第7章 三角函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第二册）

第7章 三角函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．若函数的最小正周期是 . 2．函数，的值域为 3．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 4．设，，若函数，的最大值为，但最小值不为，则的取值范围是 ． 5．函数的单调增区间为 ． 6．设函数，其中，若对任意均有成立，则的最小值为 ． 7．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则 8．关于函数，其中，有下列命题： ①由可得必是π的整数倍； ②的表达式可改写为； ③的图像关于对称； ④的图像关于对称． 其中正确的命题的序号是 ． 9．设，，若不等式对也成立，则的取值范围是 ． 10．已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 . 11．已知，，，，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则 . 12．对任意均有恒成立，则的最大值为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且 只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．下列函数中，与函数的图象形状相同的是（    ） A．； B．； C．； D．. 14．已知函数的定义域为，值域为，那么的值为（    ）． A．－6 B．－3 C． D． 15．把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 16．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．图象的对称中心为 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. 已知． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数，的单调减区间． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. 函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题8分）. 已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)若的图像是由的图像向右平移单位长度得到，则当，求满足实数x的集合. 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. 已知函数，其中． (1)若，，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. 我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称为其正弦周期． (1)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期，并指出它的最小正周期； (2)验证是以为周期的正弦周期函数； (3)已知存在这样一个函数，它是定义在上的严格增函数，值域为，且是以为周期的正弦周期函数．若，且存在，使得，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 三角函数（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．若函数的最小正周期是 . 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由最小正周期的计算公式求解即可. 【详解】由，所以函数的最小正周期为. 故答案为： 2．函数，的值域为 【答案】 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】根据函数的图象判断其单调性，结合端点函数值即可求得. 【详解】因在上单调递减，在上单调递增， 且 故函数，的值域为. 故答案为：. 3．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、分式不等式 【分析】分和两种情况讨论，时显然不成立，时，，根据可求得的取值范围. 【详解】当时，显然不成立. 当时，，又，所以， 当时，无解；当时，解得； 所以. 故答案为： 4．设，，若函数，的最大值为，但最小值不为，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由，可得，结合正弦函数的最值情况列不等式，解不等式即可. 【详解】设，则， 由已知，则， 又最大值为，但最小值不为， 所以，解得， 故答案为：. 5．函数的单调增区间为 ． 【答案】 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】以为整体，结合正弦函数单调性运算求解. 【详解】令，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为：. 6．设函数，其中，若对任意均有成立，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由题意可得的最小值就是相邻最小值、最大值横坐标之间的距离，等于函数的个周期，从而可求得答案. 【详解】由题意得是函数的最小值，是函数的最大值， 所以的最小值就是相邻最小值、最大值横坐标之间的距离，等于函数的个周期， 故的最小值为． 故答案为：2 7．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则 【答案】 【知识点】辅助角公式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】利用辅助角公式化简后，借助图象结合正弦型函数的周期性、最值计算即可得解. 【详解】， 则由，有，即， 的周期，故，又，故， 则有，解得， 又，故. 故答案为：. 8．关于函数，其中，有下列命题： ①由可得必是π的整数倍； ②的表达式可改写为； ③的图像关于对称； ④的图像关于对称． 其中正确的命题的序号是 ． 【答案】②③ 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据函数求出最小正周期，可知①错；利用诱导公式化简②，判断正误；求出函数的对称中心判定③；对称直线方程判断④的正误；即可得到解答． 【详解】函数的最小正周期，由相邻两个零点的横坐标间的距离是知①错， 利用诱导公式得知②正确， 由于曲线与x轴的每个交点都是它的对称中心， 将代入得， 因此点是图像的一个对称中心，故命题③正确． 曲线的对称轴必经过图像的最高点或最低点，且与y轴平行， 而时，点不是最高点，也不是最低点， 故直线不是图像的对称轴，因此命题④不正确， 故答案为：②③． 9．设，，若不等式对也成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】解正弦不等式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】先由题设结合正弦函数性质得，再结合正弦函数的单调性性质即可得解. 【详解】由题可得，且对任意成立， 又时，， 所以即， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故答案为：. 10．已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由函数在单调性求出函数在值域，由三角函数的图像的性质求出函数在值域，由题意知道在值域包含于在值域，建立不等式，求得范围. 【详解】∵，∴函数在上单调递减，∴时，， ∵，∴，∴，∴， 由题意得，即，∴ 故答案为： 11．已知，，，，函数和的图像如图所示，其中是这两个函数共同的零点，是其中一个函数的零点，则 . 【答案】 【知识点】识别正（余）弦型三角函数的图象、正弦函数图象的应用、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】根据零点的概念，结合三角函数的周期性解题. 【详解】由是函数的零点，可得，即，，取（正半轴的第一个零点）可得； 又是函数的零点，由，得，， 取（正半轴的第四个零点）得，所以，. 故答案为：. 12．对任意均有恒成立，则的最大值为 【答案】2 【知识点】函数不等式恒成立问题、二倍角的余弦公式、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、求含cosx的二次式的最值 【分析】一方面令可以得到，另一方面取满足题意，由此即可得解. 【详解】令，则， 取，则恒成立， 所以的最大值为2. 故答案为：2. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且 只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．下列函数中，与函数的图象形状相同的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】D 【知识点】周期变换及解析式特征、相位变换及解析式特征 【分析】利用三角函数图象形状相同的性质即可得解. 【详解】与函数的图象形状相同，则振幅和周期相同即可， 即； 对于A，中，振幅不相同，故A错误； 对于B，中，振幅不相同，故B错误； 对于C，中，周期不相同，故C错误； 对于D，中，相同，则图象相同，故D正确. 故选：D. 14．已知函数的定义域为，值域为，那么的值为（    ）． A．－6 B．－3 C． D． 【答案】B 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】求得复合三角函数值域即可得解. 【详解】因为，所以，， ，， ∴，， 故选：B． 15．把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【知识点】三角恒等变换的化简问题、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据两角和的正弦函数，将表达式化为一个三角函数的形式，然后根据左加右减的原则，判断平移的方向与单位. 【详解】 ， 则， 将向右平移个单位可得到， 故选：D. 16．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．图象的对称中心为 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 【答案】C 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】利用图象求得的解析式，再结合三角函数的对称轴，对称中心，以及图象变换与解析式的关系，对选项进行逐一分析和判断即可. 【详解】由图可知，的最大值为，又，故； 又，故，又，故， 则； 根据，可得， 则， 又，故当时，满足题意，则； 对A：，故A错误； 对B：令，解得， 令，解得，故B错误； 对C：令，解得，故图象的对称中心为，C正确； 对D：将的图象向左平移个单位长度后， 则得到图象对应的函数为，故D错误； 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. 已知． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数，的单调减区间． 【答案】(1) (2) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性、二倍角的正弦公式 【分析】（1）先得函数解析式，再利用二倍角公式变形，结合正弦型函数的周期公式求解即可； （2）由定义域得的取值范围，根据正弦函数的单调性列不等式，求解即可. 【详解】（1）由，得， 则函数， 故最小正周期为. （2）由，得，； 由，得， 令，解得； 故单调减区间为. 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）. 函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合正弦函数性质得，从而得解. （2）先由平移变换求出函数的解析式，接着由得，再结合正弦函数性质即可得和，从而得解. 【详解】（1）由函数的部分图象可知，， 所以，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以. （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 所以在上的最大值为，最小值为. 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题8分）. 已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)若的图像是由的图像向右平移单位长度得到，则当，求满足实数x的集合. 【答案】(1)，； (2) 【知识点】解正弦不等式、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）令，解出x的范围即可； （2）根据图像平移求出)解析式，结合三角函数图像即可求解不等式. 【详解】（1） 令，，则，， 所以的单调递增区间为，； （2）由题意可得， 由可得，因为，所以， 由正弦函数图像可得， 则，所以x的取值集合为 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. 已知函数，其中． (1)若，，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）由已知确定最小正周期，可得，即可求出函数解析式，再利用整体代入法求的对称中心； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果. 【详解】（1）因为函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为，又，所以，解得， 所以， 令，解得，此时， 所以的对称中心为. （2）依题意可得， ， ，所以或 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点， 的最小值为. （3）由（2）知，， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当， ，，则， 当，，，则， 由可得，又，解得， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 1． 若在上恰好有8个零点，要使最小，则需要恰好为的零点； 2． ，存在，使得，则在定义区间内的值域是值域的子集. 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）. 我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取其定义域中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称为其正弦周期． (1)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期，并指出它的最小正周期； (2)验证是以为周期的正弦周期函数； (3)已知存在这样一个函数，它是定义在上的严格增函数，值域为，且是以为周期的正弦周期函数．若，且存在，使得，求的值． 【答案】(1)是它的一个周期且是最小正周期，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、三角函数新定义 【分析】（1）结合正弦、余弦函数性质由周期函数定义求解； （2）根据正弦周期函数的定义求解； （3）从是严格递增函数，时，进行推理可得． 【详解】（1），易知是它的一个周期， 因为， 下面证明是的最小正周期， 时，是增函数， 时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则，取， 与时，函数的单调性相同，但， 而在这两个区间上单调性相反，假设错误． 所以是的最小正周期． （2）因为， 所以是以为周期的正弦周期函数. 证毕. （3）因为是周期函数，是它的一个周期， ，， 又由题意，, 因为，，是严格递增函数， 所以， 又时，， ，， 因为是严格递增函数， 所以与是一一对应的， 因此，． 【点睛】关键点点睛：新定义题目的解题关键在于读懂所给定义，首先由特殊情况具体问题去结合新定义理解解题，提高对新定义的理解运用的基础上去解决更抽象更一般的问题，其次把握新定义的变形运用能力是关键，对能力要求很高. / 学科网（北京）股份有限公司 $$