第七章 复数（知识归纳+题型突破）（10题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记·巧练（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数（10题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1：复数的概念 （1）复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. （2）复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 知识点2：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 知识点3：复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 知识点4：复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 知识点5：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点6：复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： 显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 （2）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 知识点7：复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）复数减法的几何意义 复数 向量 知识点8：()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 知识点9：复数代数形式的乘、除法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 知识点10：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 03 题型归纳 题型一 复数的有关概念　 例题1：（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 例题2：（多选）（2024高一·全国·专题练习）已知i为虚数单位，下列命题正确的是（    ） A．若C，则的充要条件是 B．(R)是纯虚数 C．没有平方根 D．当时，复数是纯虚数 例题3：（2024高一·全国·专题练习）是否存在实数，使是纯虚数？ 巩固训练 1．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 2．（24-25高二上·上海·期中）已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数是实数，则实数a的值为 . 题型二 复数的相等　 例题1：（24-25高三上·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 例题2：（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）设是虚数单位， ，且，则＝ . 例题3：（23-24高一下·河南开封·期末）已知复数，，且，则λ的取值范围是 ． 巩固训练 1．（2024高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 2．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求实数的值. 题型三 复数比较大小 例题1：（23-24高二下·山西太原·阶段练习）已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 例题2：（2024高一·全国·专题练习）已知，其中，，则的值为 . 例题3：（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数（且），是实数，且，求z的实部的取值范围. 巩固训练 1．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）已知，．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．不存在 2．（23-24高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ． 3．（23-24高二上·贵州黔东南·期中）已知，，且，则实数 ． 题型四 复数分类　 例题1：（23-24高二下·北京丰台·期末）已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2：（2024高三·全国·专题练习）已知，“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3：（23-24高一下·吉林长春·期中）已知复数， (1)当 z是虚数，求的取值范围； (2)当z是纯虚数，求的取值． 例题4：（23-24高一下·广东江门·阶段练习）已知，复数，当为何值时； (1)是纯虚数； (2)？ 巩固训练 1．（24-25高三上·湖北·期末）若复数是纯虚数，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建福州·期末）若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知复数是纯虚数，则复数的虚部是 . 4．（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 题型五 复数的模　 例题1：（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 例题2：（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，则 . 例题3：（2024·江西南昌·三模）已知复数，，那么 . 巩固训练 1．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知复数满足，则的最大值为 . 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一下·海南海口·期末）复数（）在复平面上对应的点在第四象限，，则 . 题型六 复数模的最值问题 例题1：（24-25高二上·湖北·阶段练习）若，是虚数单位，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高三上·上海闵行·期中）若复数满足（为虚数单位），则的取值范围是 ． 例题3：（2024·江西景德镇·三模）设为复数，若，则的最大值为 . 巩固训练 1．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 2．（23-24高一下·山东·期中）已知复数是虚数单位，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 3．（2024·贵州遵义·一模）已知复数，，则的最小值为 ． 题型七 复数的四则运算 例题1：（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高三上·云南·阶段练习）若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 例题3：（2024·河南·模拟预测）若，则（   ） A．1 B． C． D．3 例题4：（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知复数 的共轭复数为 ，则 . 巩固训练 1．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东威海·期中）已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D．3 4．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习），则（   ） A． B． C． D． 题型八 共轭复数 例题1：（24-25高三上·黑龙江·期末）已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例题2：（2024·安徽滁州·二模）若复数满足，则的虚部为 （    ） A． B． C． D． 例题3：（多选）（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知虚数满足，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．可能为纯虚数 例题4：（成渝经济圈名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题），若与关于复平面虚轴对称，则 ． 巩固训练 1．（23-24高二上·山东·开学考试）设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东威海·阶段练习）设为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高一下·广西玉林·期中）已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 题型九 待定系数法求复数 例题1：（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）复数方程解的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例题3：（23-24高一下·江苏·期末）满足且的复数 . 巩固训练 1．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知复数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海浦东新·期中）复数满足，则的实部为 ． 3．（2024·江西新余·模拟预测）请写出一个非0复数满足： . 试卷第42页，共43页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 复数（10题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1：复数的概念 （1）复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. （2）复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 知识点2：复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 知识点3：复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 知识点4：复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 知识点5：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点6：复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： 显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 （2）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 知识点7：复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）复数减法的几何意义 复数 向量 知识点8：()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 知识点9：复数代数形式的乘、除法运算 （1）复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 （2）复数的除法法则 （） 由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数. 知识点10：共轭复数的性质 设，（） ①；②为实数；③且为纯虚数 ④；⑤，， 03 题型归纳 题型一 复数的有关概念　 例题1：（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【知识点】复数的基本概念、根据相等条件求参数 【分析】由题意得，解方程即可 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 例题2：（多选）（2024高一·全国·专题练习）已知i为虚数单位，下列命题正确的是（    ） A．若C，则的充要条件是 B．(R)是纯虚数 C．没有平方根 D．当时，复数是纯虚数 【答案】BD 【知识点】判断命题的必要不充分条件、对数的运算、虚数单位i及其性质、复数的基本概念 【分析】利用充分条件、必要条件的意义判断A；由纯虚数的意义判断BD；利用虚数单位的意义判断C. 【详解】对于A，取，则，但不满足，A错误； 对于B，R，恒成立，所以是纯虚数，B正确； 对于C，的平方根为，C错误； 对于D，当时， ，则复数是纯虚数，D正确. 故选：BD 例题3：（2024高一·全国·专题练习）是否存在实数，使是纯虚数？ 【答案】不存在 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的基本概念 【分析】根据纯虚数定义列出关系式求解. 【详解】由是纯虚数， 得，解得. 即不存在实数，使是纯虚数． 巩固训练 1．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等联立方程求得的值. 【详解】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·期中）已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的基本概念 【分析】由复数为纯虚数，求出，判断即可. 【详解】复数为纯虚数，则， 解得，或， 所以若为纯虚数不一定得到，但是由一定能得到为纯虚数， 故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件， 故选：B 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数是实数，则实数a的值为 . 【答案】-1 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据复数的类型求参即可. 【详解】因为是实数， 所以且式子有意义， 所以. 故答案为：. 题型二 复数的相等　 例题1：（24-25高三上·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数相等求解即可. 【详解】 又，根据复数的相等， 故则 故选：B. 例题2：（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）设是虚数单位， ，且，则＝ . 【答案】 【知识点】复数的相等、求复数的模 【分析】由得，然后按复数模计算即可. 【详解】由题意，， 所以. 所以. 故答案为：. 例题3：（23-24高一下·河南开封·期末）已知复数，，且，则λ的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】复数的相等、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】利用复数相等建立关系，再消去并结合二次函数求出范围即得. 【详解】由，得， 消去并整理得， 显然，当时，，当时，， 所以λ的取值范围是. 故答案为： 巩固训练 1．（2024高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等求解即可. 【详解】依题意，得，解得， 所以. 故选：A 2．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，其中，i为虚数单位.则实数 ， . 【答案】 1 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等，列方程组，求解，即可得答案. 【详解】由题意，得，解得， 故答案为：1；-1 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，求实数的值. 【答案】 【知识点】复数的相等 【分析】利用复数相等的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】由， 得， 所以解得 题型三 复数比较大小 例题1：（23-24高二下·山西太原·阶段练习）已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由题意，可判断为实数，列出等量关系和不等关系求解即可 【详解】由题意， 故为实数 或 故选：A 例题2：（2024高一·全国·专题练习）已知，其中，，则的值为 . 【答案】0 【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算 【分析】根据题意知复数为实数，建立关系求解即可. 【详解】由z1>z2，得， 即，解得. 故答案为：0 例题3：（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数（且），是实数，且，求z的实部的取值范围. 【答案】. 【知识点】根据相等条件求参数 【分析】利用已知复数的类型建立方程，结合给定条件求解参数范围即可. 【详解】因为为实数，所以， 所以，，所以， 因为，所以. 因为，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，可解得. 即z的实部的取值范围为. 巩固训练 1．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）已知，．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．不存在 【答案】C 【知识点】复数的分类及辨析 【分析】根据两个实数才能比较大小进行求解即可. 【详解】因为， 所以，解得或． 故选：C 2．（23-24高一下·青海西宁·期中）已知为虚数单位，实数满足，则 ． 【答案】6 【知识点】复数的基本概念 【分析】根据复数为实数的条件，解不等式即可求解. 【详解】由题意，即，解得. 故答案为：6 3．（23-24高二上·贵州黔东南·期中）已知，，且，则实数 ． 【答案】－2 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据可以判断，均为实数得出，再根据不等式限制取值范围即可 【详解】由题意知，均为实数，则，即或．又，则，则，故． 故答案为：－2 题型四 复数分类　 例题1：（23-24高二下·北京丰台·期末）已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】探求命题为真的充要条件、复数的分类及辨析 【分析】根据复数的定义，充分、必要条件的定义判断． 【详解】时，对应点在虚轴上，充分性成立， 当复数对应的点在虚轴上，一定有，必要性成立， “”是“复数对应的点在虚轴上”的充分必要条件． 故选：C． 例题2：（2024高三·全国·专题练习）已知，“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据纯虚数的概念及充分条件、必要条件的判断方法求解判断即可. 【详解】若，则为纯虚数； 若复数为纯虚数，则，解得， 所以“复数是纯虚数，i为虚数单位”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 例题3：（23-24高一下·吉林长春·期中）已知复数， (1)当 z是虚数，求的取值范围； (2)当z是纯虚数，求的取值． 【答案】(1)且，且 (2) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】这两问都是根据复数的特征，列出关于实部和虚部的方程或不等式，即可求解. 【详解】（1）若是虚数，则且， 所以且且； （2）若是纯虚数，则， 解得：. 例题4：（23-24高一下·广东江门·阶段练习）已知，复数，当为何值时； (1)是纯虚数； (2)？ 【答案】(1)或 (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的相等 【分析】（1）根据实部为0，虚部不为零可求参数的值； （2）利用复数相等的条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得参数的值. 【详解】（1）∵是纯虚数， ∴,解得或， ∴当或时，是纯虚数. （2）∵，∴，解得， ∴故时，. 巩固训练 1．（24-25高三上·湖北·期末）若复数是纯虚数，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数的特征，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，， 得，根据选项可知，只有满足条件. 故选：C 2．（23-24高一下·福建福州·期末）若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的定义，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是纯虚数，所以，解得：， 故选：C 3．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知复数是纯虚数，则复数的虚部是 . 【答案】2 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据纯虚数的定义即可求出． 【详解】若是纯虚数，则且，解得． 故答案为： 2． 4．（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 【答案】(1)或 (2)且且 (3) 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据复数是实数，列出方程，解方程即可得解； （2）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案. 【详解】（1）因为复数为实数，所以，即或， 所以或时，复数为实数. （2）因为为虚数，则，解得且且， 所以且且时，复数为纯虚数. （3）因为为纯虚数，则，解得， 所以时，复数为纯虚数. 题型五 复数的模　 例题1：（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的模 【分析】由复数的模长公式及即可求解； 【详解】由可得，所以. 故选：B 例题2：（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，则 . 【答案】1 【知识点】求复数的模 【分析】求出复数，即可得出. 【详解】由题意， 在中，， ， 故答案为：1. 例题3：（2024·江西南昌·三模）已知复数，，那么 . 【答案】 【知识点】由复数模求参数 【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程组并求解即得. 【详解】设，则，即有， 解得，所以. 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知复数满足，则的最大值为 . 【答案】8 【知识点】求复数的模 【分析】根据复数的几何意义再由向量的三角不等式可得结果. 【详解】因为，所以， 所以的最大值为8. 故答案为：8 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知复数（），且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由复数模求参数 【分析】利用复数的模的几何意义求解不等式. 【详解】则解得 故答案为： 3．（23-24高一下·海南海口·期末）复数（）在复平面上对应的点在第四象限，，则 . 【答案】 【知识点】由复数模求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】根据复数的几何意义得到，再根据复数的模计算可得. 【详解】复数（）在复平面上对应的点在第四象限， 所以，又，解得（舍去）或. 故答案为： 题型六 复数模的最值问题 例题1：（24-25高二上·湖北·阶段练习）若，是虚数单位，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】辅助角公式、求复数的模、利用平方关系求参数 【分析】由复数的模长，同角的三角函数，辅助角公式计算即可； 【详解】由题意可得，① ， 由， 所以①的最大值为， 故选：D. 例题2：（24-25高三上·上海闵行·期中）若复数满足（为虚数单位），则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求复数的模 【分析】设，由已知等式模长关系得到，再结合二次函数的性质计算即可； 【详解】设，则， 所以，解得， 所以， 所以的取值范围是为. 故答案为：. 例题3：（2024·江西景德镇·三模）设为复数，若，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，利用模的公式求出关系，利用关系消元求解的最大值. 【详解】设， 则，又， 所以， 所以，即 所以， 所以. 故答案为：. 巩固训练 1．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】求复数的模 【分析】设，代入代简可得，则，然后利用二次函数的性质可求出其最小值. 【详解】设，则，得 ， 所以，化简得， 所以， 所以 ，当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 2．（23-24高一下·山东·期中）已知复数是虚数单位，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】辅助角公式、求复数的模、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由复数的模长计算结合同角的三角函数和辅助角公式计算可得. 【详解】由已知可得， 所以， 当时，上式模长取得最小值， 最小值为， 故选：B. 3．（2024·贵州遵义·一模）已知复数，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】求复数的模 【分析】由复数的模长公式结合二次函数的最值求出结果即可. 【详解】， 当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型七 复数的四则运算 例题1：（24-25高三上·河北承德·阶段练习）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】先根据条件，结合复数的除法运算求出复数，再求模长即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C． 例题2：（24-25高三上·云南·阶段练习）若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】设出复数，利用复数的乘方运算求出复数，再求出共轭复数，再计算除法即可. 【详解】设，则 又，得到， 所以，所以或，得到， 所以. 故选：B. 例题3：（2024·河南·模拟预测）若，则（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】将原式变形，由复数的除法运算可得，再由复数的模的运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：. 例题4：（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知复数 的共轭复数为 ，则 . 【答案】 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】根据共轭复数的性质及模的定义与性质运算得解. 【详解】， 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】根据复数运算法则求，再根据共轭复数的定义求，再根据复数的几何意义求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以复数在复平面上对应的点的坐标为， 复数在复平面上对应的点位于第四象限. 故选：D. 2．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】首先将已知等式进行化简求出，再求出的共轭复数即可. 【详解】已知，等式两边同时乘以得到. 将右边展开，移项可得，即. 且.所以.则 故选：C. 3．（24-25高二上·山东威海·期中）已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据虚部的概念求解即可. 【详解】由题意得，， ∴的虚部为. 故选：C. 4．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由比例性质得出，再由复数除法得结论． 【详解】由得，， 所以， 故选：A． 题型八 共轭复数 例题1：（24-25高三上·黑龙江·期末）已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先设复数，再根据模长公式或到两个点距离相等得出，再应用除法计算即可得出复数即可得点. 【详解】解法一：设，则， 解得，则， 则在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 解法二：设，由题意可知其在复平面内对应的点到，的距离相等， 故点位于直线上，则， 则在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 例题2：（2024·安徽滁州·二模）若复数满足，则的虚部为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求共轭复数的复数特征、求复数的模、复数的除法运算 【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数，进而得到，从而求解. 【详解】由， 得， 所以，即的虚部为 故选：D． 例题3：（多选）（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知虚数满足，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．可能为纯虚数 【答案】AC 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的概念，建立方程方程，可得答案. 【详解】设，由，可得， 所以，解得，则， 所以的实部为的虚部为不可能为纯虚数. 故选：AC. 例题4：（成渝经济圈名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题），若与关于复平面虚轴对称，则 ． 【答案】或或. 【知识点】共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】设，根据复数间关系即可求解. 【详解】设，则， 因为，所以，① 因为与关于复平面虚轴对称， 所以，② 由①②解得或， 所以当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时. 故答案为：或或. 巩固训练 1．（23-24高二上·山东·开学考试）设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、求共轭复数的复数特征 【分析】 首先化简复数，再根据共轭复数的特征求虚部. 【详解】， 则，所以的虚部为. 故选：B 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部、求共轭复数的复数特征 【分析】利用复数除法运算法则求，然后得到，最后根据虚部的定义判断即可. 【详解】因为，所以，虚部为. 故选：D. 3．（24-25高三上·山东威海·阶段练习）设为虚数单位，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解． 【详解】，故， 故选：D 4．（多选）（23-24高一下·广西玉林·期中）已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的乘方、复数代数形式的乘法运算、求复数的模 【分析】设复数，利用共轭复数、模长的定义及复数的四则运算判断各项正误. 【详解】设复数，且， ，A正确； ，B正确； ， ， 所以与不一定相等，C错误； 令，则，D错误． 故选：AB 题型九 待定系数法求复数 例题1：（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的相等、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，由复数相等性质化简方程，求出，再由复数除法求结论. 【详解】设，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B. 例题2：（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）复数方程解的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，由复数的乘方与共轭复数的概念及复数相等得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，， 因为，即， 所以，解得或或，共4组解， 即复数方程解的个数为个. 故选：A 例题3：（23-24高一下·江苏·期末）满足且的复数 . 【答案】1 【知识点】复数的相等、复数的乘方、求复数的模 【分析】设，由得，由可得计算并检验求得，即得 【详解】设，由可得， 由可得，即， 则解得或， 显然不满足，应舍去，故 故答案为：1. 巩固训练 1．（24-25高三上·安徽阜阳·阶段练习）已知复数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的相等、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算 【分析】设，根据共轭复数的概念求，结合条件关系列方程，解方程可得，由此可得结论. 【详解】设，则， 因为，， 所以，， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 2．（24-25高三上·上海浦东新·期中）复数满足，则的实部为 ． 【答案】/0.5 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】设，根据复数相等可得，故可求的实部. 【详解】设，∴，， ∴，则的实部为. 故答案为：. 3．（2024·江西新余·模拟预测）请写出一个非0复数满足： . 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算、求复数的模 【分析】先设复数，再根据共轭复数及复数的乘法运算得出，即可得出复数. 【详解】设，则，， 由于，所以，满足此等式即可. 故答案为：.(答案不唯一) 试卷第42页，共43页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$