精品解析：湖南省常德市澧县2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024年下学期期中考试试卷 八年级数学 考试时间：90分钟，满分100分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分） 1. 下列各式：，，，，，其中分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占(平方毫米)，用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 化简分式的最后结果是（ ） A. B. C. D. 5. 的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用的蔗糖溶液加入蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列说法错误的是（ ） A. ，，是的内角 B. 是与相邻的角 C. D. 的三条边分别是 ，， 7. 一个等腰三角形的两条边分别是9厘米、4厘米，它的周长是（ ）厘米． A. 22 B. 17 C. 22或17 D. 无法确定 8. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 9. 如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，若的面积为a，且点A，B，C分别是的中点，则求阴影部分的面积（用含a的式子表示），（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 12. 已知：如图，，只需补充条件___________，就可以根据“”得到． 13. _____． 14. 分式方程的解是________． 15. 如图，是的外角，若，，则的度数为__________． 16. 用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于”时，应先假设：________________________． 17. 如图，△ABC≌△ADE，且E在BC上．若∠DEA＝80°，则∠BED的度数为______． 18. 已知，请计算_______．（用含x的代数式表示） 三、解答题（共6小题，满分46分） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：其中． 21. 如图，已知，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．求作，使，，． 22. 如图，已知，，． （1）求证：； （2）求的度数． 23. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：    请求出排球的单价是多少元？ 24. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使， 请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A． B． C． D． （2）求得的取值范围是 ． A． B． C． D． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， [方法应用] （3）如图，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期期中考试试卷 八年级数学 考试时间：90分钟，满分100分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分） 1. 下列各式：，，，，，其中分式有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子、是整式）中，分母中含有字母，则叫分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：在，，，，中，其中分式有，，共2个， 故选：B 2. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，关键是理解最简分式的定义． 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，该分式不符合最简分式的定义，故本选项不符合题意； B．，该分式的分子、分母中含有公因，则它不是最简分式，故本选项不符合题意； C． ，该分式的分子、分母中含有公因数2，则它不是最简分式，故本选项不符合题意； D． 该分式的分母为，所以该分式的分子、分母中没有公因式，则它是最简分式，故本选项不合题意； 故选：D． 3. 随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占(平方毫米)，用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：用科学记数法可表示为． 故选：C． 4. 化简分式的最后结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分式的除法运算法则进行运算，再根据分式的加法运算法则进行运算，计算结果化为最简形式． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 5. 的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用的蔗糖溶液加入蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，由溶质的质量除以溶液的质量等于溶液浓度，建立方程即可． 【详解】解：由题意可得：； 故选：C 6. 如图，下列说法错误的是（ ） A. ，，是的内角 B. 是与相邻的角 C. D. 的三条边分别是 ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，熟知三角形的相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、，，是的内角，原说法正确，不符合题意； B、 是与相邻的角，原说法正确，不符合题意； C、，但不一定等于，原说法错误，符合题意； D、的三条边分别是 ，，，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 7. 一个等腰三角形的两条边分别是9厘米、4厘米，它的周长是（ ）厘米． A. 22 B. 17 C. 22或17 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边长的关系，掌握等腰三角形的定义和性质是解题的关键． 根据等腰三角形的定义和性质，分类讨论：当腰是9厘米，底是4厘米时，周长为22厘米；当腰是4厘米，底是9厘米时，根据三角形三边关系判定此种情况不符合题意，由此即可求解． 【详解】解：当腰是厘米，底是厘米，即等腰三角形的三边长为：厘米，厘米，厘米， ∴周长为（厘米）； 当腰是厘米，底厘米，即等腰三角形的三边长为：厘米，厘米，厘米， ∵，不能构成三角形， ∴此种情况不符合题意，舍去； ∴等腰三角形的周长为22厘米，   故选：A ． 8. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 9. 如图所示，军官从军营C出发先到河边（河流用表示）饮马，再去同侧的D地开会，应该怎样走才能使路程最短？你能解决这个著名的“将军饮马”问题吗?下列给出了四个图形，你认为符合要求的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．由选项D中图可知：作点关于直线的对称点，连接交于点，由对称性可知，，，据此判断即可． 【详解】解：由选项D中图可知： 作点关于直线的对称点，连接交于点， 由对称性可知，， ， 当、、三点共线时，的距离最短， 故选：D 10. 如图，若的面积为a，且点A，B，C分别是的中点，则求阴影部分的面积（用含a的式子表示），（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形的中线求阴影部分的面积，由题意得 ，，结合已知，得，因此，同理可得：，，进而即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ， A，B，C分别是的中点， ，， ， ，， 同理可得：，， ， 故选：A． 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1. 故答案为：x≠1． 12. 已知：如图，，只需补充条件___________，就可以根据“”得到． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．根据的判定方法可得出答案． 【详解】解：补充条件． 理由：在和中， ， ， 故答案为：． 13. _____． 【答案】 ##0.5 【解析】 【详解】解：． 14. 分式方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 同时乘以得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 15. 如图，是的外角，若，，则的度数为__________． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ，， ， 故答案为：75． 16. 用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于”时，应先假设：________________________． 【答案】三角形三个内角都大于 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法的步骤与命题的否定，熟练掌握反证法的第一步是假设原命题结论不成立，即写出结论的否定形式是解题的关键． 明确反证法的核心步骤：先对原命题的结论进行否定，再通过推理导出矛盾． 原命题结论为“三角形中至少有一个内角小于或等于”，需找出其否定形式．“至少有一个”的否定是“一个都没有”，即“所有内角都大于”． 【详解】解：用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于”时，应先假设原命题的否定，即“三角形三个内角都大于”， 故答案为：三角形三个内角都大于． 17. 如图，△ABC≌△ADE，且E在BC上．若∠DEA＝80°，则∠BED的度数为______． 【答案】20° 【解析】 【详解】∵△ABC≌△ADE， ∴∠C=∠DEA=80°，AE=AC， ∴∠AEC=∠C=80°， ∴∠BED=180°-∠DEA-∠AEC=180°-80°-80°=20°． 故答案为20°． 18. 已知，请计算_______．（用含x的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律与分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．首先把代入，利用x表示出，进而表示出、，即可得到循环关系，进而即可解答． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， ∴y的值每3次一个循环． ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共6小题，满分46分） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是： （1）方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边都乘，得 ， 解这个方程，得， 经检验，是原方程的根； 【小问2详解】 解：方程两边都乘，得 ． 解这个方程，得． 经检验是增根，原方程无解． 20. 先化简，再求值：其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，正确运用法则是解题的关键． 先算括号里的，再算除法，最后化简，然后把字母的值代入计算即可． 【详解】解∶原式 当时，原式． 21. 如图，已知，请根据下列要求进行尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．求作，使，，． 【答案】 如图，即为所求作的三角形； 【解析】 【分析】本题考查的是作一个三角形与已知三角形全等，先作射线，在上截取，再作，，，的交点为，则即为所求． 【详解】解：理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴即为所求作的三角形． 22. 如图，已知，，． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理． 根据，通过角的计算即可得出，结合、即可证出，进而即可得出．再根据外角的性质即可得出的度数． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中 ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 23. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：    请求出排球的单价是多少元？ 【答案】排球的单价为100元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键． 设排球单价为元，则篮球单价为元，根据“用2000元购买的排球个数和用3200元购买的篮球个数相等”列方程求解即可． 【详解】解：设排球单价为元，则篮球单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， 答：排球的单价为100元． 24. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使， 请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A． B． C． D． （2）求得的取值范围是 ． A． B． C． D． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， [方法应用] （3）如图，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）B；（2）C；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据三角形全等的判定定理即可得出结论； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出答案； （3），延长，交于点F，证明推出 再证明即可解决问题； 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B． （2）由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故选：C． （3），理由如下： 如图：延长交于点F， 在和中， ， ∵是的平分线， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $