1.3 乘法公式-同步训练 2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册

1.3 乘法公式 一、选择题： 1.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各式中，计算结果正确的是(    ) A. B. C. D. 3.若，，则(    ) A. B. C. D. 4.若是完全平方式，则的值是(    ) A. B. C. D. 5.已知，，则，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 6.已知实数，满足，则代数式的最大值为(    ) A. B. C. D. 7.已知，则的值等于(    ) A. B. C. D. 8.已知任意实数满足等式，，则，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 9.计算： ______． 10.当 ______时，是完全平方公式． 11.已知实数，满足，，则的值为______． 12.已知，则的值是______． 13.已知一个长方形的长为，宽为，它的面积为，周长为，则的值为______． 14.已知实数满足等式和，则           ． 15.，，，则的值为          ． 三、解答题： 16. 计算： ． ． 17. 先化简，再求值：的值，其中． 18. 用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形． 用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式？ 利用中的结论计算：，，求； 根据中的结论，直接写出和之间的关系；若，分别求出和的值． 19. 已知：，，试求： 的值； 的值． 20.已知：，求的值； 已知，求的值． 21.阅读材料：若，求，的值． 解：，， ，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： ，则           ，           ； 已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 已知、、分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，负指数幂和合并同类项法则分别判断即可． 【详解】解：、，原计算正确，故此选项符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：． 2.【答案】  【解析】【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．根据平方差公式的特征，两个两项式相乘，有一项相同，另一项互为相反数，以及完全平方公式对选项进行计算并判断，即可解题． 【详解】解：、，计算结果错误，不符合题意； B、，计算结果正确，符合题意； C、，计算结果错误，不符合题意； D、，计算结果错误，不符合题意； 故选：． 3.【答案】  【解析】本题考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式，灵活对公式进行变形． 先根据求出的值，再根据求出的值，最后根据平方根的意义求解即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 4.【答案】  【解析】利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：是完全平方式， ． 故选C． 5.【答案】  【解析】比较两个含有同一字母的代数式的大小关系时，当无法直接比较两者的大小关系时，可以通过求出两者的“差”，再看“差”的值是“正数”、“负数”或“”来比较两者的大小． 【详解】解，， ， ． 故选：． 6.【答案】  【解析】先整体代入，将原式转化为只含有的代数式，直接求最大值即可． 【详解】，即 时，的最大值为 故选： 7.【答案】  【解析】解：由，得   ， 则，， ． 故选：． 把所给等式整理为个完全平方式的和为的形式，得到，的值，代入求值即可． 考查分式的化简求值，把所给等式整理为个完全平方式的和为的形式是解决本题的突破点；用到的知识点为：个完全平方式的和为，这个完全平方式的底数为． 8.【答案】  【解析】用做差法进行解答即可． 【详解】解： 令，则， ， ， ； 故选：． 9.【答案】  【解析】解： ， 故答案为：． 利用平方差公式计算即可． 本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：是完全平方公式， ， ， 解得． 故答案为． 根据乘积二倍项确定这两个数，再根据完全平方公式把另一个数平方即可． 本题是完全平方公式的应用，根据乘积二倍项确定出这两个数是求解的关键． 11.【答案】  【解析】解：，， ， ． 故答案为：． 根据，，由，求出的值，进而求出的值即可． 此题主要考查了完全平方公式的应用，解答此题的关键是要明确：． 12.【答案】  【解析】解：， ． 两边同除以，整理得， 两边平方，得， 展开，得， ． 故答案为：． 对已知变形为，对此式两边平方可得，将上述式子展开即可解答本题． 本题考查分式的化简求值，掌握完全平方公式的结构是解题关键． 13.【答案】  【解析】解：根据题意得：，， ， ． 故选答案为：． 由长方形的周长及面积可得出，，代入中即可求出结论． 本题考查了完全平方公式的几何背景、长方形的周长以及长方形的面积，利用长方形的周长及面积公式找出，是解题的关键． 14.【答案】  【解析】本题考查了整式的加减、完全平方公式和其性质等知识．对已知条件进行恰当的变形，结合平方的非负性即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】根据，，两两的差是个常数，构造完全平方公式求值． 【详解】解：由题意得：，，．       ． 故答案为：． 【点睛】本题考查求代数式的值，找到，，的关系，利用完全平方差公式计算是求解本 16.【答案】解：原式 ； 原式 ．  【解析】利用负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，绝对值计算即可； 利用平方差及完全平方公式计算即可． 本题考查实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方，绝对值，整式的混合运算，平方差及完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 17.【答案】解： ， 当时，原式．  【解析】先利用完全平方公式，平方差公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18.【答案】解：图中阴影部分可以看作个长为，宽为的长方形面积和，即， 图中阴影部分也可以看作大正方形面积与中间空白小正方形的面积差，即， 因此有； 由得， ； ，，即， ， 或； ， ，而， ， 即， ， ， 即．  【解析】用两种方法分别用代数式表示图中阴影部分的面积即可； 用的结论得到，再代入计算即可； 根据完全平方公式的结构特征可得，再代入计算即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 19.【答案】解： ； ．  【解析】根据，变形即可； 根据，整体代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形运用．熟练掌握公式及其变形的方法是解题的关键． 20.【答案】【小题】 解：， ； 【小题】 令，则，， ， ， ， 解得， ． 【解析】  本题主要考查完全平方公式及其变形： 利用完全平方公式的变形求解；   令，则，，代入原式求出，即可求解． 21.【答案】【小题】 【小题】 解：由得： ， ，， ，； 已知的三边长、、都是正整数，由三角形三边关系知， 的周长为． 【小题】 解：由， 配方可得， 即， ， ，      三角形为等边三角形．   【解析】  本题考查配方法的应用，解题关键是掌握完全平放式的非负性，熟练掌握配方法． 解：由：，得： ， ，， ，， ，． 故答案为：；．   都是用完全平方公式进行配方，再利用偶次方的非负性得平方为的数只有，从而分别得解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$