第09讲 平行线（第3课时）（四类知识点+十三大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第09讲 平行线（第3课时）（十三大题型） 学习目标 1． 掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理； 2． 了解平行线的判定与性质的区别和联系. 知识点1 两直线平行，同位角相等. 问题：利用同位角相等，可以判定两条直线平行.反过来，如果两条直线平行， 同位角相等吗?我们可以证明下面的平行线的性质定理. 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单地说：两直线平行，同位角相等. 由于一对同位角相等，可以推出其他三对同位角也对应相等，因此只要证明一对同位角相等即可. 如图16-2-8(1),已知：∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角，EF分别交AB 、CD于点M 、N,AB//CD. 求证：∠1=∠2. 证明 用反证法.假设∠1≠∠2,那么可以过点M画一条直线使得∠EMH=∠2, 如图16-2-8(2)所示.根据“同位角相等，两直线平行”,可得到GH//CD. 又因为AB//CD,这样经过点M 存在两条直线AB 、GH 都与直线CD平行，与平行公理矛盾. 这说明∠1≠ ∠2这一假设是不成立的，所以∠1=∠2. 知识点2 垂直于两平行线中的一条直线 例 如图16-2-9,已知：a、b、c 是直线，a// b,aLc. 求证：b⊥c. 证明 如图16-2-9,∵ a//b, ∴∠2= ∠1(两直线平行，同位角相等). ∵a⊥c, ∴∠1=90°. ∴∠2=90°. ∴b⊥c. 由此你可以得到什么结论？ 知识点3 两直线平行，内错角相等. 定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单地说：两直线平行，内错角相等. 如图16-2-14,已知：∠1与∠2是直线a 、b被直线l所截得到的一对内错角，a//b. 求证：∠1=∠2. 证明 如图16-2-14,将∠1的对顶角记作∠3. 由“对顶角相等”,得∠1 =∠3. 根据“两直线平行，同位角相等”,由a//b, 得∠3=∠2. 因此∠1=∠2. 知识点4 两直线平行，同旁内角互补 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单地说：两直线平行，同旁内角互补. 思考：如何证明“两直线平行，同旁内角互补”? 提示：类比两直线平行，内错角相等的证明，借助补角的定义（或*邻补角的定义）可证. 【即学即练1】如图，，直线分别与，交于点，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行内错角相等，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， 故答案为：． 【即学即练2】如图，，那么的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质并熟练运用，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质得到． 【解析】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【即学即练3】如图，直线，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是：两直线平行，同位角相等．利用平角的定义求出，再利用平行线的性质可得出结果． 【解析】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【即学即练4】填写下面证明过程中的推理依据： 已知：如图，，平分，平分．求证：． 证明：∵（__________） ∴__________（__________） ∵平分，平分， ∴______， ______．（__________） ∴． 【答案】已知；；两直线平行，内错角相等；；；角平分线的定义 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，，据此即可证明． 【解析】证明：∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵平分，平分， ∴， ．（角平分线的定义） ∴． 故答案为：已知；；两直线平行，内错角相等；；；角平分线的定义． 【即学即练5】如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=78°，求∠CDE的度数． 【答案】∠CDE的度数为39° 【分析】由两直线平行，同位角相等求出∠ACB度数，再由CD为角平分线求出∠BCD度数，再利用两直线平行，内错角相等即可求出所求． 【解析】解：∵DE∥BC，∠AED=78°， ∴∠ACB=∠AED=78°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD=∠ACB=39°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE=∠BCD=39°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． 题型1:解答证明题：两直线平行，同位角相等 【典例1】．如图，直线a和直线b被直线c所截，已知：．求的度数．    【答案】 【分析】根据两条平行线被第三条直线所截同位角相等，得到的度数，根据平角的度数等于，得到的度数． 【解析】解：∵，   ∴． ∴．    【点睛】本题主要考查了平行线，解题的关键是熟练掌握平行线和平角的性质． 【变式1-1】．填空或填写理由： 如图，已知直线，．求∠1、∠2的度数．      解：∵（___） ∴（    ） ∵（___），（已知） ∴∠1＝___°（等量代换） 又∵（平角的定义） ∴∠2＝___°（等式的性质） 【答案】已知；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；85；95 【分析】首先根据两直线平行，同位角相等求出，然后根据对顶角相等，求出度数，最后根据求出的度数． 【解析】解：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（对顶角相等），（已知） ∴（等量代换） 又∵（平角的定义） ∴（等式的性质） 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，难度不大． 【变式1-2】．如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得出，根据已知条件等量代换即可得证． 【解析】证明：∵， ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 题型2:根据两直线平行，同位角相等计算角度 【典例2】．如图，直线，，同时被直线所截，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题主要考查了平行线，熟练掌握两直线平行，同位角相等，对顶角相等，是解题关键．先根据平行线的性质可得出，再根据对顶角的性质得出，据此可求出的度数． 【解析】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】．如图，，若，则为 °． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角的定义，根据两直线平行，同位角相等解题即可． 【解析】如图，∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时， ．    【答案】29 【分析】本题考查了平行线的性质及平角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再由平行线的性质得到，即可得到答案． 【解析】    ∵ 直尺的两边平行 故答案为：29． 题型3:解答证明题：两直线平行，内错角相等 【典例3】．如图，，E是上一点，，平分交于点F，求的度数． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，先求解，再利用平行线的性质可得答案． 【解析】解：∵平分， ∴，    ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3-1】．已知直线，平分且，，求的度数．    【答案】． 【分析】先利用平行线的性质得到的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，利用平角的定义即可求解． 【解析】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式3-2】．补充完成下面的推理过程． 如图，已知点分别是的边上的点，，．求证：． 证明：，（ 已知   ） （ ） ，                            （ ） （ ） 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可得，，等量代换即可得证． 【解析】证明：， （两直线平行，内错角相等） ，                            （两直线平行，同位角相等） （等量代换） 题型4:解答证明题：简单的平行线性质与判定综合 【典例4】．如图，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质和判定，进行证明即可． 【解析】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键． 【变式4-1】．如图，D是上一点，E是上一点，，，．求的度数．    【答案】 【分析】根据同位角相等，两直线平行，得出，进而利用平行线的性质解答即可得到答案． 【解析】解：，， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，关键是根据同位角相等，两直线平行得出． 【变式4-2】．如图，已知．求证：平分． 证明：（    ）， __________（__________）， __________（__________）． （已知）， __________=__________（等量代换）． 平分（__________）． 【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；，；角平分线的定义 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．由平行线的性质得，，等量代换得，进而由角平分线的定义可得结论． 【解析】证明：（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）． 平分（角平分线的定义）． 故答案为：已知；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；，；角平分线的定义． 题型5:根据两直线平行，内错角相等求角度 【典例5】．如图，直线被直线所截，，已知，则 ． 【答案】/82度 【分析】本题考查了平行线的性质，由两直线平行，内错角相等即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴． 【变式5-1】．如图，直线与的一边相交于点E，且，若，则的度数等于 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可解答． 【解析】解：，， ， 故答案为：． 【变式5-2】．如图，，与分别相交于点O、D，，则 °． 【答案】130 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角，先根据平行线的性质求出，然后根据邻补角的定义求解即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：130． 题型6:三角板问题 【典例6】．如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若，则等于 度． 【答案】114 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质得,又，即可得. 【解析】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴. 故答案为：. 【变式6-1】．一副三角板按图示摆放，点E恰好落在的延长线上，使，则的大小为 °． 【答案】15 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行的性质可得出，由三角板可知，然后根据角的和差关系即可得出． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：15． 【变式6-2】．如图，将直角三角板放置在长方形纸片上，若，则的度数为 ． 【答案】/44度 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，过点B作，可得，根据平行线的性质求得，结合已知条件即可求解． 【解析】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型7:解答证明题：两直线平行，同旁内角互补 【典例7】．如图，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，由两直线平行，得同旁内角互补，据此即可作答． 【解析】解：∵， ∴． ∵， ∴ 【变式7-1】．如图：已知，，你能确定与的数量关系吗？请说明理由．    【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质；根据平行线的性质可得，进而根据等式的性质即可得出结论． 【解析】解：，理由如下， ∵，， ∴， ∴． 【变式7-2】．如图，直线被直线所截，已知ab，，求的值． 【答案】19 【分析】如图，标出的对顶角，利用对顶角相等和平行线的性质即可求解． 【解析】解：如图， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴， 解得 【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的值，熟记两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【变式7-3】．如图，，平分交于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】欲求，需求，因为平分，欲求，即求．根据邻补角的定义，由，得． 【解析】证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质、邻补角的定义以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质、平角的定义以及角平分线的定义是解决本题的关键． 题型8:解答证明题：两直线平行，同旁内角互补（与其他判定、性质简单综合） 【典例8】．如图，梯形中，，在上，且，则可证． 理由如下：∵， ∴（____________） 又∵（____________） ∴， ∴____________（____________） 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；已知；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行的判定和性质，根据两直线平行，同旁内角互补得到，继而得到，根据同位角相等，两直线平行即可得证．正确识别图形中的同位角、同旁内角是解题的关键． 【解析】理由如下：∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补） 又∵（已知） ∴， ∴（同位角相等，两直线平行） 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；已知；；；同位角相等，两直线平行． 【变式8-1】．如图，直线，直线，，求，的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了平行线的性质，根据可求出的度数，根据可求出的度数． 【解析】解：，， ． ， ， ． 【变式8-2】．如图，若，，求证：．    【答案】证明过程见解析 【分析】根据平行线的性质可得，，再利用等量代换即可得出结论． 【解析】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 题型9:根据两直线平行，同旁内角互补求角度 【典9】．如图，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义；由平行线的性质得的度数，再由角平分线得，即可求解． 【解析】解：∵， ∴； ∵平分， ∴； 故答案为：． 【变式9-1】．如图，直线与直线都相交．若，，则的度数是 ．    【答案】/72度 【分析】根据对顶角相等，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，得出． 【解析】解：∵， ， ∵， ． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质和对顶角的性质，熟练掌握两直线平行同旁内角互补是解题的关键． 【变式9-2】．如图，平分，若，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】先根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可得到． 【解析】解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【变式9-3】．如图，是的平分线，直线，若，则的大小为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补的知识点．根据平行线的性质可求，再根据角平分线的定义求得，再根据平行线的性质可求． 【解析】解：， ，， 是的平分线， ， ． 故答案为：． 题型10:笔尖模型 【典例10】．如图，，E是直线之间的一点，连接，则图中的关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行公理，平行线的性质，过点E作，根据，得出，根据平行线的性质得出，，即可得出结论． 【解析】解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式10-1】．如图，若，，，那么 ． 【答案】/25度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟记两条直线平行，内错角相等是解决问题的关键．过点作，根据平行线的性质解答即可． 【解析】解：过点作， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式10-2】．如图，分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 如图，作，则，由，可得，则，由，可知，计算求解即可． 【解析】解：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式10-3】．如图，若，则、、的关系是 ．    【答案】 【分析】过点E作，则，根据平行线的性质计算求解即可． 【解析】解：如图，过点E作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 题型11:折叠问题 【典例11】．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与对应，若，则的度数为 ． 【答案】/108度 【分析】本题考查平行线的性质，翻折变换，由题意，设，则，构建方程即可解决问题． 【解析】解：由翻折的性质可知：， ∵， ， ∵， ∴设，则， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式11-1】．如图（1）是长方形纸条，，将纸条沿折叠成如图（2），则图（2）中的的度数是 度． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．根据平行线的性质结合等角的补角相等求得，进一步计算即可求解． 【解析】解：图（2）中，∵，， ∴，， 又， ∴， 由折叠的性质得， ∴，即， 故答案为：． 【变式11-2】．一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，是折痕，．有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查平行线的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质可得的度数，根据折叠的性质可得，进而可得，即可判断①③；再利用平行线的性质可得、的度数，即可判断② ；再根据平行线的性质可得的度数，即可判断④． 【解析】解：∵四边形是长方形， ∴， ， 由折叠的性质可得，故①正确； ， ，故③正确； ∵， ，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴故④正确． 故答案为：①③④． 题型12:平行线的性质的实际应用（拐弯问题） 【典例12】．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是（ ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 【答案】B 【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等． 【解析】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是，由于平行前进，可以得到． 因此，第一次与第二次拐的方向不相同，角度要相同， 故只有B选项符合， 故选B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，注意要想两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则拐的方向应相反，角度应相等． 【变式12-1】．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖面过如图，如果第一次拐的角∠A=130°，第二次拐的角∠B=150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次剂弯之前的道路平行，则∠C的大小是    A．170° B．160° C．150° D．140° 【答案】B 【分析】首先过点B作BD∥AE，又由已知AE∥CF，即可得AE∥BD∥CF，然后根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，即可求得答案． 【解析】解：过点B作BD∥AE，    由已知可得：AE∥CF， ∴AE∥BD∥CF， ∴∠1=∠A=130°，∠2+∠C=180°， ∴∠2=∠ABC-∠1=150°-130°=20°， ∴∠C=180°-∠2=180°-20°=160°． 故选B． 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握两直线平行，内错角相等，同旁内角互补与辅助线的作法是解此题的关键． 【变式12-2】．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（    ） A．第一次右拐30°，第二次左拐150° B．第一次左拐30°，第二次右拐30° C．第一次左拐30°，第二次左拐150° D．第一次右拐30°，第二次右拐30° 【答案】B 【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等． 【解析】解：如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前进，可以得到∠1＝∠2． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质．注意要想两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则拐的方向应相反，角度应相等． 题型13:平行线的性质与判定综合解答证明题（含难点） 【典例13】．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，已知：平分，、，求证：平分． 证明：∵平分（已知）， ∴__________ （角平分线定义）． ∵（已知）， ∴__________________． ∴（_________________）， ∵（_________________） ∴_____________（_________________）， （_________________）， ∴__________________________（等量代换）． ∴平分（_________________）． 【答案】；；等量代换；已知；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线定义 【分析】本题主要考查平行线性质，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质得，从而得，由得，即有，从而得解． 【解析】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换） ∴平分（角平分线的定义）． 故答案为：；；等量代换；已知；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线定义 【变式13-1】．如图，已知，. (1)猜想与之间有怎样的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数. 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由同旁内角互补两直线平行可得，由两直线平行同位角相等可得，结合已知条件可得，然后根据内错角相等两直线平行即可得出结论； （2）由两直线平行同旁内角互补可得，由等式的性质可得，由平分可得，然后由两直线平行内错角相等即可得出答案． 【解析】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，等式的性质，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【变式13-2】．如图，，平分，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，据此求解即可证明； （2）设，则，根据平分线的性质结合角平分线的定义得到，据此计算即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即； （2）解：设，则， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式13-3】．如图，已知，请你判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】；证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 先根据得出，则，进而得出，即可得出结论． 【解析】解：； 证明：∵（已知）， ∴（同一平面内，同时垂直于第三条直线的两直线平行）， ∴（两线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 【变式13-4】．如图，在中，点、分别在、上，且，． (1)试猜想与的关系，并说明理由； (2)若平分，判断与位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及平行线的判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）由平行线的性质和，可推出与的关系； （2）由（1）的结论和平分，可得与的关系，利用平行线的判定得结论． 【解析】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【变式13-5】．如图1，．    (1)如图1（1）所示，说明与的位置关系，并说明理由. (2)如图1（2）所示，作与的平分线交于点F，若的余角等于的补角，求的度数． (3)在前面的条件下，如图1（3）所示，若P是上一点，Q是上任一点，平分平分，下列结论：的度数不变；的度数不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求出相应的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)的值随的变化而变化；的度数为不变 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，理清各角度之间的关系是解题的关键，也是本题的难点． （1）过B作，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （2）首先设，过点B作，过点F作，根据平行线的性质，可得，又由的余角等于的补角，可得方程：，继而求得答案． （3）根据两直线平行，内错角相等可得，然后根据，列式表示出，从而判定②正确． 【解析】（1）解：， 理由：过B作，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∵与的平分线交于点F， ∴， 过点B作，过点F作，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的余角等于的补角， ∴， 解得：， ∴． （3）解：由（1）可知， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵点P是上一点， ∴， ∴； ∴的值随的变化而变化；的度数为不变． 一、单选题 1．如图，已知AB∥CD，∠1=56°，则∠2的度数是（  ） A．34° B．56° C．65° D．124° 【答案】B 【解析】因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，又∠1＝56°，所以∠2＝56°． 2．如图，点A、D在射线AE上，直线ABCD，∠CDE=140°，那么∠A的度数为（    ） A．140° B．60° C．50° D．40° 【答案】D 【分析】由ABCD，可知∠A=∠CDA，只要求出∠CDA即可解决问题． 【解析】解：∵∠CDE=140°， ∴∠CDA=180°-∠CDE=40°， ∵ABCD， ∴∠A=∠CDA=40°． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质、平角的定义等知识，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 3．下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，逐项判断即可求解． 【解析】解：A、因为，所以，故本选项不符合题意； B、如图， 因为， 所以， 因为， 所以，故本选项符合题意； C、因为，所以，故本选项不符合题意； D、由，不能得到，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 4．如图，直线a、b被直线c、d所截，若，，，则的度数是（    ） A．105° B．115° C．125° D．135° 【答案】D 【分析】由题意得∠1＝∠5=100°，然后得出∠5+∠2＝180°，证出，由平行线的性质即可得出答案． 【解析】解：如图 ∵∠1＝∠5=100°，∠2＝80°， ∴∠5+∠2＝180°， ∴， ∴∠4＝∠3＝135°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 5．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质及垂直的性质，逐项进行分析，用排除法即可找到答案．熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【解析】解：A．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； B．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； C．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； D．若，，则，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 6．如图，则下面结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据，即可得出，进而得到正确结论． 【解析】解：, ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 7．如图，，平分，交于点D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质和平角的定义进行求解即可． 【解析】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查利用平行线的性质求角，利用角平分线和平行线的性质合理的进行角的转化是解题的关键． 8．将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质进行计算，即可得到答案. 【解析】解：， ． ， ． 故选． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形外角的性质. 9．如图，小明在笔记本的横格线中画了两条线段、，点、、、都在格线上，是上一点．若，，则的度数为（    ） A．32° B．34° C．36° D．38° 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【解析】解：由题意得， ∴∠BAD=∠2=119°，∠DCE=∠1=25°， ∴∠ACE=180°-∠BAD=61°， ∴∠3=∠ACE-∠DCE=36°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 10．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，及直角三角板的特殊性解答． 【解析】解：∵纸条的两边平行， ∴（1）∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）； （2）∠3=∠4（两直线平行，内错角相等），故错误； （4）∠4+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）均正确； 又∵直角三角板与纸条下线相交的角为90°， ∴（3）∠2+∠4=90°，正确． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 二、填空题 11．如图，直线，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】如图，根据平角的定义（等于的角叫做平角）求出的度数，根据平行线的性质得出，代入求出即可． 【解析】如图，∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键． 12．如图，，点E在上，连接，若平分，，则的度数为 ． 【答案】23 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键。 先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求解即可． 【解析】解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． 故答案为：23． 13．如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹角∠BOD＝83°，要使，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 度． 【答案】13 【分析】反向推理，若OD旋转到时，则，求，进而解决此题． 【解析】解：若OD旋转到时，则， ∵， ∴， ∴， ∴要使，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转13度． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定，是解决本题的关键． 14．如图，直线ab，三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则∠2＝ °． 【答案】 【分析】先由直线ab，根据平行线的性质，得出∠3＝∠1＝40°，再由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠2+∠3+∠4＝180°求出∠2． 【解析】解：已知直线ab， ∴∠3＝∠1＝40°， ∠4＝90°， ∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2＝180°﹣40°﹣90°＝50°， 故答案为：50． 【点睛】此题考查了平行线性质，关键是由平行线性质得出同位角相等求出∠3． 15．如图，于点C，交于点B，若，则的度数是 度． 【答案】30 【分析】根据平行线的性质求出∠3，根据垂直的定义可得∠HCE＝90°，根据角的和差计算即可． 【解析】解：如图，∵， ∴∠3＝∠1＝60°， ∵， ∴∠HCE＝90°， ∴∠2＝90°－∠3＝90°－60°＝30°， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 16．如图所示，已知，∶∶∶∶，则 ． 【答案】/120度 【分析】由条件可得，可表示出，再结合，∶∶∶∶可得求解的度数，进而可求得的度数． 【解析】解：， ， ， 由，：：：：，可设，，， ， 解得， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等两直线平行，②内错角相等两直线平行，③同旁内角互补两直线平行，④，． 17．如图，将长方形纸片沿折叠，点D落在点的位置．与交于点F．若，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查平行线的性质，折叠问题，由长方形的性质得到，由折叠的性质得到，求出，由对顶角的性质得到，由平行线的性质推出，即可求出的度数． 【解析】解：∵四边形是长方形， ， 由折叠的性质得到：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18．绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为 秒时，两束光线平行． 【答案】3或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程，正确计算相应的旋转角度数是解题的关键； 分旋转小于时和大于两种情况，根据平行线的性质表示出数据，列出一元一次方程，求解即可． 【解析】解设光速灯A旋转时间为t秒，则C旋转的时间为秒， 当旋转小于时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ∵按每秒的速度顺时针旋转，以每秒的速度顺时针旋转， ∴，， ∴， 解得：； 当旋转大于回转时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ，， 解得：； 综上所述：旋转时间为3秒或秒， 故答案为：3或． 三、解答题 19．如图，，，，试探索与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，要找与的数量关系，根据平行线的判定，由已知可得，则；根据平行线的性质，可得，结合已知条件，得，根据平行线的判定，得，从而求得结论． 【解析】解：． 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，已知于点D，于点A，，试说明． 解：∵（已知）， ∴（______）． 同理． ∴（______）． 即． ∵（已知）， ∴______（等式的性质1）． ∴（______）． 【答案】垂直的定义；等量代换；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了垂直定义和平行线的判定的应用，根据垂直定义得出，求出，根据平行线的判定推出即可，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 【解析】∵（已知）， ∴（垂直的定义）． 同理． ∴（等量代换）． 即． ∵（已知）， ∴（等式的性质1）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义，等量代换，，内错角相等，两直线平行． 21．如图，在四边形中，平分，交于点G，交的延长线于点E，F为延长线上一点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，掌握三角形的内角和及平行线的判定定理与定义是解题的关键． （1）根据，可得，即可求证； （2）根据平行线的性质可得，，再由平分，可得，即可求解． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 22．如图，，试说明． 证明：（已知）， ______（垂直定义______）， ____________（同位角相等，两直线平行）， （已知）， （______）， ．______）， （______）． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 根据垂直于同一条直线的两直线平行可得，根据内错角相等两直线平行可得，根据平行于同一条直线的两直线也相互平行可得，根据两直线平行，同位角相等即可求证． 【解析】证明：（已知）， （垂直定义）， （同位角相等，两直线平行）， （已知）， （内错角相等，两直线）， （平行于同一条直线的两直线也相互平行）， （两直线平行，同位角相等）． 23．如图，点D，E，G分别在，，上，连接，点F在上，连接，，已知．    (1)试判断与的关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据，证明，，即可得出结论； （2）根据平行线的性质以及平角的性质可得答案． 【解析】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 又， ， ∵， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 24．补全下面推理过程： 已知：如图，，E是直线AB上的一点，CE平分，射线，与互余． 求证： 证明：， ______ 平分， ______=______角平分线定义， ______等量代换， ______， 垂直的定义， ， ______， 与互余， ______互余的定义， ______， ______ 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；90；90；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可． 【解析】证明：， （两直线平行，内错角相等）， 平分， （角平分线定义）， （等量代换）， ， （垂直的定义）， ， ， 与互余， （互余的定义）， （同角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；；；90；90；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行 25．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，友情提示：，，． (1)①若，则的度数为________． ②若，则的度数为________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)若且点在直线的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）． 【答案】(1)①；② (2)．理由见解析 (3)可能为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质． （1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； ②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）分2种情况进行讨论：当时，当时，分别求得角度即可． 【解析】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②因为，， 所以， 所以， 故答案为：； （2）解：猜想：．理由如下： 因为，， 所以， 即； （3）解：可能为或． 当时， 所以， 因为， 所以； 当时， ． 26．已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、，若点P是下方一点，平分，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，延长并与的平分线相交与点E，当，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是： （1）过G作，可得，根据平行线的性质得出，，则可得出，即可求解； （2）过P作，可得，根据平行线的性质得出，，则可得出，由（1）可得：，则可得出，根据角平分线的定义得出，，则可求出，然后把代入求解即可； （3）设，，则，根据角平分线定义求出，由（2）知：，，，过E作，设与相交于O，由（2）同理可求，代入求解即可． 【解析】（1）解：过G作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴； （3）解：设，，则， ∵平分， ∴， 由（2）知：，，， 过E作，设与相交于O， 由（2）同理可求， ∵， ∴， 化简得， 解得， ∴的度数为． 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 平行线（第3课时）（十三大题型） 学习目标 1． 掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理； 2． 了解平行线的判定与性质的区别和联系. 知识点1 两直线平行，同位角相等. 问题：利用同位角相等，可以判定两条直线平行.反过来，如果两条直线平行， 同位角相等吗?我们可以证明下面的平行线的性质定理. 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单地说：两直线平行，同位角相等. 由于一对同位角相等，可以推出其他三对同位角也对应相等，因此只要证明一对同位角相等即可. 如图16-2-8(1),已知：∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角，EF分别交AB 、CD于点M 、N,AB//CD. 求证：∠1=∠2. 证明 用反证法.假设∠1≠∠2,那么可以过点M画一条直线使得∠EMH=∠2, 如图16-2-8(2)所示.根据“同位角相等，两直线平行”,可得到GH//CD. 又因为AB//CD,这样经过点M 存在两条直线AB 、GH 都与直线CD平行，与平行公理矛盾. 这说明∠1≠ ∠2这一假设是不成立的，所以∠1=∠2. 知识点2 垂直于两平行线中的一条直线 例 如图16-2-9,已知：a、b、c 是直线，a// b,aLc. 求证：b⊥c. 证明 如图16-2-9,∵ a//b, ∴∠2= ∠1(两直线平行，同位角相等). ∵a⊥c, ∴∠1=90°. ∴∠2=90°. ∴b⊥c. 由此你可以得到什么结论？ 知识点3 两直线平行，内错角相等. 定理 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单地说：两直线平行，内错角相等. 如图16-2-14,已知：∠1与∠2是直线a 、b被直线l所截得到的一对内错角，a//b. 求证：∠1=∠2. 证明 如图16-2-14,将∠1的对顶角记作∠3. 由“对顶角相等”,得∠1 =∠3. 根据“两直线平行，同位角相等”,由a//b, 得∠3=∠2. 因此∠1=∠2. 知识点4 两直线平行，同旁内角互补 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单地说：两直线平行，同旁内角互补. 思考：如何证明“两直线平行，同旁内角互补”? 提示：类比两直线平行，内错角相等的证明，借助补角的定义（或*邻补角的定义）可证. 【即学即练1】如图，，直线分别与，交于点，，若，则的度数为 ． 【即学即练2】如图，，那么的度数为 ． 【即学即练3】如图，直线，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【即学即练4】填写下面证明过程中的推理依据： 已知：如图，，平分，平分．求证：． 证明：∵（__________） ∴__________（__________） ∵平分，平分， ∴______， ______．（__________） ∴． 【即学即练5】如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=78°，求∠CDE的度数． 题型1:解答证明题：两直线平行，同位角相等 【典例1】．如图，直线a和直线b被直线c所截，已知：．求的度数．    【变式1-1】．填空或填写理由： 如图，已知直线，．求∠1、∠2的度数．      解：∵（___） ∴（    ） ∵（___），（已知） ∴∠1＝___°（等量代换） 又∵（平角的定义） ∴∠2＝___°（等式的性质） 【变式1-2】．如图，，，求证：． 题型2:根据两直线平行，同位角相等计算角度 【典例2】．如图，直线，，同时被直线所截，，则的度数为 ． 【变式2-1】．如图，，若，则为 °． 【变式2-2】．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时， ．    题型3:解答证明题：两直线平行，内错角相等 【典例3】．如图，，E是上一点，，平分交于点F，求的度数． 【变式3-1】．已知直线，平分且，，求的度数．    【变式3-2】．补充完成下面的推理过程． 如图，已知点分别是的边上的点，，．求证：． 证明：，（ 已知   ） （ ） ，                            （ ） （ ） 题型4:解答证明题：简单的平行线性质与判定综合 【典例4】．如图，，，求证：．    【变式4-1】．如图，D是上一点，E是上一点，，，．求的度数．    【变式4-2】．如图，已知．求证：平分． 证明：（    ）， __________（__________）， __________（__________）． （已知）， __________=__________（等量代换）． 平分（__________）． 题型5:根据两直线平行，内错角相等求角度 【典例5】．如图，直线被直线所截，，已知，则 ． 【变式5-1】．如图，直线与的一边相交于点E，且，若，则的度数等于 ． 【变式5-2】．如图，，与分别相交于点O、D，，则 °． 题型6:三角板问题 【典例6】．如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若，则等于 度． 【变式6-1】．一副三角板按图示摆放，点E恰好落在的延长线上，使，则的大小为 °． 【变式6-2】．如图，将直角三角板放置在长方形纸片上，若，则的度数为 ． 题型7:解答证明题：两直线平行，同旁内角互补 【典例7】．如图，若，，求的度数． 【变式7-1】．如图：已知，，你能确定与的数量关系吗？请说明理由．    【变式7-2】．如图，直线被直线所截，已知ab，，求的值． 【变式7-3】．如图，，平分交于点E．若，求的度数． 题型8:解答证明题：两直线平行，同旁内角互补（与其他判定、性质简单综合） 【典例8】．如图，梯形中，，在上，且，则可证． 理由如下：∵， ∴（____________） 又∵（____________） ∴， ∴____________（____________） 【变式8-1】．如图，直线，直线，，求，的度数． 【变式8-2】．如图，若，，求证：．    题型9:根据两直线平行，同旁内角互补求角度 【典例9】．如图，平分，若，则的度数为 ． 【变式9-1】．如图，直线与直线都相交．若，，则的度数是 ．    【变式9-2】．如图，平分，若，则的度数为 ．    【变式9-3】．如图，是的平分线，直线，若，则的大小为 ． 题型10:笔尖模型 【典例10】．如图，，E是直线之间的一点，连接，则图中的关系为 ． 【变式10-1】．如图，若，，，那么 ． 【变式10-2】．如图，分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么 ． 【变式10-3】．如图，若，则、、的关系是 ．    题型11:折叠问题 【典例11】．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与对应，若，则的度数为 ． 【变式11-1】．如图（1）是长方形纸条，，将纸条沿折叠成如图（2），则图（2）中的的度数是 度． 【变式11-2】．一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，是折痕，．有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（填序号） 题型12:平行线的性质的实际应用（拐弯问题） 【典例12】．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是（ ） A．第一次右拐，第二次左拐 B．第一次左拐，第二次右拐 C．第一次左拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次右拐 【变式12-1】．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖面过如图，如果第一次拐的角∠A=130°，第二次拐的角∠B=150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次剂弯之前的道路平行，则∠C的大小是    A．170° B．160° C．150° D．140° 【变式12-2】．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（    ） A．第一次右拐30°，第二次左拐150° B．第一次左拐30°，第二次右拐30° C．第一次左拐30°，第二次左拐150° D．第一次右拐30°，第二次右拐30° 题型12:平行线的性质与判定综合解答证明题（含难点） 【典例13】．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，已知：平分，、，求证：平分． 证明：∵平分（已知）， ∴__________ （角平分线定义）． ∵（已知）， ∴__________________． ∴（_________________）， ∵（_________________） ∴_____________（_________________）， （_________________）， ∴__________________________（等量代换）． ∴平分（_________________）． 【变式13-1】．如图，已知，. (1)猜想与之间有怎样的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数. 【变式13-2】．如图，，平分，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式13-3】．如图，已知，请你判断与的位置关系，并证明你的结论． 【变式13-4】．如图，在中，点、分别在、上，且，． (1)试猜想与的关系，并说明理由； (2)若平分，判断与位置关系，并说明理由． 【变式13-5】．如图1，．    (1)如图1（1）所示，说明与的位置关系，并说明理由. (2)如图1（2）所示，作与的平分线交于点F，若的余角等于的补角，求的度数． (3)在前面的条件下，如图1（3）所示，若P是上一点，Q是上任一点，平分平分，下列结论：的度数不变；的度数不变，可以证明，只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求出相应的值． 一、单选题 1．如图，已知AB∥CD，∠1=56°，则∠2的度数是（  ） A．34° B．56° C．65° D．124° 2．如图，点A、D在射线AE上，直线ABCD，∠CDE=140°，那么∠A的度数为（    ） A．140° B．60° C．50° D．40° 3．下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C．D． 4．如图，直线a、b被直线c、d所截，若，，，则的度数是（    ） A．105° B．115° C．125° D．135° 5．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．如图，则下面结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，，平分，交于点D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（　　） A． B． C． D． 9．如图，小明在笔记本的横格线中画了两条线段、，点、、、都在格线上，是上一点．若，，则的度数为（    ） A．32° B．34° C．36° D．38° 10．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的个数是(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．如图，直线，，则的度数是 ． 12．如图，，点E在上，连接，若平分，，则的度数为 ． 13．如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹角∠BOD＝83°，要使，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 度． 14．如图，直线ab，三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则∠2＝ °． 15．如图，于点C，交于点B，若，则的度数是 度． 16．如图所示，已知，∶∶∶∶，则 ． 17．如图，将长方形纸片沿折叠，点D落在点的位置．与交于点F．若，则 ． 18．绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为 秒时，两束光线平行． 三、解答题 19．如图，，，，试探索与有怎样的数量关系，并说明理由． 20．如图，已知于点D，于点A，，试说明． 解：∵（已知）， ∴（______）． 同理． ∴（______）． 即． ∵（已知）， ∴______（等式的性质1）． ∴（______）． 21．如图，在四边形中，平分，交于点G，交的延长线于点E，F为延长线上一点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．如图，，试说明． 证明：（已知）， ______（垂直定义______）， ____________（同位角相等，两直线平行）， （已知）， （______）， ．______）， （______）． 23．如图，点D，E，G分别在，，上，连接，点F在上，连接，，已知．    (1)试判断与的关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 24．补全下面推理过程： 已知：如图，，E是直线AB上的一点，CE平分，射线，与互余． 求证： 证明：， ______ 平分， ______=______角平分线定义， ______等量代换， ______， 垂直的定义， ， ______， 与互余， ______互余的定义， ______， ______ 25．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，友情提示：，，． (1)①若，则的度数为________． ②若，则的度数为________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)若且点在直线的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）． 26．已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、，若点P是下方一点，平分，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，延长并与的平分线相交与点E，当，求的度数． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$