第08讲 平行线（第2课时）（三类知识点+十二大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第08讲 平行线（第2课时）（十二大题型） 学习目标 1． 掌握平行线的判定定理，并能证明 2． 能运用“平行线的判定定理”，判定两条直线是否平行. 知识点1 平行线的判定—同位角相等，两直线平行 前面画平行线(图16-2-3)时，将直尺的边看成截线，只要同位角∠1与∠2相等，画出的直线a、b 就是平行线.我们把这个基本事实作为判定两条直线平行的公理. 公 理 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单地说：同位角相等，两直线平行. 注意：公理通俗的讲就是大家都认可的定理，所以这个判定定理不作证明. 知识点2 平行线的判定—内错角相等，两直线平行 利用同位角相等可以判定两条直线平行，那么是否也可以由内错角相等 来判定两条直线平行呢?结论是肯定的，由此得到平行线的另一种判定方法. 定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单地说：内错角相等，两直线平行 如图16-2-12(1),已知：直线a、b 被直线l 所截，∠1=∠2. 求证：a//b. 分析 我们已经知道“同位角相等，两直线平行”,为了证明a//b 从∠1=∠2出发，找出一对相等的同位角. 证明 如图16-2-12(2),将∠1的对顶角记作∠3. 因为对顶角相等，所以∠1=∠3. 又已知∠1=∠2,从而有∠2=∠3. 根据“同位角相等，两直线平行”,得a//b. 知识点3 平行线的判定—同旁内角互补，两直线平行 定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单地说：同旁内角互补，两直线平行 如图16-2-16,已知：直线a、b 被直线l所截，∠1+∠2=180°. 求证：a//b. 分析 从∠1、∠2出发，去寻找一对相等的同位角或一对相等的内错角. 证明 如图16-2-16,将与∠1相邻的一个补角记作∠3, 则∠1+∠3=180°. ∵∠1+∠2=180°, ∴∠2=∠3. ∴a//b (同位角相等，两直线平行). 【即学即练1】下列图形中，能由得到的是（    ） A．  B．  C．   D．   【即学即练2】如图，已知直线分别与直线，相交，，那么与的位置关系是 ． 【即学即练3】如图，添加一个条件能得到的是 ． 【即学即练4】已知：如图，四边形中，平分， ，与平行吗？为什么？    答：．理由如下： ∵平分，（                ） ∴（                ） ∵（                ） ∴（                ） ∴（                ） 【即学即练5】已知，如图，，是相交于直线、的直线，且， 求证：．    题型1:证明同位角相等，两直线平行 【典例1】．已知：如图， ．求证： ． 分析：如图，欲证，只要证______． 证明： ，（已知） 又，（        ） __________．（      ） ．（__________，____________） 【变式1-1】．如图，因为∠B=∠D，∠1=∠D（已知）． 所以∠B=∠1（               ）． 所以 ∥ ．（                     ） 【变式1-2】．如图，，，证明AD与BC平行. 【变式1-3】．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝∠2，求证：AE∥BF． 题型2:同位角相等，两直线平行的辨析与应用 【典例2】．如图，直线被直线所截，，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．如图，在探索直线平行的条件时，将木条a，c固定，使，转动木条b，当 时，木条a与木条b平行． 【变式2-2】．如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【变式2-3】．小明按如图所示的方法画出了两条平行线，依据是 ． 题型3:证明同位角相等，两直线平行（且与平行公理结合） 【典例3】．如图，已知，，求证． 【变式3-1】．如图，已知，，请说明． 【变式3-2】．如图，已知直线a，b，c，d，e，且，则a与c平行吗？为什么？ 解∶a与c平行． 理由∶因为 (_________________)， 所以 (_________________)． 因为 (_________________)， 所以 (_________________)． 所以 (_________________)． 题型4：证明内错角相等，两直线平行 【典例4】．如图，已知，，，与平行吗？ 【变式4-1】．已知如图，交于A，交于D，交于O，，，试判断和的位置关系，并说明为什么． 【变式4-2】．如图，，平分，求证：． 题型5：证明内错角相等，两直线平行（与角平分线结合） 【典例5】．已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 【变式1-1】．完成下面证明： 如图，平分，．求证． 证明：∵平分 ∴（ ） ∵． ∴ ．（ ） ∴（ ）． 【变式5-1】．如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 题型6：综合同位角相等，内错角相等来判定两直线平行 【典例6】．已知，．求证：．    【变式6-1】．如图，已知点、、、在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 解：（1），理由如下： （ ）， （已知）， ． （ ）． （2）与的位置关系是：（ ）． 请完成说理过程： 题型7：内错角相等，两直线平行的辨析与应用 【典例7】．如图，用符号语言表达定理“内错角相等，两直线平行”的推理形式：∵ ，∴． 【变式7-1】．下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】．小泽在课桌上摆放了一副三角板，如图所示，得到，依据是 ． 题型8：证明同旁内角互补，两直线平行 【典例8】．已知：如图，直线a，b被直线c所截，且．求证：． 【变式8-1】．完成下面的证明： 已知：如图，，，．求证：． 证明：（________） ________（________） ，（已知） ________ 即________ （________） 【变式8-2】．如图，直线被直线所截，与交于点C，平分，，，试说明：． 【变式8-3】．完成下面的证明． 已知：如图，． 求证：． 证明：， ______________（_______）． ， ______________． （_______）． 题型9：平行线的判定综合辨析 【典例9】．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】．（1）如果，那么________________，根据（    ） （2）如果，那么________________，根据（    ） （3）如果，那么________________，根据（    ） 【变式9-2】．如图，下列推理中正确的有（   ） ①因为，所以； ②因为，所以； ③因为，所以； ④因为，所以． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-3】．如图所示，下列条件不能判定直线的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-4】．如图，，能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 【变式9-5】．如图，给出四个条件：①；②；③；④，其中能判定的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 题型10：添加一个条件，使两直线平行线 【典例10】．如图，要得到，则需要的条件 ．（填一个你认为正确的条件即可） 【变式10-1】．如图，直线分别交直线，于点，，若，增加一个条件使得，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【变式10-2】．如图，要使“直线”，需要添加的条件是 （只填一个即可） 【变式10-3】．如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 题型11：平行线的判定的综合应用 【典例11】．如图，一条公路的两个拐角和若，要使公路和在同一方向上，需要使 度，依据是 ． ‍ 【变式11-1】．如下图，直线c与a、b相交，，，要使直线a与b平行，直线a绕点O逆时针旋转的度数最小的度数是 ． 【变式11-2】．如图，，，点O在直线a上，且，则a与b的位置关系是 ．    【变式11-3】．把一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，当为 度时，． 题型12：证明平行线的判定（综合） 【典例12】．请根据图形填空： 如图：    ①∵（已知） ∴________________（    ） ②∵________ （    ） 【变式12-1】．如图所示，E是上一点．    (1)已知，可以判定哪两条直线平行?为什么? (2)已知，可以判定哪两条直线平行?为什么? (3)已知，可以判定哪两条直线平行?为什么? 【变式12-2】．如图，如果，求证：；． 观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．    证明：∵（已知）， （______________）， ∴（_______________）， 又∵（已知）， ∴（____________）（等式的性质） ∴（_______________） 又∵（_____________）， ∴（等式的性质） ∵（已知）， ∴， ∴（___________________________） 【变式12-3】．（1）我们曾用移动三角尺的方法画出了两条平行线（如图1），请说明依据的基本事实为：___________；    （2）基本事实可作为依据，用来证明新的结论．请根据以上基本事实证明平行线的判定方法：“同旁内角互补，两直线平行” 已知：如图2，∠1和∠2是直线被直线截出的同旁内角，且与互补，求证：．（推理过程请注明理由） （3）平行线的判定在实际生活中有许多应用：如图3，在铺设铁轨时，两条铁轨必须是互相平行的．将铁轨和枕木看成直线（如图4 所示，直线a、b为直轨，m、n为枕木），是直角，可以通过度量图中已标出的哪个角的度数，来判断两条铁轨是否平行？为什么？    一、单选题 1．如图，直线，被第三条直线所截．由“”，得到“”的依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行 2．如图，下列条件中，能判定直线的是（　） A． B． C． D． 3．如图，已知，要使， 则需具备的另一个条件是（   ）    A． B． C． D． 4．如图所示，已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 6．如图，下列推论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．如图，下列条件：①，②，③，④，⑤，⑥中能判断直线的有（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．如图，木条、、通过、两处螺丝固定在一起，且，，将木条、木条、木条看作是在同一平面内的三条直线、、，若使直线、直线达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（    ）    A．木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转 B．木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 C．木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 D．木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转 9．如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（　　） A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40° 二、填空题 11．如图，填空: (1)若∠A=∠3，则____∥_____，理由是______； (2)若∠2=∠E，则____∥___，理由是____； (3)若∠A+∠ABE=180°，则____∥___，理由是____； (4)若∠2=∠____，则DA∥EB，理由是____； (5)若∠DBC+∠_____=180°，则DB∥EC，理由是____； 12．如图，已知直线被直线所截，交点分别为H、G，（请你添加一个合适的条件）， ，则． 13．如图，两块三角板形状大小完全相同，则边的依据是 ．（写一个即可） 14．如图，∠1＝2x＋10°，∠2＝40°－x，当∠1＝ 度时，DE∥BC． 15．如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1= 50°，则当∠2= 时，ab． 16．如图，∠EFB＝∠GHD＝53°，∠IGA＝127°，由这些条件，能找到 对平行线． 17．如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，则线段、、、、、中，相互平行的线段有 组． 18．如图，下列条件能判断的是 （多选）． ①   ②    ③    ④ 三、解答题 19．已知：如图， ．求证： ． 分析：如图，欲证，只要证______． 证明： ，（已知） 又，（        ） __________．（      ） ．（__________，____________） 20．如图，是上一点，是上一点，是延长线上一点． （1）如果，可以判断哪两条直线平行？为什么？ （2）如果，可以判断哪两条直线平行？为什么？ （3）如果，可以判断哪两条直线平行？为什么？ 21．已知：如图，直线被所截， ， 求证： ． 证法1：如图， 与交于 （                  ） 又（                      ） （                  ） （                      ） 证法2：如图， （                             ） 又（                             ） （                    ） （                             ） 证法3：如图， （                              ） （                                       ） 又（                      ） （                              ） （                                        ） 22．如图，已知，．判断与的位置关系，并证明．    23．已知：如图，，和互余，于点G，求证：．（推理过程请注明理由） 24．如图，已知，平分，平分，且，请填写说明DE∥BF的理由的依据． 解：因为平分，平分（已知） 所以，（______） 因为（已知） 所以（______） 因为（______） 所以（______） 所以DEBF（______） 25．如图，，求证：，请将证明过程填写完整. 证明：∵（已知） 又∵（                      ） ∴________， ∴____________（                           ） ∴______________（                              ） 又∵（已知） ∴________________， ∴（                              ） 26．完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ）． 又∵平分（    ）， ∴______（    ）． （    ）． 又∵（已知）， （______）（    ）． ∴（    ）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 平行线（第2课时）（十二大题型） 学习目标 1． 掌握平行线的判定定理，并能证明 2． 能运用“平行线的判定定理”，判定两条直线是否平行. 知识点1 平行线的判定—同位角相等，两直线平行 前面画平行线(图16-2-3)时，将直尺的边看成截线，只要同位角∠1与∠2相等，画出的直线a、b 就是平行线.我们把这个基本事实作为判定两条直线平行的公理. 公 理 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单地说：同位角相等，两直线平行. 注意：公理通俗的讲就是大家都认可的定理，所以这个判定定理不作证明. 知识点2 平行线的判定—内错角相等，两直线平行 利用同位角相等可以判定两条直线平行，那么是否也可以由内错角相等 来判定两条直线平行呢?结论是肯定的，由此得到平行线的另一种判定方法. 定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单地说：内错角相等，两直线平行 如图16-2-12(1),已知：直线a、b 被直线l 所截，∠1=∠2. 求证：a//b. 分析 我们已经知道“同位角相等，两直线平行”,为了证明a//b 从∠1=∠2出发，找出一对相等的同位角. 证明 如图16-2-12(2),将∠1的对顶角记作∠3. 因为对顶角相等，所以∠1=∠3. 又已知∠1=∠2,从而有∠2=∠3. 根据“同位角相等，两直线平行”,得a//b. 知识点3 平行线的判定—同旁内角互补，两直线平行 定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单地说：同旁内角互补，两直线平行 如图16-2-16,已知：直线a、b 被直线l所截，∠1+∠2=180°. 求证：a//b. 分析 从∠1、∠2出发，去寻找一对相等的同位角或一对相等的内错角. 证明 如图16-2-16,将与∠1相邻的一个补角记作∠3, 则∠1+∠3=180°. ∵∠1+∠2=180°, ∴∠2=∠3. ∴a//b (同位角相等，两直线平行). 【即学即练1】下列图形中，能由得到的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理，即两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．进行判断即可． 【解析】解：A．由，不能得到，故该选项不符合题意； B．由，能得到，不能得到，故该选项不符合题意； C．由，不能得到，故该选项不符合题意； D．如图，    由，，可得，能得到，故该选项符合题意． 故选：D． 【即学即练2】如图，已知直线分别与直线，相交，，那么与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：． 【即学即练3】如图，添加一个条件能得到的是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用内错角相等，同位角相等或同旁内角互补，两直线平行，可得结论． 【解析】解：当时，可得到； 当时，可得到； 当时，可得到． 故答案为：（不唯一）． 【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题关键． 【即学即练4】已知：如图，四边形中，平分， ，与平行吗？为什么？    答：．理由如下： ∵平分，（                ） ∴（                ） ∵（                ） ∴（                ） ∴（                ） 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的性质可得，再根据等量代换可得，然后再根据平行线的判定定理可得． 【解析】∵平分，(已知) ∴(角平分线的定义) ∵(已知) ∴ (等量代换) ∴(内错角相等，两直线平行) 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握内错角相等，两直线平行． 【即学即练5】已知，如图，，是相交于直线、的直线，且， 求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据对顶角相等可得，，推得，根据平行线的性质可得，根据平行公理即可证明． 【解析】证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的判定，平行公理，熟练掌握平行线的判定和平行公理是解题的关键． 题型1:证明同位角相等，两直线平行 【典例1】．已知：如图， ．求证： ． 分析：如图，欲证，只要证______． 证明： ，（已知） 又，（        ） __________．（      ） ．（__________，____________） 【答案】；对顶角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【分析】根据等量代换和同位角相等，两直线平行即可得出结果． 【解析】分析：如图，欲证，只要证． 证明： ，（已知） 又，（对顶角相等） ．（等量代换） ．（同位角相等，两直线平行） 【点睛】本题主要考查平行线的判定，属于基础题，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【变式1-1】．如图，因为∠B=∠D，∠1=∠D（已知）． 所以∠B=∠1（               ）． 所以 ∥ ．（                     ） 【答案】等量代换；AB；CD；同位角相等，两直线平行 【分析】首先由等量代换得出同位角相等，然后即可判定平行. 【解析】由等量代换，得∠B=∠1， 又同位角相等，两直线平行 ∴AB∥CD 【点睛】此题主要考查平行线的判定，熟练掌握，即可解题. 【变式1-2】．如图，，，证明AD与BC平行. 【答案】见解析. 【分析】首先根据平角的性质得出,然后利用平行线的判定定理:同位角相等,两直线平行,即可得证. 【解析】，且， . ， . （同位角相等，两直线平行）. 【点睛】此题主要考查平行线的判定，熟练掌握，即可解题. 【变式1-3】．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝∠2，求证：AE∥BF． 【答案】见解析 【分析】由垂直的定义可知∠EAC＝∠FBD＝90°，然后由等式的性质可求∠EAG＝∠FBG从而根据同位角相等，两直线平行可证AE∥BF. 【解析】∵AC⊥AE，BD⊥BF， ∴∠EAC＝∠FBD＝90°， 又∵∠1＝∠2， ∴∠EAG＝∠FBG， ∴AE∥BF. 【点睛】本题考查了垂直的定义及平行线的判定方法，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解答本题的关键. 题型2:同位角相等，两直线平行的辨析与应用 【典例2】．如图，直线被直线所截，，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可．根据同位角相等，两直线平行求解即可． 【解析】解：如图， ∵， ∴， ∴当时，． 故选C． 【变式2-1】．如图，在探索直线平行的条件时，将木条a，c固定，使，转动木条b，当 时，木条a与木条b平行． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意可知时，木条a与木条b平行．即可得出答案． 【解析】解：如图，木条转动到时．木条a与木条b平行． 当时，． 即时，木条a与b平行． 故答案为：． 【变式2-2】．如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定的应用，根据同位角相等，两直线平行可得答案． 【解析】解：木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是： 同位角相等，两直线平行． 故选：B 【变式2-3】．小明按如图所示的方法画出了两条平行线，依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行得出结果即可． 【解析】解：如图， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行． 题型3:证明同位角相等，两直线平行（且与平行公理结合） 【典例3】．如图，已知，，求证． 【答案】见解析 【分析】根据对顶角相等及，推出，即可得到，再根据平行于同一直线的两直线平行得到结论． 【解析】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，以及平行线的推论：平行于同一直线的两直线平行，熟记定理是解题的关键． 【变式3-1】．如图，已知，，请说明． 【答案】理由见解析． 【分析】先由根据同角的补角相等得到，则，又，从而可得结果． 【解析】∵（已知） ∴（同位角补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 又∵（已知） ∴（平行于同一直线的两直线平行） 【点睛】本题考查了平行线的判定，平行公理的应用，熟记平行线的判定并灵活应用是解本题的关键． 【变式3-2】．如图，已知直线a，b，c，d，e，且，则a与c平行吗？为什么？ 解∶a与c平行． 理由∶因为 (_________________)， 所以 (_________________)． 因为 (_________________)， 所以 (_________________)． 所以 (_________________)． 【答案】已知；同位角相等，两直线平行；已知；同位角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】根据，可得，再由，，即可． 【解析】解∶a与c平行． 理由∶因为 (已知)， 所以(同位角相等，两直线平行)． 因为(已知)， 所以(同位角相等，两直线平行)． 所以(平行于同一条直线的两条直线平行)． 故答案为∶已知；同位角相等，两直线平行；已知；同位角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 【点睛】本题很简单，考查的是平行线的判定定理和平行公理的推论．内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行那么这两条直线平行． 题型4：证明内错角相等，两直线平行 【典例4】．如图，已知，，，与平行吗？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，得到是解题的关键．由，得到，继而，即可求证． 【解析】解：，理由如下， 证明，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-1】．已知如图，交于A，交于D，交于O，，，试判断和的位置关系，并说明为什么． 【答案】，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角的性质，利用对顶角的性质得出，则可得出，然后利用平行线的判定即可得出结论． 【解析】解：． 理由：，，， ， ． 【变式4-2】．如图，，平分，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，由平分得，进而得，即可求证，掌握平行线的判定是解题的关键． 【解析】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型5：证明内错角相等，两直线平行（与角平分线结合） 【典例5】．已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定．根据题意可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【解析】证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】．完成下面证明： 如图，平分，．求证． 证明：∵平分 ∴（ ） ∵． ∴ ．（ ） ∴（ ）． 【答案】角平分线的定义，3，等量代换，内错角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．根据角平分线的定义得到，而，则得到，根据“内错角相等两直线平行”即可得到结论． 【解析】证明：∵平分． ∴．（角平分线的定义） ∵． ∴．（等量代换） ∴（内错角相等两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义，3，等量代换，内错角相等两直线平行． 【变式5-2】．如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 【答案】邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行；理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定． 【解析】解：∵（已知）， （邻补角的定义）， ∴（同角的补角相等）． ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 题型6：综合同位角相等，内错角相等来判定两直线平行 【典例6】．已知，．求证：．    【答案】见解析 【分析】先分别证明，，然后根据平行线的传递性可证成立． 【解析】证明：∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键．平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一直线的两条直线互相平行；⑤同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行． 【变式6-1】．如图，已知点、、、在一条直线上，，平分，． （1）与平行吗？请说明理由； （2）与的位置关系如何？请说明理由． 解：（1），理由如下： （ ）， （已知）， ． （ ）． （2）与的位置关系是：（ ）． 请完成说理过程： 【答案】（1）平角定义；；同位角相等，两直线平行；（2）平行，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的判定． （1）根据平角定义可得，从而利用同角的补角相等可得，然后根据同位角相等，两直线平行可得； （2）根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答． 【解析】解：（1），理由如下： （平角定义）， （已知）， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：平角定义；；同位角相等，两直线平行； （2）与的位置关系是：（平行），理由如下： 平分， ， ， ， ， 故答案为：平行． 题型7：内错角相等，两直线平行的辨析与应用 【典例7】．如图，用符号语言表达定理“内错角相等，两直线平行”的推理形式：∵ ，∴． 【答案】/ 【分析】本题考查了三线八角，以及平行线的判定，根据“内错角相等，两直线平行”解答即可． 【解析】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式7-1】．下列图形中，由，能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理逐一判断即可得出答案． 【解析】解：A、由，不能得到，此选项不符合题意； B、由，得到，不能得出，此选项不符合题意； C、由，不能得到，此选项不符合题意； D、由，能得到，此选项符合题意； 故选D． 【变式7-2】．小泽在课桌上摆放了一副三角板，如图所示，得到，依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据平行线的判定作答即可． 【解析】解：由题意知，， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 题型8：证明同旁内角互补，两直线平行 【典例8】．已知：如图，直线a，b被直线c所截，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】此题考查了对顶角的性质和平行线的判定，掌握相关基本性质是解题的关键． 根据对顶角相等并结合题意得到，再根据平行线的判定即可求解． 【解析】证明：由对顶角相等可得：， ∵， ∴， ∴． 【变式8-1】．完成下面的证明： 已知：如图，，，．求证：． 证明：（________） ________（________） ，（已知） ________ 即________ （________） 【答案】已知，，垂直的定义，，，同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，先由垂直的定义，得出，再结合，，得出，即可证明． 【解析】证明：（已知）， ∴（垂直的定义）， ，（已知）， ， 即， （同旁内角互补，两直线平行）． 【变式8-2】．如图，直线被直线所截，与交于点C，平分，，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线定义及对顶角性质，则，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解． 【解析】证明：平分，， ， ， ， ， ∴． 【变式8-3】．完成下面的证明． 已知：如图，． 求证：． 证明：， ______________（_______）． ， ______________． （_______）． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；；同平行于一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键． 先由，得到再由，得到，最后得到． 【解析】证明：， （同旁内角互补，两直线平行）． ， ． （同平行于一条直线的两条直线互相平行）． 题型9：平行线的判定综合辨析 【典例9】．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【解析】解：A、根据内错角相等，两直线平行，得到；符合题意； B、根据同位角相等，两直线平行，得到；不符合题意； C、，，则：，故，不符合题意； D、，不能得到，不符合题意； 故选A． 【变式9-1】．（1）如果，那么________________，根据（    ） （2）如果，那么________________，根据（    ） （3）如果，那么________________，根据（    ） 【答案】（1），，同位角相等，两直线平行； （2），，内错角相等，两直线平行； （3），，同旁内角互补，两直线平行； 【分析】（1）先判断图中、的位置关系，再根据同位角相等，两直线平行解答即可； （2）先判断图中、的位置关系，再根据内错角相等，两直线平行解答即可； （3）先判断图中、的位置关系，再根据同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【解析】（1）由图中可得和是同位角，根据同位角相等，两直线平行得到； （2）由图中可得和是内错角，再根据内错角相等，两直线平行得到； （3）由图中可得和是同旁内角且，再根据同旁内角互补，两直线平行得到． 【点睛】本题考查平行线的判定定理，熟练掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行的判定定理是解题的关键． 【变式9-2】．如图，下列推理中正确的有（   ） ①因为，所以； ②因为，所以； ③因为，所以； ④因为，所以． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握各个判定定理是求解的关键；根据平行线的判定定理逐项分析即可求解． 【解析】①因为，所以，故①错误； ②因为，所以．故②错误； ③因为，所以，故②正确； ④因为，所以．故④错误． 故选A． 【变式9-3】．如图所示，下列条件不能判定直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定条件是解题的关键．根据两直线平行同旁内角互补，同位角、内错角相等逐项判断即可． 【解析】解：A、和不是同位角，也不是内错角，所以不能判断，故A选项符合题意； B、和是内错角，根据内错角相等，两直线平行，所以能判断，故B选项不符合题意； C、和是同旁内角，所以能判断，故C选项不符合题意； D、和是同位角，所以能判断，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式9-4】．如图，，能判定的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行；根据，即可判定；其它条件均不能判定． 【解析】解：当时，， 则有； 而添加其它条件无法得到； 故选：C． 【变式9-5】．如图，给出四个条件：①；②；③；④，其中能判定的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理．根据内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，以及同旁内角互补两直线平行，逐个分析即可． 【解析】①，能判定，不能判定，不符合题意； ②，能判定，符合题意； ③，能判定，不能判定，不符合题意； ④，能判定，符合题意，故②④正确． 故选：D． 题型10：添加一个条件，使两直线平行线 【典例10】．如图，要得到，则需要的条件 ．（填一个你认为正确的条件即可） 【答案】或或或（任选一个即可） 【分析】本题考查平行线的判定，涉及同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行等，根据图形，结合平行线的判定定理验证即可得到答案，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键． 【解析】解：要得到，利用平行线的判定： ①同位角相等两直线平行，可填； ②内错角相等两直线平行，可填； ③同旁内角互补两直线平行，可填；； 故答案为：或或或（任选一个即可）． 【变式10-1】．如图，直线分别交直线，于点，，若，增加一个条件使得，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键，即①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 根据平行线的判定，可利用内错角相等或同旁内角互补，两直线平行得出答案． 【解析】解：根据平行线的判定，可添加， ∵ ∴ ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式10-2】．如图，要使“直线”，需要添加的条件是 （只填一个即可） 【答案】（或或） 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．由平行线的判定，即可得到答案． 【解析】解：要使直线，则需要添加的条件可以为，也可以为，也可以为， 故答案为：（或或）． 【变式10-3】．如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行解答（答案不唯一）． 【解析】解：若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 故答案为或或或．（答案不唯一） 题型11：平行线的判定的综合应用 【典例11】．如图，一条公路的两个拐角和若，要使公路和在同一方向上，需要使 度，依据是 ． ‍ 【答案】 内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，解题的关键是将实际问题转化为数学问题求解，要使公路和在同一方向上，即和平行，根据内错角相等，两直线平行，可得． 【解析】解：要使公路和在同一方向上，即， 当时， 依据是内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行 【变式11-1】．如下图，直线c与a、b相交，，，要使直线a与b平行，直线a绕点O逆时针旋转的度数最小的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．要使直线a与b平行，则，根据已知条件即可确定旋转的度数． 【解析】解：当时，， ，， 直线a绕点O逆时针旋转的度数最小的度数是， 故答案为：． 【变式11-2】．如图，，，点O在直线a上，且，则a与b的位置关系是 ．    【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行直线的判定，有已知条件可得出，再根据平角的定义求出，即可得出，根据同位角相等两直线平行即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：平行． 【变式11-3】．把一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，当为 度时，． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算，平行线的判定，根据，利用同旁内角互补，两直线平行直接求出结论． 【解析】解：， 当时，， 即当时，， 故答案为： 题型12：证明平行线的判定（综合） 【典例12】．请根据图形填空： 如图：    ①∵（已知） ∴________________（    ） ②∵________ （    ） 【答案】①；；内错角相等，两直线平行；②；同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键． 【解析】解：①∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行．） ②∵ （同位角相等，两直线平行．） 故答案：①；；内错角相等，两直线平行；②；同位角相等，两直线平行． 【变式12-1】．如图所示，E是上一点．    (1)已知，可以判定哪两条直线平行?为什么? (2)已知，可以判定哪两条直线平行?为什么? (3)已知，可以判定哪两条直线平行?为什么? 【答案】(1)，理由是：内错角相等，两直线平行 (2)，理由是：同旁内角互补，两直线平行 (3)，理由是：同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定方法是解本题的关键； （1）由内错角相等，两直线平行可得答案； （2）由同旁内角互补，两直线平行可得答案； （3）由同位角相等，两直线平行可得答案. 【解析】（1）解：∵， ∴， 理由是：内错角相等，两直线平行； （2）∵， ∴， 理由是：同旁内角互补，两直线平行； （3）∵， ∴， 理由是：同位角相等，两直线平行. 【变式12-2】．如图，如果，求证：；． 观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．    证明：∵（已知）， （______________）， ∴（_______________）， 又∵（已知）， ∴（____________）（等式的性质） ∴（_______________） 又∵（_____________）， ∴（等式的性质） ∵（已知）， ∴， ∴（___________________________） 【答案】对顶角相等；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；邻补角互补；内错角相等，两直线平行 【分析】根据对顶角，邻补角的性质，平行线的判定定理，进行作答即可． 【解析】证明：∵（已知）， （对顶角相等）， ∴（等量代换）， 又∵（已知）， ∴（）（等式的性质） ∴（同旁内角互补，两直线平行） 又∵（邻补角互补）， ∴（等式的性质） ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：对顶角相等；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；邻补角互补；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了对顶角，邻补角的性质，平行线的判定定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式12-3】．（1）我们曾用移动三角尺的方法画出了两条平行线（如图1），请说明依据的基本事实为：___________；    （2）基本事实可作为依据，用来证明新的结论．请根据以上基本事实证明平行线的判定方法：“同旁内角互补，两直线平行” 已知：如图2，∠1和∠2是直线被直线截出的同旁内角，且与互补，求证：．（推理过程请注明理由） （3）平行线的判定在实际生活中有许多应用：如图3，在铺设铁轨时，两条铁轨必须是互相平行的．将铁轨和枕木看成直线（如图4 所示，直线a、b为直轨，m、n为枕木），是直角，可以通过度量图中已标出的哪个角的度数，来判断两条铁轨是否平行？为什么？    【答案】（1）同位角相等，两直线平行；（2）见解析；（3）可以通过度量图中已标出或或的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行；见解析 【分析】（1）依据同位角相等，两直线平行作答； （2）根据同角的补角相等可得，再根据同位角相等，两直线平行作答即可； （3）可以通过度量图中已标出或或的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行；然后利用（1）的基本事实和（2）的结论证明即可． 【解析】（1）用移动三角尺的方法画出了两条平行线，依据的基本事实为：同位角相等，两直线平行； 故答案为：同位角相等，两直线平行； （2）证明：如图2，∵与互补，即（补角的定义）， 又∵（邻补角的定义）， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）； （3）可以通过度量图中已标出或或的度数，看它们是否等于，来判断两条铁轨平行； 理由：∵是直角， ∴， 若，则，由（2）同旁内角互补，两直线平行可知； 若，则，根据同位角相等，两直线平行可知； 若，由于，则，根据同位角相等，两直线平行可知． 【点睛】本题考查了平行线的判定和演绎推理，正确理解题意、熟知同位角相等、两直线平行是解题的关键． 一、单选题 1．如图，直线，被第三条直线所截．由“”，得到“”的依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据平行线的判定判断作答即可． 【解析】解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故选：D． 2．如图，下列条件中，能判定直线的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可． 【解析】解：A．，不能判定，不符合题意； B．，同位角相等，则，符合题意； C．，不能判定，不符合题意； D．，不能判定，不符合题意． 故选：B． 3．如图，已知，要使， 则需具备的另一个条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法，求解即可． 【解析】解：∵ ∴ 当时，，，可得 故选：D 【点睛】此题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定方法，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 4．如图所示，已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，解答本题的关键是掌握平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行．和是直线、被直线所截的内错角，若，则． 【解析】解：， （内错角相等，两直线平行） 故选：B 5．如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【解析】解：如图，由题意，得：， ∴（内错角相等，两直线平行）； 故选B． 6．如图，下列推论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果． 【解析】解：A、， ∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意； B、， ∴（同位角相等，两直线平行），不符合题意； C、由无法得到，不符合题意； D、， ∴（同位角相等，两直线平行），符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 7．如图，下列条件：①，②，③，④，⑤，⑥中能判断直线的有（　　）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论． 【解析】解：①由，可得； ②由，可得； ③由，，可得，即可得到； ④由，不能得到； ⑤由，可得，即可得到； ⑥由，，可得，即可得到； 故选：C． 8．如图，木条、、通过、两处螺丝固定在一起，且，，将木条、木条、木条看作是在同一平面内的三条直线、、，若使直线、直线达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（    ）    A．木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转 B．木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 C．木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转 D．木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转 【答案】C 【分析】要使直线、直线达到平行的位置关系，则要使（二者是内错角）或（二者是同旁内角），据此逐一判断即可 【解析】解：A、木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转，则此时，则与不平行，不符合题意； B、木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转， 则此时，即，则与不平行，不符合题意； C、木条、固定不动，木条绕点逆时针旋转，则，则与平行，符合题意； D、木条、固定不动，木条绕点顺时针旋转，则，即，则与不平行，符不合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 9．如图，下列条件中：①，②，③，④，能判断的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由平行线的判定定理进行判断，即可得到答案． 【解析】解：，则；故①符合题意； ，则；故②不符合题意； ，则；故③符合题意； 由，，则，得；故④符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理进行判断，是解题的关键 10．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（　　） A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40° 【答案】B 【分析】两次拐弯后，行驶方向与原来相同，说明两次拐弯后的方向是平行的．对题中的四个选项提供的条件，运用平行线的判定进行判断，能判定两直线平行者即为正确答案． 【解析】A、如图1：∵∠1=40°，∠2=140°， ∴AB与CD不平行； 故本选项错误； B、如图2：∵∠1=40°，∠2=40°， ∴∠1=∠2， ∴AB与CD平行； 故本选项正确； C、如图3：∵∠1=40°，∠2=140°， ∴∠1≠∠2， ∴AB不平行CD； 故本选项错误； D、如图4：∠1=40°，∠2=40°， ∴∠3=140°， ∴∠1≠∠3， ∴AB与CD不平行； 故本选项错误． 故选B． 【点睛】此题考查平行线的判定．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 二、填空题 11．如图，填空: (1)若∠A=∠3，则____∥_____，理由是______； (2)若∠2=∠E，则____∥___，理由是____； (3)若∠A+∠ABE=180°，则____∥___，理由是____； (4)若∠2=∠____，则DA∥EB，理由是____； (5)若∠DBC+∠_____=180°，则DB∥EC，理由是____； 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定方法解答即可. 【解析】(1)若∠A=∠3，则_AD__∥__BE__，理由是；(同位角相等，两直线平行); (2)若∠2=∠E，则__BD__∥_CE__，理由是(内错角相等，两直线平行)；     (3)若∠A+∠ABE=180°，则_AD___∥__BE_，理由是(同旁内角互补，两直线平行)； (4)若∠2=∠_D___，则DA∥EB，理由是(内错角相等,两直线平行)； (5)若∠DBC+∠_C_=180°，则DB∥EC，理由是(同旁内角互补，两直线平行)； 故答案为(1). AD   (2). BE   (3). 同位角相等，两直线平行； (4). BD， (5)CE,  (6)内错角相等，两直线平行;    (7). AD,  (8)BE,  (9)同旁内角互补，两直线平行；    (10). D    (11). 内错角相等,两直线平行;  (12).C,  (13) 同旁内角互补，两直线平行. 【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 12．如图，已知直线被直线所截，交点分别为H、G，（请你添加一个合适的条件）， ，则． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定定理添加条件即可． 【解析】解：添加，根据“同位角相等，两直线平行”可得； 添加，根据“内错角相等，两直线平行”可得； 添加，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得； 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，两块三角板形状大小完全相同，则边的依据是 ．（写一个即可） 【答案】同位角相等，两直线平行（答案不唯一） 【分析】利用平行线的判定方法即可解决问题． 【解析】解：依题意， ∴（同位角相等，两直线平行） 故答案为：同位角相等，两直线平行（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 14．如图，∠1＝2x＋10°，∠2＝40°－x，当∠1＝ 度时，DE∥BC． 【答案】30 【分析】根据平行线的判定定理得出当∠1=∠2时，DE∥BC，推出方程2x+10=40-x，求出x的值，即可求出∠1． 【解析】当∠1=∠2时,DE∥BC， 即2x+10=40−x， 解得：x=10， ∠1=(2×10+10)度=30度， 故答案为30. 【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行. 15．如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1= 50°，则当∠2= 时，ab． 【答案】40°/40度 【分析】根据三角尺的直角顶点在直线b上，∠1＝50°，即可得到∠3＝180°−90°−∠1＝40°，再根据ab，即可得到∠2＝∠3＝40°． 【解析】解：如图， ∵三角尺的直角顶点在直线b上，∠1＝20°， ∴∠3＝180°−90°−∠1＝40°， 又∵要使得ab， ∴只需要∠2＝∠3＝40°， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行线，同位角相等是解题的关键． 16．如图，∠EFB＝∠GHD＝53°，∠IGA＝127°，由这些条件，能找到 对平行线． 【答案】2 【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行）进行判断即可． 【解析】解：∵∠GHD＝53°， ∵∠GHC＝127°， ∵∠IGA＝127°， ∴∠GHC＝∠IGA，∠IGB＝53°， ∴AB∥CD， ∵∠EFB＝53°， ∴∠IGB＝∠EFB， ∴IH∥EF． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行线的判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 17．如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，则线段、、、、、中，相互平行的线段有 组． 【答案】3 【分析】本题主要考查两直线平行的判定，在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线； 【解析】解：由题知：，则（同位角相等，两直线平行）； ，则（内错角相等，两直线平行）． ，则（同旁内角互补，两直线平行）． 则线段、、、、、中，相互平行的线段有：，，共3组； 故答案为：3 18．如图，下列条件能判断的是 （多选）． ①   ②    ③    ④ 【答案】①③④ 【分析】根据对顶角相等、平行线的判定逐个判断即可得． 【解析】解：①，根据内错角相等，两直线平行可判断； ②，根据同位角相等，两直线平行可判断； ③，根据同旁内角互补，两直线平行可判断； ④， ，根据同旁内角互补，两直线平行可判断； 综上，能判断的是①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了对顶角相等、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 三、解答题 19．已知：如图， ．求证： ． 分析：如图，欲证，只要证______． 证明： ，（已知） 又，（        ） __________．（      ） ．（__________，____________） 【答案】；对顶角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【分析】根据等量代换和同位角相等，两直线平行即可得出结果． 【解析】分析：如图，欲证，只要证． 证明： ，（已知） 又，（对顶角相等） ．（等量代换） ．（同位角相等，两直线平行） 【点睛】本题主要考查平行线的判定，属于基础题，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 20．如图，是上一点，是上一点，是延长线上一点． （1）如果，可以判断哪两条直线平行？为什么？ （2）如果，可以判断哪两条直线平行？为什么？ （3）如果，可以判断哪两条直线平行？为什么？ 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1） ，互为同位角，根据同位角相等，两直线平行即知正确答案； （2） ，互为内错角，根据内错角相等，两直线平行即知正确答案； （3） ,互为同旁内角，根据同旁对角互补，两直线平行，可得正确答案. 【解析】解：（1）由，根据“同位角相等，两直线平行”，可得； （2）由，根据“内错角相等两直线平行”，可得； （3）由，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得． 【点睛】本题考查平行线的判定定理，牢记定理内容是解题关键． 21．已知：如图，直线被所截， ， 求证： ． 证法1：如图， 与交于 （                  ） 又（                      ） （                  ） （                      ） 证法2：如图， （                             ） 又（                             ） （                    ） （                             ） 证法3：如图， （                              ） （                                       ） 又（                      ） （                              ） （                                        ） 【答案】证法1：对顶角相等，已知，等量代换，同位角相等，两直线平行；证法2：对顶角相等，已知，等量代换，内错角相等，两直线平行；证法3：邻补角互补，对顶角相等，已知，等量代换，同旁内角相等，两直线平行． 【分析】根据平行线的判定与性质解题． 【解析】证明：证法1：如图， 与交于 （  对顶角相等 ） 又（   已知 ） （  等量代换 ） （    同位角相等，两直线平行 ） 证法2：如图， （     对顶角相等 ） 又（   已知 ） （  等量代换                  ） （   内错角相等，两直线平行 ） 证法3：如图， （ 邻补角互补                            ） （       对顶角相等 ） 又（    已知 ） （  等量代换                            ） （       同旁内角相等，两直线平行                      ） 【点睛】本题考查平行线的判定、几何推理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 22．如图，已知，．判断与的位置关系，并证明．    【答案】，证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定，先求出，根据内错角相等、两直线平行，可证． 【解析】解：，证明如下： ， ， ， ， ． 23．已知：如图，，和互余，于点G，求证：．（推理过程请注明理由） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，余角的定义．首先由，得和互余，再由已知，，和互余，所以得，从而证得． 【解析】证明：（已知）， ∴（垂直的定义）， ， 又∵与互余（已知）， ∴ （同角的余角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 24．如图，已知，平分，平分，且，请填写说明DE∥BF的理由的依据． 解：因为平分，平分（已知） 所以，（______） 因为（已知） 所以（______） 因为（______） 所以（______） 所以DEBF（______） 【答案】角平分线的定义；等量代换；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行 【分析】根据角平分线定义和已知求出，推出，根据平行线的判定推出即可． 【解析】解：因为平分，平分（已知）， 所以，（角平分线的定义）， 因为（已知）， 所以（等量代换）， 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；等量代换；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定和角平分线的定义，掌握同位角相等，两直线平行是关键. 25．如图，，求证：，请将证明过程填写完整. 证明：∵（已知） 又∵（                      ） ∴________， ∴____________（                           ） ∴______________（                              ） 又∵（已知） ∴________________， ∴（                              ） 【答案】答案见解析． 【分析】由平行线的性质以及判定一一判断即可． 【解析】证明：∵∠1+∠2=180°（已知） 又∵∠1=∠AOE（对顶角相等） ∴∠AOE+∠2=180° ∴DE∥AC，（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠C=∠DEB（两直线平行，同位角相等） 又∵∠C=∠D（已知） ∴∠D=∠DEB ∴AD∥BC（内错角相等两直线平行）． 故答案为对顶角相等，∠AOE，AC，同旁内角互补，两直线平行，∠DEB，两直线平行，同位角相等，∠DEB，内错角相等两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键． 26．完成下面的证明： 如图，平分，平分，且． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（    ）． 又∵平分（    ）， ∴______（    ）． （    ）． 又∵（已知）， （______）（    ）． ∴（    ）． 【答案】角平分线的定义；已知；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【解析】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $$