第三章 图形的平移与旋转（压轴专练）（八大题型）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第三章 图形的平移与旋转（压轴专练）（八大题型） 目录： 题型1：平移问题 题型2：旋转问题① 题型3：旋转问题② 题型4：翻折问题 题型5：对称问题 题型6：情景探究题 题型7：图形的平移与旋转与代数问题 题型8：图形的平移与旋转在平面直角坐标系的应用 题型1：平移问题 1．综合与实践探索图形平移中的数学问题 问题情境：如图，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边三角形． 操作探究：将从图的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，． （1）如图，善思小组的同学画出了时的情形，求此时平移的距离； （2）如图，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，敏学小组的同学发现始终成立请你证明这一结论； 拓展延伸：（3）请从，两题中任选一题作答，我选择______ 题 A.在平移的过程中，直接写出以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离． B．在平移的过程中，直接写出以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离． 2．的边在直线l上，，且，的边也在直线l上，边与边重合，且． (1)如图1，直接写出与的数量关系：______，与的位置关系：______； (2)将沿直线l向左平移到图2的位置时，交于点O，交于点Q，连接，，求证：； (3)将沿直线l向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连接，，试探究与满足的数量关系，并说明理由； (4)若，，点P在的延长线上继续向左平移，当时，请直接写出与的面积之比． 题型2：旋转问题① 3．在中，，，是直线上一点，连接． (1)如图1，在延长线上，，点到的距离为，求的面积； (2)在线段上，且， ①如图2，为上一点，，过点作交于点，交的延长线于点，求证：； ②如图3，为直线上一动点，连接，将绕着点旋转至，连接、，当最短时，请直接写出的度数． 4．已知是的边上的高． (1)如图①，若，E是边上一点，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．求证：． (2)如图②，若，过点C作，垂足为E，连接．写出，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，利用直尺和圆规，分别在，上作点M，N，使，且．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 题型3：旋转问题② 5．已知，在中，，将边绕点顺时针旋转得，使、两点在直线的同侧，连接，，，过点作于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，猜想线段、、三者之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，请直接写出的面积． 6．如图1，在中，，点分别在边上，，连接，过点作，垂足为与交于点． (1)求证：； (2)将图1中的绕点逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，将绕点逆时针旋转一周，当三点共线时，直接写出的长． 题型4：翻折问题 7．如图所示，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接平分交于点E，交于点M． (1)如图1，若，求的度数及的长； (2)如图2，以为边作，，求证：． (3)若点P是直线上的一动点，将沿着进行翻折得到，连接，连接，．若，当最小时，直接写出的值． 8．在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求的长度； (2)如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证： ； (3)如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 题型5：对称问题 9．如图，为等腰三角形，，，点O为的中点，过O作于点D．点P为射线上一点，Q为线段上一点（不与点B，C重合），连接． (1)求的长； (2)若，将点P绕点Q逆时针旋转，得到点E，当点E落在的一边上时，求的长； (3)当点P与点O重合时，在线段上取点F，使点C、F关于成轴对称，求点F到的距离h． 10．如图1，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得线段，旋转角为，连接．   　  　　   (1)①若，则　 　°； ②若，求的度数． (2)如图2，当时，过点B作于点E，与相交于点F，请探究线段与线段之间的数量关系； (3)当时，作点A关于所在直线的对称点，当点在线段所在的直线上时，求的面积． 题型6：情景探究题 11．下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 【问题探究】 （1）如图1，在中，，点D在上，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，请猜想和的数量关系与位置关系，并说明理由． 【问题再探】 （2）在（1）的条件下，连接AE．兴趣小组的同学们在电脑中用几何画板软件测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，甲组同学延长线段AC至F点，使，连接EF，从而得以证明（如图2）；乙组同学过点D作于点M，过点E作于点N，从而得以证明（如图3），请你选取甲组或乙组中的一种方法完成证明过程． 【问题解决】 （3）如图4，已知，，点D在AB上，，若在射线上存在点E，使，请直接写出相应的的长． 12．同学们准备研究“最值问题”，回顾已有知识，发现涉及到“最值”的有“两点之间，线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，同学们进行了如下探究： (1)最值初体验 如图1，，是角平分线上一点，点在上，．为射线上一动点，连接，则线段的最小值为　　　； (2)探究与迁移 如图2，小明发现如果是边长为4的等边三角形，点是边上的中点，是边上的一个动点（点不与，重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时线段的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值； (3)拓展与应用 如图3，在中，，，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出线段的最小值． 题型7：图形的平移与旋转与代数问题 13．如图①，等边中，，点在上，且，动点从点出发沿射线以速度运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点运动的时间为． (1)用含t的代数式表示的长． (2)如图②，当点落在边上时，求证：． (3)当平行于的一边时，直接写出的值． (4)作点D关于点O的对称点E，当______秒时，点E恰好落在射线上． 14．如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示． (4)与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值． 题型8：图形的平移与旋转在平面直角坐标系的应用 15．如图1，在平面直角坐标系中．直线与轴、轴相交于两点，动点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上时，过点作轴于点．    (1)求证：； (2)如图2，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，求点的坐标及平移的距离． 16．在平面直角坐标系中，点，点，且，满足，点是轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得线段． (1)如图，若，则点的坐标是________； (2)过点作，交直线于点，连接． 如图，若，求证：； 如图，若，求的值． 17．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与x轴、y轴分别交于B、A两点． (1)请直接写出点B、C的坐标：B______，C______； (2)如图2，点P为线段上一点，若，请求出点P的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，点M是所在直线上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转至，连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出线段的最小值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 图形的平移与旋转（压轴专练）（八大题型） 目录： 题型1：平移问题 题型2：旋转问题① 题型3：旋转问题② 题型4：翻折问题 题型5：对称问题 题型6：情景探究题 题型7：图形的平移与旋转与代数问题 题型8：图形的平移与旋转在平面直角坐标系的应用 题型1：平移问题 1．综合与实践探索图形平移中的数学问题 问题情境：如图，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边三角形． 操作探究：将从图的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，． （1）如图，善思小组的同学画出了时的情形，求此时平移的距离； （2）如图，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，敏学小组的同学发现始终成立请你证明这一结论； 拓展延伸：（3）请从，两题中任选一题作答，我选择______ 题 A.在平移的过程中，直接写出以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离． B．在平移的过程中，直接写出以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离． 【答案】（1）；（2）见解析；拓展延伸：A：或；B：6或12 【分析】（1）连接，由是等边三角形，，点是边的中点，得，，根据平移可得，即可得，故平移的距离为； （2）证明，即可得； （3）选A：分两种情况：当时，可得，故平移的距离是；当时，可得，从而平移的距离是； 选B：分两种情况：当与重合时，可得，即以，，为顶点的三角形成为直角三角形，此时，即平移的距离是；当时，可得，故平移的距离是． 【解析】（1）解：连接，如图： 是等边三角形，，点是边的中点， ，， 将从图的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，， ∴， ，， ， 平移的距离为； （2）证明：如图： 是等边三角形，， ，， 将从图的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，， ，， 是等边三角形，，点是边的中点， ，， ，， ， ≌， ； （3）解：选择或题： 选A： 当时，如图： ， ， ， ， ； 平移的距离是； 当时，如图： 同理可得， ； 平移的距离是； 综上所述，以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离是或； 选B： 当与重合时，如图： 是等边三角形， ， ， ， ，即以，，为顶点的三角形成为直角三角形， 此时， 平移的距离是； 当时，如图： ， ， ， ， ， 由知， ， ， 平移的距离是； 综上所述，以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离是或． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质，平移变换等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 2．的边在直线l上，，且，的边也在直线l上，边与边重合，且． (1)如图1，直接写出与的数量关系：______，与的位置关系：______； (2)将沿直线l向左平移到图2的位置时，交于点O，交于点Q，连接，，求证：； (3)将沿直线l向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长线于点Q，连接，，试探究与满足的数量关系，并说明理由； (4)若，，点P在的延长线上继续向左平移，当时，请直接写出与的面积之比． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3)，证明见解析； (4) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，，进而证明结论； （2）利用定理证明，可得，结合，，从而可得答案； （3）证明，根据全等三角形性质得到，根据角的和差可得，，结合三角形内角和定理可得结论． （4）先求解，如图，在上截取，而，可得，，证明，结合，，，再利用三角形的面积公式计算即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴， 同理可得，， ∴，， ∴，； 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， 而， ∴． （3）解：， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 而， ∴． （4）解：∵，， ∴， 如图， 在上截取，而， ∴，， ∴，而， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是平移的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，熟练的利用平移的性质解题是关键． 题型2：旋转问题① 3．在中，，，是直线上一点，连接． (1)如图1，在延长线上，，点到的距离为，求的面积； (2)在线段上，且， ①如图2，为上一点，，过点作交于点，交的延长线于点，求证：； ②如图3，为直线上一动点，连接，将绕着点旋转至，连接、，当最短时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）作于点，于点，证明，得，，即可得； （2）①作于，交于，连接，由，得到是的垂直平分线，，证明，得，进而可得，证明，得，，，进而可得； ②将绕点逆时针旋转得，将绕点逆时针旋转得，作直线交于，证明，进而可得，点在与垂直的直线上，当绕着点顺时针旋转至时，点在与垂直的直线上，由图可得，当绕着点逆时针旋转至时比顺时针旋转时的小，当与重合，连接，将绕点逆时针旋转，得到在直线上，作，交的延长线于，作于，此时，即可求解． 【解析】（1）解：作于点，于点， ， ， ， ，， ，， ， ，， ∴， ， ， ， ； （2）①证明：作于，交于，连接， ， 是的垂直平分线，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②解：将绕点逆时针旋转得，将绕点逆时针旋转得， 作直线交于， ， ， ，， ， ， ，，， ， 点在与垂直的直线上， 当绕着点顺时针旋转至时，同理可证明点在与垂直的直线上，如图所示： 由图可得，当绕着点逆时针旋转至时比顺时针旋转时的小， 当与重合，连接，将绕点逆时针旋转，得到在直线上， 作，交的延长线于，作于， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 此时，连接， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、旋转的性质等，熟知相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 4．已知是的边上的高． (1)如图①，若，E是边上一点，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．求证：． (2)如图②，若，过点C作，垂足为E，连接．写出，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，利用直尺和圆规，分别在，上作点M，N，使，且．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据证明，即可得出答案； （2）过点D作，交于点F，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可证明； （3）以点D为圆心，为半径画弧，交于点G，延长，截取，连接，交于点N，以点A为圆心，为半径画弧，交于点M，连接、，则点M，N即为所求． 【解析】（1）证明：∵是的边上的高， ∴， ∵将绕点D顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 过点D作，交于点F，如图所示： ∵是的边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即． （3）解：以点D为圆心，为半径画弧，交于点G，延长，截取，连接，交于点N，以点A为圆心，为半径画弧，交于点M，连接、，则点M，N即为所求， 根据作图可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了基本作图，图形的旋转，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 题型3：旋转问题② 5．已知，在中，，将边绕点顺时针旋转得，使、两点在直线的同侧，连接，，，过点作于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，猜想线段、、三者之间的数量关系并证明； (3)如图3，若，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）设，得到，得到，，继而得到，求出的值即可得到答案； （2），过点作于点，证明，得到，，再证明，得到，即可得到结论； （3）作于点，于点，于点，证明，得到，，再证明，得到，求出，得出，再根据三角形面积公式计算即可． 【解析】（1）解：设， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下， 过点作于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，作于点F，于点，于点， ， ， ，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的判定，三角形内角和定理的应用，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．如图1，在中，，点分别在边上，，连接，过点作，垂足为与交于点． (1)求证：； (2)将图1中的绕点逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)若，将绕点逆时针旋转一周，当三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 (3)的长为或 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质证出，得出，则可得出结论； （2）作交直线于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出； （3）分两种情况①当点在的延长线上时；②当点在上时；画出图形，由全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理求解即可得出答案． 【解析】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立． 理由如下： 作交直线于点，如图所示： ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （3）解：①当点在的延长线上时，过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在上时，过点作于点，如图所示： 同理可得，，， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查几何变换综合题，涉及三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形旋转变化的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、平行线的判定与性质等知识，根据问题正确作出辅助线是解题的关键． 题型4：翻折问题 7．如图所示，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到，连接平分交于点E，交于点M． (1)如图1，若，求的度数及的长； (2)如图2，以为边作，，求证：． (3)若点P是直线上的一动点，将沿着进行翻折得到，连接，连接，．若，当最小时，直接写出的值． 【答案】(1)；1 (2)证明过程详见解答 (3) 【分析】（1）可推出，，进而得出，可依次得出，和的值，进一步得出结果； （2）延长至G，使，过点E作于点H，可证明，从而，，进而得出，从而，进一步得出结论； （3）作等边三角形，连接，可推出，从而，从而得出，当点O、A、G共线时，等号成立，进一步得出结果． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值舍去． （2）证明：延长至G，使，连接，过点E作于点H，如图1， 由（1）知，，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图2，作等边三角形，连接，过点B作于点H， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵沿着进行翻折得到， ∴， ∵绕着点B逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，当点O、A、G在同一直线上时，等号成立， 此时， ∴此时． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线熟练掌握相关的判定和性质． 8．在中，，，点D为边上一动点，连接，将绕着D点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，，点D恰好为中点，与交于点G，若，求的长度； (2)如图2，与交于点F，连接，在延长线上有一点P，，求证： ； (3)如图3，与交于点F，且平分，点M为线段上一点，点N为线段上一点，连接，，点K为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在M，N运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，，即可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可得，可得，可得结论； （3）先证明当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值，再证明点Q，点B，点D三点共线，由等腰直角三角形和折叠的性质可求解． 【解析】（1） ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴； （2） 如图2，过点D作交于点H， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵将绕着D点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 如图3，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点M，点，点D三点共线，且时，有最小值， 如图4， ∵，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点B，点Q，点D三点共线， ∵折叠， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型5：对称问题 9．如图，为等腰三角形，，，点O为的中点，过O作于点D．点P为射线上一点，Q为线段上一点（不与点B，C重合），连接． (1)求的长； (2)若，将点P绕点Q逆时针旋转，得到点E，当点E落在的一边上时，求的长； (3)当点P与点O重合时，在线段上取点F，使点C、F关于成轴对称，求点F到的距离h． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【分析】（1）根据三线合一得出，根据勾股定理求得，进而根据等面积法求得； （2）当点在上时，过点作交于点，过点作于点，设交于点，证明，进而求得是等腰直角三角形，，进而求得的长，当点在上时，证明即可求解； （3）连接，证明，勾股定理求得，进而求得，，等面积法即可求解． 【解析】（1）∵， ∴， 在中，， ∵， ∴； （2）当点在上时，如图， 过点作交于点，过点作于点，设交于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点，， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点绕点逆时针旋转，得到点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， 当点在上时，如图， ∵，，， ∴， ∴； 综上所述：的长为或； （3）解：如图，连接， 根据题意，得点和点F关于对称， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即点到的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 10．如图1，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得线段，旋转角为，连接．   　  　　   (1)①若，则　 　°； ②若，求的度数． (2)如图2，当时，过点B作于点E，与相交于点F，请探究线段与线段之间的数量关系； (3)当时，作点A关于所在直线的对称点，当点在线段所在的直线上时，求的面积． 【答案】(1)①45；② (2) (3)或 【分析】（1）①由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求，即可求解；②由旋转的性质和等腰三角形的性质可求解； （2）由“”可证，可得，由等腰直角三角形的性质可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求，即可求解． 【解析】（1）解：①∵将线段绕点B逆时针旋转得线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：45； ②∵将线段绕点B逆时针旋转得线段， ∴， ∴，， ∴； （2），理由如下： 证：如图2，过点C作直线于H，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3，当点在点B的左侧时，    ∵，， ∴， ∵点A关于所在直线的对称点， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴； 如图4，当点在点B的右侧时，同理可求；    综上所述：的面积为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型6：情景探究题 11．下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务． 【问题探究】 （1）如图1，在中，，点D在上，连接，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接，请猜想和的数量关系与位置关系，并说明理由． 【问题再探】 （2）在（1）的条件下，连接AE．兴趣小组的同学们在电脑中用几何画板软件测量发现和的面积相等．为了证明这个发现，甲组同学延长线段AC至F点，使，连接EF，从而得以证明（如图2）；乙组同学过点D作于点M，过点E作于点N，从而得以证明（如图3），请你选取甲组或乙组中的一种方法完成证明过程． 【问题解决】 （3）如图4，已知，，点D在AB上，，若在射线上存在点E，使，请直接写出相应的的长． 【答案】（1），证明见解析；（2）见解析；（3）的长为或 【分析】（1）根据题意得出，，再由全等三角形的判定和性质证明确定，利用等量代换即可证明垂直； （2）选甲组同学，延长线段至F点，使，连接，则是的中线，证明，由全等三角形的性质得出， 选乙组同学，过点D作于点M，过点E作于点N，证明≌，得出，则可得出结论； （3）过点C作交于E，于H，连接并延长交于F，由（2）可知：，求出，求出的长，根据三角形面积公式求出，则可得出答案． 【解析】（1）解：，理由如下： 根据题意得，， ∵， ， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）选甲组同学证明如下：延长线段至F点，使，连接，则是的中线， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ； 选乙组同学的则证明如下：过点D作于点M，过点E作于点N， ， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ，， 又， ； （3）解：过点C作交于E，于H，连接并延长交于F， 由（2）可知：， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， 此时，， ， 综上所述，的长为或 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 12．同学们准备研究“最值问题”，回顾已有知识，发现涉及到“最值”的有“两点之间，线段最短”“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”．在此基础上，同学们进行了如下探究： (1)最值初体验 如图1，，是角平分线上一点，点在上，．为射线上一动点，连接，则线段的最小值为　　　； (2)探究与迁移 如图2，小明发现如果是边长为4的等边三角形，点是边上的中点，是边上的一个动点（点不与，重合），连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时线段的长度有一个最小值，请你画出图形并帮助小明同学求出此最小值； (3)拓展与应用 如图3，在中，，，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1) (2)图见解析，； (3)的最小值为． 【分析】（1）由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求的长，由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可求解； （2）由旋转的性质知，点与点重合，，，则点在射线上，根据垂线段最短，当时，有最小值，据此可求解； （3）由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，则当时，有最小值为，即可求解． 【解析】（1）解：如图，过点作于，于， ，平分， ， 又．， ，，， ， ，， ， 故答案为：； （2）解：如图， 由旋转的性质知，点与点重合，，， ∴点在射线上， ∴当时，有最小值， ∵点是边上的中点， ， ∵， ∴ ∴； （3）解：取的中点，连接，， ，，， ，， 点是的中点， ， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型7：图形的平移与旋转与代数问题 13．如图①，等边中，，点在上，且，动点从点出发沿射线以速度运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点运动的时间为． (1)用含t的代数式表示的长． (2)如图②，当点落在边上时，求证：． (3)当平行于的一边时，直接写出的值． (4)作点D关于点O的对称点E，当______秒时，点E恰好落在射线上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值为或 (4)10 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质及动点问题等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1），当时，，当时，； （2）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，可得，而是等边三角形，有，故，即得，由可证； （3）当时，是等边三角形，可得，；当时，可得，重合，，故； （4）由线段绕点顺时针旋转得到线段，得，，又关于点的对称点，有，故，再证，，即可得，，可得，，从而． 【解析】（1）解：由已知得，， 当时，， 当时，； ； （2）证明：线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：当时，如图： ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； 当时，如图： ， ， ，重合， ， ， 综上所述，的值为或； （4）解：如图： 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 关于点的对称点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：10． 14．如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示． (4)与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值． 【答案】(1)当时，．当时， (2)或 (3) (4)1或3 【分析】（1）由为的中点，根据点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，表示出线段长，再分类讨论即可求解； （2）当点M在边上，可得，列出方程即可；当点在边上，可得，列出方程即可； （3）根据题意分类讨论，表示出线段长，再根据面积公式求解即可； （4）当与交于点，点恰为线段的中点时，表示出线段长，列出方程即可求解；当与交于点，点恰为线段的中点时，表示出线段长，列出方程即可求解． 【解析】（1）解：由题意得， ，点D为的中点， ， ∵点P关于点D的对称点为点Q， , ， 当时，， ． 当时，， ． ∴当时，．当时，． （2）解：如图1，点M在边上时，， 由题意可知，， ， ， ， 解得； 如图2，点M在边上时，， 由题意可知，， ， ， ， 解得； 所以，t的值为或． （3）解：当时，与重叠部分为，面积为4； 当时，与重叠部分为， 此时，， ； 当时，与重叠部分为， 此时，， ； 当时，与重叠部分为，面积为4； 所以，． （4）解：t的值为1或3，理由如下： 如图3，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则， ， 解得； 如图4，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则， ， 解得； 综上所述，t的值为1或3． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质，解题关键是根据运动速度表示出线段长． 题型8：图形的平移与旋转在平面直角坐标系的应用 15．如图1，在平面直角坐标系中．直线与轴、轴相交于两点，动点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上时，过点作轴于点．    (1)求证：； (2)如图2，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，求点的坐标及平移的距离． 【答案】(1)见解析； (2)， 【分析】（1）由同角的余角相等可得，再根据即可证明； （2）由三角形全等的性质可得，设，则代入即可求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标即可解决问题． 【解析】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， 设， ， 把代入， 得到，， ， ， ， 设直线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得到， ∴直线的解析式为， ， ， 平移的距离是个单位． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质、平移的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质、平移的性质，采用数形结合的思想解决问题，是解此题的关键． 16．在平面直角坐标系中，点，点，且，满足，点是轴上一动点，将线段绕点顺时针旋转得线段． (1)如图，若，则点的坐标是________； (2)过点作，交直线于点，连接． 如图，若，求证：； 如图，若，求的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析；． 【分析】（）过作轴于点，由，可得，点，故，当时，，由旋转性质可知：，，根据同角的余角相等得，然后证明，根据全等三角形的性质即可求解； （）过作交延长线于点，过作，交延长线于点，根据同角的余角相等得，证明，由性质得，再证明，根据全等三角形的性质和平行线的性质即可求证； 过作交延长线于点，过作，交延长线于点，同理即可求解． 【解析】（1）解：如图，过作轴于点， ∴， ∵， ∴，， ∴，点， ∴， 当时，， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：； （2）证明：如图，过作交延长线于点，过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， 由（）得：，点， ∴， 在和中， ∴， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：如图，过作交延长线于点，过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， 由（）得：，点， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，同角的余角相等，平行线的性质，线段和差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 17．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，直线与x轴、y轴分别交于B、A两点． (1)请直接写出点B、C的坐标：B______，C______； (2)如图2，点P为线段上一点，若，请求出点P的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，点M是所在直线上一点，连接，将线段绕点B逆时针旋转至，连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出线段的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分别令进而求得直线与坐标轴的交点坐标； （2）过点作于点，过点作轴，过分别作平行于轴，交于点，证明，可得，根据图形与坐标的关系，即可求得，设直线的直线解析式为，待定系数法求解析式即可，令，进而求得点的坐标； （3）如图，作直线，在直线上截取，过作轴于，连接，证明，，可得，可得在垂直于的直线上运动，当时，最短；证明，可得，，，再利用等面积法求解即可． 【解析】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于B、C两点， 令，则，令，则， ； （2）解：如图，过点作交于点，过点作轴，过分别作平行于轴，交于点， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 轴，平行于轴， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的直线解析式为，将，代入，则 ， 解得， 直线的直线解析式为， 令，则， 即； （3）解：如图，作直线，在直线上截取，过作轴于，连接， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴在垂直于的直线上运动， 当时，最短； ∵轴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ， 而， ∴， ∴， ， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，旋转的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，二次根式的运算，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司2 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $$