第11讲 相交线与平行线 单元综合检测（重点）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第11讲 相交线与平行线 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．对于命题“若，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 4．小峰同学家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段去公路边，这一选择用到的数学知识是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 5．如图，在下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 7．已知a//b，点在直线上，且，，那么（   ） A． B． C． D． 8．下列命题中，真命题有（   ） ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④相等的角是对顶角； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图，已知，点A、E在直线a上，点B、C在直线b上，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定． 10．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（    ）．    A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120 二、填空题 11．如图，，，垂足为，线段 的长表示点到直线的距离．    12．如图，过点画直线的平行线，能画 条，依据是： ． 13．如图，直线a、b相交，，则 度． 14．命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为 ，逆命题为 ． 15．如图，于A点，过A点作，若，则 ． 16．如图，平分，，，则 ． 17．如图，直线，交于点，交于点，若，，则 度． 18．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图1中的的度数是 ． 三、解答题 19．如图所示，从标有数字的角中找出： (1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角. (2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角. (3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角. 20．按下列要求画图并填空：如图，直线AB与CD相交于点O，P是CD上的一点． (1)过点P画出CD的垂线，交直线AB于点E； (2)过点P画PF⊥AB，垂足为点F； (3)点O到直线PE的距离是线段　　的长； (4)点P到直线CD的距离为　　． 21．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE于点O，若∠AOC＝60°，求∠BOF的度数． 解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（　　） ∴∠　　＝　　° ∵OE平分∠BOD（  已知  ） ∴∠BOE＝∠　　＝　　°（　 　） ∵OF⊥OE（ 已知 ） ∴∠EOF＝　　°（　 　 ） ∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF ∴∠BOF＝　 　°． 22．如图，点分别是的边上的点，，．求证：． 23．完成下面的解答过程： 如图，，，平分，求证：． 24．已知：如图，，问吗？试说明理由．    25．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 26．如图，已知，，分别是，的平分线． (1)求证：． 证明：因为（已知）， 所以（________）． 因为平分（已知）， 所以________（________）． 同理________． 所以， 所以（________）． (2)请说出（1）中用到了哪两个互逆的真命题． 27．如图，、分别交于点M、N，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 28．如图，点C，D在直线上，，． (1)求证：． (2)的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M．若，再求的度数． 29．已知：直线分别交直线，于点G，H，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M，N分别在射线，上，点P，Q分别在射线，上，连接，，且，分别延长，交于点K，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，且平分，若，请直接写出的度数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 相交线与平行线 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列选项中，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角．同位角是两直线被第三条直线所截形成的，具有特殊位置关系的两个角，解决本题的关键是观察图中两个角的位置关系，是否符合同位角的位置关系． 【解析】解：A选项：和是两条直线被第三条直线所截形成的，都在被截直线的上方，在截线的右侧，符合同位角的位置关系，所以和是同位角，故A选项符合题意； B选项：和不是两条直线被第三条直线所截形成的，所以不是同位角，故B选项不符合题意； C选项：和是两条直线被第三条直线所截形成的，但是在截线的右侧，在截线的左侧，所以和不是同位角，故C选项不符合题意； D选项：和不是两条直线被第三条直线所截形成的，所以不是同位角，故D选项不符合题意； 故选：A ． 2．如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可得出结果． 【解析】解：∵，， ∴； 故选B． 3．对于命题“若，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用举反例说明命题是假命题，要求举出的例子符合命题的条件，但不符合命题的结论；根据这一特点判断即可． 【解析】解：A、例子符合命题的条件，也符合命题的结论，故不是举反例； B、例子不符合命题的条件，也不符合命题的结论，故不是举反例； C、例子不符合命题的条件，但符合命题的结论，故不是举反例； D、例子符合命题的条件，但不符合命题的结论，故是举反例； 故选：D． 4．小峰同学家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段去公路边，这一选择用到的数学知识是（    ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线段的性质：点到直线的所有连线中，垂线段最短．根据垂线段的性质解答即可． 【解析】解：小峰同学的家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快地到达公路边，他选择沿线段去公路边，是因为垂线段最短； 故选：B． 5．如图，在下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定方法逐一分析即可． 【解析】解：，根据内错角相等，两直线平行，能判定，故A符合题意； 不能判定，故B不符合题意； 不能判定，故C不符合题意； ，结合同旁内角互补，两直线平行，可得，故D不符合题意； 故选A 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 6．已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】C 【分析】根据平行公理的推论进行分析判断即可． 【解析】解：A．如果，，那么，故A正确，不符合题意； B．如果，，那么，故B正确，不符合题意； CD．如果，，那么，而不是，故C错误，符合题意，D正确不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行公理及推理，解题关键在于掌握“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”和“垂直于同一条直线的两直线平行”． 7．已知a//b，点在直线上，且，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据∠1=36°，由AB⊥BC求出∠3的度数，再a//b即可得出答案． 【解析】解：∵AB⊥BC，∠1=36°， ∴∠3+∠1=90°． ∴∠3=54°， ∵a//b， ∴∠2=∠3=54°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键． 8．下列命题中，真命题有（   ） ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④相等的角是对顶角； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理； 根据平行线的判定、对顶角、平行线等知识逐项判断即可； 【解析】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交两种，故原命题错误，是假命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题； ④相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题； 真命题有2个， 故选：A 9．如图，已知，点A、E在直线a上，点B、C在直线b上，且，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定． 【答案】C 【分析】先根据平行线之间的距离可得点到直线的距离相等，再利用三角形的面积公式即可得． 【解析】解：， 点到直线的距离相等， 设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离，掌握理解平行线之间的距离是解题关键． 10．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（    ）．    A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120 【答案】D 【分析】分两种情况：当时；当时，然后分别利用平行线的性质是解题的关键． 【解析】解：分两种情况： 当时，如图：    ∵， ， ， ； 当时，如图：    ∵， ； 综上所述：如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 二、填空题 11．如图，，，垂足为，线段 的长表示点到直线的距离．    【答案】/ 【分析】根据点到直线的距离为这一点到直线的垂线段的距离，即可求解． 【解析】解：由题意可得：， 线段的长表示点到直线的距离， 故答案为：． 【点睛】此题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解点到直线的距离的概念． 12．如图，过点画直线的平行线，能画 条，依据是： ． 【答案】 1, 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解答． 【解析】解：过点A画直线l的平行线，能画一条， 依据是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 故答案为：1；经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【点睛】本题考查的是平行公理，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键． 13．如图，直线a、b相交，，则 度． 【答案】140 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等成为解题的关键． 先根据对顶角相等和已知条件求得，再根据平角的性质列式计算即可． 【解析】解：∵，（对顶角相等）， ， ． 故答案为：140． 14．命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为 ，逆命题为 ． 【答案】 如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行 两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查命题和逆命题的定义，熟练掌握命题与逆命题的定义是解题的关键．利用命题可以写成“如果那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论解答第一题空，利用逆命题的定义解答第二题空即可． 【解析】解：命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式，为“如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行”， 逆命题为“两直线平行，同位角相等”， 故答案为：如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行；两直线平行，同位角相等． 15．如图，于A点，过A点作，若，则 ． 【答案】45°/45度 【分析】本题考查平行线的性质和垂线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．先根据补角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【解析】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，平分，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线．熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 由平行线的性质，角平分线的定义可得，，，计算求解即可． 【解析】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 17．如图，直线，交于点，交于点，若，，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，得出，进而根据即可求解． 【解析】解：如图所示，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若图3中，则图1中的的度数是 ． 【答案】24°/24度 【分析】先根据平行线的性质，设∠DEF＝∠EFB＝a，图2中根据图形折叠的性质得出∠AEF的度数，再由平行线的性质得出∠GFC，图3中根据∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG即可列方程求得a的值． 【解析】∵， ∴设∠DEF＝∠EFB＝a， 图2中，∠GFC＝∠BGD＝∠AEG＝180°﹣2∠DEF＝180°﹣2a， 图3中，∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝180°﹣2a﹣a＝108°． 解得a＝24°． 即∠DEF＝24°， 故答案为：24°． 【点睛】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 三、解答题 19．如图所示，从标有数字的角中找出： (1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角. (2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角. (3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角. 【答案】(1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角是∠2和∠5； (2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角是∠1和∠7；(3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角是∠3和∠4 【分析】根据两条直线被第三条直线所截，所形成的角中，两角在两条直线的中间，第三条直线的两旁，可得内错角，两角在两直线的中间，第三条直线的同侧，可得同旁内角，两角在两条直线的同侧，第三条直线的同侧，可得同位角. 【解析】解：(1)直线CD和AB被直线AC所截构成的内错角是∠2和∠5. (2)直线CD和AC被直线AD所截构成的同位角是∠1和∠7. (3)直线AC和AB被直线BC所截构成的同旁内角是∠3和∠4. 【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成F形，内错角的边构成Z形，同旁内角的边构成U形． 20．按下列要求画图并填空：如图，直线AB与CD相交于点O，P是CD上的一点． (1)过点P画出CD的垂线，交直线AB于点E； (2)过点P画PF⊥AB，垂足为点F； (3)点O到直线PE的距离是线段　　的长； (4)点P到直线CD的距离为　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)OP (4)0 【分析】（1）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可； （2）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可； （3）根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离解答即可； （3）根据直线上的点到这条直线的距离等于0解答即可． 【解析】（1）解：如图，直线PE即为所求； （2）解：如图，直线PF即为所求； （3）解：点O到直线PE的距离是线段OP的长． 故答案为：OP； （4）解：由图可知，点P到直线CD的距离为0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了垂线的作法，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE于点O，若∠AOC＝60°，求∠BOF的度数． 解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（　　） ∴∠　　＝　　° ∵OE平分∠BOD（  已知  ） ∴∠BOE＝∠　　＝　　°（　 　） ∵OF⊥OE（ 已知 ） ∴∠EOF＝　　°（　 　 ） ∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF ∴∠BOF＝　 　°． 【答案】已知；BOD；60；BOD；30；角平分线的定义；90；垂直定义；60 【分析】利用对顶角的性质以及角平分线的定义得出∠BOE的度数，再利用垂直定义得出∠BOF的度数． 【解析】解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（已知）， ∴∠BOD＝60°， ∵OE平分∠BOD（已知）， ∴∠BOE＝∠BOD＝30°（角平分线的定义）， ∵OF⊥OE（已知）， ∴∠EOF＝90°（垂直定义）， ∵∠BOF+∠BOE＝∠EOF， ∴∠BOF＝60°． 故答案为：已知；BOD；60；BOD；30；角平分线的定义；90；垂直定义；60． 【点睛】此题主要考查了对顶角的性质，垂直定义以及角平分线的定义，得出∠BOE的度数是解题关键． 22．如图，点分别是的边上的点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题关键．根据平行线的性质和判定证明即可． 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．完成下面的解答过程： 如图，，，平分，求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得，由此可判定，再由平行线的性质求解即可． 【解析】证明：∵， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的性质和判定是解题的关键． 24．已知：如图，，问吗？试说明理由．    【答案】，理由见解析 【分析】先证明，根据平行线的性质和等量代换可得，证出，即可得． 【解析】，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 25．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【解析】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 26．如图，已知，，分别是，的平分线． (1)求证：． 证明：因为（已知）， 所以（________）． 因为平分（已知）， 所以________（________）． 同理________． 所以， 所以（________）． (2)请说出（1）中用到了哪两个互逆的真命题． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行 (2)“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行” 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据，可得，由角平分线的定义可得，，推出，即可证明； （2）根据（1）的证明即可求解． 【解析】（1）证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， 平分（已知）， （角平分线的定义）， 同理， ， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行． （2）（1）中用到的互逆真命题为“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行” ． 27．如图，、分别交于点M、N，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质和判定，掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键： （1）根据，得到，进而得到，即可得证； （2）根据平行线的性质结合已知条件，得到，求解即可． 【解析】（1）证明：， ，（两直线平行，内错角相等） 又， ，（等量代换） ，（同位角相等，两直线平行） （2）， ，（两直线平行，同旁内角互补） ，（两直线平行，内错角相等） 又，， ， 解得：． 28．如图，点C，D在直线上，，． (1)求证：． (2)的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M．若，再求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据平角的性质进行等量代换，得到，利用同位角相等即可证明平行； （2）根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用平行线的性质，即可求出的度数． 【解析】（1）证明：，， ， ； （2）解：，即， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． 29．已知：直线分别交直线，于点G，H，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M，N分别在射线，上，点P，Q分别在射线，上，连接，，且，分别延长，交于点K，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，且平分，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）对顶角相等，得到，进而得到，即可得证； （2）过K作，则，推出，即，即可得证； （3）过M作，过K作，易得，设，，推出，求出x的值，即可得出结果． 【解析】（1）证明：∵， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，由（1）知，，    过K作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 即． （3）解：如图，过M作，过K作，    ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义，垂直的定义，解决本题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质进行导角． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$