精品解析：内蒙古包头市2024-2025学年高三上学期期末教学质量检测数学试卷

2024-2025学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷 数学 注意事项： 1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可求得集合，由交集定义可得结果. 【详解】由得：，即，. 故选：B. 2. 若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式求解即可. 【详解】由， 得， 所以. 故选：B. 3. 设为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的垂直与模长结合充分必要条件的概念判断即可. 【详解】因为为非零向量，若，则， 所以，，则， 反之若，所以， 所以，由于为非零向量，故， 所以，“”是“”的充要条件. 故选：C. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐项判断可得结论. 【详解】对于A，若，且，则或与相交，故A错误； 对于B，在正方体中，取为，为，平面为，平面为， 符合题意，但，故B错误； 对于C，因为，所以直线的方向向量是平面的法向量， 直线的方向向量是平面的法向量，又， 所以两直线的方向向量垂直，即两平面的法向量垂直，所以，故C正确； 对于D，在正方体中，取为，为，平面为，平面为， 此时符合题设，但与不垂直，故D错误. 故选：C. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性与临界值比较的值，从而得解. 【详解】因为，即， ，即， 所以. 故选：D. 6. 某中学迎来了办学110周年庆典，为此某班设计了富含寓意的11个文创作品，已知甲同学喜欢作品，乙同学喜欢作品，丙同学除了不喜欢作品，其他作品都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选取一个作为礼物收藏，若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品，则不同的选法有（ ） A. 50种 B. 48种 C. 40种 D. 30种 【答案】C 【解析】 【分析】分甲选A和甲选B两种情况讨论，按照分步、分类计数原理计算可得. 【详解】若甲选A，则乙有种选法，丙有种选法，故共有种选法； 若甲选B，则乙有种选法，丙有种选法，故共有种选法； 综上可得一共有40种不同的选法. 故选：C 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的商数关系，结合两角和与差的公式求解. 【详解】由得：， 由得：，即：， 则，解得， 所以， 故选：B. 8. 定义在上的函数满足，且当时，.则方程所有的根之和为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得为奇函数，其图象关于直线对称且一个周期为4，再根据当时，，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可. 【详解】∵，∴为奇函数，又∵， ∴的图象关于直线对称． 当时，，单调递增． 由，即有， 所以，即函数的一个周期为4， 由可得，，所以的图象关于中心对称． 函数的简图如下： 其中， 由，∴所有实根之和为. 故选：A． 【点睛】方法点睛： （1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和； （2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象； 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. 函数周期为 D. 将函数的图象向左平移可得的图象 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图像得到相关未知量以及图像的变换即可得出答案. 【详解】由图可知，, ， ， 此时， 令， 则， ， ， ， ， 故A错误，B正确； 由图可知的周期为， 故C正确； 将函数的图象向左平移得，与不同，故D错误. 故选：BC. 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（ ） A. 双曲线C的实轴长为 B. 双曲线C的离心率为 C. 若，则三角形的周长为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意可知，设，则，，代入可求解出，对A，根据，可求得实轴长为，可判断；对B，根据离心率，可判断选项；对C，根据，可知，则，，可求得，所以三角形的周长为，可判断；对D，设与双曲线联立，若有解，需要解之可求出取值，可判断选项. 【详解】根据题意可知，所以，设，则， 将分别代入到双曲线后相减可得，代入可求解出， 对A，根据，解之可得，所以双曲线C的实轴长为，故A错误； 对B，根据离心率，将代入可得，故B正确； 对C，根据，可知，则， ，故， 可求得， 所以三角形的周长为，故C正确； 对D，设与双曲线联立可得，若有解， 需要解之可求出或，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 过点且与圆相切的一条直线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】先根据斜率是否存在设直线方程再结合点到直线距离求参即可. 【详解】由知在圆外， 当切线斜率不存在时，切线方程为，满足题意； 当切线斜率存在时，设斜率为，所以切线方程为，所以， 所以，所以，所以切线方程为． 综上，切线方程为或. 故答案为：或. 13. 在中，若，且，则面积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出，然后由余弦定理结合基本不等式得范围，最后由面积公式求最值即可. 【详解】根据题意，， 由正弦定理角化边为：， 再由余弦定理得：， 因为，所以，又， 由余弦定理，即， 因为，所以，即， 当且仅当时等号成立， 故的面积， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，再找出轨迹，即可求出轨迹长度. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，因为棱长为2，所以, 又, 所以平面, 又因为,所以圆锥母线与高的夹角为, 又点O为的中点， 且,在直角三角形中， ,所以Q的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，所以轨迹长度为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：求证平面，分析与夹角为的条件，结合（1）看出点Q的轨迹，计算出轨迹的长度 四､解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且. （1）求数列和的通项公式； （2）设求数列的前20项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义求解，利用等差数列基本量运算求解； （2）结合等差数列求和公式、等比数列求和公式，根据分组求和法求和即可得解. 【小问1详解】 因为，① 所以有.② ②-①得. 所以数列成以1为首项，以2为公比的等比数列. 所以. 又数列是等差数列，且. 所以. 所以. 【小问2详解】 因为 设数列的前项和为， 所以 . 故. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点． （1）证明：平面． （2）若平面与平面的夹角为，求的长． 【答案】（1） 连接BD交AC于点O，连接OE，如图， 因为O为BD的中点，E为PD的中点， 所以． 又平面AEC，平面AEC， 所以平面AEC． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理得证； （2）由PA，AD，AB两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面夹角即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面ABCD，AD，平面ABCD， 所以，． 又，所以PA，AD，AB两两互相垂直， 故以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图所示， 设，则，，，，， 所以，． 显然为平面DAE的一个法向量． 设平面ACE的一个法向量为， 则，即 令，得， 因为平面DAE与平面AEC的夹角为， 所以， 解得或（舍去），即· 17. 抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. （1）求抛物线的方程； （2）证明：点在定直线上 【答案】（1）； （2）证明：设，直线的方程为，由，求导得， 抛物线在处的切线方程为，即， 依题意，直线过，则， 同理在处的切线过，则， 显然点在上，即直线与是同一直线， 因此，则，所以点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）利用给定的焦点坐标求出抛物线方程. （2）利用导数的几何意义求出抛物线在点处的切线方程，进而得直线方程即可推理得证. 【小问1详解】 抛物线的焦点坐标为，则，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 18. “九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. （1）若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望； （2）设采用3局2胜制时乙获胜的概率为，采用5局3胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围. 【答案】（1）分布列： 2 3 数学期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到的所有可能取值为2，3，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）分别求，结合，运算求解即可. 【小问1详解】 因为，所以比赛采用3局2胜制，的所有可能取值为2，3， ， ， 的分布列为 2 3 所以. 【小问2详解】 由题意知， . 由，得， 且，则，可得， 整理得，解得， 所以的取值范围为. 19. 若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． （1）判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； （2）设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； （3）设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 【答案】（1）偶函数，一条点切线方程为 （2）因为，该函数的定义域为，且， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 因此，不可能存在、且，使得， 因此，函数不具有点性质. （3）取点、、， 因为，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即， 曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为， 由题意可知，这三条切线重合，则， 由上得，则，，， （i）若，，， 则，所以，， 因为，则（舍去）； （ii）若，，中至少有一个成立， 不妨设，则，若，则（舍去）， 所以，，故或. 综上所述，点切线方程为和. 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得出函数的奇偶性，数形结合可得出该函数的一条点切线方程； （2）求出，分析函数的单调性，即可得出结论； （3）取点、、，利用导数求出曲线在三处的切线方程，利用这三条切线重合可得出，然后对、、的关系进行讨论，即可求出对应的切线方程. 【小问1详解】 令，其中，则， 所以，函数为偶函数，且，如下图所示： 由图可知，函数的一条点切线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题考查点切线的新定义，解题的关键就是利用切线重合得出，通过分析、、之间的关系来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期高三年级期末教学质量检测试卷 数学 注意事项： 1.考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（ ） A. B. 1 C. D. 5 3. 设为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 某中学迎来了办学110周年庆典，为此某班设计了富含寓意的11个文创作品，已知甲同学喜欢作品，乙同学喜欢作品，丙同学除了不喜欢作品，其他作品都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选取一个作为礼物收藏，若这三位同学都选到了自己喜欢的文创作品，则不同的选法有（ ） A. 50种 B. 48种 C. 40种 D. 30种 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，且当时，.则方程所有的根之和为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. 函数周期为 D. 将函数的图象向左平移可得的图象 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 11. 已知双曲线C：的左右焦点分别为，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是（ ） A. 双曲线C的实轴长为 B. 双曲线C的离心率为 C. 若，则三角形的周长为 D. 的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 过点且与圆相切的一条直线方程为______. 13. 在中，若，且，则面积的最大值为______. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为__________. 四､解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为数列的前项和，满足.数列是等差数列，且. （1）求数列和的通项公式； （2）设求数列的前20项和. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点． （1）证明：平面． （2）若平面与平面的夹角为，求的长． 17. 抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. （1）求抛物线的方程； （2）证明：点在定直线上 18. “九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. （1）若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望； （2）设采用3局2胜制时乙获胜的概率为，采用5局3胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围. 19. 若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． （1）判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； （2）设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； （3）设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $