江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程的二次项系数为(    ) A. 3 B. C. D. 0 2.已知五个数据：2，2，x，5，8的平均数是4，现增加了一个数据后的平均数仍不变，则增加的这个数据是(    ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 5 3.用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角，自动扶梯的长度米.则该自动扶梯的高度BC等于(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5.如图，是的外接圆，连接OA，OC，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.下列关于二次函数的图象的性质描述，其中正确的是(    ) A. 图象开口向上 B. 图象顶点为 C. 图象可由函数的图象平移得到 D. 图象与y轴交点为 7.如图，在的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上正方形的顶点即格点，若是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在上的是(    ) A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N 8.已知二次函数为常数的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.求值：______. 10.若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为______. 11.九年级班50名学生的年龄情况如下表所示单位：岁，则该班级学生年龄的中位数为______岁. 年龄 14 15 16 17 人数 3 21 25 1 12.如图，正六边形ABCDEF飞镖游戏板，对角线AD，CF相交于点假设飞镖投中游戏板上的每一点是等可能的若投中各区域的边界线或没有投中游戏板，则重投1次，现向该游戏板随机投掷飞镖1次，则飞镖投中阴影区域的概率是______. 13.已知a，是方程的两个实数根，则代数式的值为______. 14.中国瓦当的发展历程悠久，其艺术风格和功能随着历史时期的变化而演变.现有一瓦当，它的一面是呈扇形的一部分，如图1所示，其中两边AB，CD所在直线构成的夹角，点O是扇形所在圆的圆心，，，如图2所示，则该瓦当此面的面积为______结果保留 15.已知抛物线为常数，且上两点，，当时，恒成立，则t的取值范围是______. 16.如图，中，，，，将绕点C旋转得到，点A，B的对应点分别为点D，E，连接AD，若点M，N分别是BC，AD的中点，连接MN，则MN长度的取值范围是______. 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题5分 解方程： 18.本小题6分 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根. 求m的取值范围； 若其中一个根是另一个根的2倍，求m的值. 19.本小题6分 如图，等腰中，，过点B作于点D，， 求AB的长； 求的值. 20.本小题6分 某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地ABCD改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示.已知米，米，且停车区域即阴影部分的面积为880米，求道路的宽度米 21.本小题8分 已知二次函数是常数，，其中两个变量x与y的部分对应值如下表所示： x … m 1 … y … 0 0 … 则______； 求该二次函数的表达式； 当时，则y的取值范围是______. 22.本小题8分 为了增强学生保护环境的意识，在6月5日“世界环境日”当天，某校在七、八年级举行了环保知识竞赛，现从七、八年级所有参赛学生中各随机抽取了10名学生的成绩百分制进行整理和分析，部分信息如下所示：[说明：七、八年级全体参赛学生的竞赛成绩分成了A，B，C，D四个分数段，各分数段成绩取值范围为成绩用x表示，单位：分：，，， 【收集数据】 七年级10名同学竞赛成绩如下：75，84，78，72，91，79，86，69，72， 八年级10名同学竞赛成绩中落在C分数段的成绩如下：80，82，82，84， 【整理数据】七、八年级各10名学生竞赛成绩在四个分数段的分布如下表所示： 成绩分 A B C D 七年级 1 5 2 2 八年级 0 4 5 1 【分析数据】七、八年级各10名学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 a 八年级 80 b 82 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： 填空：______，______. 若该校七年级共有300名学生参加了知识竞赛，请估计七年级所有参赛学生中成绩达优良满足即为优良的人数. 根据以上数据分析，你认为哪个年级所抽取的10名学生竞赛成绩更好？请说明理由. 23.本小题8分 如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接 用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得保留作图痕迹； 在的条件下，连接PB，PC，若，，求四边形ABPC的面积. 24.本小题7分 如图，转盘A，B中的各个扇形的面积分别相等，转盘A的3个扇形中分别标有数字1，2，3，转盘B的3个扇形中分别标有数字4，5， 现任意转动转盘A1次若指针落在扇形的边界线上，则重转1次，当转盘停止转动时，则指针落在标有数字1的扇形的概率为______； 现任意转动转盘A，B各1次若指针落在扇形的边界线上，则重转1次，当转盘停止转动时，求转盘A，B的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的概率请用画树状图或列表等方法说明理由 25.本小题8分 如图1，一扇推拉式窗户，AB为固定的窗框底边，AC为该窗户开启的下沿一边，可绕点A旋转一定角度，MN为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边AC上的点M处，另一端点N在窗框底边AB上滑动窗户关闭时，AC，MN叠合在AB边上，支撑杆MN的长度固定不变.窗户打开一定角度后，AC即与AB构成一个旋转角，其俯视平面图如图2所示，窗户的旋转角的大小控制在一定范围内， 现将窗户打开至旋转角时，第一次测得，求此时AN的长； 在的基础上，继续打开窗户，即AC绕点A逆时针旋转，旋转角从开始逐渐增大，旋转后点M，N的对应点分别为点，，直至第二次测得时停止，求端点N在此过程中滑动的长度结果均保留根号 26.本小题10分 如图1，中，D为AB边上一点，连接CD，，以AD为直径的恰好经过点 求证：BC是的切线； 若， ①求的半径r； ②如图2，若点E是的中点点E，C在直径AD的异侧，连接CE，求CE的长. 27.本小题10分 如图，已知二次函数是常数，且的图象与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，并将图象中位于y轴左侧的部分作关于y轴的对称图象，该对称图象记为图象 则点A坐标为______，点 B坐标为______； 若直线l：是常数交图象于点D，点D在点E的左侧，并与图象交于点F，若，求a与m的数量关系； 当时，连接BC，图象上是否存在一点P，过点P作直线BC，垂足为点Q，连接CP，使得？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：一元二次方程的二次项系数为3， 故选： 根据一元二次方程的一般形式，即可解答． 本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：由题意知，， 解得， 所以原数据为2、2、3、5、8， 设增加数据为m， 则， 解得， 故选： 先根据算术平均数的定义求出x的值，再设增加数据为m，由增加了一个数据后的平均数仍不变列出关于m的方程，解之即可得出答案． 本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义． 3.【答案】D  【解析】解：， ， ， ， 故选： 利用解一元二次方程-配方法进行计算，即可解答． 本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握解一元二次方程-配方法是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：由题意得：， 在中，，米， 米， 该自动扶梯的高度BC等于米， 故选： 根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：， ， ， ， 故选： 先利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算，即可解答． 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：A、二次函数的，开口向下，选项说法错误，不符合题意； B、二次函数的顶点坐标为，选项说法错误，不符合题意； C、图象可由函数的图象平移得到，选项说法正确，符合题意； D、图象与y轴交点为，选项说法错误，不符合题意； 故选： 根据二次函数图象平移法则和图象与系数的关系逐项分析判断即可． 本题考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 7.【答案】D  【解析】解：如图，的外心为经过点Q的正方形的对角线与BC的垂直平分线的交点O， 设每个小正方形的边长都是1，连接OC， ， 的半径长为， 观察P、Q、M、N四点，只有点N到圆心O距离， 点N在上， 故选： 的外心为经过点Q的正方形的对角线与BC的垂直平分线的交点O，设每个小正方形的边长都是1，连接OC，求得，则的半径长为，观察图形并且经过计算可知，点N到圆心O距离，则点N在上，于是得到问题的答案． 此题重点考查三角形的外接圆与外心、点与圆的位置关系、勾股定理等知识，正确地确定的外接圆的心O的位置是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， 二次函数为常数的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度， ， ， 故选： 求得抛物线的顶点为，由题意可知只有在x轴下方的函数图象与有两个交点即可． 本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意，得到关于a的不等式组是解题的关键． 9.【答案】1  【解析】解： 根据特殊教的三角函数值直接解答． 本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值． 10.【答案】  【解析】解：把代入方程得， 解得 故答案为： 把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 11.【答案】16  【解析】解：个数据的中位数是第25个和第26个数据的平均数， 岁， 即这个班学生年龄的中位数是16岁． 故答案为： 根据中位数的定义解答即可，这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 12.【答案】  【解析】解：如图，连接BE， 根据正六边形的性质，可知图中所有小三角形的面积都相等， 任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为 故答案为： 根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 13.【答案】0  【解析】解：因为a，是方程的两个实数根， 所以，， 则， 所以 故答案为： 利用一元二次方程根与系数的关系，结合整体思想即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及代数式求值，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧用整体思想是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：，，， 该瓦当此面的面积为： ， 故答案为： 根据题目中的数据和扇形面积公式，可以计算出该瓦当此面的面积． 本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式． 15.【答案】  【解析】解：对于抛物线，根据对称轴公式， 、， 对称轴为：， 点关于对称轴，的对称点为， ， 对称轴，，， ，两点均在对称轴右侧，且抛物线开口向上， 要使恒成立，则， 故答案为： 先求出抛物线的对称轴，再求出点关于对称轴的对称点，经判断可得点和Q点都在对称轴右侧，且对称轴开口向上，y随x的增大而增大，则可判断求得t的取值范围． 本题考查了二次函数的图象与性质，数形结合熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：取AC的中点K，连接MK，NK，过A作于H， ， 令，， ， ， 舍去负值， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 、N、K分别是BC、AD、AC的中点， ，NK分别是和的中位线， ，， 由旋转的性质得到， ， ， ， 故答案为： 取AC的中点K，连接MK，NK，过A作于H，由，令，，由勾股定理得到，求出，得到，，判定是等腰直角三角形，求出，由三角形中位线定理求出，，由三角形三边关系定理得到，即可求出MN的取值范围． 本题考查旋转的性质，三角形中位线定理，解直角三角形，关键是通过作辅助线构造三角形的中位线，由三角形三边关系定理得到 17.【答案】解：， ， ， 或， 解得，  【解析】首先移项，把等号右边的式子变成0，然后把等号左边的式子分解因式，根据几个因式的乘积是0，则至少有一个是0，即可转化成一元一次方程，从而求解． 本题考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法解方程的依据是：几个因式的乘积是0，则至少有一个是0，解题的关键是正确分解因式． 18.【答案】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ； 设一个根为a，另一个根为2a， 则有， ， 两根分别为，， ，   【解析】根据，构建不等式求解； 设一个根为a，另一个根为2a，构建方程求出a可得结论． 本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决问题． 19.【答案】解：， 在中， ， ， ， ，， ， 在中， ，   【解析】先根据的正切及AD的长，求出BD的长，再利用勾股定理即可解决问题． 在中，求出BC的长，再结合正弦的定义即可解决问题． 本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及正弦和正切的定义是解题的关键． 20.【答案】解：由题意得：， 整理得：， 解得：不合题意，舍去，， 答：道路的宽度x是6米．  【解析】由题意可知，停车区域的总长为米，宽为米，根据停车区域即阴影部分的面积为880米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21.【答案】0    【解析】解：抛物线经过点和， 抛物线的对称轴为直线， 当和时，， 即； 故答案为：0； 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即； ， 当时，y有最小值，最小值为， 当时，；，， 当时，则y的取值范围是 故答案为： 利用抛物线的对称性先确定抛物线的对称轴为直线，然后利用当和时函数值相等得到m的值； 设交点式为，然后把代入求出a即可； 先利用配方法得到，则当时，y有最小值，由于当时，；，，从而可确定当时，y的取值范围． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 22.【答案】72  82  【解析】解：七年级成绩的众数，八年级成绩的中位数， 故答案为：72、82； 人， 答：估计七年级所有参赛学生中成绩达优良满足即为优良的人数约有120人； 八年级成绩更好， 因为七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级，方差小于七年级， 所以八年级高分人数多余七年级，稳定性更好． 根据众数和中位数的定义求解即可； 总人数乘以样本中七年级成绩优良人数所占比例即可； 根据中位数、平均数及方差的意义求解即可． 本题主要考查中位数、算术平均数、众数及方差，解题的关键是掌握众数、中位数的定义及方差的意义． 23.【答案】解：如图，点P即为所求； 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形ABPC的面积  【解析】过点O作交于点P，点P即为所求； 利用勾股定理求出BC，再求出PH，利用三角形面积公式求解即可． 本题考查作图-复杂作图，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理，点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24.【答案】  【解析】解：当转盘停止转动时，则指针落在标有数字1的扇形的概率为， 故答案为：； 根据题意，列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 9 由表可知，共有9种等可能的结果，其中转盘A，B的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的有5种结果， 所以转盘A，B的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数得概率为 直接用求概率的方法求概率即可． 列出表格，可以得出等可能的结果以及两个数字之和为奇数的结果，然后利用概率公式求概率即可． 本题主要考查了用概率公式求概率和用画树状图或列表的方法求概率．掌握概率公式是关键． 25.【答案】解：如图2中，过点作于点 在中，，， ，， 在中，， ，， ； 如图3中，作交BA的延长线于点 在中，，， ，， 在中， ； 端点N在此过程中滑动的长度  【解析】如图2中，过点作于点解直角三角形求出AH，HN即可； 如图3中，作交BA的延长线于点，求出可得结论． 本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 26.【答案】证明：连接OC， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：①， ， ，， ∽， ， ， ， ， ， ， 的半径r为； ②连接AE，DE， 点E是的中点， ， ，， 是的直径， ， ， ， ， ， ，， 过A作于H，过D作于G， ，是等腰直角三角形， ，， ， ，   【解析】连接OC，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； ①根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，得到，于是得到的半径r为； ②连接AE，DE，由点E是的中点，得到，求得，，根据圆周角定理得到，求得，得到，，过A作于H，过D作于G，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 本题是圆的综合题，考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 27.【答案】    【解析】解：令，则或， 即点A、B的坐标分别为：、， 故答案为：、； 由题意得：：， 由二次函数知，其对称轴为直线，故设点，则点，则点F的横坐标为：， 则，，则， 则； 存在，理由： 取，则， 由点C、B的坐标得，，设BT边上的高为h， 则，即，则， 则，则， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：， 设点，点， 过点Q作y轴的平行线交过点P和x轴的平行线于点N，交过点C和x轴的平行线于点M， ，， ， ∽， ，即， 解得：，，即点， 将点P的坐标代入，即， 解得：舍去或， 则， 即点 令，则或，即可求解； 由二次函数知，其对称轴为直线，故设点，则点，则点F的横坐标为：，则，，则，即可求解； 证明∽，得到，求出点，即可求解． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$