. 巩固训练 1．（24-25高一上·河北·阶段练习）已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据终边上的点得，再由差角余弦公式求目标函数值. 【详解】由题设， 则. 故选：B 2．（山西省太原市2024-2025学年高一上学期1月期末学业诊断数学试卷）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】首先根据的值求出和的值，再代入两角和公式求解. 【详解】因为，所以. 又因为，将代入可得： ，即，，. 因为且，所以，. 所以，. 根据两角和公式. 将，代入可得： . 故选：D. 3．（2024·全国·模拟预测）已知（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】通过及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由可得， 又，则， 故 . 故选：B. 题型二 利用两角和与差公式给值求值　 例题1：（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知都是锐角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由，利用两角差的余弦公式求解. 【详解】因为都是锐角，所以， 又， 所以， 所以 . 故选：C. 例题2：（2024·江西·二模）已知，，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用正切函数的和角公式，可得答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 例题3：（24-25高三上·广东·期末）已知，则 . 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由两角差的正弦公式，同角三角函数关系结合题意可得答案. 【详解】由题， ， 则， ，故. 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】由都是锐角，利用平方关系求的值，再由，结合两角差的余弦公式求解即可. 【详解】因为都是锐角， 所以， 又， 所以， ， 又， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】（1）首先由同角三角函数关系求出、，再由两角差的正弦公式计算可得； （2）首先求出，再根据及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】（1）因为，即， 解得或， 又，所以， 则； （2）因为，，所以， 又，所以， 所以， 所以 . 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）已知角终边所在直线经过点，求的值； （2）已知，，，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再由诱导公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得； （2）首先求出，，再由两角和的余弦公式计算可得. 【详解】（1）角终边所在直线经过点，， . （2），，，， ，， . 题型三 利用两角和与差公式给值求角　 例题1：（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、给值求角型问题、特殊角的三角函数值、由三角函数式的符号确定角的范围或象限 【分析】利用正切和角公式得到，并得到，得到答案. 【详解】， 又，， 故，故， 故. 故选：C 例题2：（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、解正切不等式、用和、差角的正切公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】先根据平方关系和商数关系求出，再根据求出，注意求得的范围，再根据结合两角和的正切公式即可得解. 【详解】角，由得， 则，又因为在上单调递增，则， 而， 同理有， 所以， 且，得. 故选：A. 例题3：（22-23高一上·黑龙江牡丹江·期末）（1）已知，求； （2）已知，，且，，求的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【知识点】给值求角型问题、三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】（1）用诱导公式化简三角齐次弦分式，可得正切值，可用倍角公式转化再添分母“1”可化为齐次弦分式，将所求正切值代入即可; （2）先用同角的三角函数公式求出两角的余弦，再代入两角和的余弦公式，求出的余弦值，则角可求. 【详解】（1）， 即 （2），，且，， ，， ， ，， ， . 巩固训练 1．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以，，所以． 由，得， 即， 所以，所以． 又，所以． 故选：D 2．（22-23高一上·河南郑州·期末）计算 (1)已知.求的值. (2)已知，且，，求角的值； 【答案】(1)4 (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】 （1）利用诱导公式和齐次式化简，化为关于的式子，代入求值即可； （2）利用同角三角函数关系及角的范围得到和，从而利用余弦差角公式求出，从而求出角的值. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 故 ， 因为， 所以. 3．（22-23高一下·四川成都·期末）已知，. (1)求； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】给值求角型问题、用和、差角的余弦公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，即可解得的值； （2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角差的余弦公式求出的值，再结合角的取值范围可求得角的值. 【详解】（1）解：因为，由题意可得，解得. （2）解：因为，，则， 又因为，所以，， 故， 所以， ，因此，. 题型四 逆用两角和与差公式化简　 例题1：（24-25高一上·天津南开·期末）的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】 . 故选：D. 例题2：（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式五、六、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用两角差的正弦公式，结合诱导公式以及特殊角的三角函数求解即可. 【详解】 ， 故选：C. 例题3：（24-25高三上·山东·阶段练习）若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用正切的两角差公式，即可求值. 【详解】由，可得：， 又因为， 所以， 即， 故选：C. 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据两角差的余弦公式，即可化简求值. 【详解】． 故选：C 2．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用诱导公式及和角的正弦公式逆用求出答案. 【详解】. 故选：D 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用，结合，可求出 ，进而解出. 【详解】解：因为，所以， 即，所以， 又因为，所以，于是， 故选：B． 题型五 二倍角公式的应用　 例题1：（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式计算即可作出选择 【详解】因为， 所以 故选：B. 例题2：（24-25高三上·吉林长春·期末）已知，则 . 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】根据已知条件,使用诱导公式及二倍角公式，化简，然后代值即可. 【详解】由题意，因为， 所以故答案为：. 例题3：（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）已知为锐角，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)2； (2). 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系与正切的和差角公式求解即可. （2）利用二倍角的正余弦公式，结合齐次式法及差角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由为锐角，，得，， 而，所以. （2）由（1）得， ，， 所以． 巩固训练 1．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】利用两角和的正切公式，诱导公式以及二倍角公式化简即可. 【详解】，得或， 又，， . 故选：C. 2．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知 且   (1)求，的值; (2)求 的值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）先由同角三角函数的平方关系结合角的象限计算，再由商数关系计算； （2）先由二倍角公式计算和，再代入和差角公式计算即可. 【详解】（1），， ； （2）由（1）得， 所以， ， 所以. 3．（24-25高一上·云南大理·期末）已知、为锐角，，. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系，求出，再利用二倍角的余弦公式和正弦公式以及两角和的正弦公式即可得到答案. （2）利用（1）的结论，先求的值，再结合的取值范围，可求的大小. 【详解】（1）因为，，所以， 所以， ， 所以. （2）因为，所以， 因为，且，所以 由（1）知，因为，且，所以； 所以， 所以，所以. 题型六　辅助角公式化简 例题1：（青海省名校联盟2024-2025学年高一上学期期末联合考试数学试题）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用辅助角公式把函数的解析式化简成正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】由题意可得.令， 解得， 则的单调递减区间是. 故选：A. 例题2：（24-25高一上·云南昆明·期末）求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】结合正切定义，两角差的正弦公式，辅助角公式，二倍角公式，诱导公式，直接化简求解即可. 【详解】 . 故选：B 例题3：6（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 【答案】 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】根据三角恒等变换的化简可得（其中），根据三角函数图象的对称性建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】因为 （其中）， 且函数图象关于直线对称， 所以， 整理得，解得. 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高一上·云南昭通·期末）计算：（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式、辅助角公式 【分析】切化弦、通分、再根据两角差的正弦公式、二倍角公式和诱导公式可得结果. 【详解】因为， 所以， 故 故选：A. 2．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，且是偶函数，则实数（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】特殊角的三角函数值、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式得到，，从而得到的表达式，根据函数为偶函数得到方程，求出，求出答案. 【详解】，其中， ， 为偶函数，故，解得， 则. 故选：B 3．（24-25高一上·天津滨海新·期末）已知函数的图象关于直线对称，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式 【分析】分析可知为函数的最大值，结合辅助角公式解得，即可得结果. 【详解】因为，其中， 若函数的图象关于直线对称，为函数的最大值， 则，解得， 所以. 故选：B. 题型七 降幂公式的应用 例题1：（2024·重庆涪陵·模拟预测）若是第四象限角，且25cos2θ＋cosθ－24＝0，则＝ 【答案】/0.2 【知识点】sin2x的降幂公式及应用 【分析】先解关于的一元二次方程可得，然后由降幂公式可得. 【详解】解方程25cos2θ＋cosθ－24＝0，得或 因为是第四象限角，所以 所以. 故答案为： 例题2：（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知函数，则函数的对称轴的方程为 ． 【答案】 【知识点】sinxcosx的降幂公式及应用、cos2x的降幂公式及应用、辅助角公式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得答案. 【详解】 ， 令，解得：． 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知，则 . 【答案】/ 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、用和、差角的正切公式化简、求值、cos2x的降幂公式及应用 【分析】利用诱导公式，以及二倍角的余数公式，化简等式，再利用两角和的正切公式，以及同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】根据题意，，即， 即，即，所以， 所以， 因为，所以，， 又，所以， 则. 故答案为： 2．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则 . 【答案】/ 【知识点】sinxcosx的降幂公式及应用、sin2x的降幂公式及应用、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【详解】， . 故答案为：. 3．（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)当时，求函数的单调递减区间． 【答案】(1) (2) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、cos2x的降幂公式及应用、sinxcosx的降幂公式及应用、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）首先整理函数的解析式，然后结合最小正周期公式求得函数的最小正周期即可； （2）首先确定，再得到不等式，解出即可得到单调递减区间. 【详解】（1）(Ⅰ) 则其最小正周期为. （2）因为，， 所以，则，解得， 当时，单调递减区间为. 题型八 三角恒等证明 例题1：（2024高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【知识点】无条件的恒等式证明、半角公式、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用同角三角函数关系和逆用余弦差角公式化简得到答案； （2）利用诱导公式和正弦和差公式化简得到答案. 【详解】（1）证明：左边 右边，得证； （2）原式． 例题2：（2024高三·全国·专题练习）证明：. 【答案】证明见解析 【知识点】无条件的恒等式证明 【分析】利用同角三角函数的平方关系以及二倍角的正弦公式可证得结论成立. 【详解】由题意可得： . 巩固训练 1．（23-24高一下·上海松江）（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 【答案】（1）（2）证明见解析 【知识点】二倍角的正弦公式、无条件的恒等式证明 【分析】（1）两边平方后，根据同角公式和二倍角的正弦公式可得结果； （2）根据两角和的正弦公式和同角公式可证等式成立. 【详解】（1）由，得， 得， 得. （2）证明：左边右边. 2．（23-24高一下·上海·课后作业）已知，求证：. 【答案】证明见解析 【知识点】正、余弦齐次式的计算、有条件的恒等式证明 【分析】利用差角的正切公式、二倍角的正余弦公式、弦化切化简等式两边，由此可证得结论成立. 【详解】左边， 右边， 因此，. 题型九 三角函数中的恒成立（能成立）问题 例题1：（24-25高一上·河北廊坊·期末）已知． (1)求的最小正周期； (2)若，试求函数的单调递减区间； (3)若恒成立，试求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求含cosx的二次式的最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）将函数转化为，利用周期公式求解； （2）由（1）得到，再利用正弦函数的性质求解； （3）将恒成立，转化为求解. 【详解】（1）∵ ， ∴的周期． （2）由（1），知， ， 由，， 解得，， ∴函数的单调递减区间，． （3）∵， ， ∴当时，， ∵恒成立，等价于， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围为． 例题2：（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数 (1)求函数的对称轴及对称中心； (2)若方程在上的有两个解，求的范围； (3)将函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)对称轴，对称中心 (2) (3) 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用二倍角公式对化简，再利用三角函数的图象与性质求解即可； （2）结合在取值，根据有两个解，确定答案； （3）利用给定变换求出及在上的最小值，再利用关于的一次函数列出不等式组求解即得. 【详解】（1）因为， 所以 ， 对称轴：，解得， 对称中心横坐标满足：，解得， 所以对称中心为. （2）因为， 所以， 因为， 当，即时，单调递增， 当，即，单调递减， 当或时，， 当时，， 所以方程在上的有两个解， 所以. （3）因为函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线， 再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 因为，不等式成立， 所以， 因为，所以， 当，即时，， 当时，令， 所以，即，即， 所以实数的取值范围. 巩固训练 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，（）的周期是. (1)求函数的解析式并求函数在上的单调增区间； (2)解不等式； (3)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题、解正弦不等式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式化简，结合周期求出确定，根据的范围确定的范围，即可确定函数的单调递增区间. （2）将看成整体，解不等式，即可求解. （3）根据的范围确定的范围，由此确定的范围，得到不等式，解不等式即可. 【详解】（1）因为 ， 因为，所以，所以， 因为，所以， 当时，即时函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为：. （2）因为，即， 所以，， 解得：，， 所以不等式的解集为：. （3）当时，，此时， 因为不等式恒成立， 所以，解得：. 2．（24-25高一上·天津武清·期末）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)根据函数单调性定义证明在上单调递增； (3)设函数，若存在，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、二倍角的余弦公式、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据函数为奇函数，满足，求出的值，并验证即可； （2）根据单调性的定义证明函数的单调性即可； （3）将存在，对任意的，使得成立，转化为，求解即可. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，所以， 所以， 当时，， ，符合题意， 故. （2）, 设且， 则， 因为，所以且， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）因为存在，对任意的，使得成立， 所以只需在上的最大值大于等于在上的最大值， 由（2）知在上单调递增，所以， 而， 由于， 因为，所以， 所以当时，即时，， 所以， 即，解得. 题型十 三角函数中零点问题 例题1：（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若时函数的值域为，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上恰有2024个零点，求所有满足条件的实数与整数. 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数单调性求出递增区间. （2）求出相位范围，由给定的佳域求得，再利用正弦函数图象、性质求出范围. （3）化简函数，由零点的意义建立等式分离参数，换元结合函数图象及正弦函数的周期性分类分析判断. 【详解】（1）函数， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. （2）当时，，由时函数的值域为， 得，则， 而当时，，当时，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （3）由（1）知，， 由，而，得，令， ，又，则作出函数的图象如下图： 当时，，，每个周期有2个零点，或， 当时，或，每个周期有3个零点，； 当时，，，每个周期有4个零点，； 当时，或，每个周期有3个零点，， 若，有2023个零点，若，有2025个零点，不可能为2024个零点； 当时，，，每个周期有2个零点，或， 所以当时，或；当时，； 当时，；当时，或. 例题2：（青海省西宁市2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试卷）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的最大值和最小值； (3)设，若函数在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)，0 (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解单调递增区间； （2）根据自变量的范围求出，再由正弦函数的性质得解； （3）函数的零点问题转化为直线与函数图象的交点个数问题，再结合图象求出范围. 【详解】（1）依题意，， 由，得， 故单调递增区间是 （2）当时，，则当，即时，， 当，即时，. （3）由（1）知，函数在上单调递增，函数值从0增大到， 在上单调递减，函数值从减小到1， 函数在的图象，如图，    由，得，函数在上有两个不同零点， 即直线与函数在的图象有两个公共点，此时， 所以实数m的取值范围是. 例题3：（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知函数，其图象中两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求出它的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 【答案】(1)； (2) 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据三角恒等变换的知识化简的解析式，根据周期性求得，再利用整体代入法求得单调区间. （2）根据三角函数图象变换求得， 【详解】（1） ， ∵图象中两条相邻的对称轴之间的距离为， ∴，，由， ∴，， 令得， ∴的单调递减区间为. （2）图象向左平移个单位长度得， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 得， 由①， ，令， 则， ∴，∴或（舍）． 由，∴，令，， 则，②， 在区间，结合正弦函数对称性可得，方程②有个根， 和分别关于、对称， 则所有根之和， 所以方程①的个根，满足. 巩固训练 1．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，. (1)当时，求的最小正周期及单调递增区间： (2)将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有2025个零点，求的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为，的单调递增区间为， (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）化简的表达式，利用周期公式求出周期，根据正弦函数的单调性，求出单调区间； （2）根据三角函数图象的变换规律，可得的解析式，根据零点个数列出不等式组求解即可； 【详解】（1） ， （1）当时，，， 又， 解得：，， 所以的最小正周期为，的单调递增区间为，， （2）将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数， 再向上平移个单位，得到函数， 又函数在区间上有且仅有2025个零点 由，得， 所以，解得. 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)当时，求的取值范围； (2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数与方程的综合应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】（1）根据三角恒等变换的化简可得，结合正弦函数的图象与性质即可求解； （2）利用转化的思想可知在上有两个不同的实数根，根据正弦函数的图象与性质求出的取值范围，建立不等式组，解之即可求解. 【详解】（1） ， .又， ，故的取值范围为. （2）. 当时，. 有两个不同的实数根， 又在上单调递增，在上单调递减，且当时， 作出函数的图象如图所示， 由正弦函数图象可知，解得， 故实数的取值范围是. 3．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，且. (1)求的值及的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的图象，若关于的方程在有两个不同的根，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得，根据得，进而得，代入周期公式即可求解. （2）代入正弦函数的单调递增区间求解即可. （3）利用三角函数图象变换法则求得，将方程根的问题转化为函数在上的图象与直线有两个交点，画出直线与函数在上的图象，数形结合求解即可. 【详解】（1）依题意， ， 由，得，解得， 所以，所以的最小正周期为. （2）令得，， 所以的单调递增区间为，. （3）由（1）知，依题意，， 当时，，由，得， 由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 关于的方程在有两个不同的根， 即函数在上的图象与直线有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图， 观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是． 试卷第42页，共43页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 三角恒等变换（10题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点02：两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点03：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 知识点04：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 知识点05：降幂公式 ① ② 知识点06：半角公式 ① ② ③ 知识点07：辅助角公式： (其中) 知识点08：万能公式 ① ② ③ 03 题型归纳 题型一 两角和与差公式的简单应用　 例题1：（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 例题2：（2024高二上·河南安阳·学业考试）已知角的终边上有一点，则 . 例题3：（23-24高一上·云南昆明·期末）已知． (1)求的值； (2)求的值． 巩固训练 1．（24-25高一上·河北·阶段练习）已知角的终边过点，则（   ） A． B． C． D． 2．（山西省太原市2024-2025学年高一上学期1月期末学业诊断数学试卷）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·模拟预测）已知（），则（   ） A． B． C． D． 题型二 利用两角和与差公式给值求值　 例题1：（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知都是锐角，，则（   ） A． B． C． D． 例题2：（2024·江西·二模）已知，，则（    ） A．8 B． C． D． 例题3：（24-25高三上·广东·期末）已知，则 . 巩固训练 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，，，. (1)求； (2)求. 3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（1）已知角终边所在直线经过点，求的值； （2）已知，，，，求的值. 题型三 利用两角和与差公式给值求角　 例题1：（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 例题2：（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知角，，，则（   ） A． B． C． D． 例题3：（22-23高一上·黑龙江牡丹江·期末）（1）已知，求； （2）已知，，且，，求的值． 巩固训练 1．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·河南郑州·期末）计算 (1)已知.求的值. (2)已知，且，，求角的值； 3．（22-23高一下·四川成都·期末）已知，. (1)求； (2)若，，求的值. 题型四 逆用两角和与差公式化简　 例题1：（24-25高一上·天津南开·期末）的值为(    ) A． B． C． D． 例题2：（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 例题3：（24-25高三上·山东·阶段练习）若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）在中，，则（    ） A． B． C． D． 题型五 二倍角公式的应用　 例题1：（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高三上·吉林长春·期末）已知，则 . 例题3：（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）已知为锐角，. (1)求的值； (2)求的值. 巩固训练 1．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知 且   (1)求，的值; (2)求 的值. 3．（24-25高一上·云南大理·期末）已知、为锐角，，. (1)求的值； (2)求的大小. 题型六　辅助角公式化简 例题1：（青海省名校联盟2024-2025学年高一上学期期末联合考试数学试题）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高一上·云南昆明·期末）求值：（    ） A． B． C． D． 例题3：6（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 巩固训练 1．（24-25高一上·云南昭通·期末）计算：（   ） A．1 B． C． D． 2．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，且是偶函数，则实数（   ） A． B． C． D．2 3．（24-25高一上·天津滨海新·期末）已知函数的图象关于直线对称，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 题型七 降幂公式的应用 例题1：（2024·重庆涪陵·模拟预测）若是第四象限角，且25cos2θ＋cosθ－24＝0，则＝ 例题2：（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知函数，则函数的对称轴的方程为 ． 巩固训练 1．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知，则 . 2．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则 . 3．（23-24高三上·北京·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)当时，求函数的单调递减区间． 题型八 三角恒等证明 例题1：（2024高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 例题2：（2024高三·全国·专题练习）证明：. 巩固训练 1．（23-24高一下·上海松江）（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 2．（23-24高一下·上海·课后作业）已知，求证：. 题型九 三角函数中的恒成立（能成立）问题 例题1：（24-25高一上·河北廊坊·期末）已知． (1)求的最小正周期； (2)若，试求函数的单调递减区间； (3)若恒成立，试求实数m的取值范围． 例题2：（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数 (1)求函数的对称轴及对称中心； (2)若方程在上的有两个解，求的范围； (3)将函数的图象上所有点向下平移1个单位得到曲线，再将上的各点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若，不等式成立，求实数的取值范围. 巩固训练 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，（）的周期是. (1)求函数的解析式并求函数在上的单调增区间； (2)解不等式； (3)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 2．（24-25高一上·天津武清·期末）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)根据函数单调性定义证明在上单调递增； (3)设函数，若存在，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 题型十 三角函数中零点问题 例题1：（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若时函数的值域为，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上恰有2024个零点，求所有满足条件的实数与整数. 例题2：（青海省西宁市2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试卷）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在上的最大值和最小值； (3)设，若函数在上有两个不同零点，求实数的取值范围. 例题3：（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知函数，其图象中两条相邻的对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式，并求出它的单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和． 巩固训练 1．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，. (1)当时，求的最小正周期及单调递增区间： (2)将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向上平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有2025个零点，求的取值范围. 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)当时，求的取值范围； (2)若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，且. (1)求的值及的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的图象，若关于的方程在有两个不同的根，求实数的取值范围． 试卷第42页，共43页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$