第10讲 命题与证明（三类知识点+十大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第10讲 命题与证明（十大题型） 学习目标 1． 掌握命题的定义，并会判断真命题与假命题; 2． 知道互逆命题，并会写出一个命题的逆命题并判断其真假;掌握反证法的步骤并会用其证明； 3． 判断假命题时会举反例，掌握举例证明. 知识点1 命题 前面我们见过一些可以判断真假的语句.例如： (1)两个有理数相乘，同号得正，异号得负； (2)已知a、b是任意两个数，如果a²=b²,那么a=b; (3)对顶角相等； (4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； (5)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 像这样，用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.上述命题中，(1)(3)(4)(5)都可以被证明是真命题；而(2)是假命题，比如，a=1,b=-1,虽然 a²=b²=1,但是a≠b. 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 命题(3)“对顶角相等”是一个简洁表述的命题，它也可以改写成“如果……, 那么……”的形式，叙述为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 知识点2 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题. 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题. 知识点3 证明 1.证明：除了公理之外，真命题需要经过证明才能确认. 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”,再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤： (1)根据题意画出示意图； (2)根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”; (3)写出由条件推出结论的完整过程. 2.反例：要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子.这样的例子通常称为反例. 【即学即练1】下列语句中，不是命题的是（    ） A．如果，那么 B．对顶角相等 C．两点之间，线段最短 D．过一点作已知直线的垂线 【即学即练2】下列命题，是真命题的是（   ） A．自然数都大于0 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同位角相等 D．若，则 【即学即练3】把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式： 【即学即练4】对于命题“已知：，，求证：”．如果用反证法，应先假设（    ） A．a不平行b B．b不平行c C． D．a不平行c 【即学即练5】写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题． （1）若，则； （2）若，则． 【即学即练6】已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线． (1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有____（填入序号即可）； (2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”， 已知：如图，_____________________________． 求证：________. 证明：____________________. 题型1:命题 【典例1】．下列语句中．不是命题的是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．如果一个数能被2整除．那么它也能被4整除 D．画一条线段 【变式1-1】．下列语句中，（    ）是命题． A．在上取一点P，使 B．若，则 C．a不一定比b大 D．同位角不相等，两直线平行吗？ 【变式1-2】．下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 题型2:判断命题的真假 【典例2】．下列命题中，真命题的个数是(   ) ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】．下列命题中，是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】．给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型3:写出命题的题设和结论 【典例3】．命题“两点之间线段最短"的题设是 ，结论是 ． 【变式3-1】．把下列命题写成“如果那么”的形式：不能被整除的数是奇数： ． 【变式3-2】．把命题“等角的补角相等”改写成“如果，那么”的形式为：如果 ，那么 ． 【变式3-3】．把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果 ，那么 ． 题型4:判断命题的题设和结论 【典例4】．命题“对顶角相等”中，题设是（   ） A．对顶角相等 B．对顶角 C．两个角是对顶角相等 D．这两个角相等 【变式4-1】．命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件是（    ） A．平行 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线平行于同一条直线 【变式4-2】．“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ） A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交 题型5：举反例 【典例5】．下列选项中，不能说明命题“若，则”是假命题的、的值可以是（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【变式5-1】．能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】．要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是 （写出一个即可）． 【变式5-3】．“若，则”是一个假命题，可以用举反例的方法说明它是假命题： ． 【变式5-4】．下列图形中，能用来说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-5】．用下面图形中的和能说明“同位角相等”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 题型6：写出逆命题 【典例6】．命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是 ． 【变式6-1】．请写出命题“如果，那么．”的逆命题是 【变式6-2】．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ． 【变式6-3】．命题“偶数一定能被整除”的逆命题是 ． 题型7：写出逆命题并判断真假 【典例7】．写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假． (1)如果，那么； (2)两个锐角的和是钝角． 【变式7-1】．写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)末位数是0或5的整数能被5整除． 【变式7-2】．写出下列各命题的逆命题，并判断逆命题的真假： (1)对顶角相等； (2)如果，那么． 题型8：举例证明 【典例8】．证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【变式8-1】．如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【变式8-2】．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【变式8-3】．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【变式8-4】．如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)． 题型9：辨析反证法的步骤 【典例9】．用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（   ） A．都不为0 B．只有一个为0 C．至少有一个为0 D．都为0 【变式9-1】．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A． B．a与b不平行 C． D． 【变式9-2】．用反证法证明命题结论“”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 题型10：用反证法证明 【典例10】．已知：如图，直线，被所截，，是同位角，且．求证：不平行于． 【变式10-1】．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 【变式10-2】．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截． 求证：． 证明：假设　　． ∵， ∴　　． ∵　　， ∴，这和　　矛盾， ∴假设　　不成立，即． 一、单选题 1．下列句子中不是命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．直线和直线不一定垂直 C．若，则 D．同角的补角相等 2．下列命题中，是假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两点之间直线最短 C．对顶角相等 D．内错角相等，两直线平行 3．用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 4．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是(     ) A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 5．下列命题中：①同一平面内，两条直线有相交、垂直、平行三种不同的位置关系；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④同位角相等；⑤同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；⑥垂线段最短．属于真命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列命题：①不相交的两条直线是平行线，②同旁内角互补；③同位角相等，两直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤在同一平面内，若，则．其中，真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 7．下列语句哪些是命题，哪些不是命题？ （1）作，（ ）      （2）两个锐角互余．（    ） （3）直线a与b有可能垂直．（ ）      （4）作射线．（    ） （5）作直线．（ ）      （6）整数一定是有理数．（    ） 8．“同旁内角互补”，该命题是 命题（选填“真”或“假”）． 9．把命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式为 ． 10．命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为 ，逆命题为 ． 11．将命题“对顶角相等”改写为如果 ，那么 ． 12．把命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成如果那么的形式是 ． 13．命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（选填“真”或“假”） 14．“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个 命题．（填“真”、“假”） 15．写出命题：“直角都相等”的逆命题： ． 16．下列命题是假命题的有 ． ①若，则；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则； ④如果，那与是对顶角． 17．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中假命题的是 ．（填写序号） 18．用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等． 已知：如图，直线，被所截，A，B为交点，． 求证：． 证明：假设所求证的结论不成立， 即____________________． 过点A作直线，使与所成的与相等，则__________， 所以直线与直线不重合． 但（____________________），又已知，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以__________不成立． 所求证的结论成立． 三、解答题 19．请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 20．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是真命题，还是假命题． （1）两直线平行，同位角相等 （2）如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等． 21．用反证法证明：如图所示，已知，那么． 22．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________； (2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，，______．求证：______． 23．如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 24．填写推理的理由． 已知：如图，于点，于点，，交于点，交于点．求证：． 证明：∵，（          ）， ∴（              ）． ∴（              ）． ∵（              ）， ∴（              ）． ∴（          ）． ∴（          ）． 25．如图，现有以下3个论断：；；． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 26．【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 27．如图，平面上有六条两两不平行的直线．试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 命题与证明（十大题型） 学习目标 1． 掌握命题的定义，并会判断真命题与假命题; 2． 知道互逆命题，并会写出一个命题的逆命题并判断其真假;掌握反证法的步骤并会用其证明； 3． 判断假命题时会举反例，掌握举例证明. 知识点1 命题 前面我们见过一些可以判断真假的语句.例如： (1)两个有理数相乘，同号得正，异号得负； (2)已知a、b是任意两个数，如果a²=b²,那么a=b; (3)对顶角相等； (4)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； (5)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 像这样，用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.上述命题中，(1)(3)(4)(5)都可以被证明是真命题；而(2)是假命题，比如，a=1,b=-1,虽然 a²=b²=1,但是a≠b. 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 命题(3)“对顶角相等”是一个简洁表述的命题，它也可以改写成“如果……, 那么……”的形式，叙述为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 知识点2 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题. 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题. 知识点3 证明 1.证明：除了公理之外，真命题需要经过证明才能确认. 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”,再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤： (1)根据题意画出示意图； (2)根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”; (3)写出由条件推出结论的完整过程. 2.反例：要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子.这样的例子通常称为反例. 【即学即练1】下列语句中，不是命题的是（    ） A．如果，那么 B．对顶角相等 C．两点之间，线段最短 D．过一点作已知直线的垂线 【答案】D 【分析】本题考查了命题，根据命题的概念逐项判断即可得出答案，熟练掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解此题的关键． 【解析】解：A、如果，那么，是命题，不符合题意； B、对顶角相等，是命题，不符合题意； C、两点之间，线段最短，是命题，不符合题意； D、过一点作已知直线的垂线，不是命题，符合题意； 故选：D． 【即学即练2】下列命题，是真命题的是（   ） A．自然数都大于0 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同位角相等 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查命题的判断，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据性质定理进行判断即可． 【解析】解：自然数包括正数、负数和，故选项A是假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项B是真命题； 两直线平行，同位角相等，故选项C是假命题； 若，则或，故选项D是假命题； 故选B． 【即学即练3】把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式： 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【分析】本题考查了命题与定理．解题的关键是了解“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．根据命题都可以写成“如果”、“那么”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，从而得出答案． 【解析】解：命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 【即学即练4】对于命题“已知：，，求证：”．如果用反证法，应先假设（    ） A．a不平行b B．b不平行c C． D．a不平行c 【答案】D 【分析】根据反证法的证明方法，进行假设即可． 【解析】解：对于命题“已知：，，求证：”．如果用反证法，应先假设a不平行c，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反证法，解题的关键是熟练掌握用反证法进行假设时，需要假设与要证明的结论相反的结论． 【即学即练5】写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题． （1）若，则； （2）若，则． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）先交换命题的题设和结论，得到逆命题，再对c取特殊值如0进行判断； （2）先交换命题的题设和结论，得到逆命题，再进行判断即可. 【解析】解：（1）逆命题：若，则． 是假命题，如，． （2）逆命题：若，则．是真命题． 【点睛】本题考查了互逆命题和真假命题的判断，正确写出命题的逆命题、会用举反例的方法判断命题的真假是解题的关键. 【即学即练6】已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线． (1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有____（填入序号即可）； (2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”， 已知：如图，_____________________________． 求证：________. 证明：____________________. 【答案】详见解析. 【解析】试题分析：（1）利用图示：根据平行线的性质，证明“两直线平行，内错角相等”的过程解答； （2）根据“两直线a∥b，判定同位角∠1=∠3”，然后由对顶角∠3=∠2及等量代换证得 ∠1=∠2． 试题解析： (1)①②；(2)已知：a∥b，直线a、b被直线c所截． 求证：∠1=∠2． 证明：∵a∥b，∴∠1=∠3． ∵∠3 =∠2，∴∠1 =∠2. 题型1:命题 【典例1】．下列语句中．不是命题的是（    ） A．内错角相等，两直线平行 B．对顶角相等 C．如果一个数能被2整除．那么它也能被4整除 D．画一条线段 【答案】D 【分析】根据命题的定义，句子可以改写成“如果……那么……”形式，则为命题，如果不能就不是． 【解析】解：A．内错角相等，两直线平行，改写成：如果两条直线被第三条直线所截所成的角中，内错角相等，那么这两条直线平行，是命题，故此选项不符合题意； B．对顶角相等，改写成：如果两个角是对顶角，那么这两角相等，是命题，故此选项不符合题意； C．如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除，是命题，故此选项不符合题意； D．画—条线段，无法改写，不是命题，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果……那么……”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．正确理解命题的定义是解题的关键． 【变式1-1】．下列语句中，（    ）是命题． A．在上取一点P，使 B．若，则 C．a不一定比b大 D．同位角不相等，两直线平行吗？ 【答案】B 【分析】判断一件事情的语句叫命题，命题都有的题设和结论两部分组成． 【解析】解：A、在上取一点P，使；不是命题； B、若，则；是命题； C、a不一定比b大；不是命题； D、同位角不相等，两直线平行吗？不是命题； 故选：B． 【点睛】本题利用了命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 【变式1-2】．下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键．根据命题的定义分别进行判断即可． 【解析】解：、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意； 、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意； 、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意； 、在线段上取点C，使为描述性语言，不是命题，故本选项符合题意； 故选：． 题型2:判断命题的真假 【典例2】．下列命题中，真命题的个数是(   ) ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行公理、图形的平移、平行线的性质定理判断即可． 【解析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题； 平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是真命题； 图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题； 两直线平行，内错角相等，④是假命题； 故选A． 【点睛】此题考查了命题与定理，解题关键在于熟练掌握各性质定义以及判定定理． 【变式2-1】．下列命题中，是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题与定理，不等式的性质，对顶角、内错角等知识点，依据内错角、对顶角的定义以及平方根的运算法则、不等式性质逐项分析判断即可，熟练掌握相关知识是解题关键． 【解析】A、“内错角相等”，是假命题，两直线平行，内错角相等才是真命题，故该选项不合题意； B、“对顶角相等”，是真命题，故该选项符合题意； C、“若，则”，是假命题，“若，则”是真命题，故该选项不符合题意； D、“若，则”，是假命题，“若，由于不知道的符号，所以不能确定，的大小，故该选项不合题意； 故选：B． 【变式2-2】．给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题的真假判断，绝对值的性质，实数的运算等知识点，根据绝对值的性质对①进行判断；根据实数的运算对②，③，④进行判断即可，熟练掌握其性质并能正解对命题进行判断是解决此题的关键． 【解析】解：①若，则，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ②若，则同时为0，是假命题，如，就不成立，不符合题意； ③两个负数的差一定是负数，是假命题，如就不成立，不符合题意； ④如果，那么，是假命题，如，就不成立，不符合题意； 故选：A． 题型3:写出命题的题设和结论 【典例3】．命题“两点之间线段最短"的题设是 ，结论是 ． 【答案】 连接两点，得到线段； 线段最短 【分析】命题常常可以写为“如果……那么……”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论；根据上步的知识，从命题的定义出发，寻找题设和结论就可以了． 【解析】命题“两点之间线段最短"的题设是：连接两点，得到线段，结论是：线段最短， 故答案为：连接两点；线段最短 【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 【变式3-1】．把下列命题写成“如果那么”的形式：不能被整除的数是奇数： ． 【答案】如果一个数不能被整除，那么这个数为奇数 【分析】先分清命题“不能被整除的数是奇数”的题设与结论，然后写成“如果那么”的形式． 【解析】解：不能被整除的数是奇数写成“如果那么”的形式为：如果一个数不能被整除，那么这个数为奇数． 故答案为：如果一个数不能被整除，那么这个数为奇数． 【点睛】本题考查了把命题写成“如果那么”的形式，正确的找到命题的题设和结论是解题的关键． 【变式3-2】．把命题“等角的补角相等”改写成“如果，那么”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两个角相等 这两个角的补角也相等 【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 【解析】解：题设为：两个角是等角，结论为：它们的补角相等， 故写成“如果那么”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等， 故答案为：两个角相等，这两个角的补角也相等． 【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 【变式3-3】．把命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 两直线平行 同位角相等 【分析】本题考查命题的改写．掌握命题是由题设和结论两部分组成是解题的关键． 根据命题是由根据命题是由题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论改写即可． 【解析】解：把命题“两直线平行，内错角相等”表示成“如果…那么…”的形式是：如果两条直线平行，那么同位角相等． 故答案为：两条直线平行，同位角相等． 题型4:判断命题的题设和结论 【典例4】．命题“对顶角相等”中，题设是（   ） A．对顶角相等 B．对顶角 C．两个角是对顶角相等 D．这两个角相等 【答案】B 【分析】根据命题的结果，改写成“如果┈那么┈”的形式的方法即可求解． 【解析】解：将命题“对顶角相等”改写为“如果┈那么┈”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， ∴命题的题设为“对顶角”， 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的结构组成，命题的改写方法，掌握以上知识是解题的关键． 【变式4-1】．命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件是（    ） A．平行 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线平行于同一条直线 【答案】D 【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论． 【解析】解：“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件是“两条直线平行于同一条直线”， 故选D． 【点睛】本题考查了对命题的题设和结论的理解，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【变式4-2】．“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ） A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交 【答案】D 【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项． 【解析】“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交． 故选D． 【点睛】本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系. 题型5：举反例 【典例5】．下列选项中，不能说明命题“若，则”是假命题的、的值可以是（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【分析】本题考查了命题真假的判断，要说明一个命题是真命题，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可． 【解析】解：A、当、时，，，则，无法说明原命题为假命题，符合题意； B、当、时，，，则，能说明原命题为假命题，不符合题意； C、当、时，，，则，能说明原命题为假命题，不符合题意； D、当、时，，，则，能说明原命题为假命题，不符合题意； 故选：A． 【变式5-1】．能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查举反例说明假命题，举出一个符合命题条件，但是结论相反的例子即为反例． 当a为负数，b为正数或0时，命题不成立，据此逐一判断即可． 【解析】解：A. 当时，，，“若，则”是真命题； B. 当时，，，“若，则”是真命题； C. 当时    ，，，“若，则”是假命题； D. 当时，，，条件不符合 故选：C． 【变式5-2】．要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的性质，要说明命题是假命题，那么根据不等式的性质可得不等式两边同时乘以a后，不等号的方向发生改变，据此可得答案． 【解析】解：∵命题“若，则”是假命题， ∴， ∴反例的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-3】．“若，则”是一个假命题，可以用举反例的方法说明它是假命题： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、假命题的概念解答即可． 【解析】解：当时，，， 当时，可以说明“若，则”是一个假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-4】．下列图形中，能用来说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断，三角形内角和定理，判断“两个锐角的和是锐角”什么情况下不成立，即找出两个锐角的和即可．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假的关键是要熟悉课本中的性质定理． 【解析】解：A．该图中第三个角是钝角，则，故此选项不符合题意； B．该图中第三个角是钝角，则，故此选项不符合题意； C．该图中第三个角是锐角，则，故此选项符合题意； D．如图，延长锐角的一边与锐角的两边构成钝角三角形，根据对顶角相等，则，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式5-5】．用下面图形中的和能说明“同位角相等”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题，同位角的定义，熟练掌握同位角的定义，两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，是解题的关键．根据同位角定义，判断出图中的同位角，但图中的角不相等时，即可判断出此命题为假命题． 【解析】解：A．图中的两个角是同位角，且这两个角不相等，所以图形中的和能说明“同位角相等”是假命题，故A符合题意； B．图中的两个角是对顶角，所以图形中的和能说明“同位角相等”是假命题，故B不符合题意； C．图中的两个角是同旁内角，所以图形中的和能说明“同位角相等”是假命题，故C不符合题意； D．图中两个角不是同位角，所以图形中的和不能说明“同位角相等”是假命题，故D不符合题意． 故选：A 题型6：写出逆命题 【典例6】．命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是 ． 【答案】如果两个角都是锐角，那么这两个角互余 【分析】本题考查了命题的逆命题，找出原命题的条件和结论是解题的关键．根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换即可解答． 【解析】解：命题“互余的两个角都是锐角”的逆命题是“如果两个角都是锐角，那么这两个角互余”． 故答案为：如果两个角都是锐角，那么这两个角互余． 【变式6-1】．请写出命题“如果，那么．”的逆命题是 【答案】如果，那么 【分析】本题考查的是命题与定理，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而求出答案． 【解析】解：命题“如果|，那么”的逆命题是：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 【变式6-2】．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆命题，掌握命题的基本知识是解题的关键．把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【解析】解：命题“两直线平行，同位角相等．”的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”． 所以它的逆命题是“同位角相等，两直线平行．” 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【变式6-3】．命题“偶数一定能被整除”的逆命题是 ． 【答案】能被整除的数一定是偶数 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，熟练掌握逆命题的定义是解题的关键：一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题． 由逆命题的定义即可得出答案． 【解析】解：命题“偶数一定能被整除”的题设是“偶数”，结论是“能被整除”， 由逆命题的定义即可得出原命题的逆命题为：能被整除的数一定是偶数， 故答案为：能被整除的数一定是偶数． 题型7：写出逆命题并判断真假 【典例7】．写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假． (1)如果，那么； (2)两个锐角的和是钝角． 【答案】(1)逆命题：如果，那么．原命题为假命题，逆命题为真命题． (2)逆命题：如果两个角的和是钝角，那么这两个角都是锐角．原命题和逆命题都为假命题． 【分析】本题主要考查真假命题及逆命题，熟练掌握真假命题及逆命题是解题的关键； （1）根据逆命题的定义写出原命题的逆命题，然后判断真假即可； （2）先写出原命题的逆命题，然后再判断真假即可 【解析】（1）原命题的逆命题为如果，那么．原命题为假命题，逆命题为真命题． （2）原命题的逆命题：如果两个角的和是钝角，那么这两个角都是锐角．原命题和逆命题都为假命题． 【变式7-1】．写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)末位数是0或5的整数能被5整除． 【答案】(1)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线是真命题． (2)逆命题：能被5整除的整数，其末位数是0或5是真命题 【分析】本题考查了真假命题及互逆命题的定义，解题的关键是理解命题、逆命题、否命题和逆否命题的定义及其性质； 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先写个逆命题然后判断它的真假． 【解析】（1）逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线， 判断：根据平行线的性质，如果两条直线在同一平面内平行，那么它们与第三条直线的夹角是相等的．若这两条平行线都与第三条直线垂直，则它们与第三条直线的夹角都是，满足条件．因此，逆命题是真命题． （2）逆命题：能被5整除的整数，其末位数是0或5， 判断：根据整数的性质，一个整数如果能被5整除，那么它的末位数只能是0或5，因此逆命题是真命题． 【变式7-2】．写出下列各命题的逆命题，并判断逆命题的真假： (1)对顶角相等； (2)如果，那么． 【答案】(1)相等的角是对顶角；假命题 (2)如果，那么；真命题 【分析】本题考查了逆命题、判断命题的真假： （1）根据逆命题的定义写出逆命题，再根据判断命题的真假即可求解； （2）根据逆命题的定义写出逆命题，再根据判断命题的真假即可求解； 熟练掌握根据原命题写出逆命题是解题的关键． 【解析】（1）解：对顶角相等的逆命题：相等的角是对顶角，是假命题． （2）如果，那么的逆命题：如果，那么，是真命题． 题型8：举例证明 【典例8】．证明：平行于同一条直线的两条直线平行． 已知：____________． 求证：____________． 证明： 【答案】见解析 【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可． 【解析】已知：如图，直线中，，，    求证：． 证明：作直线的截线，交点分别为．    ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式8-1】．如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一） 【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得 【解析】解：已知①②，求证∶③， 证明∶∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为∶①②；③． 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义、证明以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． 【变式8-2】．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【解析】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 【变式8-3】．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③． (1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； (2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：） 【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析 (2)都是真命题，推理见解析 【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案； （2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可 【解析】（1）解：一共能组成三个命题： ①如果DE//BC，，那么； ②如果DE//BC，，那么； ③如果，，那么DE//BC ； （2）解：都是真命题， 如果DE//BC，，那么， 理由如下：∵DE//BC， ∴， ∵， ∴． 如果DE//BC，，那么； 理由如下：∵DE//BC， ∴，， ∵， ∴； 如果，，那么DE//BC ； 理由如下：∵， ∴∠B+∠C=180°-∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠1+∠2=180°-∠BAC， ∴∠B+∠C=∠1+∠2， ∵，， ∴∠B=∠1， ∴DE//BC ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【变式8-4】．如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)． 【答案】（1）可构造如下几个命题：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）证明见解析． 【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题； （2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假． 【解析】解：（1）有：如果那么； 如果那么； 如果，那么； （2）如图： ∵AB∥CD， ∴∠B=∠CDF， ∵∠B=∠C， ∴∠C=∠CDF， ∴CE∥BF， ∴∠E=∠F， ∴如果那么为真命题； ∵AB∥CD， ∴∠B=∠CDF， ∵∠E=∠F， ∴CE∥BF， ∴∠C=∠CDF， ∴∠B=∠C， ∴如果那么为真命题； ∵∠E=∠F， ∴CE∥BF， ∴∠C=∠CDF， ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠CDF， ∴AB∥CD， ∴如果，那么为真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 题型9：辨析反证法的步骤 【典例9】．用反证法证明：“若，则中至少有一个为0．”应假设（   ） A．都不为0 B．只有一个为0 C．至少有一个为0 D．都为0 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤； 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 【解析】解：反证法的第一步是假设结论的反面成立，即假设结论不成立的情况． 在这个问题中，结论是“a， b 中至少有一个为0”，其反面就是“a， b 都不为0”． 故选：A． 【变式9-1】．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A． B．a与b不平行 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反证法、两直线的位置关系，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【解析】解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设与不平行，即与相交， 故选：B 【变式9-2】．用反证法证明命题结论“”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 熟记反证法的步骤，直接填空即可．要注意的是的反面有多种情况，需一一否定． 【解析】解：用反证法证明“”时，应先假设． 故选：B． 题型10：用反证法证明 【典例10】．已知：如图，直线，被所截，，是同位角，且．求证：不平行于． 【答案】见解析 【分析】用反证法证明即可． 【解析】解：假设，则（两直线平行，同位角相等），这与相矛盾， 假设不成立， 不平行于． 【点睛】本题主要考查了反证法和平行线的性质，熟知反证法是解题的关键． 【变式10-1】．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 【答案】，，不成立，必相交 【分析】本题考查反证法，根据反正法假设结论成立，推出与已知矛盾，进行作答即可． 【解析】证明假设与不相交，则． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交不成立． 与必相交． 【变式10-2】．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截． 求证：． 证明：假设　　． ∵， ∴　　． ∵　　， ∴，这和　　矛盾， ∴假设　　不成立，即． 【答案】；；；平角为；． 【分析】根据反证法的一般步骤、平行线的性质、平角的定义证明． 【解析】证明：假设． ∵， ∴． ∵， ∴，这与平角为矛盾， ∴假设不成立，即． 故答案为：；；；平角为；． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 一、单选题 1．下列句子中不是命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．直线和直线不一定垂直 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的概念．判断一件事情的语句叫做命题．判断一件事情的语句叫做命题，据此判断． 【解析】解：A、是命题，故不合题意； B、直线和直线不一定垂直，不是可以判断真假的陈述句，不是命题，故符合题意； C、是命题，故不合题意； D、是命题，故不合题意； 故选：B． 2．下列命题中，是假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两点之间直线最短 C．对顶角相等 D．内错角相等，两直线平行 【答案】B 【分析】本题主要考查了真假命题的判定，平行线的判定以及性质，垂线段最短以及对顶角相等知识，根据平行线的判定以及性质，垂线段最短以及对顶角相等等知识一一判定即可． 【解析】解：．两直线平行，同位角相等，是真命题，故该选项不符合题意； ．两点之间线段最短，原命题为假命题，故该选项符合题意； ．对顶角相等，是真命题，故该选项不符合题意； ．内错角相等，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【解析】解：反证法证明命题“若，则”时， 应假设， 故选：C． 4．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是(     ) A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】把命题改写成如果那么的形式,如果后面跟的即为条件，那么后面跟的是结论． 【解析】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是两条直线垂直于同一条直线, 故选D. 【点睛】本题考查了命题条件的判断,属于简单题,熟悉命题的构成是解题关键． 5．下列命题中：①同一平面内，两条直线有相交、垂直、平行三种不同的位置关系；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④同位角相等；⑤同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；⑥垂线段最短．属于真命题的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线段最短，熟知相关知识是解题的关键．根据相关性质定理逐个判断，即可解题． 【解析】解：同一平面内，两条直线有相交和平行两种不同的位置关系，①是假命题； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②错误； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，③是假命题； 两直线平行，同位角相等，④是假命题； 只有⑤⑥是真命题． 故选： B． 6．下列命题：①不相交的两条直线是平行线，②同旁内角互补；③同位角相等，两直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤在同一平面内，若，则．其中，真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了判断真假命题，掌握相关定义定理是解题的关键．根据平行线的定义， 平行线的判定与性质逐个分析判断即可求解． 【解析】解：同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故①是假命题； 两直线平行，同旁内角互补，故②是假命题； 同位角相等，两直线平行，故③是真命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④是假命题； 在同一平面内，若，则，故⑤是假命题； 故③是真命题，共1个． 故选：D． 二、填空题 7．下列语句哪些是命题，哪些不是命题？ （1）作，（ ）      （2）两个锐角互余．（    ） （3）直线a与b有可能垂直．（ ）      （4）作射线．（    ） （5）作直线．（ ）      （6）整数一定是有理数．（    ） 【答案】（1）不是，（2）是，（3）是，（4）不是，（5）不是，（6）是 【分析】判断一件事情的语句叫命题，根据定义解答． 【解析】解：（1）作 ，不是命题；故答案为：不是．（2）两个锐角互余，是命题；故答案为：是．（3）直线a与b有可能垂直，是命题；故答案为：是． （4）作射线 ，不是命题；故答案为：不是．（5）作直线 ，不是命题； 故答案为：不是． （6）整数一定是有理数，是命题；故答案为：是． 【点睛】此题考查命题的定义，熟记定义是解题的关键． 8．“同旁内角互补”，该命题是 命题（选填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】根据命题以及真假命题的定义进行判断． 【解析】解：“同旁内角互补”，该命题是假命题； 故答案为：假 【点睛】本题主要考查了命题的定义，真、假命题的定义．比较简单，属于基础题型．命题是判断一件事情的语句，而判断是对事物有所断定的思维形式，一般可以加上“是”或者“不是”．命题有真有假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题． 9．把命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式为 ． 【答案】如果两个角是同位角，那么这两个角相等 【分析】命题有题设与结论组成，把命题的题设写在如果的后面，结论写在那么的后面即可． 【解析】解：原命题的条件为“两个角是同位角”，结论为“这两个角相等”， 所以可改写为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等. 【点睛】本题考查个命题可以写成“如果…那么…”形式，解题的关键在于找到原命题的条件和结论． 10．命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为 ，逆命题为 ． 【答案】 如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行 两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查命题和逆命题的定义，熟练掌握命题与逆命题的定义是解题的关键．利用命题可以写成“如果那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论解答第一题空，利用逆命题的定义解答第二题空即可． 【解析】解：命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式，为“如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行”， 逆命题为“两直线平行，同位角相等”， 故答案为：如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行；两直线平行，同位角相等． 11．将命题“对顶角相等”改写为如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【分析】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面． 【解析】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等． 12．把命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成如果那么的形式是 ． 【答案】如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式 【分析】本题考查的是命题与定理，命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．根据命题的概念解答即可． 【解析】解：命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成“如果那么的形式是：如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式， 故答案为：如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式． 13．命题“如果，那么”的逆命题是 命题．（选填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题举反例． 先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方、有理数的大小比较法则判断即可． 【解析】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 例如：当时，，而， 故答案为：假． 14．“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个 命题．（填“真”、“假”） 【答案】假 【分析】本题考查了真、假命题，平行线的判定和性质，角平分线的定义，根据题意画出图形推导即可判断求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【解析】解：如图，直线被直线所截，交点分别为，平分，平分， ∴，， 当时，， 则， 此时； 当与不平行时，， 则， 此时和不平行； ∴“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”是假命题， 故答案为：假． 15．写出命题：“直角都相等”的逆命题： ． 【答案】相等的角为直角． 【分析】把原命题的题设和结论交换即可． 【解析】“直角都相等”的逆命题为相等的角为直角． 故答案为相等的角为直角． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题． 16．下列命题是假命题的有 ． ①若，则；②一个角的余角大于这个角；③若a，b是有理数，则； ④如果，那与是对顶角． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平方、余角、绝对值意义、对顶角定义、命题的知识；解题的关键是熟练掌握相关的定义和性质．根据平方运算法则、余角定义、绝对值意义、对顶角的定义，逐个判断，即可得到答案． 【解析】解：①若，则或，原命题是假命题，故①符合题意； ②当一个角的度数小于，这个角的余角大于这个角，原命题是假命题，故②符合题意； ③当a，b是有理数，且a，b符号相同时可以得到|，原命题是假命题，故③符合题意； ④，和与是否是对顶角，没有因果关系，原命题是假命题，故④符合题意； 综上分析：假命题的有①②③④． 故答案为：①②③④． 17．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中假命题的是 ．（填写序号） 【答案】③ 【分析】根据两直线的位置关系一一判断即可． 【解析】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，正确，是真命题； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，正确，是真命题； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，错误，应该是b∥c，故原命题是假命题； ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，正确，是真命题． 假命题有③， 故答案为：③． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行． 18．用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等． 已知：如图，直线，被所截，A，B为交点，． 求证：． 证明：假设所求证的结论不成立， 即____________________． 过点A作直线，使与所成的与相等，则__________， 所以直线与直线不重合． 但（____________________），又已知，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以__________不成立． 所求证的结论成立． 【答案】、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 【分析】假设命题的结论不成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可． 【解析】解：假设所求证的结论不成立， 即． 过点A作直线，使与所成的与相等，则， 所以直线与直线不重合． 但（同位角相等两直线平行），又已知，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”产生矛盾．所以不成立． 所求证的结论成立， 故答案为：、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，． 【点睛】本题考查了反证法，解题的关键是记住反证法的步骤：否定结论，得出矛盾，肯定结论． 三、解答题 19．请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 【答案】(1)条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；真命题 (2)条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；假命题 (3)条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；真命题 【分析】本题考查命题的真假性，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （2）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （3）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可． 【解析】（1）解：条件：两个角是直角；结论：这两个角相等； 直角为，故原命题是真命题； （2）解：条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等； 绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题； （3）解：条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于； 钝角大于，故两个钝角的和一定大于，故原命题是真命题． 20．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是真命题，还是假命题． （1）两直线平行，同位角相等 （2）如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行，真命题；（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；假命题. 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【解析】解：（1）逆命题：同位角相等，两直线平行； 它是是真命题； （2）逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等．； 它是假命题. 【点睛】考查点：本题考查逆命题的真假性，是易错题．易错易混点：本题要求的是逆命题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真． 21．用反证法证明：如图所示，已知，那么． 【答案】见解析． 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，进而证明即可解答． 【解析】证明：假设a不平行于b，即a与b相交．设a，b相交于点A，如图， ∵， ∴过直线外一点A有两条直线与直线c垂直，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，故假设不成立， ∴原命题正确． 【点睛】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 22．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式：______________________________； (2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，，______．求证：______． 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)；；见解析 【分析】本题主要考查命题的改写，平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法及其性质是解题的关键． （1）根据命题的改写方法求解即可； （2）根据平行线的判定方法证明即可． 【解析】（1）解：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； （2）解：  ， 证明：如图． ，（已知）， ，（垂直的定义）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 23．如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【答案】答案见详解 【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明； 【解析】解：选择①②作为条件，③作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； 选择①③作为条件，②作为结论．理由如下： ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 选择②③作为条件，①作为结论．理由如下： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查书写命题，平行线的性质与判定及角平分线的定义，解题的关键是正确书写命题． 24．填写推理的理由． 已知：如图，于点，于点，，交于点，交于点．求证：． 证明：∵，（          ）， ∴（              ）． ∴（              ）． ∵（              ）， ∴（              ）． ∴（          ）． ∴（          ）． 【答案】（1）已知 （2）如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 （3）两直线平行，同位角相等 （4）已知 （5）等量代换 （6）内错角相等，两直线平行 （6）两直线平行，同位角相等 【分析】根据已知条件，先判定和，然后利用平行线的性质来求证． 【解析】∵，（已知）， ∴（如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理. 25．如图，现有以下3个论断：；；． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可； （2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假． 【解析】解：（1）由，，得到； 由，，得到； 由，，得到； 故能组成3个命题． （2）由，，得到，是真命题．理由如下： ，． ，∴， ，． 由，，得到，是真命题．理由如下： ，． ，， ． 由，，得到，是真命题．理由如下： ∵，，． ，， ． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 26．【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【答案】(1)见解析 (2)②④，证明见解析 【分析】（1）根据，可得> ab．从而得到 ．再由，，可得ac．从而得到 ．即可求证； （2）选择②④ ．理由：根据a<b，b<0，可得a<0．再由绝对值的性质可得，．然后根据a < b，可得，即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴> ab． ∴ ． ∵，， ∴ac． ∴ ． ∴ ． （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵a<b，b<0， ∴a<0． ∴，． ∵a < b， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 27．如图，平面上有六条两两不平行的直线．试证明：在所有的交角中，至少有一个角小于． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了平面内的相交线，反证法，解题的关键是用反证法证明． 把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的，这样，我们就可将所有的直线移动，使它们相交于同一点，此时，情况就相对简单得多． 【解析】解：如图，在平面上任取一点O，过点O分别作这6条直线的平行线，则由平行线的特性，知直线之间互成的角与原来的6条直线之间互成的角相等． 现在我们考虑直线的情况，观察直线与，与与与所成的角，由图不难发现这6个角合成一个平角，即这6个角的和为． 假设这6个角没有一个小于，则这6个角都大于或等于，从而这6个角的和至少为，这是不可能的，所以这6个角中至少有一个角小于． 不妨设与所成的角小于， 则原来的直线与所成的角也必小于． 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$