精品解析：辽宁省鞍山市海城市东部集团2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024—2025学年度（上）海城市东部集团期中质量检测九年级数学试卷 时间；120分钟 满分；120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的有（ ） A. 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断． 【详解】解：第1个图形、第4个图形、第5个图形都能找到这样的一个点，使图形绕某这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 所以是中心对称图形的有3个． 故选：C． 2. 已知关于x的方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式；根据一元二次方程的定义知，由题意，即得m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程 有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且 ； 故选：D． 3. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则；根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的另一个根为， 是关于x的一元二次方程的一个根， ， ， 故选：． 4. 已知二次函数的图象过点，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据二次函数解析式可推出二次函数开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，据此求出三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵二次函数的图象过点，且， ∴， 故选：D． 5. 如图，将抛物线先向左平移1个单位长度，再把所得新图象位于直线上方的部分，以直线为对称轴作对称，得到如图所示的图象G．当直线与图象G只有四个交点时，m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出抛物线先向左平移1个单位长度，得到抛物线为，然后求出当直线位于时m的值，当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点，然后与抛物线联立，得到，求出，进而结合图象即可求出当直线与图象G只有四个交点时，m的取值范围． 【详解】解：如图所示， 将抛物线先向左平移1个单位长度，得到抛物线为 令，则， 解得或， ， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． 当直线位于时，此时过点， ，即； 当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点， 方程， 即有两个相等实根， ， 即； 由知若直线与新图象只有四个交点，的取值范围为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点，解题的关键是正确分析图象． 6. 如图是一个在建隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，经过圆心交于点，且，，则的半径为（　　）． A. 5 B. 6.5 C. 7.5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的运用，理解垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所在的弧是解答关键． 连接，根据垂径定理得到，，再勾股定理得到来求解． 【详解】解：连接， ∵是中弦的中点，， ，． 设的半径为， 则， ． ， 即：， 解得：， 即的半径为． 故选：A． 7. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，直径所对的圆周角是直角，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理求出，据此根据圆内角四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，将绕点 A 逆时针旋转得到，延长交 于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，四边形内角和，涉及到互补的关系，能熟练运用旋转的性质是解题关键． 利用旋转的性质解题即可． 【详解】解：根据旋转可得：，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】P为中点，D为中点，所以是的中位线，则，当最大时，则最大．由圆的性质可知，当G、C、B三点共线时，最大，分别求出B、C的坐标，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，如图所示： ∵P为中点，D为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，最大， 由圆的性质可知，当G、C、B三点共线且点在上时，最大， 把代入得：， 解得：或， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴， ∴， ∵半径为2， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合、三角形的中位线定理、勾股定理，一点到圆上一点的最值问题等等，通过构造三角形中位线把求的最大值转换成求出的最大值是解题的关键． 10. 在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式．在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解， 【详解】解：在中，，，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴抛物线经过点， ∵抛物线顶点为：， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：，解得：， ∴， 当时，，（舍）或， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若3人患了流感，经过两轮传染后共有108人患了流感，每一轮传染中平均一个人传染了______人． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，再解方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 依题意得， 即， 解得：或（舍）， 故答案为：5． 12. 如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上点，于点E，于点H，连结．若，则四边形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点G，连接，证明是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得，根据三角形外接圆的性质可得点O在上，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理求出，，由圆周角定理得到，结合，证明，推出，由四边形的面积为即可求解． 【详解】解：过点作于点G，连接， ∵D为优弧的中点， ∴， ∴ ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵是的外接圆， ∴点O在上， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点H，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 13. 二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是____________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质及其与一元二次方程的关系．由抛物线与轴有两个交点可判断①；由对称轴以及抛物线与轴的交点可判断②；关于的一元二次方程没有实数根，即关于的二次函数与直线没有交点，据此可判断③；由函数顶点坐标，得有最大值，进而得，，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，则， ∴故①正确； 根据题意可得：，， ∵顶点坐标， ∴， ∴， ∴故②错误； 由关于的一元二次方程没有实数根，可知， ∴抛物线图象与的图象没有交点，则，故③正确； ∵顶点坐标， ∴当是，有最大值， ∵点是抛物线上任意一点， ∴， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 14. 如图，内接于，，，则的直径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理．连接，，利用“同一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”得出，再用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，与相交于点D，当时，的长度为 ________． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质，平行线的性质，推出，进而得到，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， ∴． 故答案为：2.5． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2） ，． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）直接运用公式法解一元二次方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴ ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解： 或， ∴，． 17. 如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）将绕点B顺时针方向旋转90°，画出旋转后对应的，则点的坐标是______． （2）画出关于原点的中心对称图形，则点的坐标是______． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； 点的坐标是； （2） 如图，即为所求； 点的坐标是． 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握旋转的定义和性质及网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）分别作出绕点B顺时针方向旋转所得对应点，顺次连接可得答案； （2）分别作出三顶点关于原点O的中心对称点，再顺次连接可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，根的判别式： （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解；∵关于x的一元二次方程有两个不等实数根， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不等实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）． 19. 如图，是的直径，D为上一点，C为上一点，且，延长交于E，连． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握圆周角的相关性质是解题关键． （1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到，从而得到结论； （2）连接OC、OE，利用（1）的结论和圆周角定理得到，，所以，然后利用勾股定理计算的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接、， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 20. 【初步感知】如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为 度； 【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【启发应用】如图3，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，若，则的值为 ． 【答案】【初步感知】45； 【深入探究】证明：如图，延长至点E，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 【启发应用】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 初步感知：根据圆周角定理即可得出答案； 深入探究：先构造出，得出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； 启发应用：先构造出，进而判断出，进而得出是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：初步感知：∵， ∴， 故答案为：45； 深入探究：略 启发应用：如图，延长至点G，使，连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 【答案】（1）； （2）将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元； （3）捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．解决本题的关键是根据二次函数的性质求出二次函数的最值，从而解决利润最大的问题． 根据销售单价每上涨元，每天销量减少个，列出与之间的函数关系式，根据规定销售单价不低于元，且不高于元可得自变量的取值范围； 根据利润销量单件利润可以得到，利用二次函数的性质求出最大利润； 根据捐款后每天剩余利润不低于元，可以得到，求出方程的解，再根据自变量的取值范围确定销售单价的范围． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： 整理得：， 配方得：， ，抛物线的对称轴为， 当时，随的增大而增大， 又， 当时，有最大值，最大值为， 将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：根据题意可得：剩余利润为元， 捐款后每天剩余利润不低于元， ， ， 解方程， 可得：，， 又，， 要使捐款后每天剩余利润不低于元，则， 答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 22. 在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？ 【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且． （1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，_____；______． 【类比探究】 （2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β的度数为_______． 【答案】（1）， （2）延长到点F，使，连接， ∵， ∵ ∴， ∴，， 过点B作，交于点M，N, ∴，， ∴， 设的交点为Q， 则， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵,， ∴, ∴, ∴且． 故结论仍然成立． （3）45°或225° 【解析】 【分析】（1）根据前面的结论，得到且，，得到，，计算即可． （2）延长到点F,使，连接，证明，过点B作，交于点M，N,再证明 ． （3）当共线时，根据(2)得到四边形是平行四边形，根据，，得到,得四边形是矩形，继而得到，此时旋转角等于的度数即；当共线时，且共线在的延长线上时，根据(2)得到四边形是平行四边形，根据，，得到,得四边形是矩形，继而得到，此时旋转角等于的度数即；计算即可．本题考查了等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）根据前面的结论，得到且，，得到， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案：，． （2）略 （3）如图，当共线时， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，此时旋转角等于的度数即； 当共线时，且共线在的延长线上时，根据(2)得到四边形是平行四边形， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，此时旋转角等于的度数即； 故答案为：或． 23. 对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点． （1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”； （2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； （3）已知抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 【答案】（1）和 （2） （3）最大值为12，最小值为5 【解析】 【分析】（1）根据“伴随点”的定义，画出每个点绕点旋转后的对应点，进行判断即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，证明，求出的坐标，再求出点在线段上和在线段上时，的值，即可得出结论； （3）将绕点O逆时针旋转得到，根据抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，得到当抛物线过点时有最小值，当抛物线过点时有最大值，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴轴， 如图所示，点绕点顺时旋转得到的对应点分别为：， 其中点，在线段上， ∴和是线段关于原点O的“伴随点”； 【小问2详解】 解：∵， ∴在第一象限， ∵点是关于原点O的“伴随点”； ∴点在第二象限， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则：， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在第一象限， ∴， 设直线的解析式为：，则： ， 解得：， ∴， 当在上时，，解得：； 当在上时，，解得：； ∴当时，点是关于原点O的“伴随点”； 【小问3详解】 解：如图：绕点O逆时针旋转得到，其中． ∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”， ∴当过，即， 解得：， n的最小值为； 同理，当过，得到n的最大值为． 【点睛】本题考查坐标与图形，旋转的性质，一次函数和二次函数的综合应用，解题的关键是理解并掌握“伴随点”的定义，利用数形结合的思想进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度（上）海城市东部集团期中质量检测九年级数学试卷 时间；120分钟 满分；120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的有（ ） A. 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 已知关于x的方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则这个方程的另一个根是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图象过点，则的大小关系（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将抛物线先向左平移1个单位长度，再把所得新图象位于直线上方的部分，以直线为对称轴作对称，得到如图所示的图象G．当直线与图象G只有四个交点时，m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个在建隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，经过圆心交于点，且，，则的半径为（　　）． A. 5 B. 6.5 C. 7.5 D. 8 7. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点 A 逆时针旋转得到，延长交 于点G，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5 10. 在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若3人患了流感，经过两轮传染后共有108人患了流感，每一轮传染中平均一个人传染了______人． 12. 如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上点，于点E，于点H，连结．若，则四边形的面积为______． 13. 二次函数的图象如图所示，顶点坐标，且关于的一元二次方程没有实数根，有下列结论：①；②；③；④点是抛物线上任意一点，则，其中，正确的结论是____________． 14. 如图，内接于，，，则的直径为_____． 15. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，与相交于点D，当时，的长度为 ________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）将绕点B顺时针方向旋转90°，画出旋转后对应的，则点的坐标是______． （2）画出关于原点的中心对称图形，则点的坐标是______． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 19. 如图，是的直径，D为上一点，C为上一点，且，延长交于E，连． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 【初步感知】如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为 度； 【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【启发应用】如图3，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，若，则的值为 ． 21. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 22. 在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？ 【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且． （1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，_____；______． 【类比探究】 （2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β的度数为_______． 23. 对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点． （1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”； （2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围； （3）已知抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $