第7章 三角函数 易错训练与压轴训练（3易错+7压轴）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（沪教版2020必修第二册）

第7章 三角函数 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 函数左右平移时忽略了的影响 1 易错题型二 函数图象变换时忽视了化统一函数名 2 易错题型三 求函数最值（值域）时忽略了换元换范围 3 压轴题型一 判断函数（局部含三角函数）零点个数问题 4 压轴题型二 根据函数（局部含三角函数）零点个数求参数 6 压轴题型三　三角函数零点的代数和问题 9 压轴题型四 三角函数中存在性问题 12 压轴题型五　三角函数中恒成立问题 14 压轴题型六 三角函数中求取值范围 16 压轴题型七 三角函数中新定义题 17 02 易错题型 易错题型一 函数左右平移时忽略了的影响 例题1：（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数 ，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象．若的图象与的图象关于 轴对称，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 例题2：（江苏省徐州市2024-2025学年高一上学期期末抽测数学试题）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高三上·广西·期末）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．1 易错题型二 函数图象变换时忽视了化统一函数名 例题1：（23-24高二上·云南昆明·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 例题2：（23-24高一上·重庆·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 巩固训练 1．（2024·全国·模拟预测）若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南楚雄·一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 易错题型三 求函数最值（值域）时忽略了换元换范围 例题1：（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数的最小正周期为. (1)求的单调递减区间； (2)若，求在上的值域. 例题2：（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值. 巩固训练 1．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时x的集合： (1)，； (2)，． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的值域． (1)，； (2)，. 03 压轴题型 压轴题型一 判断函数（局部含三角函数）零点个数问题 例题1：（24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数（其中常数）． (1)若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间； (2)若，，求函数的值域及零点． 例题2：（24-25高一·上海·随堂练习）试对实数a的不同取值，讨论方程在上的解的个数． 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·期末）设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． (1)求函数的表达式； (2)若，且为锐角，求； (3)设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 2．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，. (1)求的解析式； (2)求在上的单调增区间； (3)设，证明：函数在上必有零点. 压轴题型二 根据函数（局部含三角函数）零点个数求参数 例题1：（24-25高一上·江苏镇江·期末）给出以下三个条件：①函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为；②；③对任意的.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并解答该题. 已知函数，且满足_____________. (1)求的值；并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象； (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将此时图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 例题2：（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数，其中. (1)若的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时的值域； (2)若函数在开区间内恰有个零点，求的取值范围. 例题3：（24-25高一上·天津·阶段练习）已知 (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)若，，求的值; (3)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围 巩固训练 1．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数的最小正周期T及的解析式； (2)求函数的对称轴方程及单调递增区间； (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围. 2．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数， (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知函数，． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)当时，方程恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围 压轴题型三　三角函数零点的代数和问题 例题1：（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知用“五点法”画函数在一个周期上的图象时，列表如下： 0 0 0 0 (1)求的解析式； (2)将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①求在上的单调增区间； ②若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求的值. 例题2：（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数的相邻两对称轴之间的距离为. (1)求的解析式、单调递增区间； (2)将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，试确定n的值，并求的值. 例题3：（24-25高一上·山东·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)方程在上的两解分别为，求和的值. 巩固训练 1．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知函数，（其中，）的最小正周期为，它的一个对称中心为. (1)求函数的解析式； (2)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； (3)若方程在上的解为、，求. 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的值域； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 3．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）如图是函数图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)记方程在上的根从小到大依次为，若．试求n与m的值． 压轴题型四 三角函数中存在性问题　 例题1：（24-25高三上·湖南郴州·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)若在区间上存在最小值，求实数的取值范围. 例题2：（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若在上存在最小值，求实数的取值范围. 巩固训练 1．（24-25高一上·天津河北·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若函数在存在零点，求实数的取值范围. 2．（24-25高一上·天津·期末）若函数图象的相邻对称轴距离为，且. (1)求的解析式和单调减区间； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 压轴题型五　三角函数中恒成立问题 例题1：（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数，且函数． (1)求函数的解析式； (2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 例题2：（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度得到的图象． (1)求的解析式； (2)若对任意，，恒成立，求m的取值范围． 巩固训练 1．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数，，最小正周期. (1)求的解析式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 2．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，对任意，当时，的最小值为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，图象关于轴对称． (1)求： (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围． 压轴题型六 三角函数中求取值范围　 例题1：（23-24高二下·北京·期中）已知函数，若，，使得，则正数的最小值为 . 例题2：（2024高一下·上海·专题练习）已知函数在区间上没有零点，则的最大值为 ． 例题3：（2024上海金山·一模）已知函数()在区间上是严格增函数，且其图像关于点对称，则的值为 ． 巩固训练 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 2．（23-24高三上·上海宝山·期末）若对于任意自然数，函数在每个闭区间上均有两个零点，则正实数的最小值是 . 3．（23-24高一下·上海长宁·期末）已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是 ． 压轴题型七 三角函数中新定义题 例题1：（23-24高一下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足 ， (其中表示正整数)的点P(x,y)称为函数的“正格点”. (1)写出当 时， 函数，图象上所有正格点的坐标; (2)若函数，，与函数的图象有正格点交点， 求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由. (3)对于 (2) 中的m值和函数， 若当 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 例题2：（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在使得，则称函数在区间上具有性质， (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求的取值范围； (3)已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质， 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知定义在上的函数，集合. (1)若，是否存在实数k，使得，如果存在，求k；如果不存在，说明理由； (2)若，且当时，，求函数在的函数解析式； (3)若，是否存在一次函数，使，其中，说明理由. 2．（23-24高一下·上海·开学考试）已知函数的定义域为，若对于给定的非零实数，存在使得成立，则称函数具有性质. (1)已知，判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)已知，若函数，具有性质，求正实数的取值范围； (3)已知函数，的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数，具有性质. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 三角函数 易错训练与压轴训练 01 目录 易错题型一 函数左右平移时忽略了的影响 1 易错题型二 函数图象变换时忽视了化统一函数名 3 易错题型三 求函数最值（值域）时忽略了换元换范围 5 压轴题型一 判断函数（局部含三角函数）零点个数问题 8 压轴题型二 根据函数（局部含三角函数）零点个数求参数 13 压轴题型三　三角函数零点的代数和问题 21 压轴题型四 三角函数中存在性问题 31 压轴题型五　三角函数中恒成立问题 35 压轴题型六 三角函数中求取值范围 41 压轴题型七 三角函数中新定义题 44 02 易错题型 易错题型一 函数左右平移时忽略了的影响 例题1：（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数 ，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象．若的图象与的图象关于 轴对称，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、函数图象的变换、二倍角的正弦公式、辅助角公式 【分析】先化简，再根据图像的平移求出，最后再根据的图象与的图象关于 轴对称列式求解. 【详解】由题意得， 所以， 因为的图象与的图象关于 轴对称， 所以，即， 所以或（不合题意）， 解得：，又因为，所以的最小值为. 故选：B 例题2：（江苏省徐州市2024-2025学年高一上学期期末抽测数学试题）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据三角函数的图象变换，准确运算，即可求解. 【详解】将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 可得：， 再将得到的图象向左平移个单位长度可得：， 故选：C 巩固训练 1．（24-25高三上·广西·期末）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】首先根据函数的性质求的集合，再根据三角函数的最小正周期公式，即可求解. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 函数的图象关于直线对称， 所以，得, 所以的最小值是4，则的最小正周期的最大值为. 故选：A 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据图象平移写出解析式，进而求函数值. 【详解】将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍，则， 再向右平移个单位长度，则， 所以． 故选：A 易错题型二 函数图象变换时忽视了化统一函数名 例题1：（23-24高二上·云南昆明·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【知识点】相位变换及解析式特征、诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论. 【详解】因为 ， 所以，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度， 故选：D. 例题2：（23-24高一上·重庆·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【知识点】相位变换及解析式特征 【分析】根据诱导公式得，即可根据平移的性质求解. 【详解】，所以需要将函数的图象向左平移个单位， 故选：A 巩固训练 1．（2024·全国·模拟预测）若函数的图象向左平移个单位长度后，其图象与函数的图象重合，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相位变换及解析式特征、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】利用三角函数图象的平移变换，代入计算即可. 【详解】由题可得的图象与函数的图象重合， 则，即，， 解得，，故的值可以为. 故选：D． 2．（2024·云南楚雄·一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、相位变换及解析式特征 【分析】由正弦函数的平移法则以及周期性可得，结合即可求解. 【详解】由题意可得 ，∴，，解得，， 又，∴当时，取得最小值为5． 故选：D. 易错题型三 求函数最值（值域）时忽略了换元换范围 例题1：（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数的最小正周期为. (1)求的单调递减区间； (2)若，求在上的值域. 【答案】(1)， (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由辅助角公式将函数化简，再由其周期即可的带，结合正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果； （2）由三角恒等变换公式将函数解析式化简，再由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题得，又， 所以的最小正周期，解得，故， 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，. （2）由题得 ， 当时，，由的性质可知， 所以，所以在上的值域为. 例题2：（23-24高一下·广东阳江·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1)，； (2)最大值2，最小值. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式 【分析】（1）利用二倍角的正弦、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解作答. （2）在给定条件下求出（1）中函数的相位，再利用正弦函数的性质求解作答. 【详解】（1）依题意，， 所以函数的最小正周期； 由，得， 所以的单调递增区间是. （2）由（1）知，，由，得， 当，即时，有最大值， 当时，即时，有最小值. 巩固训练 1．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时x的集合： (1)，； (2)，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】求已知指数型函数的最值、求含cosx的二次式的最值、判断指数函数的单调性、求cosx(型)函数的值域 【分析】（1）先根据三角函数求最值，再结合复合函数单调性求解自变量； （2）先应用同角三角函数关系换元，结合二次函数性质求出最值. 【详解】（1）因为，令 又因为,单调递增， 所以当,即时，; 当,即时，. （2）因为, 令 开口向上，关于对称， 当,即时，; 当，即时， 2．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的值域． (1)，； (2)，. 【答案】(1)； (2). 【知识点】二倍角的余弦公式、求含cosx的二次式的最值、求cosx(型)函数的值域 【分析】（1）令，根据余弦函数的性质即可求解； （2）根据二倍角公式可得，令，，由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 令， 则，. ①当时，y取最大值4； ②当或时，y取最小值. 故函数，的值域为. （2），. 令，， 则，， ∴当时，y取最小值； 当时，y取最大值3. 故函数，的值域为. 03 压轴题型 压轴题型一 判断函数（局部含三角函数）零点个数问题 例题1：（24-25高三上·上海闵行·期中）已知函数（其中常数）． (1)若函数的最小正周期是，求的值及函数的单调递增区间； (2)若，，求函数的值域及零点． 【答案】(1)，； (2)；. 【知识点】二倍角的余弦公式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，结合三角函数的性质计算即可； （2）利用（1）化简得函数解析式，利用整体思想及三角函数的性质求值域与零点即可. 【详解】（1）由， 若函数的最小正周期是，则，即，所以， 令，解之得， 所以函数的单调递增区间为； （2）由（1）知：，若，则， 则时，有，则， 故，函数值域为， 而在上，只有，即， 即函数的零点为. 例题2：（24-25高一·上海·随堂练习）试对实数a的不同取值，讨论方程在上的解的个数． 【答案】当或时，原方程无解； 当或时，原方程有两个解； 当或时，原方程有唯一解． 【知识点】辅助角公式、正弦函数图象的应用 【分析】利用辅助角公式化简方程，做函数的图象，结合图象求. 【详解】化简得，，  ， 方程在的解的个数与函数， 的图像和函数的图像的交点的个数相同， 作函数，的图象， 结合图像可得， 或，原方程无解； 或时，原方程有两个解； 或，原方程有唯一解． 故：当或时，原方程无解； 当或时，原方程有两个解； 当或时，原方程有唯一解． 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·期末）设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． (1)求函数的表达式； (2)若，且为锐角，求； (3)设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 【答案】(1) (2) (3)；函数在区间上恰有个零点 【知识点】正、余弦齐次式的计算、由对称性求函数的解析式、求函数零点或方程根的个数、根据零点求函数解析式中的参数 【分析】（1）根据正弦函数对称轴方程即可求解. （2）利用二倍角的正切公式求出，再利用正弦形式的倍角公式、分母为“1”将变形后弦化切即可求解. （3）根据零点定义令得，再数形结合根据函数图像性质可求解. 【详解】（1）由题意， 所以，故，又， 所以，故. （2）因为，且为锐角， 所以 故由（1）. （3）由（1）， 令， 则函数在区间上恰有奇数个零点 在区间有奇数个解， 因为，最小正周期为，如图， 故由图像特征以及周期性质可知， 只有当时其在区间才有奇数个解， 此时，两边平方解得， 故此时或， 由图可知时有个解；时，有个解， 所以函数在区间上恰有个零点. 【点睛】易错点睛：在算函数在区间上的零点个数时，易漏算时这一组解导致零点个数算错. 2．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，. (1)求的解析式； (2)求在上的单调增区间； (3)设，证明：函数在上必有零点. 【答案】(1) (2)和 (3)证明过程见解析 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求sinx的函数的单调性、零点存在性定理的应用 【详解】（1）因为图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，， 所以该函数的最小正周期为，且， 又因为， 所以由， 把代入解析式中，得， 又因为，所以令，即，因此； （2）由， 因为， 所以令，得，即，而， 所以； 令，得，即，而， 所以 所以函数在上的单调增区间为，和； （3）， 当时，， 则，且在上的图象为一条连续不间断的曲线， 所以根据函数零点存在原理，函数在上必有零点. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是在利用函数零点存在原理时特殊点的选取. 压轴题型二 根据函数（局部含三角函数）零点个数求参数 例题1：（24-25高一上·江苏镇江·期末）给出以下三个条件：①函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为；②；③对任意的.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并解答该题. 已知函数，且满足_____________. (1)求的值；并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象； (2)将函数的图象向右平移个单位后，再将此时图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)，图象见解析； (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）①根据两相邻对称轴之间的距离与周期的关系计算可得结果； ②代入函数值计算再结合，可得结果； ③依题意可知在处取得最大值，代入计算即可； （2）利用平移规则可得，再根据函数与方程的思想画出图象根据交点个数可得实数的取值范围. 【详解】（1）若选择①，可知两条相邻对称轴之间的距离为半个周期，即， 可得； 若选择②，由可得，因此； 解得，又，所以满足题意； 若选择③，由对任意的可得取得最大值，即； 即，解得； 又，可得满足题意； 因此，列表取值如下： 描点连线得到图象如下：    （2）将函数的图象向右平移个单位可得； 再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得， 当时，，所以； 画出在上的图象，如下图：      若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解， 即为函数与函数在上有且只有一个交点， 由图可得当或时，满足题意； 因此实数的取值范围为. 例题2：（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数，其中. (1)若的图象相邻两条对称轴之间的距离为，求当时的值域； (2)若函数在开区间内恰有个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦函数图象的应用、求cosx(型)函数的值域、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）根据题意得出函数的最小正周期，可求出的值，然后利用余弦型函数的基本性质可求出函数在上的值域； （2）由可求出的取值范围，结合余弦函数的基本性质可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为， 因为，则，所以，， 当时，，则， 则， 因此，当时的值域为. （2）当时，， 因为函数在开区间内恰有个零点，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 例题3：（24-25高一上·天津·阶段练习）已知 (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)若，，求的值; (3)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围 【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间是 (2) (3) 【知识点】正弦函数图象的应用、求sinx型三角函数的单调性、诱导公式五、六、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）根据三角函数的性质求最小正周期和单调递减区间； （2）利用诱导公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解； （3）首先设，再转化为与有2个交点，求参数的取值范围. 【详解】（1）的最小正周期是， 令， 得， 所以函数的单调递减区间是. （2），得， ， 因为，所以， 所以， 即. （3），则， 若函数在区间上有2个零点，即与在区间有2个交点， 如图， 即，得. 巩固训练 1．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数的最小正周期T及的解析式； (2)求函数的对称轴方程及单调递增区间； (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围. 【答案】(1)， (2)对称轴为：（），增区间为：（） (3) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）根据图象以及三角函数对称性可求得周期，再由经过的点坐标可得解析式； （2）利用整体代入法根据正弦函数的对称轴方程以及单调区间即可求解； （3）由平移规则得出的解析式并画出图象，再由数形结合可得结果. 【详解】（1）由题意，， 则，所以， 又因为图象过点，所以，可得； 而，则， 于是. （2）结合图象可知，函数的对称轴为（）， 令，，解得，， 即函数的增区间为（）. （3）的图象向右平移个单位长度得到：，于是，如图所示： 因为在上有两个解，所以，即； 即a的取值范围为. 2．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知函数， (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)的最小正周期为，单调递增区间为， (2)的最大值和最小值分别为， (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式即可求出周期，再由的单调增区间，整体代入即可求解； （2）令，从而得到，再利用的图象与性质，即可求解. （3）转化为在上有两个解，求出，结合正弦函数性质得到，求出答案. 【详解】（1）因为，所以的最小正周期为， 令，，求得，， 可得的单调递增区间为，． （2）由题意，则令，则， 又时，，得到， 故的最大值和最小值分别为，； （3）在区间上有两个零点， 等价于在上有两个解，即在上有两个解， 由，得， 要想在上有两个解， 则，解得， 故的取值范围为. 3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知函数，． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)当时，方程恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【知识点】正弦函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据正弦函数的单调性求解即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； （3）转化问题为函数与函数的图象有两个公共点，进而结合正弦函数的图象性质求解即可. 【详解】（1）因为，， 由正弦函数的单调性可令， 解之得， 即的单调递增区间为； （2）当时，， 由正弦函数的单调性可知： 当，即时，取得最小值， 当，即时，取得最大值， 故当时，的最大值为，最小值为. （3）由（1）知，函数的单调递增区间为， 函数的的最小正周期为， 则函数的单调递减区间为， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 且，， 所以当时，函数与函数的图象有两个公共点， 即当时，方程恰有两个不同的实数根. 所以实数k的取值范围为. 压轴题型三　三角函数零点的代数和问题 例题1：（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知用“五点法”画函数在一个周期上的图象时，列表如下： 0 0 0 0 (1)求的解析式； (2)将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象. ①求在上的单调增区间； ②若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求的值. 【答案】(1) (2)①；②. 【知识点】正弦函数图象的应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据表格中的数据，确定最值和周期，即可求解函数解析式的参数，即可求解； （2）①首先根据三角函数图象的平移和伸缩规律，确定函数的解析式，再结合函数的性质确定函数的单调区间；②将方程的实数根，转化为函数图象的交点问题，根据①的结果，利用换元法转化为与的交点问题，利用对称性，即可求解. 【详解】（1）由题意得， ，所以. 所以. 因为，所以，即， 因为，所以. 所以. （2）①将图象上所有点向右平移个单位长度后得到的图象， 再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象， 所以， 令，得， 又，所以在上的增区间为. ②令，因为，所以. 由得，即. 因为方程在上有四个不相等的实数根， 所以方程在上有四个不相等的实数根， 所以，且，， 所以，，所以， 所以. 例题2：（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数的相邻两对称轴之间的距离为. (1)求的解析式、单调递增区间； (2)将函数的图像向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，试确定n的值，并求的值. 【答案】(1)， (2) (3)， 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、正弦函数对称性的其他应用、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）利用三角恒等变换化简的表达式，结合其周期以及奇偶性求得参数，即得函数解析式，根据正弦函数的单调性求得的单调递增区间； （2）利用函数的图象变换法则，化简函数的解析式，然后求解函数的最值即可； （3）将化简，结合正弦函数的图象，根据其对称性即可求得答案. 【详解】（1）由题意得， 因为图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，所以， 所以函数； 令，解得， 则的单调递增区间为：； （2）将函数的图像向右平移个单位长度，得到的图象， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则， 因为，所以，所以， 所以，故函数的值域为； （3）由方程，即，即， 因为，可得，设，其中，即， 结合正弦函数的图象： 可得方程在区间有5个解，即， 其中， 即， ， 解得， 所以. 例题3：（24-25高一上·山东·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)方程在上的两解分别为，求和的值. 【答案】(1) (2)， 【知识点】正弦函数对称性的其他应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式、特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据图象求出，最小正周期，得到，再代入特殊点函数值求出，得到函数解析式； （2）根据题意得到，结合，由对称性得到，从而得到，并由诱导公式得到. 【详解】（1）从图象可得，的最小正周期， 又，故， 将代入中得，， 即，解得， 因为，所以， ； （2）由题意得，， ，则， 则， 且，故， 故， . 巩固训练 1．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知函数，（其中，）的最小正周期为，它的一个对称中心为. (1)求函数的解析式； (2)当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； (3)若方程在上的解为、，求. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦函数图象的应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、函数与方程的综合应用、诱导公式五、六 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得的值，利用正弦型函数的对称性结合的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式； （2）解法一：由可得，问题等价于与的在内的图象有两个不同的交点，数形结合可得出实数的取值范围； 解法二：由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围； （3）由正弦型函数的对称性可得出，且，利用诱导公式可求得的值. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为，所以， 所以，，则， 因为函数的一个对称中心为， 则，则， 因为，所以，，故. （2）解法一：当时，， 所以，当时，方程有两个不等的实根， 等价于当时，方程有两个不等的实根， 即与的在内的图象有两个不同的交点， 如图可知，解得，即实数的取值范围为. 解法二：由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点， 作与的图象， 如图，可知，解得，即实数的取值范围为. （3）因为，则，由可得， 由图知，点与点关于直线对称，所以，， 且， 所以， . 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的值域； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【答案】(1)最小正周期为， (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期，利用正弦函数的单调区间，求出函数的单调增区间； (2)根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域； (3)根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，借助正弦函数的对称性，求得，的关系，代入求解. 【详解】（1） 即， 最小正周期为，，解得， 故单调递增区间为. （2）由，，， 所以在区间上的值域为. （3）由，， 的两个解为， .则，，，， 所以. 3．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）如图是函数图象的一部分 (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)记方程在上的根从小到大依次为，若．试求n与m的值． 【答案】(1) (2)单调增区间为，单调减区间为 (3)； 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）由图可得函数的最值与周期，代入最高点，可得答案； （2）根据正弦函数的单调区间，利用复合函数单调性，可得答案； （3）根据三角函数的周期性与对称性，可得答案. 【详解】（1）由，则，由，则，解得， 可得，由，则， 即，由，则， 故. （2）由， 令，解得； 令，解得. 故函数的单调增区间为，单调减区间为. （3）由，则，易知方程在每个周期存在两个根，故， 令，解得，则函数的对称轴为， 易知，，，所以. 压轴题型四 三角函数中存在性问题　 例题1：（24-25高三上·湖南郴州·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)若在区间上存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】（1）根据正弦型函数的最值、最小正周期、取最大值时的值确定解析式的从而得的解析式； （2）根据函数的最值与正弦函数的图象性质列不等式求解实数的取值范围即可. 【详解】（1）由图可得， 由，则最小正周期，即， 又当时，取到最大值，则， 所以，又，所以， 所以； （2）当时，， 若函数在区间上存在最小值，则或，解得或， 所以实数的取值范围为. 例题2：（24-25高一上·吉林长春·期末）已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若在上存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式化简函数，令，解得函数递减区间； （2）求出函数的对称轴，由（1）可知函数的单调区间，结合对称性得出函数有最小值的条件. 【详解】（1）， ， ， ， 令，则， 即的单调递减区间为：. （2）令，解得， 即是函数的对称轴， 又由（1）可知函数在区间上单调递增， 结合对称性可知当时，， 此时函数在上不存在最小值， 当时，， 在区间上最小值 或者在处取得， 或者在整个函数的最低点处取得， 当时，，即时取得最小值， 所以实数的取值范围. 巩固训练 1．（24-25高一上·天津河北·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若函数在存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期； （2）利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区间； （3）由参变量分离法可得，则实数的取值范围即为函数在时的值域，利用正弦型函数的基本性质求解即可. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期为. （2）令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. （3）因为函数在存在零点， 即方程在上有解， 所以，实数的取值范围即为函数在时的值域. 当时，，故， 所以，即，故实数的取值范围为. 2．（24-25高一上·天津·期末）若函数图象的相邻对称轴距离为，且. (1)求的解析式和单调减区间； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的最值、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）根据相邻对称轴距离可求出周期，进而求出，再根据求出.利用余弦函数的单调性求解单调递减区间即可. （2）先求出在上的最大值，然后解关于的不等式即可. 【详解】（1）因为函数图象的相邻对称轴距离为， 所以，则，那么，则. 又因为，即. 由于，，所以，解得. 综上，.    令. 得，即. 所以的单调减区间是. （2）当时，. 当，即时，取得最大值. 因为存在，使得不等式成立，所以. 即，解得不等式解集为，即实数的取值范围是. 压轴题型五　三角函数中恒成立问题 例题1：（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数，且函数． (1)求函数的解析式； (2)若存在，使等式成立，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、函数不等式恒成立问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）由题设直接计算即可； （2）先求出时，令，从而将题设等价转化为存在，使得即成立，再由对勾函数的性质即可求解. （3）先由题设得时，，进而分三种情况分析即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 . （2）由（1）， 若，则，所以， 令，则， 那么若存在，使等式成立， 即为存在，使得即成立， 当时，；当时，可得；当时，. 因为函数在上单调递减，在单调递增， 所以m的最小值为，的最大值为3， 所以实数的取值范围为； （3）当时，不等式恒成立，即恒成立； 所以当时，， 当时，，， 所以， 若时，显然恒成立； 若时，当时，，分别取得最小值， 所以当时，也取得最小值，即成立， 故可得，解得； 当时，时，取得最小值，取得最大值， 则取得最小值， 即成立，得，. 综上可得：的范围是. 例题2：（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度得到的图象． (1)求的解析式； (2)若对任意，，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据函数图象，依次求得，从而求得的解析式. （2）求得在区间上的最小值，在区间上的最大值，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由图象可知，，所以， 即， 又，所以， 得，即， 因为，所以， 故， 由，可得， 所以. （2）由（1）得， 将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到， 再向左平移个单位长度得到， 由可得，对任意，恒成立， 所以只需， 当时，，故， 当时，，故， 所以. 巩固训练 1．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数，，最小正周期. (1)求的解析式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由得，利用周期求得，即可求得解析式； （2）当时，，令，原不等式转化为时，恒成立，令，则，由对勾函数的性质可求得的最大值，即可得解. 【详解】（1）由题知，，即， 又，所以，因为，所以，故； （2）当时，，所以， 所以， 令，则当时，恒成立， 等价于时，恒成立，， 因为， 令，则， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以 ， 所以，即实数的取值范围为. 2．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数，对任意，当时，的最小值为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，图象关于轴对称． (1)求： (2)已知，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数、求cosx（型）函数的最值、求图象变化前（后）的解析式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据题意求得，得到，结合三角函数的图象变换得到，根据图象关于轴对称，得出，即可求解； （2）根据的表达式，结合给定的不等式的条件，求解实数的取值范围． 【详解】（1）解：当时，的最小值为， 所以， 可得， 将的图象向左平移个单位长度得到的图象， ，因为图象关于轴对称， ，， 由于，取，得． （2）由（1）得到， 由题意，当时，恒成立， 可以转化为，， 化简得到：， ，所以， ， ， 故且，又， 解得： 所以的取值范围为． 压轴题型六 三角函数中求取值范围　 例题1：（23-24高二下·北京·期中）已知函数，若，，使得，则正数的最小值为 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据正弦函数的有界性可得函数在上能取到最大值和最小值，从而利用正弦函数性质得，求解即可. 【详解】若，，使得，则，或， 即函数在上能取到最大值和最小值， 因为，所以，所以，所以， 即正数的最小值为. 故答案为： 例题2：（2024高一下·上海·专题练习）已知函数在区间上没有零点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】三角函数图象的综合应用 【分析】根据题意，由函数在区间上没有零点，得到，从而求得，然后根据余弦函数的性质，即可求解. 【详解】由函数在区间上没有零点， 可得，解得， 因为，可得， 则满足，即， 当时，显然不符合题意；当时，可得；当时，不符合题意， 综上可得，满足题意的的取值范围为，即的最大值为． 故答案为：． 例题3：（2024上海金山·一模）已知函数()在区间上是严格增函数，且其图像关于点对称，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】根据增函数和对称中心特征，求出范围，进而得到答案. 【详解】因为，则，函数()在区间上是严格增函数， 所以，即； 又因为的图像关于点对称，则（），则（）， 所以（），解得（）， 结合，所以或. 故答案为：或. 巩固训练 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】运用正余弦二倍角公式及辅助角公式化简，由已知条件结合正弦函数性质可得结果. 【详解】因为， 因为的图象在上有且仅有两条对称轴，所以， 解得，所以的取值范围是． 故答案为：. 2．（23-24高三上·上海宝山·期末）若对于任意自然数，函数在每个闭区间上均有两个零点，则正实数的最小值是 . 【答案】 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据整体法可得零点满足，即可利用时，，求解符合条件的结合周期性验证所求满足其他区间即可. 【详解】令,则， 函数的零点 ， 当时，，此时符合条件的两个零点为故， 故，解得， 当 时，的零点为， 因此零点为，结合三角函数的周期性可知：满足每个闭区间上恰好有两个零点。 故答案为： 3．（23-24高一下·上海长宁·期末）已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】正弦函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由 的范围, 可得 的范围, 由题意可得 的范围, 进而求出 的范围. 【详解】因为 , 所以 , 要使函数有 5 个零点, 则 , 解得 的范围为 . 故答案为: . 压轴题型七 三角函数中新定义题 例题1：（23-24高一下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足 ， (其中表示正整数)的点P(x,y)称为函数的“正格点”. (1)写出当 时， 函数，图象上所有正格点的坐标; (2)若函数，，与函数的图象有正格点交点， 求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由. (3)对于 (2) 中的m值和函数， 若当 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)，4,理由见解析 (3) 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数不等式恒成立问题、对数函数图象的应用、正弦函数图象的应用 【分析】(1)由，得，即可求相应正格点的坐标； (2)作出两个函数图象，根据图象可得正格点交点只有一个点为，从而有，求得，得出交点的个数； (3)结合(2)的图象，分类讨论的情况. 【详解】（1）因为，所以，所以函数的正格点为，…，，… （2）作出两个函数图象．如图， 可知函数，与函数的图象只有一个“正格点”交点． ∴，又可得． 根据图象可知，两个函数图象的所有交点个数为4个． （3）由（2）知， 所以，所以，故； 当时，不等式不能恒成立； 当时，由下图可知， 由，解得. 所以实数a的取值范围是. 例题2：（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的定义域为区间，若对于给定的非零实数，存在使得，则称函数在区间上具有性质， (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求的取值范围； (3)已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质， 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】函数新定义、零点存在性定理的应用、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】（1）利用性质的定义求得，从而得解； （2）利用性质的定义，结合三角函数的性质求得，分析的范围即可得解； （3）构造函数，根据条件得到，分类讨论其中一个为或都不为的情况，结合零点存在定理即可得证. 【详解】（1）函数在上具有性质，理由如下： 若，则， 因为，且， 所以函数在上具有性质. （2）由题意，存在，使得， 得（舍去）或， 则得， 因为，所以， 又因为且， 所以，即所求的取值范围是. （3）设，， 则有， 由，得， 当有一个为0时，或， 则函数在区间上具有性质. 当均不为0时，由于其和为0， 则必然一正一负，即， 由于函数的图像是连续不断的曲线， 由零点存在性定理得存在，使得， 即，所以函数在区间上也具有性质， 综上所述，函数在区间上具有性质. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 巩固训练 1．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知定义在上的函数，集合. (1)若，是否存在实数k，使得，如果存在，求k；如果不存在，说明理由； (2)若，且当时，，求函数在的函数解析式； (3)若，是否存在一次函数，使，其中，说明理由. 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) (3)存在，理由见解析 【知识点】函数的周期性的定义与求解、函数新定义、已知函数类型求解析式 【分析】 （1）根据定义在上的函数满足的性质，假设存在实数k，结合三角函数性质推出矛盾，即可得结论； （2）由函数新定义可得，推出，结合当时，，即可求得答案； （3）假设存在一次函数，结合函数新定义，推出，从而令，可得到，即得结论. 【详解】（1）假设存在实数k，使得，即， 则，由于等式恒成立， 所以，二者不可能同时成立，故假设不成立， 故不存在实数k，使得； （2）由题意得，即， 即， 当时，， 故当时，，则； （3）由题意知，即， 假设存在一次函数，使， ，则， 则， 故， 令，则（右侧为常数），则， 两式作差并整理得成立，即存在一次函数，使. 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数的新定义问题，解答的关键是理解函数新定义的含义，即明确定义在上的函数所满足的性质，并由此结合函数的周期性去解决问题. 2．（23-24高一下·上海·开学考试）已知函数的定义域为，若对于给定的非零实数，存在使得成立，则称函数具有性质. (1)已知，判断函数是否具有性质，并说明理由； (2)已知，若函数，具有性质，求正实数的取值范围； (3)已知函数，的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数，具有性质. 【答案】(1)具有，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】零点存在性定理的应用、函数新定义、求函数的零点、正弦函数对称性的其他应用 【分析】（1）假设具有性质，即可得到存在使得成立，从而得到方程，解得即可； （2）依题意可得，即可求出的取值，求出的最小正值，即可求出的取值范围； （3）构造函数，利用零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）若具有性质，则存在使得成立， 即，解得； 所以具有性质. （2）存在使得，即， 这等价于或者， 即，最小正解为， 此时， 故实数的取值范围是； （3）构造函数，则其图象也是连续不断的曲线， 所以，，， ，，， 累加可得. 若中有零，则已得证， 若均不为零，则必然有正有负，可设，其中，， 由零点存在性定理可知：必存在使得， 即，其中和均属于，命题得证. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，关键是理解定义，本题实际即证明方程有解问题，以及由方程有解求参数的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $$