精品解析：河南省安阳市文源高级中学2024-2025学年高二下学期开学调研质量检测考试数学试卷

2024—2025学年高二年级春季开学调研质量检测考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程变形为标准方程即可求解. 【详解】抛物线的标准形式为， 则，解得， 即抛物线的准线为， 故选：. 2. 若直线：与直线：（）互相垂直，则（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直可得斜率之积为-1，即可求解. 【详解】由题意得， 当时，直线，与直线不垂直，故， 直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，解得， 故选：B． 3. 动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程. 【详解】圆N：的圆心为，半径为，且 设动圆的半径为，则，即. 即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为， 虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上， 故动圆圆心P的轨迹方程是 故选：A 4. 在数列中，如果存在非零的常数T，使得对于任意正整数n均成立，那么就称数列为周期数列，其中T叫做数列的周期．已知数列满足，若，（且），当数列的周期为3时，则数列的前2024项的和为（ ） A. 676 B. 675 C. 1350 D. 1349 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，求得，进而得到，结合周期性，即可求解. 【详解】因为且，满足 所以， 因为数列的周期为，可得，所以， 所以，所以， 同理可得，所以， ， 所以. 故选：C. 5. 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，设，，，则向量用 为基底表示为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图形可得，根据比例关系可得,, 再根据向量的减法,代入整理，并用基底代换得答案. 【详解】由 整理得， 由，，代入得， . 故选：D 6. 已知直线的方向向量，直线的方向向量，若且，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量模长运算可求得，根据向量垂直关系可求得，进而得到结果. 【详解】，或， 当时，，，解得：，； 当时，，，解得：，； 综上所述：的值为或. 故选：D. 7. 班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由入射光线与反射光线的关系，结合角平分线定理可解. 【详解】由椭圆定义可得， 由光学性质可知，为的角平分线， 所以. 故选：C 8. 若满足的有序实数对有3对，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设出，根据所求和题设条件联想到点的轨迹和平面图形的几何意义，从而将问题转化为圆上有3个点到直线的距离为，借助于圆的性质数形结合迅速解题. 【详解】设（），则，，而表示点到直线的距离， 点又在圆上，所以问题转化为圆上有3个点到直线的距离为，如图， 而圆心到直线的距离为，故，解得，则. 故选：A. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，分直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况讨论，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出参数的值，即可得解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 依题意直线的斜率存在， 若直线过坐标原点，设直线为，即，则，解得， 所以直线的方程为或； 若直线不过坐标原点，设直线为（），即， 则，解得（舍去）或， 所以直线的方程为， 综上可得直线的方程为或或. 故选：ACD 10. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程形式依次判断选项即可. 【详解】当曲线C是椭圆时，，解得或，故A错误； 当曲线C是双曲线时，，解得或，故B正确； 若曲线C是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； 若曲线C是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D错误. 故选：BC 11. 设是公差为的等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由可得，进而可得，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】根据题意可得， 由等差数列性质可知． 因为，所以， 所以， 所以数列是递增数列，的前项和有最小值为，所以. 所以A，B正确，C，D不正确； 故选：AB． 12. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是( ) A. 当为线段的中点时，平面 B. 当为线段的三等分点时，平面 C. 在线段的延长线上，存在一点，使得平面 D. 不存在点，使与平面垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设，表示出向量，再利用，建立关系式，从而判断出无解，即不存在这样的点，进而判断出选项ABC不正确，选项D正确. 【详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 易知，，，，，，， 所以，，，. 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 假设平面，且， 则. 因为也是平面的法向量， 所以与共线， 所以成立， 但此方程关于无解，因此不存在点，使与平面垂直，所以选项ABC不正确，选项D正确. 故选：ABC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，若四边形OABC为平行四边形，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】由四边形OABC为平行四边形，可得，再根据向量的坐标运算求解即可． 【详解】由题意得，，， ∵四边形OABC为平行四边形，∴，∴，，∴． 故答案为：5． 14. 已知P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】可化为.两直线平行, 的最小值即为两平行线间距离，为. 故答案为：. 15. 某学校一航模小组进行飞机模型飞行高度实验，飞机模型在第一分钟内上升了10米高度.若通过动力控制系统，可使飞机模型在以后的每一分钟内上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%.在此动力控制系统下，该飞机模型在第三分钟内上升的高度是____________米. 【答案】##6.4 【解析】 【分析】根据题意，得到，公比的等比数列，利用等比数列的通项公式，可得答案. 【详解】由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成，公比的等比数列，则米.即飞机模型在第三分钟内上升的高度是米. 故答案为： 16. 在平面直角坐标系中,已知椭圆=与不过坐标原点的直线=相交于两点,线段的中点为,若的斜率之积为,则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【详解】设,联立直线与椭圆方程,消去y可得=,则=所以=,由题意可得==,又a2=b2+c2,所以椭圆的离心率为. 故答案为 点睛：本题主要考查椭圆的离心率、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率公式,考查了计算能力. 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知公比大于1的等比数列满足，． （1）求的通项公式； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先列方程组求得等比数列的首项与公比的值，进而求得的通项公式； （2）先判定数列为等比数列，求得其前n项和，进而求得的值. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 则，解得．∴． 【小问2详解】 令，则， 又，∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴． 18. 已知双曲线的右焦点为，虚轴长为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求出，即可得双曲线的方程； （2）将点坐标代入双曲线方程后做差，再将中点坐标代入可得斜率，进而可得直线方程. 【小问1详解】 双曲线的右焦点为，虚轴长为， ，解得， 双曲线的方程为； 【小问2详解】 线段的中点为， , 点都在双曲线上， ，即， ． 直线的方程为，即． 联立，消去得，该方程有解， 故直线的方程为. 19. 如图，在四棱锥中，平面，点是的重心. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】（1）证明如下： 在四棱锥中，平面平面， 则， 而平面， 于是平面， 又平面， 所以平面平面. （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定推理即得. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法列式求出的长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为，连接，， 则，即四边形为矩形，则， 又平面平面，显然两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， 由点是的重心，得，则， 又，设平面的一个法向量， 则，取，得，设与平面所成角为， ，化简得， 解得或，即或，所以的长度为或. 20. 已知数列是等差数列，，记为数列的前项和，且 （1）求数列的通项公式； （2）若，求，. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】设数列的通项公式为：,根据与的关系及 （1）求解出和,即可得的通项公式； （2）分奇偶对和进行讨论，再根据 求解,. 【小问1详解】 设数列的首项为，公差为，则. ， 由，故. 因为，所以 解得，，故. 【小问2详解】 当，时， , 所以. 当，时，， ， 所以 由已知，故，不能同时为奇数或偶数，所以，为奇数与偶数. 当为奇数，为偶数时，则， 所以，，； 当为偶数，为奇数时，则，所以，，. 因为，所以，. 21. 如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上投影，M为上一点，且. （1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； （2）求过点且斜率为的直线被C所截线段的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用相关点法求解轨迹方程，设出，得到，代入中，得到轨迹方程； （2）求出过点且斜率为的直线方程，联立第一问所求的曲线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式求出答案. 【小问1详解】 设，则，， 因为，所以，即，故， 所以， 因为P是圆上的点，所以，即； 【小问2详解】 过点且斜率为的直线方程为， 与联立得：，易得， 设直线与的两交点坐标分别为， 则，， 故被C所截线段的长度为. 22. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，，分别为侧棱，的中点，点在上且. （1）求证：，，，四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，通过计算得出，由平面向量基本定理得到，，共面，即可证明结果； （2）由（1）结果，得到，并求得平面的法向量为，再利用线面角的向量法即可求出结果. （3）由（1）和（2）得，平面的法向量，再由空间距离的向量法即可求出结果. 【小问1详解】 （1）因为平面是菱形，所以， 又因为底面，面，所以，， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系： 因为，，，则，，，，， 因为，分别为侧棱，的中点，所以，， 设，，因为， 所以，解得，即. 所以，，. 所以，由向量共面的充要条件可知，，，共面. 又，，过同一点，从而，，，四点共面. 【小问2详解】 由（1）可得，，，， 又因为，所以，. 设平面的法向量，由，得到， 取，可得，，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）和（2）知，平面的法向量， 设到平面的距离为，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高二年级春季开学调研质量检测考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线：与直线：（）互相垂直，则（ ） A. B. C. 12 D. 3. 动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 4. 在数列中，如果存在非零的常数T，使得对于任意正整数n均成立，那么就称数列为周期数列，其中T叫做数列的周期．已知数列满足，若，（且），当数列的周期为3时，则数列的前2024项的和为（ ） A. 676 B. 675 C. 1350 D. 1349 5. 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，设，，，则向量用 为基底表示为 （ ） A. B. C. D. 6. 已知直线的方向向量，直线的方向向量，若且，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（ ） A. B. C. D. 8. 若满足的有序实数对有3对，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 11. 设是公差为的等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是( ) A. 当为线段的中点时，平面 B. 当为线段的三等分点时，平面 C. 在线段的延长线上，存在一点，使得平面 D. 不存在点，使与平面垂直 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，若四边形OABC为平行四边形，则______． 14. 已知P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为________. 15. 某学校一航模小组进行飞机模型飞行高度实验，飞机模型在第一分钟内上升了10米高度.若通过动力控制系统，可使飞机模型在以后的每一分钟内上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%.在此动力控制系统下，该飞机模型在第三分钟内上升的高度是____________米. 16. 在平面直角坐标系中,已知椭圆=与不过坐标原点的直线=相交于两点,线段的中点为,若的斜率之积为,则椭圆的离心率为___________. 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知公比大于1的等比数列满足，． （1）求的通项公式； （2）求． 18. 已知双曲线的右焦点为，虚轴长为． （1）求双曲线的方程； （2）若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程． 19. 如图，在四棱锥中，平面，点是的重心. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 20. 已知数列是等差数列，，记为数列的前项和，且 （1）求数列的通项公式； （2）若，求，. 21. 如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上投影，M为上一点，且. （1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； （2）求过点且斜率为的直线被C所截线段的长度. 22. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，，分别为侧棱，的中点，点在上且. （1）求证：，，，四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $