精品解析：江西省南昌市第十九中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

南昌十九中2024-2025学年上学期期末考试高二年级数学试卷 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可. 【详解】抛物线化为标准方程可得， 故，焦点坐标为. 故选：A. 2. 若直线与平行，则（ ） A. B. 2 C. －5 D. －5或2 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行的性质列方程求出的值，再检验两直线是否重合即可. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得或， 当时，，重合，不符合题意，所以舍去．所以． 故选：C． 3. 已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态密度函数的对称轴的位置可得的大小关系，根据正态密度函数的扁平程度可得的大小关系. 【详解】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边，所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图可知，正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D. 4. 从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表，根据上表可得回归直线方程为，则（ ） 165 160 175 155 170 58 52 62 43 60 A. B. 96.8 C. D. 104.4 【答案】A 【解析】 【分析】利用样本中心点列方程来求得. 【详解】由表中数据可得， 因为一定在回归直线方程上， 所以，解得. 故选：A 5. 如图，在四面体中，，，，，，且（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解． 【详解】，， ， 即. 故选：D. 6. “狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解. 【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”， 则，，，， 则， ， 故， 故. 故选：D 7. 元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ） A. 1280 B. 300 C. 1880 D. 1560 【答案】D 【解析】 【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解. 【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2． 当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法． 故不同安排方法有种． 故选：D. 8. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在上存在点，使得到点的距离为3 C. 在上存在点，使得 D. 上的点到直线的最小距离为1 【答案】C 【解析】 【分析】对A：设点，由两点的距离公式代入化简判断；对B：根据两点间的距离公式求得点到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C：设点，求点M的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D：结合点到直线的距离公式求得C上的点到直线的最大距离，由此分析判断. 【详解】对A：设点， ∵，则，整理得， 故C的方程为，故A正确； 对B：的圆心，半径为， ∵点到圆心的距离， 则圆上一点到点的距离的取值范围为， 而，故在C上存在点D，使得D到点的距离为9，故B正确； 对C：设点， ∵，则，整理得， ∴点M的轨迹方程为，是以为圆心，半径的圆， 又，则两圆内含，没有公共点， ∴在C上不存在点M，使得，C不正确； 对D：∵圆心到直线的距离为， ∴C上的点到直线的最小距离为，故D正确； 故选：C. 【点睛】思路点睛：利用点与圆的位置关系来判定B，利用圆与圆的位置关系来判定C，结合数形思想即可. 二、多选题（每小题6分，共18分；全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例否定选项A；利用空间向量基底定义判断选项B，C，D. 【详解】当非零空间向量，，时， 满足，，但与不平行，A错误； 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确； 能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量， 由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，C正确； 若，，共面，则， 可知，，共面，与为空间向量的一个基底相矛盾， 故可以构成空间向量的一个基底，D正确， 故选：BCD． 10. 关于 的展开式，下列说法中正确的是（   ） A. 各项系数之和为1 B. 第二项与第四项的二项式系数相等 C. 常数项为60 D. 有理项共有3项 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式定理的定义、通项的运用和赋值法即可得到答案. 【详解】对于A，令时，则展开式中各项系数之和为1，故A正确； 对于B，第二项二项式系数，第四项的二项式系数, 第二项与第四项的二项式系数不相等，故B错误； 对于C，展开式的通项为， 令，∴，展开式中的常数项为，故C正确； 对于D，展开式的通项为， 当时，，所以展开式的有理项共有4项，故D错误. 故选：AC. 11. 中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线.已知在平面直角坐标系中，到两定点、距离之积为常数的点的轨迹是双扭线.若是曲线上的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线上有且仅有一个点满足 B. 曲线经过个整数点（横、纵坐标均为整数的点） C. 曲线关于原点对称 D. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意求出轨迹的方程，把代入的方程可判断C；由题意得，设，结合题意计算可判断A；令，，，得的范围可判断B；由曲线的方程可得，根据可判断D. 【详解】对于C选项， 化简得到，，将代入可得， 所以曲线. 把代入得， 所以，曲线的图象关于原点对称，故C正确； 对于选项A，点满足，则在垂直平分线上，则， 设，则，所以，，故只有原点满足，故A正确； 对于B选项，令解得或，即曲线经过、、， 结合图象，得. 今，得， 令，得， 因此，结合图象曲线只能经过个整点、、，故B错误； 对于D选项，可得， 所以曲线上任意一点到坐标原点的距离， 即曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：相关点代入法求轨迹方程的方法： 一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个或多个点的运动，可以通过对这些点设坐标来寻找代换关系. （1）求谁设谁，设所求点的坐标为； （2）所依赖的点称之为“参数点”，设为等； （3）“参数点”满足某个（些）方程，可供代入； （4）寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值； （5）代入方程，消去参数值. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若随机变量，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布方差的计算方式以及方差的性质，可得答案. 【详解】由题意可得，. 故答案为：. 13. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用双曲线定义，可得，又由勾股定理得，联立求得，即得的面积. 【详解】 如图，由可知， 由对称性不妨设，由定义， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以的面积为. 故答案为：3. 14. 如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，分别是对角线，上的动点，则线段的最小长度为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质和线面垂直的性质可得，由题意建立如图空间直角坐标系，设，()，，，，利用空间向量的坐标表示可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 由正方形正方形，正方形正方形，正方形， 得正方形，又正方形，所以， 建立如图空间直角坐标系， 设，()，，， 则，， 得，， 所以，， 得， 有 ， 当且仅当即即时，等号成立， 所以，即线段MN的最小长度为. 故答案为：. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列问题的排列数： （1）4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻； （2）4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻； （3）4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端. 【答案】（1）720(种) （2）1440(种) （3）1440(种) 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法进行排列计算可得结果； （2）利用插空法先排男生，再将女生插空排列计算可得结果； （3）根据特殊元素排法将两端排上男生再进行全排列即可得结果. 【小问1详解】 根据相邻问题捆绑法得，先将3名女生全排列，并作为一个元素，再和其余4名男生一起排列， 共有(种)不同的安排方法. 【小问2详解】 根据不相邻问题插空法得，先将4名男生进行全排列，再将3名女生插在5个空位上， 共有(种)不同的排列方法. 【小问3详解】 先从4名男生中取2人排在两端，再将其余5人排在中间5个位置上， 共有(种)不同的排列方法. 16. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表：已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6． 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 80 女生 20 合计 （1）判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望． 附：，其中． 【答案】（1）无90%把握认为喜欢跑步与性别有关，理由见解析 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）计算出喜欢跑步和不喜欢跑步的人数，完善列联表，作出零假设，计算出卡方，与2.706比较后得到结论； （2）由分层抽样得到抽取女生2名，男生6名，得到的分布列，计算出期望值. 【小问1详解】 由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6， 故喜欢跑步的人有（人），不喜欢跑步的人有（人）． 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 80 60 140 女生 40 20 60 合计 120 80 200 ∴，，，， 零假设学生对长跑的喜欢情况与性别无关联， 根据题意，由列联表中的数据， 可得， 所以在的独立性检验中，不能推翻，故无90%把握认为喜欢跑步与性别有关． 【小问2详解】 按分层抽样，设女生名，男生名，，解得，， ∴从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名， 故的可能取值为0，1，2． ，，， 故X的分布为： 0 1 2 ∴． 17. 如图，已知正三棱柱分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）取中点，由正三棱柱性质得，互相垂直，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则， 则． 证明：， 由，得， 由，得， 因为平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】利用线面垂直判定定理来证明；用向量法计算两平面夹角的余弦值，再求夹角的正弦值； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量， 则,故， 令，得面的一个法向量为， 设二面角的值为， 则，所以，二面角的正弦值为． 18. 已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 （1）求圆的方程； （2）若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 （3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，运用离心率公式，结合方程求出c即可； （2）运用斜率公式计算即可； （3）直曲联立，运用韦达定理，计算化简即可. 【小问1详解】 由题意知，，， 椭圆的方程可写为，又椭圆过点 故，得， 则椭圆C的方程为. 【小问2详解】 在椭圆中，左、右顶点分别为，， 设点，则，故 ，为定值． 【小问3详解】 设，，易知直线的斜率不为， 设其方程为， 联立，可得， 由，得． 由韦达定理，得，， ，， 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 19. 育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． （1）已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． （2）若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 【答案】（1）（i）；（ii） （2）丙先参赛，理由如下： 若顺序为“乙甲丙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以. . 若顺序为“丙甲乙”： 积分的可能取值为, ，， . 所以 . ， ， 由于，所以， 所以丙先参赛. 【解析】 【分析】（1）（i）根据相互独立事件概率计算，先求得的分布列，进而计算出的期望；（ii）根据全概率公式求得正确答案； （2）分别计算按“乙甲丙”和“丙甲乙”的顺序所获积分的期望，进而作出判断. 【小问1详解】 （i）的可能取值为， ，， . 所以的分布列为： 所以 （ii）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功， 所以概率为. 【小问2详解】 略 【点睛】易错点睛：1.期望值计算中的概率漏算：在计算期望值时，容易遗漏某些概率，特别是当涉及多个相互独立事件的联合概率时，需注意所有可能结果的覆盖. 2.顺序安排的误解：在小问2中，可能会误认为甲不需要参与第一位或第二位的安排而导致推导错误，甲只能在第二位参赛的条件直接限制了顺序安排的自由度，必须在这一条件下进行期望值的比较. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌十九中2024-2025学年上学期期末考试高二年级数学试卷 考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与平行，则（ ） A. B. 2 C. －5 D. －5或2 3. 已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表，根据上表可得回归直线方程为，则（ ） 165 160 175 155 170 58 52 62 43 60 A. B. 96.8 C. D. 104.4 5. 如图，在四面体中，，，，，，且（ ） A. B. C. D. 6. “狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ） A. 1280 B. 300 C. 1880 D. 1560 8. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（ ） A. 的方程为 B. 在上存在点，使得到点的距离为3 C. 在上存在点，使得 D. 上的点到直线的最小距离为1 二、多选题（每小题6分，共18分；全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 10. 关于 的展开式，下列说法中正确的是（   ） A. 各项系数之和为1 B. 第二项与第四项的二项式系数相等 C. 常数项为60 D. 有理项共有3项 11. 中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线.已知在平面直角坐标系中，到两定点、距离之积为常数的点的轨迹是双扭线.若是曲线上的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线上有且仅有一个点满足 B. 曲线经过个整数点（横、纵坐标均为整数的点） C. 曲线关于原点对称 D. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若随机变量，则的值为______. 13. 设为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为__________. 14. 如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，，，分别是对角线，上的动点，则线段的最小长度为_________． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求下列问题的排列数： （1）4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻； （2）4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻； （3）4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端. 16. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表：已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6． 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 80 女生 20 合计 （1）判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望． 附：，其中． 17. 如图，已知正三棱柱分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 （1）求圆的方程； （2）若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 （3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 19. 育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响． （1）已知，，， （i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望； （ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率． （2）若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $