第7章 三角函数（知识归纳+题型突破）（13题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第二册）

第7章 三角函数（13题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：正弦函数的图象 正弦函数,的图象叫做正弦曲线. 知识点02：正弦函数图象的画法 (1)几何法: ①在单位圆上,将点绕着点旋转弧度至点,根据正弦函数的定义,点的纵坐标.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点. ②将函数,的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度). (2)“五点法”: 在函数,的图象上,以下五个点: ，，，， 在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图. 知识点03：余弦函数的图象 余弦函数,的图象叫做余弦曲线. 知识点04：余弦函数图象的画法 (1)要得到,的图象,只需把,的图象向左平移个单位长度即可,这是因为. (2)用“五点法”:画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来. 知识点05：正切函数的图象 知识点06：函数的周期性 1．周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2．最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.  知识点07：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 奇偶性 奇函数 偶函数 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 知识点08：正弦、余弦型函数的常用周期 函数 最小正周期 或（） 或 或（） 无周期 知识点09：正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 知识点10：正切（型）函数的性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 知识点11：五点法作图 必备方法：五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 知识点12：三角函数图象变换 参数,,对函数图象的影响 1．对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 知识点13：根据图象求解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 03 题型归纳 题型一 五点法作图　 例题1：（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)若，且，求的值. 例题2：（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数，其中为三角形的内角且满足. (1)求出角.（用弧度制表示） (2)利用“五点法”，先完成列表，然后作出函数，在长度为一个周期的闭区间上的简图.（图中轴上每格的长度为轴上每格的长度为1） 0 巩固训练 1．（23-24高一下·上海宝山）已知函数. （1）用五点法作图，填表并作出的图像. x 0 y （2）求在，的最大值和最小值； （3）若不等式在上恒成立，求实数 m的取值范围. 2．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知函数，. (1)用五点法作图，填表并作出在一个周期内的图象 (2)写出函数单调递减区间和其图象的对称轴方程； 题型二 含绝对值的三角函数图象　 例题1：（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象. 例题2：（24-25高一·全国·随堂练习）请画出函数的图象，你能从图中发现此函数具备哪些性质？（可以借助信息技术画图） 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）利用图象变换法作出，的简图，并说明该图象如何由正弦曲线的相关部分通过图象变换得到. 2．（2024高三·全国·专题练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ (1)； (2). 3．（23-24高一上·全国·课前预习）作函数的图象. 题型三 正切函数的定义域　 例题1：（浙江省宁波市九校2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高一上·江苏镇江·期末）函数的定义域是 . 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·天津河西·期末）函数的定义域为 ． 题型四 三角函数的单调性　 例题1：（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数的单调递增区间为 . 例题2：（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的单调递增区间； (3)函数在区间上恰好有18个零点，求的取值范围. 例题3：（重庆市黔江区2024-2025学年高一上学期1月期末联合检测数学试卷）已知函数恒成立，且的最小值为为奇函数. (1)求函数的解析式与单调增区间； (2)若函数的图象与函数的图象关于原点对称，求在上的最大值和最小值. 巩固训练 1．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)若，求的值. 2．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数. (1)求函数的对称中心坐标； (2)求函数的单调递减区间； (3)若，求函数的值域. 3．（24-25高一上·山东·阶段练习）已知. (1)求函数的最小正周期： (2)求函数在上的单调区间. 题型五 三角函数的奇偶性　 例题1：（23-24高一下·西藏）函数（    ） A．是奇函数，也是周期函数； B．是奇函数，不是周期函数； C．是偶函数，也是周期函数； D．是偶函数，不是周期函数. 例题2：（23-24高一上·山东烟台·期末）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 例题3：（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 例题4：（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)． 巩固训练 1．（23-24高一下·上海浦东新）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 2．（24-25高二上·上海·期中）已知函数（）是偶函数，则的最小值是 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）函数是奇函数，则实数 . 4．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 . 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数为奇函数，判断函数的奇偶性，并说理. 题型六　三角函数的对称性 例题1：（23-24高一下·上海闵行·期末）对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题2：（23-24高一下·上海徐汇）若函数的图像关于直线对称，则 . 例题3：（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）函数的图像关于点成中心对称，则的最小正值为 . 例题4：（2024·上海松江·二模）已知函数的图象关于点对称，且，则实数的值为 . 巩固训练 1．（23-24高一下·上海杨浦）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）函数的对称中心的坐标为 ． 3．（24-25高三上·上海·期中）设 ，函数 图象的一条对称轴为 ，则 . 题型七 三角函数的周期性 例题1：（24-25高二上·上海·期中）函数的最小正周期是（     ）. A． B． C． D． 例题2：（24-25高二上·上海·期中）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 例题3：（2023·广东·一模）已知函数的最小正周期为，则 . 例题4：（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小正周期； （2）函数（）的最小正周期为，求的值. 巩固训练 1．（24-25高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小正周期和最大值分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南株洲·期末）在下列函数中，周期为的函数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，则的最小正周期为 ． 题型八 三角函数的值域（最值） 例题1：（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ． 例题2：（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数，在区间上有解，则的取值范围是 . 例题3：（24-25高三上·上海·期中）已知钝角 ，满足 . (1)求的值； (2)求函数 的值域. 例题4：（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)已知，求的最值，并写出取得最值时x的值． 例题5：（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 巩固训练 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 2．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的值域. 题型九 与有关的问题 例题1：（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，存在常数，使为偶函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高三上·上海金山·阶段练习）已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 例题3：（24-25高三上·上海·期中）已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的范围取值为 ． 例题4：（23-24高一下·上海·阶段练习）设常数，，若函数在区间上的最小值为0，则的最大值为 巩固训练 1．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）设，其中，若函数为偶函数且函数在上是减函数，则的取值范围是 . 3．（24-25高三上·上海·开学考试）设，若在区间上存在唯一的a和唯一的b，使且成立，则的取值范围是 4．（24-25高三上·上海·开学考试）若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 题型十　根据图象求解析式 例题1：（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的图象如图所示，则 . 例题2：（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式，并求出的对称轴； (2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求的取值范围. 例题3：（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的单调增区间； (3)若，求的值. 巩固训练 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)求函数在上的值域. 2．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)若，且，求的值. 3．（天津市四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）2024-2025学年高一上学期期末联考数学试卷）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)若是第四象限角，，求的值. 4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求函数的最小正周期及单调递增区间； (3)求不等式的解集. 题型十一 三角函数的平移和伸缩变换　 例题1：（23-24高一下·上海·期中）已知，关于该函数有下面两种说法， ①当时，的取值范围为 ②的图象可由的图象向右平移个单位长度得到. 下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误； C．①错误，②正确 D．①错误，②错误； 例题2：（23-24高三上·上海静安·期中）如图是函数，，的图像的一部分，要得到该函数图像，只需要将函数的图像（    ）    A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 例题3：（2024高一下·上海·专题练习）已知函数的图象如图所示，将的图象向左平移个单位到函数的图象，若函数的在区间，上的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024高一下·上海·专题练习）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 2．（24-25高一上·上海·课后作业）把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向右平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的图像是（    ） A．     B．   C．   D．   3．（23-24高三下·上海·阶段练习）将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 题型十二 三角函数图象的应用（零点问题） 例题1：（2024·上海徐汇·一模）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 例题2：（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数． (1)某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图象，列表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数的表达式和单调递增区间； (2)将（1）中函数的图象向下平移个单位得到的图象，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出实数的取值范围． 例题3：（23-24高一下·上海黄浦·期末）设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 例题4：（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 巩固训练 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，其中a＞0．且的图象与直线的两个相邻交点的距离等于． (1)求函数的解析式及最小正周期： (2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同解，求实数m的取值范围． 2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 3．（23-24高一下·上海·期中）将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. 4．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数，其中. (1)求在上的解； (2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 题型十三 三角函数中恒（能）成立问题 例题1：（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值及取到最值时的值； (3)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 例题2：（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 例题3：（22-23高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数. (1)求函数在上的值域和单调递增区间； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 2．（2023高一上·全国·专题练习）已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称． (1)求函数的解析式； (2)若存在x∈[0,），使等式成立，求实数m的最大值和最小值． 3．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知为实数，. (1)若，求关于的方程在上的解； (2)若，求函数，的单调减区间； (3)已知为实数且，若关于的不等式在时恒成立，求的取值范围. 试卷第42页，共43页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 三角函数（13题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：正弦函数的图象 正弦函数,的图象叫做正弦曲线. 知识点02：正弦函数图象的画法 (1)几何法: ①在单位圆上,将点绕着点旋转弧度至点,根据正弦函数的定义,点的纵坐标.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点. ②将函数,的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度). (2)“五点法”: 在函数,的图象上,以下五个点: ，，，， 在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图. 知识点03：余弦函数的图象 余弦函数,的图象叫做余弦曲线. 知识点04：余弦函数图象的画法 (1)要得到,的图象,只需把,的图象向左平移个单位长度即可,这是因为. (2)用“五点法”:画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来. 知识点05：正切函数的图象 知识点06：函数的周期性 1．周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2．最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.  知识点07：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 奇偶性 奇函数 偶函数 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，为偶函数； 知识点08：正弦、余弦型函数的常用周期 函数 最小正周期 或（） 或 或（） 无周期 知识点09：正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当()时，; 图象的对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 知识点10：正切（型）函数的性质 正切函数 正切型函数 定义域 由 值域 周期性 奇偶性 奇函数 当时是奇函数 单调性 在，上单调递增 当,时，由，解出单调增区间 对称性 对称中心：；无对称轴 令：，对称中心为：，无对称轴 知识点11：五点法作图 必备方法：五点法步骤 ③ ① ② 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,, 知识点12：三角函数图象变换 参数,,对函数图象的影响 1．对函数,的图象的影响 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法 知识点13：根据图象求解析式 形如的解析式求法： 1、求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. 2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. 3、求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 03 题型归纳 题型一 五点法作图　 例题1：（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】五点法画正弦函数的图象、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】（1）根据“列表描点连线”可作出函数在一个周期上的图象； （2）由已知条件可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可得出，再利用两角和的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）列表如下： 作出函数在一个周期内的图象如下图所示： （2）因为，且，所以，， 所以，， 因此， . 例题2：（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数，其中为三角形的内角且满足. (1)求出角.（用弧度制表示） (2)利用“五点法”，先完成列表，然后作出函数，在长度为一个周期的闭区间上的简图.（图中轴上每格的长度为轴上每格的长度为1） 0 【答案】(1) (2)列表见解析，图像见解析 【知识点】特殊角的三角函数值、五点法画正弦函数的图象 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值结合三角形内角范围可得； （2）根据五点法作图即可. 【详解】（1）为三角形的内角，可得，又得 （2）列表： 0 0 1 0 -1 0 巩固训练 1．（23-24高一下·上海宝山）已知函数. （1）用五点法作图，填表并作出的图像. x 0 y （2）求在，的最大值和最小值； （3）若不等式在上恒成立，求实数 m的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）时，，时，；（3）. 【知识点】y=Asinx+B的图象、求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）当时，求出相应的x，然后填入表中；标出5个点，然后用一条光滑的曲线把它们连接起来； （2）先根据x的范围求出的范围，再由正弦函数的性质可求出函数的最大值和最小值； （3）不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，进一步转化为m-2，m+2与函数在上的最值关系，列不等式后求得实数m的取值范围. 【详解】（1） x 0 y 1 3 1 -1 0 （2），，即，所以的最大值为3，最小值为2. （3），，由（2）知，，，且，即m的取值范围为. 【点睛】本题考查正弦函数的最值和恒成立问题，把不等式恒成立问题转化为含m的代数式与的最值关系的问题是解决本题的关键，属于中档题. 2．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知函数，. (1)用五点法作图，填表并作出在一个周期内的图象 (2)写出函数单调递减区间和其图象的对称轴方程； 【答案】(1)表格见解析；图象见解析 (2)单调递减区间为；对称轴为 【知识点】五点法画正弦函数的图象、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）根据“五点法”可填写表格，并描点作出函数图象； （2）根据正弦型函数单调区间和对称轴的求法直接求解即可. 【详解】（1）由“五点法”可填表如下： 由此可得图象如下图所示， （2）令，解得：， 的单调递减区间为； 令，解得：， 的对称轴方程为. 题型二 含绝对值的三角函数图象　 例题1：（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象. 【答案】图象见解析 【知识点】画出具体函数图象、含绝对值的正弦函数的图象 【分析】分析函数为偶函数，所以只需要画出时的图象，关于轴对称即可. 【详解】当时，与的图象完全相同， 又，所以为偶函数， 故图象关于轴对称，其图象如图所示： . 例题2：（24-25高一·全国·随堂练习）请画出函数的图象，你能从图中发现此函数具备哪些性质？（可以借助信息技术画图） 【答案】见解析 【知识点】含绝对值的余弦函数的图象 【分析】分与两种情况去绝对值，作图后根据图象分析函数的定义域、值域、奇偶性、周期、单调区间与最值即可. 【详解】由题意，当时；当时，故可作图：    由图象可得，函数具有如下性质： ①定义域；②值域；③偶函数；④最小值正周期为； ⑤在上单调递增，上单调递减；在上； ⑥当时函数取最大值0，当时函数取最小值. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）利用图象变换法作出，的简图，并说明该图象如何由正弦曲线的相关部分通过图象变换得到. 【答案】答案见解析 【知识点】含绝对值的正弦函数的图象 【分析】先作出，的图象，然后将x轴下方的部分翻转到x轴上方去可得答案. 【详解】解：作，的图象，并将x轴下方的部分翻转到x轴上方（原x轴上方的部分不变）， 得，的图象，如图所示. 2．（2024高三·全国·专题练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ (1)； (2). 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画出具体函数图象、含绝对值的正弦函数的图象、函数图象的变换 【分析】（1）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象. （2）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象. 【详解】（1）， 将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象. . （2）， 将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象. . 3．（23-24高一上·全国·课前预习）作函数的图象. 【答案】图象见解析. 【知识点】含绝对值的余弦函数的图象、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式化简可得函数解析式，根据余弦函数图象性质，可画出函数图象. 【详解】 故的图象实际就是的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方后得到的图象，如图 题型三 正切函数的定义域　 例题1：（浙江省宁波市九校2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案. 【详解】因为，所以. 则函数的定义域为 故选：A. 例题2：（24-25高一上·江苏镇江·期末）函数的定义域是 . 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的定义域 【分析】根据函数的解析式列出函数有意义时需满足的不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可知需满足, 即，故函数的定义域为. 故选：C. 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、解正切不等式 【分析】求解不等式即可. 【详解】由题意，得， 所以，，得，， 故所求函数的定义城为，， 故选：C. 2．（24-25高一上·天津河西·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、解正切不等式 【分析】根据对数的定义，得不等式，结合正切函数的性质进行求解即可. 【详解】由，得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型四 三角函数的单调性　 例题1：（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【知识点】求正切型三角函数的单调性 【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果. 【详解】易知正切函数的单调递增区间为， 所以令，解得； 即该函数的单调递增区间为. 故答案为：. 例题2：（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的单调递增区间； (3)函数在区间上恰好有18个零点，求的取值范围. 【答案】(1)π； (2)，； (3). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，进而求出周期. （2）利用正弦函数的单调性质求出单调递增区间. （3）求出指定区间对应的相位范围，再结合正弦函数零点个数列式求解即得. 【详解】（1）， 所以的最小正周期. （2）当时，， 由，得；由，得， 所以函数在区间上的单调递增区间是，. （3）当时，， 由函数在区间上恰好有18个零点，得，解得， 所以的取值范围是. 例题3：（重庆市黔江区2024-2025学年高一上学期1月期末联合检测数学试卷）已知函数恒成立，且的最小值为为奇函数. (1)求函数的解析式与单调增区间； (2)若函数的图象与函数的图象关于原点对称，求在上的最大值和最小值. 【答案】(1)，； (2). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数的图象性质求出即得解析式，进而求出单调递增区间. （2）利用对称性求出的解析式，再求出指定区间上的最值. 【详解】（1）函数的定义域为R，由恒成立，得分别是的最小值和最大值， 由的最小值为，得，解得，则， 由为奇函数，得，而， 于是，所以， 由，得， 所以的单调增区间是. （2）由函数的图象与函数的图象关于原点对称，得， 则，当时，， 则当，即时，；当，即时，， 所以在上的最大值和最小值分别为. 巩固训练 1．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)求函数在上的最值； (3)若，求的值. 【答案】(1)，单调减区间为. (2)，. (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）化简函数为，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）由（1）得出函数的单调递增区间，结合，和的值，即可求解； （3）根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】（1）由函数 ， 所以的最小正周期为， 令，可得， 所以的单调减区间为. （2）由（1）知，函数的单调递增区间为， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，所以，. （3）由函数，可得， 因为， 所以 . 2．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数. (1)求函数的对称中心坐标； (2)求函数的单调递减区间； (3)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）利用整体法即可根据求解， （2）利用整体法即可列不等式求解， （3）利用整体法求解，即可结合余弦函数的性质求解. 【详解】（1）令，解得：，此时， 的对称中心为； （2）令，解得：， 的单调递减区间为 （3）当时，，则， ，即的值域为 3．（24-25高一上·山东·阶段练习）已知. (1)求函数的最小正周期： (2)求函数在上的单调区间. 【答案】(1) (2)的单调递增区间为，单调递减区间为 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用正弦函数求解函数的最小正周期， （2）结合正弦函数的单调区间求解出此函数的单调区间. 【详解】（1）最小正周期为： 令则 由 所以的单调递增区间为， （2）令则 由 所以的单调递减区间为 题型五 三角函数的奇偶性　 例题1：（23-24高一下·西藏）函数（    ） A．是奇函数，也是周期函数； B．是奇函数，不是周期函数； C．是偶函数，也是周期函数； D．是偶函数，不是周期函数. 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx的函数的奇偶性 【分析】利用函数奇偶性的定义判断，利用函数的图像判断周期 【详解】解：函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 因为的图像将的图像在轴左边的去掉，轴右边的关于对称后与轴右边的共同组成的图像，如图所示，不具有周期性， 故选：D 例题2：（23-24高一上·山东烟台·期末）下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求含tanx的函数的奇偶性 【分析】根据奇函数的定义进行判断. 【详解】由，定义域关于原点对称，则,所以是偶函数，故A错误; 由，定义域关于原点对称，则,所以是偶函数，故B错误； 由，定义域关于原点对称，则，所以是奇函数，故C正确； 由，定义域关于原点对称，则，且，所以非奇非偶，故D错误. 故选：C 例题3：（23-24高一下·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、辅助角公式 【分析】由辅助角公式先进行化简，再利用条件可得为偶函数，可求得的值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以函数为偶函数， 即，， ， 所以，. 故答案为：. 例题4：（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)奇函数 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx的函数的奇偶性、求含cosx型的函数的定义域、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】（1）根据偶函数的定义分析判断； （2）根据奇偶性的定义和性质举反例说明即可； （3）根据奇函数的定义分析判断. 【详解】（1）因为的定义域为，且， 所以为偶函数. （2）因为的定义域为， 当，，可知不为奇函数； 当，，当，， 可知不为偶函数； 综上所述：为非奇非偶函数. （3）令，即，解得， 可知的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数. 巩固训练 1．（23-24高一下·上海浦东新）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】应用诱导公式化简函数式，结合余弦函数性质判断奇偶性即可. 【详解】由，故该函数为偶函数. 故选：B 2．（24-25高二上·上海·期中）已知函数（）是偶函数，则的最小值是 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】由诱导公式及三角函数的奇偶性即可判断. 【详解】因为（）是偶函数， 所以，又， 所以当时，取最小值. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·阶段练习）函数是奇函数，则实数 . 【答案】/ 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得，结合，即得答案. 【详解】由题意知函数是奇函数， 则，结合，可得， 故答案为： 4．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、由正切（型）函数的奇偶性求参数 【分析】结合奇函数的性质求解即可. 【详解】由，， 设函数，， 则， 即函数为奇函数，则， 所以， 则，即. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数为奇函数，判断函数的奇偶性，并说理. 【答案】偶函数，理由见解析 【知识点】诱导公式五、六、求余弦（型）函数的奇偶性、由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】求出，分k为偶数、k为奇数讨论可得答案. 【详解】偶函数，理由如下， 由题意知中，， ，， ①当k为偶数时，，，故为偶函数； ②当k为奇数时，，，故为偶函数. 综上，为偶函数. 题型六　三角函数的对称性 例题1：（23-24高一下·上海闵行·期末）对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为 ， 因为，所以函数的图象关于点对称，故①正确； 令，解得， 所以函数的对称轴是，，故②正确； 因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故③正确； 当，则，当， 即时，故④错误. 故选：D 例题2：（23-24高一下·上海徐汇）若函数的图像关于直线对称，则 . 【答案】 【知识点】正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系、辅助角公式 【分析】由题知，进而解方程即可得答案. 【详解】解：因为函数的图像关于直线对称， 所以函数在时取得最值， 所以，结合辅助角公式得：，即， 整理得：，解得. 故答案为： 例题3：（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）函数的图像关于点成中心对称，则的最小正值为 . 【答案】 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】利用代入法列方程即可求解. 【详解】因为函数的图像关于点成中心对称， 所以，解得：. 所以的最小正值为：当k=0时，. 故答案为： 例题4：（2024·上海松江·二模）已知函数的图象关于点对称，且，则实数的值为 . 【答案】或1 【知识点】正切函数对称性的应用 【分析】根据正切函数的性质，代入点，求解参数的值. 【详解】∵函数的图象关于点对称，且， ∴，，或， 则令，可得实数或， 故答案为：或1. 巩固训练 1．（23-24高一下·上海杨浦）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】根据余弦函数的性质求出的取值，即可判断. 【详解】因为函数的图像关于点中心对称， 所以，，所以，， 所以当时，当时，时， 所以的最小值为. 故选：C 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）函数的对称中心的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据对称中心通式代入计算即可. 【详解】由题，解得,， 所以对称中心的坐标为， 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海·期中）设 ，函数 图象的一条对称轴为 ，则 . 【答案】 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据三角函数的对称性与最值的关系，可得，即可化简求解. 【详解】的图象的一条对称轴为 ， 故是函数的最大值或者最小值，即， 故， 化简可得，故，即， 故答案为： 题型七 三角函数的周期性 例题1：（24-25高二上·上海·期中）函数的最小正周期是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦型函数的周期公式求解即可. 【详解】由题意，， 所以的最小正周期是. 故选：A. 例题2：（24-25高二上·上海·期中）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象的变换、求含cosx的函数的最小正周期 【分析】利用图象变换作出的图象求解即可. 【详解】的图象如图所示，    由图象可知最小正周期为. 故选：B. 例题3：（2023·广东·一模）已知函数的最小正周期为，则 . 【答案】1 【知识点】由正切函数的周期求值 【分析】根据正切函数周期公式求解即可. 【详解】依题意， 整理得，解得. 故答案为：1. 例题4：（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）求函数的最小正周期； （2）函数（）的最小正周期为，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】辅助角公式、求含cosx的函数的最小正周期、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）作出函数的大致图象，结合函数图象即可得解； （2）先利用辅助角公式化一，再根据正弦函数的周期性即可得解. 【详解】（1）由题意知， 作出函数图象如图所示： 由图知周期为； （2） （其中，）， 由，知，即. 巩固训练 1．（24-25高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小正周期和最大值分别为（    ） A．，2 B．，2 C．， D．， 【答案】C 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式 【分析】根据诱导公式以及辅助公式可得，再利用正弦函数的周期公式，结合正弦函数的最值即可得答案. 【详解】， 所以该函数的最小正周期为，最大值为 故选：C. 2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正切（型）函数的奇偶性、求正切（型）函数的周期、求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】根据三角函数的周期性、奇偶性逐一判断即可. 【详解】选项A：是奇函数，不满足题意； 选项B：令，定义域为，关于原点对称， 因为，， 所以既是周期函数又是偶函数，满足题意； 选项C：画出的图象如图所示， 则不是周期函数，不满足题意； 选项D：令，则， 所以不是偶函数，不满足题意； 故选：B 3．（24-25高二上·湖南株洲·期末）在下列函数中，周期为的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用三角恒等变换、结合正余弦函数及正切函数的周期逐项判断即可. 【详解】对于A，，周期为，A不是； 对于B，，周期为，B不是； 对于C，，周期为，C是； 对于D，，周期为,D不是. 故选：C 4．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，则的最小正周期为 ． 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由周期公式即可求解. 【详解】的最小正周期为， 故答案为： 题型八 三角函数的值域（最值） 例题1：（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式 【分析】先利用两角和的正弦公式及辅助角公式把函数化成的形式，再根据正弦函数在给定区间上的值域求的取值范围. 【详解】因为 . 又，所以. 因为，所以，所以，解得. 故答案为： 例题2：（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数，在区间上有解，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】由题意化简可得，设，这转化为二次函数问题，即可求解. 【详解】令， 则，令， ，，即， 函数 在内是单调递增的，且. 在区间上有解， 的取值范围为. 故答案为：. 例题3：（24-25高三上·上海·期中）已知钝角 ，满足 . (1)求的值； (2)求函数 的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由同角三角函数的关系结合诱导公式，二倍角公式即可求解； （2）确定函数单调性即可求解. 【详解】（1）由，又，又为钝角， 两方程联立求解可得：，又为钝角， 所以 可得：， （2）由（1）可得： ，， 在 上单调递增, 在上单调递减， 所以在单调递减， 当 时,有最大值， 当 时,有最小值， 函数 的值域为 例题4：（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数． (1)求的最小正周期和单调区间； (2)已知，求的最值，并写出取得最值时x的值． 【答案】(1)，严格增区间为，严格减区间 (2)时取得最小值，时取得最大值1 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值、辅助角公式 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简整理函数的表达式为，然后即可求出周期和单调区间； （2）由（1）知，当时，，结合余弦函数的图象与性质，即可求得的最值，及取得最值时x的值． 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，解得， 令，解得， 所以的严格增区间为，严格减区间为. （2）当时，， 当，即时， ， 当，即时，， 即时取得最小值，时取得最大值1. 例题5：（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 【答案】(1)最小值，无最大值； (2)； (3). 【知识点】求含tanx的二次式的最值、复合函数的值域、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）令，用换元法得到，然后结合二次函数性质求解即可； （2）将原式化为，，根据函数奇偶性，然后结合二次函数性质求解即可； （3）令，用换元法得到，即可求解. 【详解】（1）设，， 则. 当时，y取最小值，无最大值， （2），. 由知为偶函数. 当时，， 令，， 当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为. 故值域为. （3）令，则， 因为函数的定义域为，即， 所以， 则，. 由得， 所以函数值域为. 巩固训练 1．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】根据余弦函数的性质，结合整体法即可求解. 【详解】由于，所以， 故， 故答案为：. 2．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 【答案】(1)，单调增区间为； (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的周期性求值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据最小正周期得到方程，求出，并用整体法求出函数递增区间； （2）利用三角恒等变换得到，结合，得到，从而得到函数值域. 【详解】（1）因为，所以，解得， ， 令，解得， 故单调递增区间为； （2），， 时，，故， 所以. 3．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）解三角方程即可，注意的范围； （2）求出解析式，利用正弦函数的性质求出的范围，再分离参数求解作答； （3）代入化简得，对任意恒成立，换元后利用基本不等式求出最值得解． 【详解】（1）由题意可得， 即，解得， 又； （2）由（1）知， 令，则， 存在，使得等式成立， 即存在，使，则存在，使成立， 令，则的值域是 所以实数的取值范围为； （3）即， 化简整理得，，对任意恒成立， 令，则恒成立， 即，对任意恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ， 所以实数的取值范围为． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的值域. 【答案】. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正切（型）函数的值域及最值、二倍角的正弦公式 【分析】根据给定条件，切化弦，利用二倍角的正弦及正弦函数的有界性求出值域. 【详解】依题意，， 由且，得或， 所以原函数的值域为. 5．（2024高一·上海·专题练习）已知，求它的最小值 【答案】2 【知识点】求含tanx的二次式的最值 【分析】由题意，可得，利用二次函数的性质，即可求解函数的最小值，得到答案. 【详解】由题意，可得，由于，所以当时，函数取最小值２. 【点睛】本题主要考查了正切函数的值域，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的值域，合理应用二次函数的性质求解是解答的关键，注重考查了推理与计算能力，属于基础题. 题型九 与有关的问题 例题1：（24-25高三上·上海·阶段练习）已知，存在常数，使为偶函数，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、由奇偶性求参数 【分析】首先根据为偶函数，求，再根据三角函数的性质求的值. 【详解】由于函数，存在常数， 为偶函数， 则：， 由于函数为偶函数，故， 所以，， 当时. 故选：B. 例题2：（24-25高三上·上海金山·阶段练习）已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用 【分析】求出的范围，利用正弦函数图像的性质计算即可； 【详解】函数，其中，在区间上恰有2个零点， ，.求得，则的取值范围为. 故答案为：. 例题3：（24-25高三上·上海·期中）已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的范围取值为 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式 【分析】整理可得，分析可知同为最大值点或最小值点，结合集合的元素特征可知在内有个最值点，再根据正弦函数的最值分析求解. 【详解】因为， 若，等价于或， 即同为最大值点或最小值点， 若，则点；若，则点； 据此可知：若集合恰有五个元素，等价于在内有个最值点， 不妨设，可知最值性相同，与不同， 此时集合B的元素为，符合题意， 因为，且，则， 可得，解得， 所以的范围取值为. 故答案为：. 例题4：（23-24高一下·上海·阶段练习）设常数，，若函数在区间上的最小值为0，则的最大值为 【答案】/ 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】化简函数，根据题意得到不等式，即可求解. 【详解】由函数 ， 因为，可得， 又因为的最小值为0，即的最小值为， 所以，解得，即实数的最大值为. 故答案为：. 巩固训练 1．（23-24高一下·上海金山·阶段练习）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数图象的综合应用 【分析】先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等腰直角三角形的斜边长即可，再根据可知等腰直角三角形的斜边上的高，由此求得斜边长即函数的周期，再由周期公式求得的值. 【详解】 如图所示，在函数与的交点中， ， 令，即， 不妨取， 即， 因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形， 当正弦值等于余弦值时，函数值为， 故等腰直角三角形斜边上的高为，即， 所以，所以． 故选：． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）设，其中，若函数为偶函数且函数在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、利用余弦函数的单调性求参数 【分析】根据条件得到，从而有，利用的性质，求出的单调区间，结合条件，即可求解. 【详解】因为函数为偶函数，则，得到， 又，则，所以，得到， 因为，由，得到， 因为函数在上是减函数，令，得到， 由，得到，所以的取值范围是， 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海·开学考试）设，若在区间上存在唯一的a和唯一的b，使且成立，则的取值范围是 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、三角函数图象的综合应用 【分析】根据给定条件，结合正余弦函数的性质可得，再借助图形分类讨论求出的范围. 【详解】令，则存在且使， 由区间长度为，得必须满足，则， 因此区间的左端点， 如图，有两种可能：内含有或， 第一类，含A、E：且，则； 第二类，含B、F：且，则. 所以的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高三上·上海·开学考试）若函数在上严格减，则正实数的取值范围是 【答案】 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、利用余弦函数的单调性求参数、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用余弦函数的单调性求参数取值范围即可. 【详解】设函数的最小正周期为. 因为，所以. 又因为函数在上严格减， 所以且，， 即且，， 所以且，， 所以当时，；当时，， 所以正实数的取值范围是：. 故答案为： 题型十　根据图象求解析式 例题1：（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的图象如图所示，则 . 【答案】/ 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】依据图象求得函数解析式，代入即可求得结果. 【详解】根据图象可知， 且，所以，解得， 又图象过点，所以， 即，解得， 又，所以，可得； 因此. 故答案为： 例题2：（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式，并求出的对称轴； (2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，若关于的方程在上有解，求的取值范围. 【答案】(1)，对称轴 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）由图象求出，进而，利用整体代换法求解对称轴即可； （2）根据三角函数图象的平移变换可得，求出在的值域即可. 【详解】（1）由图象可知，，得， 又，所以，将点代入， 得，即，所以， 即，又，故， 所以，令，得， 所以的对称轴方程为. （2）先把的图象向右平移个单位得到的图象对应的解析式为 ， 再向下平移1个单位，得到的图象对应的解析式为， ，则，所以， 即， 因为在上有解，即在上有解， 所以，即的取值范围为. 例题3：（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)求在上的单调增区间； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据三角函数的图象，依次求得的值. （2）利用整体代入法和赋值法来求得正确答案. （3）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式等知识来求得正确答案. 【详解】（1）由图可知， ， 则，由， 得，则， 由于，所以，所以. （2）由于， 要使，则令得， 所以在上的单调增区间是. （3）， . 巩固训练 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【知识点】求cosx(型)函数的值域、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据三角函数的图象，依次求得的值，从而求得的解析式，利用整体代入法来求得单调递增区间. （2）根据三角函数值域的求法来求得正确答案. 【详解】（1）由图可得，， ，，， 由于，所以， 则，而，所以， 所以函数解析式为 令， 所以. 综上函数解析式为，单调增区间. （2）因为，所以. 当时有最大值为， ，所以时有最小值为， 所以函数在上的值域为. 2．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）观察图象确定函数的最值，由此可求，观察函数的周期，结合周期公式求，由求，由此可得函数解析式； （2）由，结合特殊角三角函数值及正弦函数的图象与性质求，结合的范围确定其值，再求. 【详解】（1）观察图象得函数的最大值为，最小值为，故， 观察图象可得，又，所以， 由，得，， 又，得，所以； （2）因为， 所以，或， 所以，或，， 又因为，所以， 所以. 3．（天津市四校（咸水沽一中、杨柳青一中、第一百中学、四十七中学）2024-2025学年高一上学期期末联考数学试卷）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)若是第四象限角，，求的值. 【答案】(1)；单调递增区间为. (2)或或 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、给值求值型问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据函数图象结合五点法求函数解析式，以为整体，结合正弦函数单调性运算求解； （2）整理可得，分和两种情况，结合三角恒等变换运算求解. 【详解】（1）由图象可知：，，故， 又，故由图，所以， 设函数的最小正周期为，则由图，解得， 则，且，解得， 则，又函数的图象过点，故， 故，解得，所以. 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）因为，即， 可得， 即， 若，显然符合题意，此时； 若，可得， 又因为是第四象限角，则，可得， 则， 联立方程，解得或， 可得或； 综上所述：或或. 4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求函数的最小正周期及单调递增区间； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)周期 (3) 【知识点】解正弦不等式、求正弦（型）函数的最小正周期、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）结合最大值和最小值求出，根据图中点确定周期，进而确定，代入关键点求出，得到解析式； （2）根据三角函数周期公式和单调区间求法求解即可； （3）结合正弦图象求出解集. 【详解】（1）由图可知，所以， 因为，所以， 所以， 所以， 又因为当时，， 所以，即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以. （2）因为， 所以， 单调递增区间满足，， 即，， 即，， 所以单调递增区间为，. （3）因为， 所以，即， 所以，， 即，， 所以，， 所以解集为. 题型十一 三角函数的平移和伸缩变换　 例题1：（23-24高一下·上海·期中）已知，关于该函数有下面两种说法， ①当时，的取值范围为 ②的图象可由的图象向右平移个单位长度得到. 下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误； C．①错误，②正确 D．①错误，②错误； 【答案】C 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、二倍角的正弦公式 【分析】首先化简函数的解析式，再根据函数值域的求解方法，以及平移规律，即可判断选项. 【详解】， 对于①，当时，，可得，可得的取值范围为，故①错误； 对于②，向右平移个单位长度得到，故②正确 故选：C 例题2：（23-24高三上·上海静安·期中）如图是函数，，的图像的一部分，要得到该函数图像，只需要将函数的图像（    ）    A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、相位变换及解析式特征、已知三角函数值求角 【分析】由题意先求，结合图象与已知得周期，从而求出；再由最小值点坐标代入求解，求出的解析式，从而得到与的图象平移关系. 【详解】由题意，可由函数平移得到，且， 则，.（或由图形可知，周期） 又，故，则. 由图形，函数图象过点 则， 即，所以 解得， 故. 验证知图象过. 又， 所以可由函数的图象向左平移个单位得到. 故选：A. 例题3：（2024高一下·上海·专题练习）已知函数的图象如图所示，将的图象向左平移个单位到函数的图象，若函数的在区间，上的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】 根据题意，得到，结合函数的图象得到，进而求得的解析数，利用三角函数的相关性质，即可求解． 【详解】 由函数， 又由函数的图象可得，可得，则， 所以， 因为，即， 可得，所以， 又因为，所以，所以， 将的图象向左平移个单位到函数， 因为，可得， 又因为， 要使得函数的值域为，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 巩固训练 1．（2024高一下·上海·专题练习）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【知识点】诱导公式五、六、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据诱导公式把函数化为同名函数，结合函数图象变换的性质即可判定. 【详解】由题意: 故要得到函数的图象， 只需将的图象向左平移个单位, 故选：B 2．（24-25高一上·上海·课后作业）把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向右平移1个单位，再向下平移1个单位，得到的图像是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数图象的变换、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由三角函数的图象变换得，再结合图象判断． 【详解】解：把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得；向右平移1个单位长度得；再向下平移1个单位长度得. 令，得；令，得，观察即知B正确. 故选：B 3．（23-24高三下·上海·阶段练习）将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】把函数的图象变换后得到函数的图象，故所得函数的对称中心为，由此可得结果. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，得函数的图象，向右平移个单位， 得到函数的图象， 令，可得， 故所得函数的对称中心为， 令，可得函数图象的一个对称中心为， 故选：A 题型十二 三角函数图象的应用（零点问题） 例题1：（2024·上海徐汇·一模）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求零点的和、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）根据最小正周期及三角函数的性质、不等式恒成立有，即可求参数值； （2）应用三角恒等变换有，令求解，结合即可求结果. 【详解】（1）， 由的最小正周期为，知， ， ∴. （2）由（1）可得：， ， 或，即或，， 又，则不妨令，故. 例题2：（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数． (1)某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图象，列表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数的表达式和单调递增区间； (2)将（1）中函数的图象向下平移个单位得到的图象，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)，，单调递增区间 (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据“五点法”完成表格，确定函数解析式，可求函数的单调增区间. （2）做出函数图象，根据图象求的取值范围. 【详解】（1）根据“五点法”，完成列表： 0 0 1 0 0 0 0 0 所以表中所填的数据为：． 由表格可知：，，. 所以. 由， 得， 所以函数单调递增区间． （2）根据列出得表格，可以做出函数得图象，如下： 该问题转化为方程在区间有两个交点，又，，， 所以的取值范围是． 例题3：（23-24高一下·上海黄浦·期末）设． (1)当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数． (2)①根据a的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数； ②若函数在区间（k为正整数）上恰有7个零点，求k的最小值及此时a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①见解析；②的最小值为3，此时. 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据单调函数的定义，结合三角函数的性质和不等式的性质，判断的正负，即可证明； （2）①根据三角函数的性质，将函数的零点转化为图象的交点个数问题，即可判断； ②根据①的结果以及分析过程，判断当时的交点情况，以及得到取值. 【详解】（1）设， ， ， ， 因为，所以， 且，所以，所以， 则， 所以， 即，所以， 所以函数在区间上是严格增函数. （2）①，则， 当时，即，，， 所以不管为何值，和是函数的零点， 当，即或时，，如图画出函数的图象， 若或时，与无交点，没有零点， 若或时，与有1个交点，为和，需舍去，所以没有零点， 当或时，与有2个交点， 当时，与有3个交点， 综上可知，或时，有2个零点， 当或时，有4个零点， 当时，有个5零点. ②由①可知，时，最多有5个零点， 时，区间为，不管为何值，函数的零点包含，3个零点， 当时，与在区间有4个交点， 如图， 当时，在区间有4个交点，此时交点的横坐标为函数的零点， 所以的最小值为3，此时. 【点睛】关键点点睛：本题第2问考察函数零点问题，关键是讨论和两种情况. 例题4：（23-24高一下·上海闵行·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，然后由周期公式可得； （2）求出，然后由正弦函数的单调性即可求解； （3）将问题转化为函数与的图象有两个交点，数形结合可得. 【详解】（1）因为， 所以. （2）， 由，解得， 所以函数的单调递减区间为. （3）由得， 当时，， 所以， 作出函数在的图象，如图：    由函数与的图象有两个交点， 得，即，即实数的取值范围为. 巩固训练 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，其中a＞0．且的图象与直线的两个相邻交点的距离等于． (1)求函数的解析式及最小正周期： (2)若关于x的方程在区间上恰有两个不同解，求实数m的取值范围． 【答案】(1);. (2) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、正、余弦型三角函数图象的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据二倍角公式和诱导公式化简可得的解析式，由已知条件求得函数的最小值为，计算即可得解； （2）原问题转化为在区间上有两个不同解，再根据正弦函数的图象与性质，得解. 【详解】（1）函数 函数的最小正周期为， 因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于， 所以函数的最小值为， 所以，解得， 所以. （2）由，知， 因为，所以， 由于在区间上恰有两个不同解，所以，即. 2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的单调减区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由三角恒等变换化简，利用正弦型函数的单调性求解； （2）分离参数转化为恒成立，求出的最大值即可得解； （3）先写出函数的解析式，然后根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】（1） ， 由， 所以函数的单调递减区间为； （2）因为不等式在上恒成立， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，即； （3）， 由，得， 因为函数在上恰有3个零点， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 3．（23-24高一下·上海·期中）将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据三角函数图象变换运算求解即可； （2）以为整体，结合正弦函数的零点列式求解即可. 【详解】（1）将函数的图像向右平移个单位，得到， 再将横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在上恰有两个零点， 则，解得， 所以实数m的取值范围为. 4．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数，其中. (1)求在上的解； (2)已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、已知三角函数值求角 【分析】（1）根据题意得方程，然后通过的范围解方程即可； （2）代入，然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质求值域即可. 【详解】（1）由已知， 又，所以， 所以或， 所以或， 即在上的解为或； （2）由已知 ， 则在时有解，即在时有解， 因为，所以， 所以， 所以. 题型十三 三角函数中恒（能）成立问题 例题1：（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值及取到最值时的值； (3)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时取最小值，当时取最大值； (3). 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、函数不等式恒成立问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性求出增区间即得. （2）求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出最值即得. （3）求出的范围，利用诱导公式、二倍角公式变形给定的不等式，借助换元法分离参数，利用单调性求出最大值即得. 【详解】（1）依题意，， 由，得， 所以的单调递增区间是. （2）当时，，则当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值. （3）由（1）知，， 当时，令， 原不等式等价于， 函数在上单调递减，当时，，因此， 所以实数的取值范围. 【点睛】结论点睛：求函数的单调区间时，可把看成一个整体， 由求得函数的单调递减区间， 由求得函数的单调递增区间． 例题2：（23-24高一下·上海·期中）已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)当时，求函数的最大值和最小值 (3)已知函数，若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】（1）先由降幂公式，倍角公式，辅助角公式化简，再代入周期公式求解即可； （2）由已知结合的范围，利用正弦函数的性质求解即可； （3）由已知不等式结合辅助角公式进行化简可得，然后结合正弦函数的单调性求解即可. 【详解】（1）， 则最小正周期为. （2）； 则函数的最大值为，最小值为. （3）， 因为， ， 因为对任意的，当时，恒成立， 则对任意的，当时，恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在上单调递减， 所以，其中，解得， 所以的取值范围为. 例题3：（22-23高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数. (1)求函数在上的值域和单调递增区间； (2)若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)值域为，单调递增区间为 (2) 【知识点】正弦函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，由求出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求出函数的值域，利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间； （2）分析可知，直线与函数在时的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为 ， 当时，，则， 由可得， 故当时，函数的值域为，单调递增区间为. （2）解：由题意可知，关于的方程在上有两个不同的实数解， 则直线与函数在时的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在时的图象有两个交点. 因此，实数的取值范围是. 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求cosx（型）函数的最值、求图象变化前（后）的解析式、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）将题给不等式进行参变分离，再利用换元法和二次函数性质即可求得实数的取值范围； （2）先求得函数的解析式，再依据题给条件求得的值，进而利用三角函数的性质求得实数的取值范围． 【详解】（1）由题意得，对任意时， 不等式恒成立， 即不等式恒成立， 由，可得，则， 令，则， 则时，不等式， 即恒成立， 令，则，又在上单调递减， 则，则， 则，解之得 （2）由题意得，， 存在非零常数，对任意，有 即成立， 由， 则，则，解之得， 当时，，则2为的一个周期， 则2为的最小正周期的整数倍，即， 则. 当时，， 即恒成立， 则，即， 综上： 2．（2023高一上·全国·专题练习）已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称． (1)求函数的解析式； (2)若存在x∈[0,），使等式成立，求实数m的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)m的最大值为3，最小值为 【知识点】求cosx(型)函数的值域、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据三角恒等变换，化简得，即可根据对称求解， （2）确定，，等式，可化为，利用对勾函数的性质即可求实数的最大值和最小值 【详解】（1） ． 函数的图象上取点，关于直线对称点的坐标为,， 代入，可得， （2）,，则，则 ,， 等式，可化为， 由对勾函数的单调性可得，函数m在[1,]上单调递减，在（，2]上单调递增， 当时，；时，，时，， 故实数m的最大值为3，最小值为． 3．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知为实数，. (1)若，求关于的方程在上的解； (2)若，求函数，的单调减区间； (3)已知为实数且，若关于的不等式在时恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)或或 (2)， (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用二倍角公式及诱导公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得； （2）利用辅助角公式化简，再结合正弦函数的性质计算可得； （3）依题意可得在时恒成立，求出在上的值域，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为 ， 当时，由，则， 所以，解得， 所以方程在上的解为或或. （2）当时， 令，， 解得，， 所以的单调递减区间为，. （3）当时， 关于的不等式在时恒成立， 关于的不等式在时恒成立， 由，则，所以， 则，所以，解得， 即的取值范围为. 试卷第42页，共43页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$