山西省晋中市介休市2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

介休市2024—2025学年第一学期期末质量评估试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟. 2.卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 4.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1.一元二次方程的根是 A. B. C. D. 2.如图，帕特农神庙位于希腊共和国首都雅典卫城坐落的古 城堡中心，是在世界艺术宝库之中具有鼎鼎大名的艺术瑰 宝．神庙呈长方形，高与宽的比例为19：31，比值接近于 0.618，这一比例能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺 术中最理想的比例．这所蕴含的数学知识是 A.黄金分割 B.平移变换 C.旋转变换 D.位似变换 3.瓦楞纸箱具有较高抗压强度及防震性能，能够抵挡搬运过程中的碰撞、冲击和摔跌， 在商业包装中有着举足轻重的作用.如图所示，是一件正六角形瓦楞纸箱，则该几何体 ( 正面 ) 的主视图是 ( B . C . D . ) ( A. ) ( A . ) 4.如图所示的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是 A.点A B.点B C.点C D.点D 5.将二次函数化成顶点式，变形正确的是 A. B. C. D. 6.如图的两幅图分别反映了两棵小树在怎样情形下的影子 A.太阳光、太阳光 B.路灯、太阳光 C.太阳光、路灯 D.路灯、路灯 7.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图， （1）、（2）、（3）、（4）处需要添加条件， 则下列条件添加错误的是 A.（1）处可填∠A＝90°  B.（2）处可填AD＝AB C.（3）处可填DC＝CB D.（4）处可填∠B＝∠D 8.“四大古典名著”是中国文学史中的经典作品，是世界宝贵的文化遗产．小沈同学收集 到中国古代四大名著卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上， 洗匀后，从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取另一张，则抽到的两张卡片恰 好是“水浒传”和“西游记”的概率是 A. B. C. D. 9.如图，是直立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据： AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为 A.米 B.米 C.米 D.米 10.如图，是小颖某次实验中的情形，左侧每个钩码的质量 均为2kg，杠杆总长30cm，其余数据如图所示，此时杠 杆处于平衡状态，则y与x的函数图象可能是 A B C D 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.如果∠A为锐角，cosA=，则∠A的度数为 ▲ ． 12.如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某 三角形部件的尺寸，已知∠ACB=90°，点D为边 AB的中点，点A，B 对应的刻度分别为0，5，则CD的长为 ▲ cm． 13.如图，已知AD∥BE∥CF，若AB=3cm，AC=7cm，EF=5cm，则DE的长为 ▲ cm. 14.如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和 的图象交于点A和点B．若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC ( y x A O C B P ) 的面积为 ▲ ． ( 图1 图2 ) 13题图 14题图 15题图 15.母亲节前，小敏准备制作一个如图1所示的正方体礼品盒包装好礼物后送给妈妈.他 在如图2所示正方形纸板上设计出正方体纸盒的平面展开图，再进行裁剪折叠即可完 成．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长 ▲ 分米． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤．） 16.（本题共10分）解下列方程： （1） （2） 17.（本题共7分）大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个 小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长， ( 图1 图2 ) 说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡 烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位： cm）是物距（小孔到蜡烛的 距离）x（单位： cm）的反比例函数．当x=8时，y=3． （1）求y关于x的函数表达式． （2）若物距（小孔到蜡烛的距离）为4cm，求火焰的像高． 18.（本题共8分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业 变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工 智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片 （卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ▲ ； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张， 请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 19.（本题共7分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合， 点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数（x>0） 的图像上，点D的坐标为 (3，4)． （1）菱形ABCD的边长为 ▲ ； （2）求k的值. 20.（本题共9分）随着传统能源的日益紧缺，太阳能的应用将会越来越广泛，尤其太阳 能发电领域在短短的数年时间内已发展成为成熟的朝阳产业．如图1，是一款太阳能 路灯实物图；如图2，是我校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示 意图，其中测倾器的高度为1.5米，点O、F、N在水平地面的同一直线上，在测点F 处安置测倾器，测得电池板顶端点C的仰角∠CED=45°，在与点F相距3米的测点N 处安置测倾器，测得灯罩顶端点A的仰角∠AMD=30°，点B为灯臂与路灯立柱OC的 连接点（点A、B与M在一条直线上），AC⊥OC，测得OF6米． （参考数据：，，结果精确到0.1） ( M B A O C E F N D 图2 ) （1）求电池板顶端点C离地面的高度； （2）求灯臂AB的长度． ( 图1 ) 21.（本题共10分）为了更好推广山西美食——“双皮奶”，特制定下列销售方案. 主题 “双皮奶”销售方案制定问题 山西美食历史悠久，“双皮奶”属于甜品，清香润滑，吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两类新品. 素材1 “卡通财神双皮奶” “缤纷双皮奶” 21元/份 19元/份 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 22.（本题共12分）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 课题 如何设计喷水装置的高度？ 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A，B之间的距离为20m，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m【即右侧抛物线的顶点坐标为（7，5）】．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，高DE为．    ( N ) 素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置OP（），并从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱，图2和图3的水柱都落在水池内，且满足以下条件： ①水柱的最高点到OP的水平距离为； ②不能碰到图2中的水柱； ③落水点H，N的间距为．    问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求右侧抛物线的函数表达式． 任务2 探究落水点位置 在图2建立的坐标系中，求落水点N的坐标． 任务3 拟定喷水装置的高度 如图3，请你直接写出喷水装置OP的高度． 23.（本题共12分）综合与探究： 【问题情境】 如图1，在正方形ABCD中，点E在线段AD上，点F在线段CD上，且始终满足 AE=CF．连接BE，BF，将线段BE绕点E逆时针旋转一定角度，得到线段EG（点 G是点B旋转后的对应点），并使点G落在线段BC上，EG与BF交于点H． 图1 图2 图3 【猜想验证】 （1）线段EG与BF的数量关系为 ▲ ，位置关系为 ▲ ， 并说明理由； 【深入探索】 （2）如图2，再将线段EG绕点E逆时针旋转90°，得到线段EM（点M是点G旋转 后的对应点），连接FM，请判断四边形BEMF的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点G落在BC的延长线上，且当点H恰好为EG的中点时，设CD与 EG交于点N，AD=3，求CG的长． 九年级数学 第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 5页 【参考答案与评分标准】 一、选择题 1--5.CABDA 6--10. CDDDC 二、填空题 11.30° 12. 2 5 13. 4 15 14. 5 15. 22 三、解答题 16. （1） 解：∵ 1,5,1  cba ………………1分 ∴ 021425114)5(4 22  acb ………………2分 ∴ 2 215 12 21)5(     x ， ………………3分 ∴ 2 215 1  x ， 2 215 2  x ………………5分 （2） 解： )13(3)13( 2  xx ………………1分 0)13(3)13( 2  xx ………………2分 0)23)(13(  xx ………………3分 ∴ 013 x 或 023 x ∴ 3 1 1 x ， 3 2 2 x ………………5分 17.解：（1）设 y与 x的函数表达式为： x ky  ， ………………1分 把 x=8，y=3代入 x ky  中得： 8 3 k ， ………………3分 解得：k=24， ………………4分 ∴y关于 x的函数表达式为： x y 24 ； ………………5分 （2）把 x=4代入 x y 24 中得：y=6， ………………6分 ∴火焰的像高为 6cm； ………………7分 18.解：（1） 4 1 ； ………………3分 （2）根据题意画树状图如下： 第 2页，共 5页 M B A O C E F N D 图 2 P ………………6分 共有 16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为 4， ………………7分 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为 4 1 16 4  ． ………………8分 19.解：（1）5； ………………3分 （2）∵菱形 ABCD的边长为 5， ∴OD＝AD＝5，AD∥OB． ………………4分 ∵D(3，4)， ∴点 A的坐标为(3，9)， ………………5分 将点 A(3，9)代入 x ky  ,得 3 9 k ………………6分 ∴k=27． ………………7分 20.解:（1）延长 ME交 OC于点 P，则四边形 POFE，PONM为矩形， ∴PE=OF=6米，∠CPE=90° …………………1分 ∵∠CED=45° ∴∠ECP=∠CEP=45° ∴CP=EP=6米，OP=MN=1.5米 …………………3分 ∴OC=CP+OP=7.5米 答：电池板顶端 C离地面的高度为 7.5米． …………………4分 （2）∵四边形 PONM为矩形 ∴PM=ON=6+3=9米 …………………5分 在 Rt△BPM中 ∵ BM PMBMP cos ， ∴BM= 36 2 3 9 30cos  PM , …………………6分 BP= 2 1 BM= 33 , ∴CB=7.5－1.5－3 =6－ 33 ， …………………7分 ∵∠ACB=∠MPB=90°，∠ABC=∠MBP ∴△ACB ~△MPB …………………8分 第 页，共 5页 ∴ BP CB BM AB  ， 即： 33 336 36   AB ， ∴AB= 3612   1.6米， 答：灯臂 AB长为 1.6米. …………………9分 21.解：（1）设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到 7月份销售量的月平均增长率是 x， ………………1分 则： 750)1(480 2  x ， ………………3分 解得： %25 4 1 1 x ， 4 9 2 x （不合题意，舍去）， ………………4分 答：该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到 7月份销售量的月平均增长率是 25%. ………………5分 （2）设 8月份“缤纷双皮奶”应该降价 y元， ………………6分 则： 6300)100600)(919(  yy ， ………………8分 整理得： 0342  yy ， 解得： 11 y ， 32 y ………………9分 当 11 y 时，销售量为：600+100×1=700份； 当 32 y 时，销售量为：600+100×3=900份； ∵尽快减少库存 ∴应多销售，即：y=3. 答：8月份“缤纷双皮奶”应该降价 3元. ………………10分 22.解：任务 1：建立如图所示坐标系： M N ………………2分 由题意得：设右侧抛物线的表达式为 khxay  2)( ………………3分 右侧抛物线的顶点为  7,5 ，  27 5y a x   ， ………………4分 代入点  10,0B ，得到 5 9 a   ………………5分 ⸫ 右侧抛物线表达式为  25 7 5 9 y x    ………………6分 第 4页，共 5页 任务 2：当 9 5 y  时，  29 5 7 5 5 9 x    ， ………………7分 解得 1 2 23 47, 5 5 x x  （不合题意，舍去） ………………8分 ∴落水点 N的坐标为（ 5 23 ， 5 9 ）， ………………9分 任务 3：喷水装置 OP的高度为 6cm. ………………12分 方法如下： 图 3和图 2的抛物线形状相同，水柱的最高点到OP的水平距离为 6 m 5 设抛物线的表达式为 25 6 9 5 y x k        ， ∵落水点 N的坐标为（ 5 23 ， 5 9 ）， 23 2 21 5 5 5H x    21 9, 5 5 H       ， 将 21 9, 5 5 H      代入 25 6 9 5 y x k        可得： 34 5 k  ∴图 3抛物线表达式为 25 6 34 9 5 5 y x        当 0x  时， 25 6 340 9 5 5 y          ， 解得 6y  6mOP  23.解：（1）EG=BF；EG⊥BF； ………………2分 理由如下： ∵四边形 ABCD是正方形 ∴∠A=∠C=∠ABC＝90°，AB=CB， ………………3分 又∵AE=CF， ∴△ABE≌△CBF（SAS） ， ………………4分 ∴BE=BF，∠ABE=∠CBF ． 由旋转的性质，得 BE=EG ， ∴EG= BF， ∴∠EBG=∠EGB ． ………………5分 又∵∠ABE+∠EBG=∠ABC＝90° ， ∴∠CBF+∠EGB＝90° ， 第 5页，共 5页 ∴∠BHG＝90° ， 即 EG⊥BF . ………………6分 （2）四边形 BEMF为菱形， ………………7分 理由如下： 由旋转的性质，得 EG=EM，∠GEM＝90°， ………………8分 又∵EG=BF，∠BHE＝90°， ∴EM=BF，∠GEM=∠BHE＝90° ， ∴EM //BF， ∴四边形 BEMF是平行四边形， ………………9分 又∵BE=BF， ∴四边形 BEMF是菱形； ………………10分 （3） 332  . ………………12分