专题03 复数（十大题型+思维导图+知识清单+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

专题03 复数 【人教A版（2019）】 【知识清单1 数系的扩充和复数的概念】 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【题型1 复数的基本概念】 【例1】（2024高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【解题思路】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③. 【解答过程】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B. 【变式1-1】（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【解题思路】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【解答过程】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：. 【变式1-2】（24-25高一下·河北邢台·期中）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【解题思路】根据复数的概念求解. 【解答过程】因为，所以，所以与的实部均为1，A，C错误； 的虚部为，B正确，D错误. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高一·湖南·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．实数集与复数集的交集是空集 B．任何两个复数都不能比较大小 C．任何复数的平方均非负 D．虚数集与实数集的并集为复数集 【解题思路】利用复数的基本概念与性质，结合反例判断选项的正误即可． 【解答过程】解：实数集与复数集的交集是实数集，所以A不正确； 任何两个复数都不能比较大小，不正确，当两个复数是实数时，可以比较大小，所以B不正确； 任何复数的平方均非负，反例，所以C不正确； 虚数集与实数集的并集为复数集，所以D正确 故选：D． 【题型2 复数的分类】 【例2】（23-24高一下·福建福州·期末）若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．2 D． 【解题思路】根据纯虚数的定义，列出方程组，求解即可. 【解答过程】因为是纯虚数，所以，解得：， 故选：C. 【变式2-1】（23-24高一下·天津滨海新·期末）若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】根据复数的类型可得答案. 【解答过程】若复数（是虚数单位）是纯虚数， 则，解得. 故选：A. 【变式2-2】（23-24高一下·江苏南通·期末）若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【解题思路】根据纯虚数的概念列方程求解. 【解答过程】根据题意，复数是纯虚数， 所以且，解得. 故选：A. 【变式2-3】（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【解题思路】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【解答过程】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：D. 【知识清单2 复数的几何意义】 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【题型3 复数的几何意义】 【例3】（24-25高一下·河南·阶段练习）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【解题思路】利用共轭复数的概念和复数的几何意义易得. 【解答过程】由题意得，所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：B. 【变式3-1】（2025·广东佛山·模拟预测）已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】写出复数对应点的坐标即可得到答案. 【解答过程】在复平面内对应的点为，其关于直线的对称点为， 所以，则，所以其在复平面内对应的点为，位于第一象限． 故选：A. 【变式3-2】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】利用复数乘方，除法法则化简得到，从而确定所在象限. 【解答过程】， 故在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限. 故选：D. 【变式3-3】（2024高一下·江苏·专题练习）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设点D的坐标为，然后由题意得，从而可求出的值，进而可求得点D对应的复数. 【解答过程】由题知，点，设点D的坐标为， 则有，. 又因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 即，得，所以点D对应的复数为. 故选：C. 【题型4 复数的模的计算】 【例4】（24-25高一下·河南·期中）若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设，利用复数相等建立方程求出即可得解. 【解答过程】设， 则， 即，解得， 所以，， 故选：A. 【变式4-1】（24-25高一下·重庆万州·期中）如图，在复平面内，复数对应的向量分别为，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据复数的几何意义求解即可. 【解答过程】由图可得，所以，所以. 故选：C. 【变式4-2】（2024·四川德阳·模拟预测）若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由复数的运算结合模长公式求出，再由充分必要条件定义判断. 【解答过程】由得， ，解得或. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式4-3】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若复数（为虚数单位，）为纯虚数，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据纯虚数可得，即可根据模长公式求解. 【解答过程】解：复数为纯虚数，则且，解得， 则 故选：B. 【题型5 复数的模的几何意义】 【例5】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【解题思路】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可． 【解答过程】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故选：A. 【变式5-1】（23-24高一下·河南郑州·期中）已知复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【解题思路】设复数在复平面内对应的点为，由复数的几何意义可知点的轨迹为，则问题转化为上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解． 【解答过程】设复数在复平面内对应的点为， 因为复数满足， 所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等， 所以在复平面内点的轨迹为， 又表示点到点的距离， 所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值， 当为时，到定点的距离最小，最小值为1， 所以的最小值为1， 故选：A． 【变式5-2】（23-24高二下·广东湛江·期中）设，在复平面内对应的点为，若，则点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数的模的几何意义即可得解. 【解答过程】因为， 所以点所在区域为两个同心圆所形成的圆环，其中一个半径为，另一个半径为， 则其面积为. 故选：A. 【变式5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设 ，利用得出，表示以为圆心，半径为的圆，，表示与之间的距离，求的最大值，即求与圆上任意一点的距离最大值. 【解答过程】设 ， 则， 所以， 表示以为圆心，半径为的圆， 则， 表示与之间的距离， 即与圆上任意一点的距离， 因， 所以在圆外， 所以. 故选：D. 【知识清单3 复数的四则运算】 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 6．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 【题型6 复数的四则运算】 【例6】（24-25高一下·湖南·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数的乘法运算可得答案. 【解答过程】因为， 所以. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）记复数的共轭复数为，若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法求解. 【解答过程】由，得， 所以. 故选：A. 【变式6-2】（2024高一下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2). 【解题思路】利用复数代数形式的四则运算化简求值. 【解答过程】（1）. （2）. 【变式6-3】（24-25高一下·海南海口·阶段练习）已知i是虚数单位，设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求． 【解题思路】（1）根据复数的减法、乘法及复数的概念求解； （2）根据复数的除法及复数的概念可得解. 【解答过程】（1）因为是实数， 所以，即，所以， 所以. （2）因为 是纯虚数， 所以且，解得， 所以， 所以. 【知识清单4 复数范围内方程的根】 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【题型7 复数范围内方程的根的问题】 【例7】（24-25高一下·重庆万州·期中）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C．1 D．9 【解题思路】首先根据实系数一元二次方程的根的特征求另外一个根，再根据韦达定理，即可求解. 【解答过程】由题意可得关于的方程的另一个根为， 则，解得，则. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）已知，为关于的实系数方程的两个虚根，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】解得方程的虚根，代入求解即可. 【解答过程】由，， ∴方程的两个虚根为， 或，， 不妨取，，则，， ∴. 故选：B. 【变式7-2】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，是实数 (1)求和的值； (2)若是纯虚数，求实数的值 【解题思路】（1）根据虚根成对原理可知也为方程的根，利用韦达定理计算可得； （2）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据其为纯虚数，则实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可. 【解答过程】（1）因为复数（是虚数单位）是方程的根（，是实数）， 所以也为方程的根， 所以，所以； （2）由（1）可知 ， 又是纯虚数， 所以，解得. 【变式7-3】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知复数，其中是正实数，是虚数单位 (1)如果为纯虚数，求实数的值； (2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 【解题思路】（1）先利用复数的四则运算求得，再利用复数的分类即可得解； （2）先利用复数的四则运算化简，从而得到题设方程的两个复根，再利用韦达定理即可得解. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去）， 所以. （2）因为，所以， 则， 因为是关于的方程的一个复根， 所以与是的两个复根， 故，则， 所以. 【知识清单5 复数的三角表示式】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【题型8 复数的三角表示】 【例8】（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【解题思路】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【解答过程】， 故选：C. 【变式8-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案. 【解答过程】， 在复平面内所对应的点为，在第二象限. 故选：B. 【变式8-2】（2025高三·全国·专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复数的三角形式即可得解. 【解答过程】依题意，令， 则，所以， 因为，所以， 所以的三角形式是. 故选：D. 【变式8-3】（24-25高一下·北京·阶段练习）欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．的共轭复数为 【解题思路】对于A，由，其虚部为1，可判断A；对于B，，判断B；对于C， ，判断C；对于D,求得，结合共轭复数的概念即可判断. 【解答过程】对于A，，其虚部为1，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C错误； 对于D, ，故的共轭复数为，D正确， 故选：D. 【知识清单6 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【题型9 复数乘、除运算的三角表示】 【例9】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可. 【解答过程】 逆时针旋转后得，所以=. 故选：A. 【变式9-1】（23-24高一下·江苏盐城·期末）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用欧拉公式结合复数的指数运算可求得结果. 【解答过程】. 故选：C. 【变式9-2】（23-24高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【解题思路】根据题意，结合复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【解答过程】（1）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . （2）解：根据复数的三角形式的运算法则， 可得： . 【变式9-3】（2024高一下·全国·专题练习）设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数. 【解题思路】根据复数的三角表示的几何意义及运算法则计算即可. 【解答过程】依题意得， 所以 . 【题型10 复数中的新定义问题】 【例10】（2024·四川成都·模拟预测）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】由已知得，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答过程】由题意，可化为， 所以， 所以在复平面内对应的点的坐标为， 所以复数在复平面内对应的点在第四象限． 故选：D． 【变式10-1】（2025高三·全国·专题练习）定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且），称．若且，称．其余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则下列各式一定错误的是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题设所给定义结合复数定义和运算法则分析、计算判断即可. 【解答过程】设复数，若，则，则无解， 所以，将代入，可得， ，即， 所以，解得，所以， 又因为， 设，所以， 所以，所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 所以，从而最大，故B错误； 若，，则， 所以当，或， 时，则，C正确； 若，此时，则，A正确； 若，此时，则，D正确； 故选：B. 【变式10-2】（2024高一下·全国·专题练习）定义运算，则符合条件的复数 ． 【解题思路】由定义建立等量关系，设，代入由复数相等计算求解即可. 【解答过程】由题意得．设， 则， 所以，解得， 所以． 故答案为：. 【变式10-3】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”． (1)求实数； (2)定义复数的一种运算“”：，求． 【解题思路】（1）根据，由是“理想复数求解； （2）由（1）知，再由求解. 【解答过程】（1）解：由题得， ， 是“理想复数”， ， ； （2）由（1）知， 所以， 由， 得， . 一、单选题 1．（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【解题思路】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断. 【解答过程】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误； 对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误； 对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误； 对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确. 故选：D. 2．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】先求等式右边复数的模长，然后由复数的除法求出，根据共轭复数得到，然后由复数的几何意义进行判断. 【解答过程】根据复数的模长公式，， 则，故，故， 根据复数的几何意义，在复平面上对应点是，在第四象限. 故选：D. 3．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【解题思路】根据复数模长的几何意义即可求得结果. 【解答过程】设，则由， 所以复数在复平面内对应的点坐标在为圆心，1为半径的圆上，如下图所示： 而， 即求复平面内点到距离的最小值， 由圆的几何性质可知当点位于与圆心点连线交点时，取到最小值， 即 故选：B. 4．（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数，，则在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解题思路】根据题意，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【解答过程】由复数，，则， 则复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 5．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 【解题思路】根据虚数运算法则和复数的分类，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B错误；根据复数模的计算公式，可判定C正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定D正确. 【解答过程】对于A中，由，不是纯虚数，所以A不正确； 对于B中，由，可得， 因为， 所以不是方程的一个复根，所以B不正确； 对于C中，设复数，可得， 所以， 又由，所以，所以C正确； 对于D中，设，由，可得， 所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环， 其中小圆的半径为，大圆的半径为，其面积为，所以D错误. 故选：C. 6．（24-25高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据条件求得复数，再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式，计算复数的值. 【解答过程】设， ，即， ，解得： ， 当时， ， 则 ， 当时， 则 ， 故选：D. 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足．则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【解题思路】假设，根据模长公式构造关于的函数，从而可确定当取最大值时，的取值，从而求得；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状. 【解答过程】因为 ，所以可设， 所以 ， 所以 ， 当时，取最大值， 即当，即时，取最大值， 此时， 所以对应的点， 所以，， ， 所以，根据各边关系易知各边对应角为锐角， 所以该图形为等腰三角形. 故选：D. 8．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【解题思路】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【解答过程】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一下·江苏徐州·期末）设，是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若是纯虚数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】对于A代入即可判断正误，对于B取特殊值验证即可， 对于C设，求得即可判断正误，对于D设代入验证即可求得. 【解答过程】A. ，则，故A正确； B.当时，，但得不出，故B错误； C.设，则，，所以，C正确； D.设则得，又，， 故成立，D正确. 故选：ACD. 10．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B．复数的虚部为 C． D．复数w满足，则的最大值为2 【解题思路】利用复数的四则运算、乘方运算以及共轭复数的概念可判断A正确，B错误，C正确，利用复数的几何意义可求得D正确. 【解答过程】对于A，由可得； 而，所以可得，即A正确； 对于B，，其虚部为，即B错误； 对于C，，即可得C正确； 对于D，设，则由可得， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 因此的最大值为，即可得D正确； 故选：ACD. 11．（23-24高一下·云南曲靖·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 【解题思路】对于A，B，由代入运算即可判断，对于C，代入，得其对应的点坐标，进行判断即可；对于D，将代入化简，再求即可判断. 【解答过程】对于A：由题意得：，故A正确； 对于B：由题意得：，故B正确； 对于C：由题意得：，则其对应的点为， ∵，则， ∴对应的点位于第三象限，故C错误； 对于D：由题意可得： ，故正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（23-24高一下·广东惠州·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）. 【解题思路】根据复数的几何意义，结合三角形计算即可. 【解答过程】 如图所示，复数对应的向量,则,, 绕原点按顺时针方向旋转90°，得向量,则,, 则向量,对应的复数为. 故答案为：. 13．（23-24高一下·广东东莞·期中）复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 20 . 【解题思路】设，根据复数的运算及集合意义可得点的坐标，再根据中点坐标公式列方程求得的值，从而可得向量的坐标，根据向量的坐标运算确定模长与角度，从而得的面积. 【解答过程】设， 则. 所以点的坐标分别为 又两点连线的中点对应的复数为， 解得 . 又 的面积为. 故答案为：. 14．（23-24高二上·上海杨浦·期末）已知复数､满足，若和的幅角之差为，则 . 【解题思路】分别设，，可得 ，由题意可得或，即可得，再代入计算即可求解. 【解答过程】因为，设，， 所以 由题意可知或， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述：， 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 【解题思路】（1）根据复数是实数，列出方程，解方程即可得解； （2）根据复数是虚数，列出方程，解方程即可得出答案； （3）根据复数是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案. 【解答过程】（1）因为复数为实数，所以，即或， 所以或时，复数为实数. （2）因为为虚数，则，解得且且， 所以且且时，复数为纯虚数. （3）因为为纯虚数，则，解得， 所以时，复数为纯虚数. 16．（23-24高一下·山西·期中）已知，复数，. (1)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围； (2)设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求. 【解题思路】（1）求出，再利用复数的几何意义列出不等式组求解即得. （2）利用复数的向量表示，结合给定数量积求出，进而求出，，再求出复数的模. 【解答过程】（1）依题意，，而在复平面内对应的点位于第三象限， 则，解得， 所以m的取值范围为. （2）依题意，，， 由，得，解得或， 而时，为原点，不符合题意，因此，，，， 所以． 17．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知关于x的实系数一元二次方程. (1)若复数z是该方程的一个虚根，且，求m的值； (2)记方程的两根为和，若，求m的值. 【解题思路】（1）利用，结合韦达定理可求解. （2）分讨论方程的两根为实根还是虚数根两种情况讨论，结合韦达定理可求解. 【解答过程】（1）解：因为，所以，因为，所以， 所以，由韦达定理可得，所以； （2）解：若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或. 18．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）设虚数、满足. (1)若、又是一个实系数一元二次方程的两个根，求、； (2)把（1）中虚部大于零的根记作，对任意整数，计算； (3)若为虚数单位，为实数），，复数，求的取值范围. 【解题思路】（1）设出的代数形式，利用实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数列式求解作答. （2）利用复数的加减及乘法运算计算作答. （3）根据给定条件，求出的范围，再将表示为的函数，求出函数的值域作答. 【解答过程】（1）设，则，又是虚数，即有， 因为、是一个实系数一元二次方程的两个根，则、互为共轭复数， 因此，解得， 所以，或，. （2）由（1）知，，则， 对任意整数，. （3）由知，又，即，则， ， 所以. 19．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【解题思路】（1）根据题意，由复数的四则运算代入计算，即可证明； （2）根据题意，将复数化为复数的三角形式，然后结合三角形式的运算，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由复数的三角形式的运算代入计算，结合终边相同的角的集合，即可得到结果. 【解答过程】（1）证明： . （2）依题意，， 所以. （3）设，则， 因此，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 复数 【人教A版（2019）】 【知识清单1 数系的扩充和复数的概念】 1．数系的扩充与复数的相关概念 (1)复数的引入 为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定： ①，即i是方程的根； ②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立. 在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果 记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. (2)复数的概念 我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫 做复数集.这样，方程在复数集C中就有解x=i了. (3)复数的表示 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部. (4)复数的分类 对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R是复数集C的真子集，即. 2．复数相等 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当 a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等. 【题型1 复数的基本概念】 【例1】（2024高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【变式1-1】（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-2】（24-25高一下·河北邢台·期中）复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【变式1-3】（24-25高一·湖南·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．实数集与复数集的交集是空集 B．任何两个复数都不能比较大小 C．任何复数的平方均非负 D．虚数集与实数集的并集为复数集 【题型2 复数的分类】 【例2】（23-24高一下·福建福州·期末）若是纯虚数，则实数（   ） A． B． C．2 D． 【变式2-1】（23-24高一下·天津滨海新·期末）若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2-2】（23-24高一下·江苏南通·期末）若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【变式2-3】（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【知识清单2 复数的几何意义】 1．复数的几何意义 (1)复平面 根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面 直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系. 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)复数的几何意义——与点对应 由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一 的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义. (3)复数的几何意义——与向量对应 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一 对应的.这样就可以用平面向量来表示复数. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义. 2．复数的模 向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它 的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R). 3．共轭复数 (1)定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身. (2)几何意义 互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复 平面内所对应的点重合，且在实轴上. (3)性质 ①. ②实数的共轭复数是它本身，即z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数. 4．复数的模的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数 的模的几何意义. (2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以 原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部. 【题型3 复数的几何意义】 【例3】（24-25高一下·河南·阶段练习）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【变式3-1】（2025·广东佛山·模拟预测）已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-3】（2024高一下·江苏·专题练习）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【题型4 复数的模的计算】 【例4】（24-25高一下·河南·期中）若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·重庆万州·期中）如图，在复平面内，复数对应的向量分别为，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】（2024·四川德阳·模拟预测）若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若复数（为虚数单位，）为纯虚数，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型5 复数的模的几何意义】 【例5】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式5-1】（23-24高一下·河南郑州·期中）已知复数z满足，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式5-2】（23-24高二下·广东湛江·期中）设，在复平面内对应的点为，若，则点所在区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【知识清单3 复数的四则运算】 1．复数的加法运算及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. (2)复数的加法满足的运算律 对任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：. (3)复数加法的几何意义 在复平面内，设，(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量. 2．复数的减法运算及其几何意义 (1)复数的减法法则 类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数 x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di). 根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di) =(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则. (2)复数减法的几何意义 两个复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复 数的差对应的向量是，即向量. 如果作，那么点Z对应的复数就是(如图所示). 这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向 量的减法来进行，这是复数减法的几何意义. 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 设，(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i. 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与 虚部分别合并即可. (2)复数乘法的运算律 对于任意∈C，有 ①交换律：； ②结合律：； ③分配律：. 在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，z1，z2和正整数m,n，有， ，. 4．复数的除法 (1)定义 我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除 以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0). (2)复数的除法法则 (a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且 c+di≠0). 由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数. 5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的几何意义 设复数，(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的点分别是Z1(a,b)，Z2(c,d)，则 ，又复数=(a-c)+(b-d)i，则. 故，即表示复数z1，z2在复平面内对应的点之间的距离. 6．复数运算的常用技巧 (1)复数常见运算小结论 ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)常用公式 ； ； . 【题型6 复数的四则运算】 【例6】（24-25高一下·湖南·期中）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）记复数的共轭复数为，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024高一下·江苏·专题练习）计算： (1)； (2). 【变式6-3】（24-25高一下·海南海口·阶段练习）已知i是虚数单位，设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求． 【知识清单4 复数范围内方程的根】 1．复数范围内实数系一元二次方程的根 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当∆>0时，方程有两个不相等的实根 ，； 当∆=0时，方程有两个相等的实根； 当∆<0时，方程有两个虚根，，且两个虚数根互为共轭 复数. 2．复数的方程的解题策略 (1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用. (2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用. 【题型7 复数范围内方程的根的问题】 【例7】（24-25高一下·重庆万州·期中）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C．1 D．9 【变式7-1】（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）已知，为关于的实系数方程的两个虚根，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，是实数 (1)求和的值； (2)若是纯虚数，求实数的值 【变式7-3】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知复数，其中是正实数，是虚数单位 (1)如果为纯虚数，求实数的值； (2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 【知识清单5 复数的三角表示式】 1．复数的三角表示式 (1)复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 (2)辅角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是 ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz<2π. (3)三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. 【题型8 复数的三角表示】 【例8】（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【变式8-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式8-2】（2025高三·全国·专题练习）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高一下·北京·阶段练习）欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．的共轭复数为 【知识清单6 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义】 1．复数乘法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 ， 即. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. (2)几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量 绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义. 2．复数除法运算的三角表示及其几何意义 (1)复数除法运算的三角表示 设，，且，因为，所以根据复数除法的定义，有. 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所得的差. (2)几何意义 如图，两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按 顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是商.这是复数除法的几何意义. 【题型9 复数乘、除运算的三角表示】 【例9】（24-25高一下·全国·课后作业）已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高一下·江苏盐城·期末）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【变式9-3】（2024高一下·全国·专题练习）设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数. 【题型10 复数中的新定义问题】 【例10】（2024·四川成都·模拟预测）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式10-1】（2025高三·全国·专题练习）定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且），称．若且，称．其余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则下列各式一定错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2024高一下·全国·专题练习）定义运算，则符合条件的复数 ． 【变式10-3】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”． (1)求实数； (2)定义复数的一种运算“”：，求． 一、单选题 1．（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题： ①若，则是纯虚数； ②若，，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 4．（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数，，则在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 6．（24-25高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知复数满足且，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足．则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 8．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 二、多选题 9．（23-24高一下·江苏徐州·期末）设，是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若是纯虚数，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B．复数的虚部为 C． D．复数w满足，则的最大值为2 11．（23-24高一下·云南曲靖·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D． 三、填空题 12．（23-24高一下·广东惠州·期中）在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转90°后，则所得向量对应的复数为 （用代数形式表示）. 13．（23-24高一下·广东东莞·期中）复平面上两个点分别对应两个复数，它们满足下列两个条件：①；②两点连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 . 14．（23-24高二上·上海杨浦·期末）已知复数､满足，若和的幅角之差为，则 . 四、解答题 15．（23-24高一下·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 16．（23-24高一下·山西·期中）已知，复数，. (1)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围； (2)设为坐标原点，，在复平面内对应的点分别为，（不与重合），若，求. 17．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知关于x的实系数一元二次方程. (1)若复数z是该方程的一个虚根，且，求m的值； (2)记方程的两根为和，若，求m的值. 18．（24-25高一下·上海奉贤·阶段练习）设虚数、满足. (1)若、又是一个实系数一元二次方程的两个根，求、； (2)把（1）中虚部大于零的根记作，对任意整数，计算； (3)若为虚数单位，为实数），，复数，求的取值范围. 19．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$