7.6 摩擦力（教学课件）物理北师大版（北京）2024八年级全一册

第七章 物体间的相互作用 第六节 摩擦力 2025 八年级上册（北师大（北京）2024） 目录 壹 学习目标 肆 课堂练习 贰 课堂引入 叁 探究新知 陆 课后作业 伍 课堂总结 学习目标 1.通过常见实例知道滑动摩擦、滚动摩擦、静摩擦现象的存在。(物理观念) 2.会测量水平运动物体所受的滑动摩擦力。(科学探究) 3.通过实验探究知道影响滑动摩擦力大小的因素。(科学探究) 4.认识摩擦力的利与弊，知道增大有益摩擦和减小有害摩擦的方法。(物理观念，科学思维) 当我们在擦黑板的时候，明显发现黑板对黑板擦的滑动有一种阻碍的作用，如果将黑板檫压的越紧，会感觉黑板对黑板檫的阻碍的作用在变大。 课堂引入 这节课我们一起来学习阻碍物体相对运动的摩擦力。 第1节 力 为什么黑板对黑板檫有阻碍的作用呢？而这种阻碍作用的大小与那些因素有 关呢？ 知识点1 滑动摩擦力 1.现象探究：阻碍物体相对运动的力 探究新知 知识点1 滑动摩擦力 用橡皮擦擦字迹 用抹布擦拭桌面 雨刮器挂玻璃 用橡皮擦擦字迹时，明显感觉纸面在阻碍橡皮擦的运动 用抹布擦拭桌面时，明显感觉桌面在阻碍抹布的运动 雨刮器刮玻璃上的雨水时，玻璃上留下擦拭的痕迹，说明玻璃在阻碍雨刮器的运动 6 探究新知 知识点1 滑动摩擦力 【探究归纳】 相互接触的两个物体表面总是不光滑的,在压力作用下这些凹凸不平的部位会相互啮合。如右图所示，当两者相对运动时,啮合部位就会产生相互阻碍的作用力。这种阻碍物体相互运动的力就是摩擦力。 探究新知 知识点1 滑动摩擦力 2.滑动摩擦力 （1）概念：两个相互接触的物体，当它们相对滑动时，在接触面上会产生一种阻碍相对运动的力，这种力叫做滑动摩擦力。常用字母 f 表示。 紧急刹车时留下痕迹 擦然火柴 小朋友滑下滑梯 （2）产生的条件： ①两个物体接触 ②两接触面不光滑； ③两物体间相互挤压，及发生形变； ④两物体间发生了相对运动。 这四个条件必须同时具备，缺一不可 探究新知 知识点1 滑动摩擦力 探究新知 知识点1 滑动摩擦力 （3）滑动摩擦力的作用点 实际上摩擦力是作用在整个接触面上的,但为了研究方便，有时可以把摩擦力的作用等效到一个点上，可以把这个等效点取在接触面上，也可以取在物体的重心上。 滑动摩擦力的方向是与物体间相对运动的方向相反的。 人推箱子向右滑动时，箱子相对于地面向右运动时，受到的滑动摩擦力方向就向左。 箱子相对于 地面向右运动 摩擦力f 箱子相对于 地面向左运动 摩擦力f 人推箱子向左滑动时，箱子相对于地面向左运动时，受到的滑动摩擦力方向就向右。 （4）滑动摩擦力的方向 探究新知 知识点1 滑动摩擦力 探究新知 知识点1 滑动摩擦力 【典例1】书法是中华优秀传统文化的重要组成部分，校园书法传承蔚然成风。如图，小明在练习书法时，手执毛笔竖直悬空静止，若手握笔杆的力增大，笔受到的摩擦力将 （选填“增大”、“减小”或“不变”）；在纸上从左向右写一横，笔运行中笔毫向左弯曲，此时笔毫所受摩擦力的方向 （选填“向左”或“向右”），下方的白纸 （选填“会”或“不会”）受到毛笔对它的摩擦力作用。 不变 向左 会 详解见下页 12 探究新知 知识点1 滑动摩擦力 【详解】[1]手执毛笔竖直悬空静止，对毛笔进行受力分析，毛笔受自身竖直向下的重力和手对它竖直向上的摩擦力，摩擦力与重力是平衡力，若手握笔杆的力增大，重力不变，故笔受到的摩擦力的大小不变。 [2][3]在纸上从左向右写一横，笔毫相对于纸向右运动，则受到向左的摩擦力；因为力的作用是相互的，所以下方的白纸也会受到毛笔对它的摩擦力作用。 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 （1）测量方法： 把木块放在木板上，用弹簧测力计匀速拉着木块运动，读出这时的拉力F拉即为木块受到的摩擦力 f摩。 （2）测量原理： 因为木块做匀速直线运动，所以木块受到的拉力 F拉与滑动摩擦力 f摩是一对平衡力，大小相等，即 f 摩=F拉。 摩擦力f 拉力F 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 1. 测量滑动摩擦力的大小 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 【猜想与假设】 (1)推箱子的过程中,箱子越重,越难推动,滑 动摩擦力的大小可能与压力的大小有关; (2)人在较光滑地面上推物体时更省力,滑动 摩擦力的大小可能与接触面的粗糙程度有关 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 2. 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 推箱子 【实验器材】 木块、100g的砝码3只、弹簧测力计、表面较光滑的长木板、表面粗糙程度不同的长木板、细线等 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 【实验过程】 实验1：控制接触面的粗糙程度相同、改变木块对长木板的压力大小.用弹簧测力计拉着木块在长木板(水平)上做匀速直线运动(图甲),读出此时弹簧测力计的示数;分别在木块上放1只、2 只、3只砝码,同样拉着木块在长木板上做匀速直线运动(图乙),读出此时弹簧测力计的示数,记入表1中。 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 被拉动的物体 木块 木块和已知砝码 木块和2只砝码 木块和3只砝码 木块与长木板件的压力/N 5 6 7 8 弹簧测力计的示数/N 1 1.2 1.4 1.6 实验1数据记录： 表1： 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 【实验过程】 实验2:控制压力的大小相同,改变接触面的粗糙程度,换成粗糙程度不同的长木板,用弹簧测力计拉着木块在3种粗糙程度不同的长木板上做匀速直线运动(图丙),分别读出弹簧测力计的示数记入下表. 接触面的情况 较光滑的长木板 较粗糙的长木板 更粗糙的长木板 弹簧测力计的示数/N 1 1.9 3.3 表2： 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 由表1中的数据可看出滑动摩擦力的大小与压力有关,在其他条件相同时,压力越大,滑动摩擦力越大。 由表2中的数据可看出滑动摩擦力的大小与接触面的粗糙程度有关,在其他条件相同时，接触面越粗糙,滑动摩擦力越大。 【实验分析】 滑动摩擦力的大小与相互接触的两个物体间的压力和接触面的粗糙程度有关,压力越大,接触面越粗糙,滑动摩擦力也就越大(此外,滑动摩擦力的大小还与接触面的材料有关) 【实验结论】 1. 实验中的探究方法 （1）控制变量法：①探究滑动摩擦力的大小与压力的关系： 控制接触面的粗糙程度不变，改变物块对接触面的压力。 ②探究滑动摩擦力的大小与接触面粗糙程度的关系： 控制压力不变，改变接触面的粗糙程度。 （2）转换法： 通过读取弹簧测力计的示数来间接测量滑动摩擦力的大小。 2. 实验中要水平匀速拉动木块，做匀速直线运动，才能保证滑动摩擦力等于的大小拉力大小。 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 【交流与讨论】 改进：实验中不易做到匀速拉动木板，可以采用如下如图所示的装置，将弹簧测力计固定不动，木块挂在弹簧测力计的挂勾上，不拉木块，改为拉动长木板，使木板与木块相对滑动。 优点：（1）弹簧测力计示数较为稳定，容易读数； （2）操作上更便捷，不需要长木板做匀速运动 F 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 【实验拓展】实验设计的改进 视频演示——《研究影响滑动摩擦力大小的因素》 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 ①把木块平放在木板上，用弹簧测力计拉木块匀速运动，读出这时的拉力F1。 ②把木块侧放在木板上，用弹簧测力计拉木块匀速运动，读出这时的拉力F2。 F1=0.8N F2=0.8N 【拓展1】探究摩擦力的大小与接触面积的关系 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 实验序号 接触面材料 压力大小 受力面积大小 摩擦力大小 1 长木板 相同 大 0.8N 2 长木板 相同 小 0.8N 实验结论 在接触面粗糙程度和压力大小相同时，摩擦力的大小与接触面积的大小无关。 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 【实验数据】 ①把木块与砝码放在木板上面，以比较小的速度拉动木块做匀速直线运动，读出这时的拉力F1。 ②保持压力、粗糙程度都相同，以比较大的速度拉动木块做匀速直线运动，读出这时的拉力F2。 速度v1=0.1米/秒 速度v2=0.2米/秒 【拓展2】探究摩擦力的大小与物体运动速度的关系 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 实验次数 接触面材料 压力大小 运动速度 摩擦力大小 1 长木板 相同 0.1m/s 0.7N 2 长木板 相同 0.2m/s 0.7N 实验结论 在接触面粗糙程度和压力大小相同时，摩擦力的大小与运动速度的大小无关。 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 【实验数据】 滑动摩擦力的大小跟接触面的面积、物体运动的速度都无关；只与作用于接触面的压力和接触面的粗糙程度有关。 归纳结论 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 29 【典例2】在“探究影响滑动摩擦力大小的因素”实验中，小致用同一个木块按照如图所示的甲、乙、丙三种情况进行实验。 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 (1)将木块放在水平木板上，用弹簧测力计沿水平方向拉着做________运动。对比甲、 乙两图实验，可探究滑动摩擦力的大小与________的关系。 [1]将木块放在水平木板上，用弹簧测力计沿水平方向拉着做匀速直线运动，使木块受到的摩擦力与拉力等大。 [2]对比甲、 乙两图实验得，实验中，接触面的粗糙程度相同，压力不同，可探究滑动摩擦力的大小与压力的关系。 匀速直线 压力大小 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 (2)小致认为，对比乙、丙两图实验，也可探究滑动摩擦力大小与压力大小的关系。经讨论，小组同学一致认为小致的看法是错误的，理由是： 。 没有控制接触面粗糙程度相同 乙丙实验中，压力与接触面粗糙程度均不同，没有控制接触面粗糙程度相同，会导致结论出错。 【典例2】在“探究影响滑动摩擦力大小的因素”实验中，小致用同一个木块按照如图所示的甲、乙、丙三种情况进行实验。 探究新知 知识点2 探究滑动摩擦力大小与那些因素有关 (3) 实验中，木块难以做到匀速直线运动，弹簧测力计读数误差较大，小组讨论后又设计了如图丁实验方案。该方案中， （选填“需要”“不需要”）匀速拉动长木板。现用F＝5N水平拉力拉动木板，弹簧测力计示数为1.5N，此时木块受到的滑动摩擦力为 N。 不需要 丁图中，木板拉动过程中，木块相对地面静止，木块受到的摩擦力始终等于测力计的拉力，则实验中不需要匀速拉动长木板。 [2]现用水平拉力拉动木板，弹簧测力计示数为1.5N，此时木块受到的滑动摩擦力为 【典例2】在“探究影响滑动摩擦力大小的因素”实验中，小致用同一个木块按照如图所示的甲、乙、丙三种情况进行实验。 1.5 知识点3 静摩擦力和滚动摩擦力 人推箱子而未动 在这些现象中，两个物体间都有相对运动的趋势，会在接触面间产生一个阻碍物体运动的力，这个力是另外一种摩擦力——静摩擦力。 手拿杯子而未下落 纸箱在斜面上向上运动 发生在我们生活中的一些现象，你是否想过其中的原因吗？ 探究新知 知识点3 静摩擦力和滚动摩擦力 （1）定义：当两个物体具有相对运动趋势时，在接触面上产生阻碍物体间发生相对运动的力，叫做静摩擦力。 1. 静摩擦力 运动趋势向下 静摩擦力f 手握杯子，杯子由于受到重力，相对于手有往下掉的趋势，但是没有掉下来，是因为手对杯子有一个向上的静摩擦力。 探究新知 知识点3 静摩擦力和滚动摩擦力 人走路时，脚（鞋底）向后蹬地面，相对于地面有向后的运动趋势，地面会对脚有一个向前的静摩擦力 f，人靠这个静摩擦力前进。 （2）静摩擦力的方向 静摩擦力的方向与物体间相对运动趋势的方向相反 运动趋势 静摩擦力f 探究新知 知识点3 静摩擦力和滚动摩擦力 (3)静摩擦力的大小 静摩擦力存在一个最大值，称为最大静摩擦力。它等于使物体刚要运动时所需要的最小外力。 当外力分别为5N、9N时，物体没有移动，此时的静摩擦力与推力相互平衡，所以大小分别为5N、9N； 当外力为12N时，物体刚好运动，则最大静摩擦力为12N。 静摩擦力 f=5N 推力F=5N 静摩擦力 f=9N 推力F=9N 最大摩擦力f=12N 推力F=12N 探究新知 知识点3 静摩擦力和滚动摩擦力 探究新知 知识点3 静摩擦力和滚动摩擦力 【典例3】如图所示，用手握住重为3N的水杯静止，杯子因受到方向 的摩擦力而不会掉下来，杯子受到的摩擦力为____N；当拿着杯子匀速向上移动时，杯子受到的摩擦力为_ N。当增大握杯子的力时，杯子所受的摩擦力将 （选填“变大”、“变小”或“不变”）。 【详解】[1][2]手握水杯静止在空中，水杯处于平衡状态，受的重力和摩擦力是一对平衡力，大小相等，方向相反，所以水杯受到的摩擦力的大小等于重力，为3N，方向竖直向上。 [3]拿着杯子匀速向上移动时，杯子处于平衡状态，受的重力和摩擦力是一对平衡力，大小相等，方向相反，所以受到的摩擦力为3N。 [4]增大手握杯子的力时，水杯依然保持静止，竖直方向上重力和静摩擦力依然平衡，静摩擦力还是等于重力，所以手对水杯的摩擦力不变。 竖直向上 3 3 不变 2. 滚动摩擦力： 定义：一个物体在另一个物体表面上滚动时产生的摩擦力叫作滚动摩擦力。 产生原因：物体滚动时，由于 两物体在接触部分受压发生形 变而产生的对滚动的阻碍作用。 探究新知 知识点3 静摩擦力和滚动摩擦力 ② 生活中的滚动摩擦： 旱冰鞋 圆珠笔尖与 纸间的摩擦 轮滑鞋（Roller skating）俗称旱冰鞋，起源荷兰，是一种利用特别的轮滑鞋为比赛工具的竞赛项目，也是一种生活休闲的玩意儿。今日多数的溜冰者主要都是用直排轮，又称溜溜、66。 拉杆箱的轮子 探究新知 知识点3 静摩擦力和滚动摩擦力 ③滚动摩擦小于滑动摩擦 使接触面分离 比较滚动摩擦与滑动摩擦的大小 木块在木板上滑动时，弹簧测力计示数比较大。 在木块下面垫上铅笔时，再拉动木块，弹簧测力计示数变小。 滚动摩擦比最大静摩擦和滑动摩擦要小得多，在一般情况下，滚动摩擦只有滑动摩擦阻力的1/40到1/60。 实验结论：滚动摩擦小于滑动摩擦. 探究新知 知识点3 静摩擦力和滚动摩擦力 知识点4 摩擦的利与弊 打开瓶盖时用力 1. 有益摩擦 有时摩擦时有意的，人们常想办法去增大它。 增大摩擦的方法： （1）增大物体间的压力 机器靠比较紧的 皮带传递动力 骑车刹车时，用力捏车闸 探究新知 知识点4 摩擦的利与弊 要上杠的运动员手上擦镁粉 在结冰的路面车轮缠绕铁链 （2）增加接触表面的粗糙程度。 增大物体接触表面的粗糙程度也可以增大摩擦。 探究新知 知识点4 摩擦的利与弊 鞋底凹凸不平的花纹 （3）变滚动摩擦为滑动摩擦 火车、汽车在急刹车时，制动系统使车轮变滚动为滑动，是车快速停下来 探究新知 知识点4 摩擦的利与弊 汽车制动 制动原理 推动熄火的汽车使其再次启动时，常让乘客下车，减小车重 （1）减小压力 许多情况下摩擦是有害的，人们常常设法减小它。 减小摩擦的方法： 探究新知 知识点4 摩擦的利与弊 2. 有害摩擦 （2）使接触面光滑 使物体间的接触面变光滑，可以减小摩擦力。 探究新知 知识点4 摩擦的利与弊 冰壶比赛中，运动员不断的刷冰，使接触面光滑减小摩擦。 滑梯的表面比较光滑是为了减小人与滑梯间的摩擦。 （3）变滑动摩擦为滚动摩擦 因为滚动摩擦小于滑动摩擦，所以使物体间的滑动摩擦变为滚动摩擦时，可以减小摩擦。 探究新知 知识点4 摩擦的利与弊 轮滑鞋上安装的滚轮 机器里的轴承 （4）使两个物体间的接触面分离 磁悬浮列车通过电磁力实现列车与轨道之间的无接触的悬浮和导向。由于其轨道的磁力使之悬浮在空中，减少了摩擦力，高速磁悬浮列车的速度可达每小时600公里以上。 向机器里面加润滑油，可以使接触面分离。 探究新知 知识点4 摩擦的利与弊 探究新知 知识点4 摩擦的利与弊 【典例4】城市里共享单车的出现，方便了人们的短途出行。从自行车的结构和使用来看，它涉及不少有关摩擦的知识，以下分析错误的是（　　） A．车轮上刻有凹凸不平的花纹是为了增大摩擦 B．在转动的部分加润滑油，目的是为了减小摩擦 C．刹车时用力捏刹车闸是通过增大压力来增大摩擦的 D．脚踏板凹凸不平是通过增大接触面积来增大摩擦 D 详解见下页 50 探究新知 知识点4 摩擦的利与弊 【详解】A．车轮上刻有凹凸不平的花纹是在压力一定时，通过增大接触面的粗糙程度来增大摩擦的，故A正确，不符合题意； B．在转动的部分加润滑油，可使接触面形成一层油膜，即使接触面分开，目的是为了减小摩擦，故B正确，不符合题意； C．刹车时用力捏刹车闸，是在接触面的粗糙程度一定时，通过增大压力来增大摩擦的，故C正确，不符合题意； D．脚踏板凹凸不平，是在压力一定时，通过增大接触面的粗糙程度来增大摩擦的，故D错误，符合题意； 故选D. 51 1．如图所示，这是机场内正在水平匀速运行的传送带的俯视图，两行李箱与传送带均无相对滑动。则行李箱 没有受到摩擦力；行李箱 处于非平衡状态。理由是_________________________ ____________________________。（均选填“甲”或“乙”）。 课堂练习 甲 乙 行李箱乙在拐弯处速度的方向发生变化，处于非平衡状态 课堂练习 2．如图是“竹筷提米”实验，玻璃杯和米被慢慢提起后，整体静止，则米对筷子的摩擦力的方向是（　　） A．竖直向下 B．垂直向上 C．竖直向上 D．向上、向下都可能 【详解】玻璃杯和米被慢慢提起后，整体静止，玻璃杯和米整体受到竖直向下的重力作用，由于玻璃杯和米有向下运动的趋势，所以会受到筷子对米竖直向上的摩擦力的作用，根据物体间力的作用是相互的，则米对筷子的摩擦力的方向竖直向下。故A符合题意，BCD不符合题意。 A 课堂练习 3．为了探究滑动摩擦力，小超同学利用牙刷做实验，当用力匀速拖动牙刷时，刷毛发生了如图所示的弯曲。下列对这一实验的分析中正确的是（　　） A．刷毛弯曲越厉害说明牙刷受到的力越小 B．从刷毛弯曲的方向可以判断牙刷受到摩擦力的方向向左 C．牙刷受到的摩擦力作用在刷毛上 D．从刷毛弯曲的方向可以判断牙刷受到摩擦力的方向向右 BC 课堂练习 4. 如图所示，一个物体重10N，用30N的力F垂直于墙壁压住物体使其静止，则物体受到的摩擦力大小是 N；若压力增大到50N时物体仍然静止，则物体受到的摩擦力将 （选填“变大”、“变小”或“不变”）。 【详解】[1]用30N的力F垂直于墙壁压住物体使其静止，处于平衡状态，受平衡力作用，即物体在竖直方向上受竖直向下的重力和竖直向上静摩擦力的作用，故摩擦力为f=G=10N [2]若压力增大到50N时物体仍然静止时，物体仍平衡，受到的重力不变，与之平衡的摩擦力不变，即摩擦力仍为10N。 10 不变 课堂练习 5. 北方城市在下大雪后，因为路滑，容易发生交通事故。过去，居民使用的燃料主要是煤，下大雪后，有些居民将煤渣撒在结冰的路面上，你知道这是为什么吗? 【详解】下大雪后，人们常常将煤渣撒在结冰的路面上，是通过增大接触面的粗糙程度来增大摩擦的，从而防止交通事故的发生。 课堂练习 6. 冰壶比赛时，运动员需要不断调整自己的运动，其中一名运动员穿的两只鞋的鞋底材质并不相同，蹬冰脚的鞋底为橡胶制成，而滑行脚的鞋底为塑料制成，请你利用本节知识说明其中的道理。 【详解】相同条件下，橡胶比塑料粗糙，穿橡胶底可以通过增大接触面的粗糙程度来增大摩擦力，滑行脚的鞋底为塑料制成，这样可以通过减小接触面的粗糙程度来减小摩擦力，便于滑行。 课堂练习 7. 小佳同学选取了两个弹簧测力计、细线、棉布、木板、重为10N 和15N的两个木块（表面粗糙程度相同）等器材，探究滑动摩擦力大小与哪些因素有关。她分别做了如图甲、乙、丙所示三次实验。 课堂练习 (1)小佳为了测出滑动摩擦力的大小，实验时应沿水平方向拉物块做匀速直线运动，利用 条件可知，木块所受摩擦力的大小等于弹簧测力计的示数； 【详解】（1）小佳为了测出滑动摩擦力的大小，实验时应沿水平方向拉物块做匀速直线运动，此时物块处于平衡状态，利用二力平衡条件可知，木块所受摩擦力的大小等于弹簧测力计的示数。 二力平衡 课堂练习 (2)小佳分析甲、丙两次实验，可以得出结论_________________ ____________________________； 甲丙实验中，压力相同，丙图的接触面粗糙程度较大，丙图的测力计示数较大，说明丙图的摩擦力较大，则可以得出结论：当压力相同时，接触面粗糙程度越大，滑动摩擦力越大。 当压力相同时，接触 面粗糙程度越大，滑动摩擦力越大 课堂练习 (3)她想继续探究滑动摩擦力大小与物体的重力大小是否有关，利用图甲实验做对比分析，又设计了如图丁所示的实验，使弹簧测力计 A 始终保持竖直状态，并调整高度，使其示数为 N，来控制压力大小相同，拉动木板，当木块相对于地面静止时，弹簧测力计 B 的示数为1N，分析可得滑动摩擦力大小与物体重力大小 。 5 图丁中拉动木板，当木块相对于地面静止时，弹簧测力计 B 的示数为1N，则此时物块受到的摩擦力为1N；图甲中测力计的示数为1N，由二力平衡条件得，物体受到的摩擦力也为1N，则图甲丁中物体的重力不同，受到的摩擦力相同，说明滑动摩擦力大小与物体重力大小无关。 无关 课堂小结 课后作业 作业 内容 同步作业 完成课后“实践与探索”练习 自主安排 配套同步分层作业 63 ENDING! 2024 Thank you for watching! 谢谢观看 $$