精品解析：云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年高三上学期1月期末教育学业质量监测数学试题

楚雄州中小学2024—2025学年上学期期末教育学业质量监测 高中三年级数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数的乘法计算化简，再得出虚部. 【详解】，虚部为. 故选：B. 2. 已知向量满足，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算律计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式，根据元素与集合的关系可确定的取值范围. 【详解】由，解得，则. 因为，所以，解得，故的取值范围为. 故选：A. 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 40 B. 45 C. 60 D. 75 【答案】D 【解析】 【分析】先根据，得，进而应用求和公式计算即可. 【详解】由，得， 则. 故选：D. 5. 已知，且，函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合分段函数的单调性的概念列出不等式组求解. 【详解】因为在上单调递减， 所以解得. 故选：C 6. 在直三棱柱中，，则该三棱柱外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中利用余弦定理求出，再由正弦定理求出的外接圆的半径，最后由勾股定理求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】在中，，即， 则外接圆的半径为， 则直三棱柱外接球的半径为， 外接球的表面积为. 故选：B. 7. 已知是偶函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数是偶函数得出，又因为则，再得出解集. 【详解】因为是偶函数，所以， 即，则. 又，所以，则. 当时，恒成立； 当时，由，得，解得. 故不等式的解集为. 故选：D. 8. 已知，双曲线的离心率为，若，则点与椭圆的位置关系为（ ） A. 点在椭圆内 B. 点在椭圆上 C. 点在椭圆外 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的离心率公式可得，代入，得，进而可得，即可判断点与椭圆的位置关系. 【详解】由题意可得,因为， 所以,所以, 所以,则，从而，故点在椭圆内. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先应用概率和为1得出，再计算数学期望，利用期望的性质判断各个选项. 【详解】由，得，故A正确； 则故B正确； 因，故C正确； 因故D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为 D. 在上单调递减 【答案】BD 【解析】 【分析】求出定义域可判断A；根据可判断B；由可判断C；由的单调性判断出的单调性可判断D. 【详解】对于A，由，得，A不正确； 对于B，因为， 所以的图象关于直线对称，B正确； 对于C，因为， 所以不是的周期，C不正确； 对于D， ，当时，， 且函数单调递增，所以在上单调递减，D正确. 故选：BD. 11. 空间中，平面上的动点满足方程，则称为平面的方程，同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量.已知方程分别为的平面的交线为，则下列结论正确的是（ ） A. 经过点的平面的方程为 B. 若方程为的平面经过点，则满足条件的实数的个数为3 C. 若平面的方程为，则坐标原点到平面的距离为 D. 与方程为的平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不共线且可以确定唯一平面判断A；利用平面经过点列方程可判断B；利用点到平面距离公式判断C；利用空间向量夹角余弦公式判断D. 【详解】经检验，均满足方程，且不共线， 则可以确定唯一平面，则平面的方程为，A正确； 若方程为的平面经过点，则， 整理得，因为无实数解，所以，B不正确； 显然，点满足方程，则是平面内一点， 平面的一个法向量为，则， 点到平面的距离，C正确. 易知方程的一组公共解为，且的另一组公共解为， 则直线经过和的一个方向向量为， 平面的一个法向量为.设与平面所成角的大小为， 则，D正确. 故选：ACD. 【点睛】解答的关键是正确理解平面方程的定义，新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线平分圆，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，可求出圆心坐标，根据圆心在直线上即可求解. 【详解】化为： ， 所以的圆心为， 因为直线平分圆， 所以经过的圆心， 则，解得,经检验符合题意. 故答案为：2. 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】变形，利用展开式的通项求解即可. 【详解】， 展开式的通项为， 令，可得；令，可得. 则项的系数为. 故答案为：76. 14. 用表示点与曲线上任意一点距离的最大值.已知函数，，，.设是曲线上的动点，当时，的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，通过求导可得在上单调递增，由此可得，结合可得结果. 【详解】令，则. 因为，所以在上恒成立，则在上单调递增. 由，可设，则. 由，可设，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是分析函数单调性，结合单调性确定的最小值. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲，乙两名运动员即将参加某地运动会的男子1000米自由泳比赛，为了评估这次的比赛成绩，收集了两人近5次的比赛成绩，整理数据得到下表. 甲 14分51秒 15分03秒 15分11秒 14分56秒 15分24秒 乙 15分07秒 14分57秒 15分21秒 15分04秒 15分06秒 （1）分别求这两人近5次比赛成绩的平均数； （2）若规定比赛成绩不超过15分钟为优秀，以这两人近5次比赛成绩的频率估计概率，求这次比赛这两人至少有一人的成绩为优秀的概率. 【答案】（1）甲近5次比赛成绩的平均数为15分05秒，乙近5次比赛成绩的平均数为15分07秒 （2） 【解析】 【分析】（1）根据数据分别求出甲乙的平均数即可； （2）根据独立事件乘法公式，结合对立事件及互斥事件加法公式计算概率即可. 【小问1详解】 将两人每次比赛成绩减去15分钟， 得其平均数分别为秒， 秒， 故甲近5次比赛成绩的平均数为15分05秒，乙近5次比赛成绩的平均数为15分07秒. 【小问2详解】 记事件“甲这次比赛成绩为优秀”，“乙这次比赛成绩为优秀”，“这次比赛这两人至少有一人的成绩为优秀”， 则， . 16. 如图，在正四棱锥中，分别为棱的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据分别为棱的中点，得到，再由四边形为正方形，得到，然后利用线面平行的判定和面面平行的性质证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，再由是平面的一个法向量，由求解. 【小问1详解】 证明：因为分别为棱的中点， 所以. 又为正四棱锥，所以四边形为正方形， 则，从而. 因为平面平面平面平面， 所以平面平面. 又，所以平面平面. 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 解：因为为正四棱锥， 所以以四边形的中心为坐标原点，过点且与平行的直线为轴，过点且与平行的直线为轴，所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 由，得， 则， 所以. 设平面的一个法向量为， 由得 令，得. 由图可知，是平面的一个法向量. 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为 17. 已知的内角的对边分别为. （1）判断的形状； （2）若是内一点，且，求面积的最大值. 【答案】（1）直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理边角转化再结合余弦定理得出勾股定理计算即可； （2）先设，再应用正弦定理边角转化,表示面积为，最后结合三角恒等变换结合正弦函数的最值计算面积最大值即可. 【小问1详解】 因为，所以. 又，所以. 因为，所以，整理得， 则，故为直角三角形. 【小问2详解】 设.因为，所以. 在中，由正弦定理得. 因为，所以， 则. 设的面积为，则 . 当，即时，取得最大值，即面积的最大值为. 18. 已知函数. （1）求的极值. （2）过点能作两条直线与曲线相切，且切点坐标为，，其中. （i）求的取值范围； （ii）证明：方程在上有解. 【答案】（1）极小值为无极大值 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导分析函数单调性可求函数极值. （2）（i）表示曲线在点处的切线方程，问题转化为直线与曲线有两个交点，分析函数单调性可得结果. （ii）通过分析函数单调性结合零点存在性定理可得结果. 【小问1详解】 因为，所以. 令，得. 当时，单调递减；当时，单调递增. 故当时，取得极小值，且极小值为无极大值. 【小问2详解】 （i）由（1）可知，曲线在点处的切线方程为， 同理，曲线在点处的切线方程为. 因为点在这两条切线上，所以，整理得 令，则由题可知直线与曲线有两个交点. ，当时，单调递增， 当时，，单调递减，则. 因为当时，，当时，， 所以的取值范围为. （ii）由，得，则. 令，则在上单调递增. 由（i）可知，，且，所以， 即，， 则，整理得， 同理可得， 故方程在上有解. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问（i）的关键是把问题转化为直线与曲线有两个交点，通过分析函数单调性可得结果.解决第（2）问（ii）的关键是零点存在性定理的应用. 19. 在平面直角坐标系中，对于曲线上任意一点，总存在点满足关系式：，则曲线变换为曲线，称为平面直角坐标系的伸缩变换，记为. （1）已知曲线，求经过伸缩变换后所得曲线的方程. （2）已知，抛物线经过伸缩变换，得到抛物线，设. （i）求数列的通项公式； （ii）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与相交于点，记（为坐标原点）的面积为，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据伸缩变换的定义可求经过伸缩变换后所得曲线的方程. （2）（i）设上的点经过伸缩变换后得点，利用逆代发求出的方程，可得，再利用累乘法得到数列的通项公式； （ii）求出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理、弦长公式求出的面积为，再利用错位相减法可求数列的前项和. 【小问1详解】 由题意得则 代入的方程，得， 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）设上的点经过伸缩变换后得点， 则则代入的方程， 得， 则的方程为，则. 因为，所以. 又，所以当时，. 又符合上式，所以. （ii）由题可知，的焦点为的方程为，设. 联立方程组整理得， 则， 所以. . 由（i）知，所以， 则，① 则，② ①-②得，③ 则，④ ③-④得 则. 【点睛】解答本题的关键是正确理解伸缩变换的含义，新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄州中小学2024—2025学年上学期期末教育学业质量监测 高中三年级数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 7 B. C. D. 2. 已知向量满足，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 40 B. 45 C. 60 D. 75 5. 已知，且，函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，则该三棱柱外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是偶函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，双曲线的离心率为，若，则点与椭圆的位置关系为（ ） A. 点在椭圆内 B. 点在椭圆上 C. 点在椭圆外 D. 不确定 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为 D. 在上单调递减 11. 空间中，平面上的动点满足方程，则称为平面的方程，同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量.已知方程分别为的平面的交线为，则下列结论正确的是（ ） A. 经过点的平面的方程为 B. 若方程为的平面经过点，则满足条件的实数的个数为3 C. 若平面的方程为，则坐标原点到平面的距离为 D. 与方程为的平面所成角的正弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线平分圆，则__________. 13. 已知，则__________. 14. 用表示点与曲线上任意一点距离的最大值.已知函数，，，.设是曲线上的动点，当时，的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 甲，乙两名运动员即将参加某地运动会的男子1000米自由泳比赛，为了评估这次的比赛成绩，收集了两人近5次的比赛成绩，整理数据得到下表. 甲 14分51秒 15分03秒 15分11秒 14分56秒 15分24秒 乙 15分07秒 14分57秒 15分21秒 15分04秒 15分06秒 （1）分别求这两人近5次比赛成绩的平均数； （2）若规定比赛成绩不超过15分钟为优秀，以这两人近5次比赛成绩的频率估计概率，求这次比赛这两人至少有一人的成绩为优秀的概率. 16. 如图，在正四棱锥中，分别为棱的中点. （1）证明：平面. （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知的内角的对边分别为. （1）判断的形状； （2）若是内一点，且，求面积的最大值. 18. 已知函数. （1）求的极值. （2）过点能作两条直线与曲线相切，且切点坐标为，，其中. （i）求的取值范围； （ii）证明：方程在上有解. 19. 在平面直角坐标系中，对于曲线上任意一点，总存在点满足关系式：，则曲线变换为曲线，称为平面直角坐标系的伸缩变换，记为. （1）已知曲线，求经过伸缩变换后所得曲线的方程. （2）已知，抛物线经过伸缩变换，得到抛物线，设. （i）求数列的通项公式； （ii）过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与相交于点，记（为坐标原点）的面积为，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $