精品解析：广东东莞市部分学校2024-2025学年八年级上学期期末自查数学试题

2024-2025 学年第一学期初二期末教学质量自查数学试卷 （考试时间：115 分钟 满分：120 分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是2024年巴黎奥运会体有项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A.选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B. 选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意； C. 选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D. 选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形的性质，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性． 故选：C． 3. 下列计算正确的是 （ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】请在此填写本题解析! A. ∵ , 故正确； B. ∵ , 故不正确； C. ∵a3与a2不是同类项，不能合并 ,故不正确； D. ∵ , 故不正确； 故选A. 4. 华为14纳米芯片问世，标志着芯片技术重要突破．已知14纳米毫米，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此即可解答． 【详解】解：用科学记数法表示， 故选：A． 5. 在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面直角坐标系点对称的性质求解，关于x轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数． 【详解】解：∵点A的横坐标为1， ∴点A关于x轴对称的点的横坐标是1， ∵点A的纵坐标为2， ∴点A关于y轴对称的点的纵坐标是-2， ∴点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律． 6. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，分别用3x和3y替换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】分别用3x和3y替换原分式中的x和y， 得， 可见新分式是原分式的3倍． 故选：A． 【点睛】解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 7. 甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（ ）小时 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的运用，列代数式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．船只往返两个码头一次，会有一次顺流、一次逆流，顺流速度静水速度水流速度，逆流速度静水速度水流速度，据此可以列出关系式． 【详解】解：船一次往返两个码头所需的时间为小时， 故选：D． 8. 在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，下图是小睿、小轩、小涵三位同学的折纸示意图（C 的对应点是），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（ ） A. 小睿折出的是边上的中线 B. 小轩折出的是中的平分线 C. 小涵折出的是中边上的高 D. 上述说法都错误 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折叠问题，根据折痕是角平分线，以及折叠的性质，进行判断即可． 【详解】解：A、由折叠可知，，可知为边上的中线，故选项错误； B、由折叠可知，，可知小轩折出的是中的平分线，故选项正确； C、由折叠可知，折痕不经过点，故小涵折出的不是中边上的高，故选项错误； D、B选项正确，故选项错误； 故选B． 9. 如图，，在边上，，，则的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质得出，再根据三角形外角的性质得到，计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：D ． 10. 如图，在等边三角形中，是中线，点P，Q分别在，上，且，动点E在上，则的最小值为（ ） A. 2.5 B. 3 C. D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于的对称点，连接交于，此时的值最小．最小值． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，，， ，， 如图，作点P关于的对称点，连接交于， 此时的值最小．最小值，     ， ∴， ∴，而， 是等边三角形， ， 的最小值为3． 故选B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不等于0时，分式有意义，列出不等式即可得出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得，． 故答案为． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式有意义，分母不为0”是解本题的关键． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底． 13. 已知：，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法，即可得到答案． 【详解】解：∵， ， 故答案为： ． 14. 已知等腰三角形的一个内角为，则其顶角的大小为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分的角是顶角和底角两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当的角为顶角时，顶角即为； 当的角为底角时，顶角为； ∴顶角的大小为或， 故答案为：或． 15. 如图，，，，如果点P在线段上以/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是____________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解，利用全等三角形对应边相等，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意知，，， ， ①当时， ∴， ， ； ②当时， ∴， ， ， 综上，当的值是1或时，能够使与全等， 故答案为：1或． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分） 16. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和整式的混合计算： （1）先计算立方根，零指数幂和负整数指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，，． （1）用尺规作图作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的作法，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，解题的关键是掌握角平分线的作法，熟连运用相关知识进行角和边的转化． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据三角形内角和求出的度数，根据角平分线的定义得出，继而利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边求出，，继而可得结果． 小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴． 18. 先化简，然后从，，，中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内计算，再计算除法，再从，，，四个数中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子，计算即可得到答案． 【详解】解：原式， ， ； 要使分式有意义，则，， ， 当时，原式 故答案：； ． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， （1）该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； （2）该机器人从开始到停止所需时间为_______； （3）若机器人还差就第次回到点处,则它所走过的路程为_____． 【答案】（1）正八边形；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数； （2）求出多边形的周长，利用周长除以速度即可求得所需时间 （3）求出n次的路径长减去4即可． 【详解】解：（1）由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形， 多边形的边数为：360°÷45°=8， 所以，该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是正八边形， 故答案为：正八边形； （2）该机器人所走的路程是：4×8=32（m）， 则所用时间是：32÷2=16（s）． 故答案是：16； （3）已知机器人n次回到原点的路程为：n×32=32n， 还差4m，即：（32n-4）m． 故答案为：（32n-4）m． 【点睛】本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键． 20. 如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高于于．小明在自家阳台处测得办公楼顶部的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台处测得办公楼顶部的视线与水平线的夹角．已知三点共线，与互余，且，求办公楼的高度． 【答案】办公楼的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，余角的定义，三角形内角和定理，先由余角的定义得到，再由垂线的定义结合三角形内角和定理得到，则，再证明， ，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：与互余， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， 办公楼高度为． 21. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元． （1）求第一批购进书包的单价是多少元？ （2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？ 【答案】（1）80 （2）3700 【解析】 【分析】（1）求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：“数量是第一批购进数量的3倍”；等量关系为：6300元购买的数量＝2000元购买的数量×3． （2）盈利＝总售价−总进价． 【小问1详解】 解：设第一批购进书包的单价是x元．第二批供应书包单价（x＋4）元 则：×3＝． 解得：x＝80． 经检验：x＝80是原方程的根． 答：第一批购进书包的单价是80元． 【小问2详解】 ×（120−80）＋×（120−84）＝3700（元）． 答：商店共盈利3700元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你用两种方法表示出图2总面积： 方法1： ， 方法2： ， 根据上面两种面积表示方法，写出一个关于a，b的公式： ； （2）已知图2的总面积为64，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为40，求的值； （3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，如果，，求图3阴影部分的面积． 【答案】（1），， （2）12 （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式几何背景的应用： （1）一种方式为拼成的正方形边长的平方，另一种方式为四张纸板的面积之和，两者相等即可得到对应的公式； （2）由题意，，再根据完全平方公式的变形即可求解； （3）用含，的式子表示出阴影部分的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：用两种方法表示出图2的总面积为：方法1；；方法2：， ∴关于a，b的公式为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由题意得，， ； 【小问3详解】 解：图3阴影部分的面积为： ， ，， 图3阴影部分的面积为． 23. 在数学活动课上，王老师提出这样一个问题： 在中，是边上的中线，若，，你能判断的取值范围吗？ 如图①，小明同学考虑到，利用线段相等，可以构造全等把一些分散的已知条件整合在一个三角形里，因此得到如下解题思路：延长到，使，连接，构造一对全等三角形，然后在中就可以判断的取值范围，从而求出的取值范围． （1）按照上述思路，请完成小明的证明过程； （2）类比上述解题思路，解决问题：如图②，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点，若，，，求的长． （3）如图③，王老师在原外部，以为直角顶点作两个等腰直角三角形，分别为与，连接，猜想与中线的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． （1）证明，得出，由三角形三边关系可得出答案； （2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案； （3）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【小问1详解】 是边上的中线， ． 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【小问2详解】 ， ，， 是边上的中线， ， ， ， ， ，， ． 【小问3详解】 ． 理由：延长至，使，连接，如图所示： 由（1）得：， ，， ， ， 即， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025 学年第一学期初二期末教学质量自查数学试卷 （考试时间：115 分钟 满分：120 分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是2024年巴黎奥运会体有项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两直线平行，内错角相等 3. 下列计算正确的是 （ ）. A. B. C. D. 4. 华为14纳米芯片问世，标志着芯片技术重要突破．已知14纳米毫米，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 不变 C. 缩小3倍 D. 扩大9倍 7. 甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（ ）小时 A. B. C. D. 8. 在一次数学实践活动课上，学生进行折纸活动，下图是小睿、小轩、小涵三位同学的折纸示意图（C 的对应点是），分析他们的折纸情况，下列说法正确的是（ ） A. 小睿折出的是边上的中线 B. 小轩折出的是中的平分线 C. 小涵折出的是中边上的高 D. 上述说法都错误 9. 如图，，在边上，，，则的度数为（     ） A B. C. D. 10. 如图，在等边三角形中，是中线，点P，Q分别在，上，且，动点E在上，则的最小值为（ ） A. 2.5 B. 3 C. D. 3.5 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是 _______． 12. 分解因式：______． 13. 已知：，，则________． 14. 已知等腰三角形的一个内角为，则其顶角的大小为______． 15. 如图，，，，如果点P在线段上以/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是____________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分） 16 计算： （1） ； （2）． 17. 如图，在中，，． （1）用尺规作图作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，时，求的长． 18. 先化简，然后从，，，中选取一个合适的数作为的值代入求值． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走， （1）该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____； （2）该机器人从开始到停止所需时间_______； （3）若机器人还差就第次回到点处,则它所走过的路程为_____． 20. 如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高于于．小明在自家阳台处测得办公楼顶部的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台处测得办公楼顶部的视线与水平线的夹角．已知三点共线，与互余，且，求办公楼的高度． 21. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元． （1）求第一批购进书包的单价是多少元？ （2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积： 方法1： ， 方法2： ， 根据上面两种面积表示方法，写出一个关于a，b的公式： ； （2）已知图2总面积为64，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为40，求的值； （3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，如果，，求图3阴影部分的面积． 23. 在数学活动课上，王老师提出这样一个问题： 在中，是边上的中线，若，，你能判断的取值范围吗？ 如图①，小明同学考虑到，利用线段相等，可以构造全等把一些分散的已知条件整合在一个三角形里，因此得到如下解题思路：延长到，使，连接，构造一对全等三角形，然后在中就可以判断的取值范围，从而求出的取值范围． （1）按照上述思路，请完成小明的证明过程； （2）类比上述解题思路，解决问题：如图②，在中，是边上的中线，是边上一点，过点作交的延长线于点，若，，，求的长． （3）如图③，王老师在原外部，以为直角顶点作两个等腰直角三角形，分别为与，连接，猜想与中线的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$