精品解析：安徽省宿州市埇桥区2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

埇桥区教育集团2024—2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题卷 考生注意：本卷共八大题 计23小题 满分150分 一、选择题：（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2. 若方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　） A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 4. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，，则分割后较短线段长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 6 D. 4 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上，是的中点，四边形是矩形，四边形是正方形，若点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接、交于点E，连接交于点F．下列4个判断：①平分；②；③；④若点G是线段的中点，则为等腰直角三角形．正确判断的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则的值为_________． 12. 如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，，则________． 13. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 14. 已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，且，连接AC、BD交于点O． ①若AB＝BC，则_______； ②若AB＝AC，则______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 如图，数学课上老师让同学们想办法测量学校国旗旗杆的高度，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高影长，小明距旗杆底部的距离是，你能求出旗杆的高度吗？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 18. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为：，并写出点的对应点的坐标； （3）的内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E． （1）求证：ABE∽DBC； （2）求线段AE的长． 20. 2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？ 六、（本题满分12分） 21. 学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生三月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题； （1）求全班学生总人数； （2）在扇形统计图中，________，________，C类的圆心角为________； （3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请求出全是B类学生的概率． 七、（本题满分12分） 22. 已知正方形，点是对角线上一点，连接，是延长线上一点． （1）如图，若，交于点．求证：； （2）如图，在（）的条件下，当．求证： ． 八、（本题满分14分） 23. 在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形．连接． （1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系； （2）当时， ①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 埇桥区教育集团2024—2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题卷 考生注意：本卷共八大题 计23小题 满分150分 一、选择题：（本大题共10题，每小题4分，满分40分） 1. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】A、根据平行四边形的判定定理作出判断；B、根据矩形的判定定理作出判断；C、根据菱形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项错误，不符合题意； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；故本选项正确，符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系． 2. 若方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用根的判别式进行判断，求出m的取值范围即可． 【详解】解：由题可知：“△＜0”， ∴, ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“△＜0”时，该方程无实数根，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与掌握． 3. 如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　） A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=BO=OD，根据菱形性质可得∠DBE=∠ABC=65°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED=90°-∠OEB即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=50°， ∴O为BD中点，∠DBE=∠ABC=65°． ∵DE⊥BC， ∴在Rt△BDE中，OE=OB=OD， ∴∠OEB=∠OBE=65°． ∴∠OED=90°-65°=25°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质以及直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是将四边形转化为三角形． 4. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴，即：， ∴AE=4， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键． 5. 如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况， ∴小灯泡发光的概率为：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 6. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，，则分割后较短线段长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割点的概念进行计算，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 【详解】解：根据黄金分割点的概念得：， ， 故选：B． 【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值是解题的关键． 7. 如图所示，是的边上的一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A．能判定，符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； B．不能判定，不符合两组对应边的成比例，且夹角对应相等的两个三角形相似； C．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似； D．能判定，符合有两组角对应相等的两个三角形相似． 故选B． 8. 如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　　） A. 4 B. 4 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意判断出△CBA∽△CAD，从而利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵BC＝8，AD是中线， ∴CD＝BD＝4， 在△CBA和△CAD中， ∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C， ∴△CBA∽△CAD， ∴， ∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32， ∴AC＝4； 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上，是的中点，四边形是矩形，四边形是正方形，若点的坐标为，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，平面直角坐标系中点的坐标，矩形的性质等知识的综合运用．过点作轴，垂足为，利用证明，可得，，由是的中点，可求解，的长，进而可求解点坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为， ， 四边形为正方形， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和和中， ， ， ，， 为的中点， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 10. 如图，，，点A在上，四边形是矩形，连接、交于点E，连接交于点F．下列4个判断：①平分；②；③；④若点G是线段的中点，则为等腰直角三角形．正确判断的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】①，先说明△OBD是等腰三角形，再由矩形的性质可得DE=BE，最后根据等腰三角形的性质即可判断；②证明△OFA≌△OBD即可判断；③过F作FH⊥AD，垂足为H,然后根据角平分线定理可得FH=FA,再求得∠HDF=45°，最后用三角函数即可判定；④连接AG,然后证明△OGA≌△ADE,最后根据全等三角形的性质和角的和差即可判断． 【详解】解：①∵ ∴△OBD是等腰三角形 ∵四边形是矩形 ∴DE=BE=BD，DA⊥OB ∴平分，OE⊥BD故①正确； ②∵OE⊥BD, DA⊥OB，即∠DAO=∠DAB ∴∠EDF+∠DFE=90°，∠AOF+∠AFO=90° ∵∠EDF=∠AOF ∵DA⊥OB， ∴OA=AD 在△OFA和△OBD中 ∠EDF=∠AOF ,OA=AD,∠DAO=∠DAB ∴△OFA≌△DAB ∴OF=BD,即②正确； ③过F作FH⊥OD，垂足为H, ∵平分，DA⊥OB ∴FH=AF ∵，DA⊥OB ∴∠HDF=45° ∴sin∠HDF=,即；故③正确； ④由②得∠EDF=∠AOF， ∵G为OF中点 ∴OG=OF ∵DE=BE=BD，OF=BD ∴OG=DE 在△OGA和△AED中 OG=DE, ∠EDF=∠AOF，AD=OA ∴△OGA≌△AED ∴OG=EF,∠GAO=∠DAE ∴△GAE是等腰三角形 ∵DA⊥OB ∴∠OAG+∠DAG=90° ∴∠DAE+∠DAG =90°,即∠GAE=90° ∴△GAE是等腰直角三角形，故④正确． 故答案为A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质以及解直角三角形等知识点，考查知识点较多，故灵活应用所学知识成为解答本题的关键． 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，将比例式转化为等积式，再代入已知条件进行计算，即可求解． 【详解】解：， ． ． 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 再利用锐角三角函数依次求解即可得到答案． 【详解】解： 是边的中点，， 矩形， 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的应用是解题的关键． 13. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 14. 已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，且，连接AC、BD交于点O． ①若AB＝BC，则_______； ②若AB＝AC，则______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】①若AB＝BC，可证四边形ABCD为正方形，得出OB=OD； ②过点D作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB＝AC，得出△ACD为等边三角形，利用30°直角三角形性质得出AE=，利用勾股定理求出DE=，再求出∠BAC=90°-∠CAD=30°，可求BF=，再证△BOF∽△DOE即可． 【详解】解：①若AB＝BC， ∵AB＝AD＝CD， ∴AB＝AD＝CD=BC， ∴四边形ABCD为菱形， ∵， ∴四边形ABCD为正方形， ∴OB=OD， ， 故答案为1； ②过点D作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， 若AB＝AC， ∵AB＝AD＝CD， ∴AB=AD=CD=AC， ∴三角形ACD为等边三角形， ∴∠DAO=60°， ∵DE⊥DE， ∴∠ADE=90°-∠DAE=30° ∴AE=，DE=， ∵∠BAD=90°， ∴∠BAC=90°-∠CAD=30°， ∵BF⊥AC ∴BF= ∵∠BFO=∠DEO=90°，∠BOF=∠DOE， ∴△BOF∽△DOE， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质，30°直角三角形的性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握正方形的判定与性质，30°直角三角形的性质，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法，公式法求解是解题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）先确定，再运用求根公式，代入求值即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得，， ∴或， 解得，，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 解得，，． 16. 如图，数学课上老师让同学们想办法测量学校国旗旗杆的高度，小明在阳光下走进旗杆的影子里，使自己的影子刚好被旗杆的影子遮住，已知小明的身高影长，小明距旗杆底部的距离是，你能求出旗杆的高度吗？ 【答案】能，旗杆的高度 【解析】 【分析】根据旗杆和人都是垂直于地面的，得出，求得，根据相似的性质得到，即可求出． 【详解】解：能，旗杆的高度． ∴， ∴， 即 ， 解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【答案】，此时方程的根为 【解析】 【分析】直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根， ∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0， 解得：m≤1， ∵m为正整数， ∴m=1， ∴此时二次方程为：x2-2x+1=0， 则（x-1）2=0， 解得：x1=x2=1． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键． 18. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为：，并写出点的对应点的坐标； （3）的内部一点的坐标为，写出在中的对应点的坐标． 【答案】（1） 如图，点为所作； （2） 如图，为所作， ； （3）点在中的对应点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查作图—位似变换及位似变换的性质．解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可，根据图形写出坐标即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 点的坐标为； 【小问3详解】 点在中的对应点的坐标为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32，连接BD，AE⊥BD，垂足为E． （1）求证：ABE∽DBC； （2）求线段AE的长． 【答案】 （1）证明：∵AB＝AD＝25， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△DBC； （2）AE=15． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD＝∠ADB，由AD∥BC可得∠ADB＝∠DBC，即可得出∠ABD＝∠DBC，根据∠AEB＝∠C＝90°，即可可证明△ABE∽△DBC； （2）由等腰三角形的性质可知，BD＝2BE，根据相似三角形的性质可求出BE的长，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE即可得答案． 【详解】（1）略 （2）∵AB＝AD，AE⊥BD， ∴BE＝DE， ∴BD＝2BE， ∵△ABE∽△DBC， ∴， ∵AB＝AD＝25，BC＝32， ∴， ∴BE＝20， ∴AE＝＝15． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 20. 2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋． （1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率； （2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？ 【答案】（1）25% （2）当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元 【解析】 【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，根据题目已知条件列出方程即可求解； （2）设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，根据题目已知条件得出，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设三、四这两个月销售量的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%； 【小问2详解】 解：设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，根据题目意思正确的列出方程是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生三月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题； （1）求全班学生总人数； （2）在扇形统计图中，________，________，C类的圆心角为________； （3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请求出全是B类学生的概率． 【答案】（1）全班学生总人数为40人 （2），， （3）全是B类学生的概率 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率，理解统计图的意义，掌握根据样本百分比估算总体数量，圆心角，列表法或画树状图法求随机事件的概率是解题的关键． （1）根据A组的人数及百分比即可求解； （2）根据全班人数，某项百分比的计算方法可得B、C组人数及百分比，圆心角的度数，由此即可求解； （3）运用列表法或画树状图法求随机事件的概率的方法计算即可． 【小问1详解】 解：A组有10人，A组的百分比为， ∴（人）， ∴全班学生总人数为40人； 【小问2详解】 解：C组的人数为（人）， ∴， ∴， ∴C类的圆心角为， ∴， ∴， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：A类1人，B类2人，C类1人，其中B类2人分别用，表示，运用列表法或画树状图法把所有可能结果表示如下， ∴共有12种等可能结果，其中全是B类学生的结果有2种， ∴全是B类学生的概率． 七、（本题满分12分） 22. 已知正方形，点是对角线上一点，连接，是延长线上一点． （1）如图，若，交于点．求证：； （2）如图，在（）的条件下，当．求证： ． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 由（）可知，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）证明，根据全等三角形的性质得到，根据等角的余角相等证明即可； （）根据等腰直角三角形的性质得到，根据（）中结论得到，进而证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，余角性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧制作等腰直角三角形．连接． （1）如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系； （2）当时， ①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）①仍然成立，理由如下： 如图2， ，， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ,， ， ， 即， ， ， ， ， ， 即； ②四边形是平行四边形，理由如下： 如图3，过作，连接, 交于点， ，， ， ， ， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由①可知， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ,， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）如图1，证明，由平行线分线段成比例可得，由的余弦值可得； （2）①根据两边成比例，夹角相等，证明，即可得； ②如图3，过作，连接, 交于点，根据已知条件证明，根据平行线分线段成比例可得，根据锐角三角函数以及①的结论可得, 根据三角形内角和以及可得，进而可得，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）如图1， ，， ， 是以为斜边等腰直角三角形， ,， ， ， ， ， ， 即； （2）①略 ②略 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，平行四边形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例以及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $