精品解析：广东省揭阳第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期揭阳一中高二级期末考试 数学科试卷 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为直线的倾斜角，则（ ） A B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元.（参考数据：，） A. 5.3 B. 4.1 C. 7.8 D. 6 7. 已知函数 ，若，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若.则双曲线C的离心率（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是. B. 已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数. C. 数据2，4，6，8，10，12，14，16的第60百分位数为10. D. 甲乙丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样，若抽取的甲个体数为9，则样本容量为18. 10. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 使的最小正整数n为13 D. 的最小值为 11. 点是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积变大 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为幂函数，且在上单调递增，则实数的值是_____. 13. 《易经》是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑，现将乾､坤､巽三卦按任意次序排成一排，则乾､坤相邻的概率为__________. 14. 已知平面向量，，满足，，且，则最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角､､所对的边分别为､､，若向量，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求边上的高的值. 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上. （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 17. 如图1，已知等边的边长为3，点M，N分别是边，上的点，且满足，，如图2，将沿折起到的位置. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面和平面的夹角的正弦值. 18. 已知数列是等差数列，设为数列前项和，数列是等比数列，，若，，，． （1）求数列和通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和． 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，且为抛物线的焦点，的准线被和圆截得的弦长分别为和. （1）求和的方程； （2）直线过且与不相交，直线过且与平行，若交于,交交于，且在轴上方，求四边形的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期揭阳一中高二级期末考试 数学科试卷 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求. 【详解】由题设有， 故选：B . 2. 已知（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，再求出的虚部. 【详解】依题意，， 所以的虚部为. 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算求模即可. 【详解】由， 故选：C. 4. 已知为直线的倾斜角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，得，再利用正切的二倍角公式即可得到结果. 【详解】由直线方程，得直线斜率， 又为直线的倾斜角，所以， 所以. 故选：B. 5. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出的值并判断符号，根据零点存在性定理即可得到结果. 【详解】由函数可知：该函数在上单调递增， ，， ，， ，结合选项所给区间， 只有，根据零点存在性定理知， 的零点所在区间为， 故选：B. 6. 某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元.（参考数据：，） A. 5.3 B. 4.1 C. 7.8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】首先设每年应该存入万元，写出每年存入前到2027年底的本利和，再利用等比数列求和公式，即可求解. 【详解】设每年应该存入万元， 则2021年初存入的钱到2027年底本利和为， 2022年初存入的钱到2027年底本利和为， ……， 2027年存入的钱到2027年底本利和为 则， 即，解得：. 故选：A 7. 已知函数 ，若，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的解析式判断得出函数的奇偶性以及单调性，进而根据函数的性质，列出方程推得，然后根据“1”的代换，结合基本不等式，求解即可得出答案． 【详解】，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数， 且为单调递增函数， 所以， 所以， 可得，即， 又，，所以 ， 当且仅当即等号成立. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据函数的奇偶性、单调性得出. 8. 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若.则双曲线C的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设在渐近线上，结合角的关系求出即可代入渐近线结合离心率公式计算求解. 【详解】由题双曲线一条渐近线为，不妨设在该渐近线上， 则可得， 由得，故， 所以，所以， 所以或，由对称性不妨设即， 因为即，所以， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是. B. 已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数. C. 数据2，4，6，8，10，12，14，16的第60百分位数为10. D. 甲乙丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样，若抽取的甲个体数为9，则样本容量为18. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，结合古典概型的概率公式，即可求解；对于B，结合众数、中位数的定义，即可求解；对于C，结合百分位数的定义，即可求解；对于D，结合分层抽样的定义，即可求解． 【详解】对于A，用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为2的样本， 则每个个体被抽到概率都是，故A正确； 对于B，一组数据1，2，3，3，4，5的众数为3，中位数为3，故B不正确； 对于C，数据2，4，6，8，10，12，14，16，因为， 所以该组数据的第60百分位数是10，故C正确； 对于D，令样本容量为，则，解得，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 使的最小正整数n为13 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据与关系，求出通项判断；对B，利用裂项求和得解可判断；对C，令求得答案；对D，求出，利用对勾函数单调性求最值. 【详解】对于A，由，当时，， 当时，， ，故A错误； 对于B，因为，， 所以，故B正确； 对于C，由，即，解得，故C正确； 对于D，，时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， ∴当或4时，取得最小值为，故D正确． 故选：BCD. 11. 点是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积变大 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，考虑底面积和高均未变，所以体积不变；B选项，找到异面直线所成角即可判断；C选项，建系，利用距离公式求解,D选项，找到的轨迹，计算即可；. 【详解】对于A，底面正方形的面积不变，到平面的距离为正方体棱长， 故四棱锥的体积不变，故A不正确； 对于B，与所成角即与所成的角，为等边三角形， 当在端点时，所成角最小，为，当在中点时，所成角最大为，故B正确； 对于C，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由， 设，，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 所以平面的一个法向量为， 因为平面，所以，可得， 所以， 当时，等号成立，故C正确. 对于D，因为直线与平面所成的角为， 若点在平面和平面内， 因为最大，不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面时，作平面，如图所示， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的四分之一圆， 故的轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为幂函数，且在上单调递增，则实数的值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及性质计算即可. 【详解】由题意可知，解之得或， 当时，，此时函数在上单调递减，不符题意； 当时，，此时函数在上单调递增，满足题意. 所以实数的值是. 故答案为：. 13. 《易经》是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑，现将乾､坤､巽三卦按任意次序排成一排，则乾､坤相邻的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】使用列举法，结合古典概型概率公式可得. 【详解】将乾､坤､巽排成一排有： （乾,坤,巽），（乾,巽,坤），（坤,乾,巽）， （坤,巽,乾），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾）,共6种可能. 乾､坤相邻的有：（乾,坤,巽），（坤,乾,巽），（巽,乾,坤），（巽,坤,乾），共4种. 所以乾､坤相邻的概率为. 故答案为：. 14. 已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，分析可知点C在以为直径的圆上，根据数量积的几何意义结合圆的性质分析求解. 【详解】由题意可设：， 则， 若，即，则， 可知点C在以为直径的圆上，即圆心为，半径， 则在方向上的投影数量的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题根据向量运算的几何意义把题意转化为图形，结合图形分析求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，角､､所对的边分别为､､，若向量，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求边上的高的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据时，由正弦定理与两角和的正弦公式、内角和定理求出，即可求得A的值； （2）由余弦定理和已知条件求出，再求AC边上的高h. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由正弦定理得， 即， 因为，所以，所以. 又，所以，所以. 因为，所以. （2）由，解得. 又，所以. 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积与解三角形的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，属于中档题. 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1， 圆心在上. （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由，可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可. 【详解】（1）由得圆心， ∵圆半径为1， ∴圆的方程为：， 显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即． ∴， ∴，∴或． ∴所求圆的切线方程为或． （2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为， 则圆的方程为． 又∵， ∴设为，则，整理得，设为圆． 所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点， ∴， 由，得， 由，得． 综上所述，的取值范围为． 考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在. 17. 如图1，已知等边的边长为3，点M，N分别是边，上的点，且满足，，如图2，将沿折起到的位置. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面和平面的夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给的条件，运用勾股定理证明 即可； （2）建立直角坐标系，用坐标表示数量积，用数量积求夹角即可. 【小问1详解】 △AMN中，由余弦定理得， 所以，即，所以，， 又因为 ，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 由条件： ，由（1） ， 平面BCNM， 平面BCNM， 以M为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴， 所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 即，， ，， 设平面的一个法向量为，则 ，即， 令，有， 设平面一个法向量为，则由 ，可化简得 ， 令，有， 设平面和平面夹角为，则，所以. 综上，平面和平面夹角的正弦值为 . 18. 已知数列是等差数列，设为数列前项和，数列是等比数列，，若，，，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求的数列的通项公式； （2）由（1）先求出，再利用错位相减法即可求出数列的前项和； （3）先根据已知条件整理得，设数列的前项和为，然后分组求和，利用等比数列求和公式以及裂项相消法求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得 ， 解得 或，因为，故舍去， 所以，． 【小问2详解】 由（1）得，，所以， 令数列的前项和为，则， 即①， ②， 两式相减得： ， 所以. 【小问3详解】 设数列的前项和为 由，，得， 则，即； 故 . 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，且为抛物线的焦点，的准线被和圆截得的弦长分别为和. （1）求和的方程； （2）直线过且与不相交，直线过且与平行，若交于,交交于，且在轴上方，求四边形的面积的取值范围. 【答案】（1）和的方程分别为；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据已知，由椭圆的通径、勾股定理求得的圆的弦长列出关于的方程组，可解得的值，从而可得结果； （2）设，由，得根据韦达定理，结合椭圆的几何性质将面积表示为关于的函数，根据单调性求函数值域即可. 【详解】（1）由得， 所以和的方程分别为. （2）由题意，的斜率不为，设， 由，得，得， 由，得， ， 与间的距离为，由椭圆的对称性，为平行四边形， , 设，. 【方法点晴】本题主要考查椭圆、圆及抛物线的标准方程、椭圆与直线的位置关系及圆锥曲线求范围，属于难题.解决圆锥曲线中的范围问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用函数单调性法求四边形范围的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$