第12讲 相交线与平行线 单元综合检测（难点）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第12讲 相交线与平行线 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是，那么这两个角相等 【答案】C 【分析】本题考查了逆命题以及判断命题的真假，写出各命题的逆命题即可判断. 【解析】解：对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，为假命题，故A不符合题意； 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题为：绝对值相等的两个数相等．因为绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故逆命题为假命题，故B不符合题意； 两直线平行，同位角相等的逆命题为：同位角相等，两直线平行，为真命题，故C符合题意； 如果两个角都是，那么这两个角相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们都为，为假命题，故D不符合题意； 故选：C 2．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　） A． B．0 C．﹣1 D．﹣2 【答案】D 【分析】根据实数的大小比较法则、乘方法则解答． 【解析】解：﹣2＜1， ， ∴当n＝﹣2时，“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题， 故选：D． 【点睛】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握比较方法是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（　　） A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90 C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离 【答案】D 【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D． 【解析】解：A、∵∠CDA＝60， ∴直线AD与直线BC的夹角是60，正确，故不符合题意； B、∵∠ACD＝90， ∴直线AC与直线BC的夹角是90，正确，故不符合题意； C、∵∠ACD＝90， ∴DC⊥AC， ∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故不符合题意； D、∵BD和AD不垂直， ∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，以及直线与直线的夹角，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长． 4．用反正法证明命题“如图，如果，，那么”时，证明的第一个步骤是（    ） A．假设不平行于 B．假设不平行于 C．假设 D．假设不平行于 【答案】B 【分析】用反证法证明命题的第一步为从原命题结论的反面出发即可． 【解析】命题的结论为， ∴反证法的第一步应为：假设CD不平行于EF． 故选：B． 【点睛】本题考查反证法，了解反证法的定义和步骤是解答本题的关键． 5．设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（　　） A．若a//b，b//c，则a//c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a⊥b，b⊥c，则a//c D．若a//b，b⊥c，则a⊥c 【答案】B 【解析】根据平行线的判定定理及垂直的性质逐项进行分析即可解答． 【解答】解：A．根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，则本选项正确，不合题意， B．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，故本选项错误，符合题意， C．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a∥c，本选项正确，不合题意， D．根据平行线的性质，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的判定定理及性质、垂直的性质等知识点，灵活运用相关的性质定理并是解答本题的关键． 6．如图，下列推理中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【解析】解：A、由内错角相等，两直线平行可知如果，那么，不能得到，故此选项不符合题意； B、由内错角相等，两直线平行可知如果，那么，故此选项符合题意； C、由同旁内角互补，两直线平行可知，如果，那么，故此选项不符合题意； D、由同旁内角互补，两直线平行可知，如果，那么，故此选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 7．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是（    ） A．第一次右拐50°，第二次左拐130° B．第一次左拐50°，第二次右拐50° C．第一次左拐50°，第二次左拐130° D．第一次右拐50°，第二次右拐50° 【答案】B 【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等． 【解析】解：如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前进，可以得到∠1=∠2． 因此，第一次与第二次拐的方向不相同，角度要相同， 故只有B选项符合， 故选B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，注意要想两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则拐的方向应相反，角度应相等． 8．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为（　　） A．60°、115°、135° B．45°、60°、105°、135° C．15°、30°、45°、135° D．45°、60°、30°、15° 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，再由平行线的性质定理即可得出结论． 【解析】解：如图 当∥时，； 当∥时，； 当∥ 时，∵， ∴； 当∥时，∵ ， ∴． 故选B 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键． 9．已知n（n≥3，且n为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当n=3时，共有2个交点；当n=4时，共有5个交点；当n=5时，共有9个交点；…依此规律，当共有交点个数为27时，则n的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】分析：首先通过观察图形，找到交点个数与直线条数之间的关系式，然后根据交点个数为27，列出关于n的方程，解方程求出n的值即可． 详解：∵当n=3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n−1.即： 当n=3时，共有2个交点； 当n=4时,共有5个交点； 当n=5时,共有9个交点； …， ∴n条直线共有交点2+3+4+…+(n−1)=个. 解方程=27,得n=8或−7(负值舍去). 点睛：本题考查了相交线. 10．①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°； ④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断． 【解析】解：①过点E作直线， ∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误； ②过点E作直线， ∵， ∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C， ∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确； ③过点E作直线， ∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确； ④如图，过点P作直线， ∵，∴， ∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC， ∵∠FPA=∠FPC+∠CPA， ∴∠1＝∠C＋∠CPA， ∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确． 综上所述，正确的小题有②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 二、填空题 11．把“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式 ． 【答案】如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行 【分析】先分清命题“内错角相等，两直线平行”的题设与结论，然后把题设写在如果的后面，结论部分写在那么的后面． 【解析】解：“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式为如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行． 【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；解题的关键是掌握命题由题设和结论两部分组成． 12．如图，运动会上，小明以直线为起跳线，两脚落在点P处，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为米，米，则小明的真实成绩为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是垂线段最短，熟知“垂线段最短”是解答此题的关键． 根据垂线段最短即可得出结论． 【解析】解：∵小明的真实成绩为点P到直线的距离， ∴小明的真实成绩为米， 故答案为：． 13．根据同位角的概念：两条直线被第三条直线所截而形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同侧，写出图中的一个同位角： ． 【答案】（或） 【分析】本题考查了同位角，结合题意：同位角的概念：两条直线被第三条直线所截而形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同侧，且结合图形，即图中的一个同位角是或，进行作答． 【解析】解：依题意，图中的一个同位角是或， 故答案为：（或）． 14．如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转 度． 【答案】42 【分析】先根据邻补角进行计算得到，根据平行线的判定当b与a的夹角为时，，由此得到直线b绕点A逆时针旋转． 【解析】解：如图：    ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴直线b绕点A逆时针旋转． 故答案为：42． 【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键． 15．如图，已知∠1=72°，∠4=110°，∠3=70°，则∠2= ． 【答案】72°/72度 【分析】先根据平行线的判定定理得到ab，然后再利用平行线的性质即可解答． 【解析】解：∵∠4＝110°，∠3＝70°， ∴∠3+∠4＝180°， ∴ab， ∴∠2＝∠1＝72°． 故答案为：72°． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握同旁内角互补两直线平行、两直线平行内错角相等是解答本题的关键． 16．两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是 ． 【答案】或 【分析】设一个角度数为x，则另一个角度数为，根据等量关系，列出方程，即可求解． 【解析】∵两个角的两边分别平行， ∴两个角相等或互补， 设一个角度数为x，则另一个角度数为， 由题意得：或，解得：或． ∴或 答：这两个角的度数分别是：或． 故答案是：或． 【点睛】本题主要考查一元一次方程和角的运算综合，根据“两个角的两边分别平行”得：两个角相等或互补，是解题的关键． 17．如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的性质，结合直线，得，，，即可作答． 【解析】解：∵， ∴，，， 其中所有正确结论的序号是①③④， 故答案为：①③④． 18．沈阳市政府拟定在中央公园建设大型灯光秀，在某平行湖道两岸所在直线、安装探照灯，若灯P发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯Q发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯P光束转动的速度是10度/秒，灯Q光束转动的速度是4度/秒，在两灯同时开启后的35秒内，开启 秒时，两灯的光束互相垂直． 【答案】或或 【分析】设开启秒后，两灯的光束互相垂直，分，时，灯光返回，第一次与垂直和时，灯光返回，第二次与垂直，三种情况讨论求解即可． 【解析】解：灯P照射一次，需要秒，灯Q照射一次，需要秒，设开启秒后，两灯的光束互相垂直； ①当时，两灯光垂直于点，过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：； ②当时，灯光返回，第一次与垂直，过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：； ③当时，灯光返回，第二次与垂直，过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 解得：； 综上：开启秒或秒或秒时，两灯的光束互相垂直． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质的应用．通过添加辅助线，构造平行线，利用平行线的性质，进行求解，是解题的关键．注意分类讨论． 三、解答题 19．如图，直线与直线相交于点． (1)按要求完成画图． 过点画，交于点； 过点画，垂足为； (2)在（）所画的图形中，按要求完成下列问题． 点到直线的距离是线段_________的长； 写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 图见解析 (2) ，理由见解析 【分析】（）按照作平行线的方法作图即可； 按照作垂线的方法作图即可； （）由题意即可直接得出答案； 根据平行线的性质和平角的定义即可得出结论． 【解析】（1）解：如图所示： 即为所求作； （2）解：由题意可知，点到直线的距离是线段的长， 故答案为：； ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了画平行线，画垂线，点到直线的距离，平行线性质的应用等知识点，熟练掌握基本的作图方法和技巧是解题的关键． 20．如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角互补，对顶角相等．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． （1）由，平分，根据对顶角的性质，即可求解． （2）由，，可得，，结合对顶角相等求解即可． 【解析】（1）解：平分 ． 又 ． 又 ． （2），． 平分， ， ， 又， ． 21．如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由． 补全以下解题过程： 解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以__________=__________°（角平分线的定义） 又因为， 所以____________________， 所以（__________）． 【答案】；60；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，先因为，平分，得，结合，则，即可证明． 【解析】解：解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以（角平分线的定义） 又因为， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；60；；；同位角相等，两直线平行． 22．如图，直线，点在的延长线上，，，分别是，，的平分线． (1)试说明：； (2)试说明：． 【答案】(1)理由见解析 (2)理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义， （1）先说明，再结合角平分线的定义及平行线的判定即可得出结论； （2）求出的度数，即可推出； 解题的关键是掌握平行线的判定和性质． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 23．数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等” 老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法． 如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么” 如图2 假设，过点O作直线，使， 依据基本事实______． 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 【答案】同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】 直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案． 【解析】解：假设，过点O作直线，使，依据基本事实同位角相等，两直线平行， 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线， 这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键． 24．如图，直线和直线相交于点，连接，点，，分别在，，上，连接，，是上一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质． （1）先根据同角的补角的相等得到，则，即可证明； （2）得到，由得到，平分得到，即可求出的度数． 【解析】（1）证明：∵，， ， ， ． （2）解：∵， ． 又∵， ． 又∵平分， ， ． 25．如图，已知，． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． (1)与平行吗？请说明理由； 证明：∵， ∴__________，（    ） ∴__________，（        ） ∵， ∴__________（等量代换）， ∴．（        ） (2)若平分，，，求的度数． 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴__________，（角平分线的定义） ∴（已证）， 又∵， ∴（垂直定义）， ∵， ∴__________（两直线平行，同位角相等）， ∴__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂线的定义． （1）结合图形，根据题干推理填空即可； （2）结合图形，根据题干推理填空即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴，（同位角相等，两直线平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵， ∴（等量代换）， ∴．（同旁内角互补，两直线平行） （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴（已证）， 又∵， ∴（垂直定义）， ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴． 26．如图，平面上有六条两两不平行的直线．试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了平面内的相交线，反证法，解题的关键是用反证法证明． 把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的，这样，我们就可将所有的直线移动，使它们相交于同一点，此时，情况就相对简单得多． 【解析】解：如图，在平面上任取一点O，过点O分别作这6条直线的平行线，则由平行线的特性，知直线之间互成的角与原来的6条直线之间互成的角相等． 现在我们考虑直线的情况，观察直线与，与与与所成的角，由图不难发现这6个角合成一个平角，即这6个角的和为． 假设这6个角没有一个小于，则这6个角都大于或等于，从而这6个角的和至少为，这是不可能的，所以这6个角中至少有一个角小于． 不妨设与所成的角小于， 则原来的直线与所成的角也必小于． 27．如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一点，连接，在射线上取点，连接，使得，当，时，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据角平分线的定义可得，结合，可得，即可证明； （2）设，则，由，可得，，进而得到，由角平分线的定义可得，根据，列方程即可求解． 【解析】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）设， ，， ， 由（1）知：， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得：， 即． 28．已知：CD，点E、F分别在、上，M为与之间一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，平分，的平分线与的反向延长线交于点N，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，请直接写出的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)60° (3) 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）过M向左作，利用平行线的性质得到，，然后利用角的和差解题即可； （2）设直线、交于点G，由（1）得，，，过F作，则有，然后根据解题即可； （3）设，则有，过点T向右作，可得，由（1）得，可以求出，进而计算，即可求比值． 【解析】（1）过M向左作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）设直线、交于点G， ∵平分， ∴， 设 ∵， 由（1）得，， ∴， 由（1）得，， ∴， 过F作，则，， ∴， 于是得，，解得， ∴. （3）设， ∵平分， ∴， 过点T向右作， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 相交线与平行线 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是，那么这两个角相等 2．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　） A． B．0 C．﹣1 D．﹣2 3．如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（　　） A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90 C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离 4．用反正法证明命题“如图，如果，，那么”时，证明的第一个步骤是（    ） A．假设不平行于 B．假设不平行于 C．假设 D．假设不平行于 5．设a、b、c为同一平面内的三条直线，下列判断不正确的是（　　） A．若a//b，b//c，则a//c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a⊥b，b⊥c，则a//c D．若a//b，b⊥c，则a⊥c 6．如图，下列推理中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 7．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是（    ） A．第一次右拐50°，第二次左拐130° B．第一次左拐50°，第二次右拐50° C．第一次左拐50°，第二次左拐130° D．第一次右拐50°，第二次右拐50° 8．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当∠BAD＝15°时，BC∥DE，则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为（　　） A．60°、115°、135° B．45°、60°、105°、135° C．15°、30°、45°、135° D．45°、60°、30°、15° 9．已知n（n≥3，且n为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当n=3时，共有2个交点；当n=4时，共有5个交点；当n=5时，共有9个交点；…依此规律，当共有交点个数为27时，则n的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 10．①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 二、填空题 11．把“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式 ． 12．如图，运动会上，小明以直线为起跳线，两脚落在点P处，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为米，米，则小明的真实成绩为 米． 13．根据同位角的概念：两条直线被第三条直线所截而形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同侧，写出图中的一个同位角： ． 14．如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转 度． 15．如图，已知∠1=72°，∠4=110°，∠3=70°，则∠2= ． 16．两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个分别是 ． 17．如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 18．沈阳市政府拟定在中央公园建设大型灯光秀，在某平行湖道两岸所在直线、安装探照灯，若灯P发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯Q发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯P光束转动的速度是10度/秒，灯Q光束转动的速度是4度/秒，在两灯同时开启后的35秒内，开启 秒时，两灯的光束互相垂直． 三、解答题 19．如图，直线与直线相交于点． (1)按要求完成画图． 过点画，交于点； 过点画，垂足为； (2)在（）所画的图形中，按要求完成下列问题． 点到直线的距离是线段_________的长； 写出与的数量关系，并说明理由． 20．如图，直线相交于点平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； 21．如图，已知，平分，交直线于点F，若，则与平行吗？请说明理由． 补全以下解题过程： 解：平行．理由如下： 因为，平分， 所以__________=__________°（角平分线的定义） 又因为， 所以____________________， 所以（__________）． 22．如图，直线，点在的延长线上，，，分别是，，的平分线． (1)试说明：； (2)试说明：． 23．数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等” 老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法． 如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么” 如图2 假设，过点O作直线，使， 依据基本事实______． 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 24．如图，直线和直线相交于点，连接，点，，分别在，，上，连接，，是上一点，连接，已知． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数（用含的式子表示）． 25．如图，已知，． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． (1)与平行吗？请说明理由； 证明：∵， ∴__________，（    ） ∴__________，（        ） ∵， ∴__________（等量代换）， ∴．（        ） (2)若平分，，，求的度数． 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴__________，（角平分线的定义） ∴（已证）， 又∵， ∴（垂直定义）， ∵， ∴__________（两直线平行，同位角相等）， ∴__________． 26．如图，平面上有六条两两不平行的直线．试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于． 27．如图，平分，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一点，连接，在射线上取点，连接，使得，当，时，求的度数； 28．已知：CD，点E、F分别在、上，M为与之间一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，平分，的平分线与的反向延长线交于点N，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，请直接写出的值为 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$