培优专题：平行线（知识盘点+14题型+3易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版2024）

培优专题 平行线 平行线的定义 1.定义： 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 . 特别提醒： 平行线定义的“三要素”(1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线 . 2. 表示方法： 用“∥”表示平行，如图记作“AB∥CD” 或“CD∥AB”，读 作“AB平行于CD”或“CD 平行于AB”. 【温馨提醒】 1. 不在同一平面内的直线,在不相交时也可能不平行. 2. 同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：相交与平行. 3. 两条射线（或线段）平行是指它们所在的直线平行. 1．下列实例中存在平行线的有（   ） ①双杠；②斑马线；③铁轨；④树杈． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 平行线的画法 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 【特别提醒】 1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线. 2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线. 3. 画图过程中要注意： (1) 直尺定好位置后，不能移动； (2) 三角尺要始终保持“紧靠”状态 . 2．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 平行线的基本事实及其推论 1. 平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 【注意】平行线基本事实的前提是过直线外一点，若点在直线上，则不可能有已知直线的平行线. 2. 平行线基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 . 简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行 . 表达方式：如果a∥c，b∥c，那么a∥b. 补充笔记： 1.“有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性 . 2. 平行线的基本事实在推理过程中常用来说明直线的唯一性 . 3. 平行线基本事实的推论体现了平行线的传递性 . 下列说法中：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 平行线的判定方法 1（基本事实） 1.判定方法1:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成: 同位角相等，两直线平行. 2.表达方式： 如图，因为∠ 1= ∠ 2（已知），所以 a ∥ b（同位角相等，两直线平行）. 【特别提醒】 (1)这是前面利用三角尺与直尺画平行线的根据； (2)构成同位角的两条直线不一定平行，只有形成的一对同位角相等，这两条直线才平行. 如图，下列能判定的条件有（  ）个． （1） （2） （3） （4） A．1 B．2 C．3 D．4 平行线的判定方法2 1.判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 2.表达方式：如图，因为∠ 1= ∠ 2（已知），所以a ∥ b（内错角相等，两直线平行）. 【注意】构成内错角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对内错角相等，这两条被截线才平行. 如图，下列选项不能得到的是（   ） A． B． C． D． 平行线的判定方法3 1. 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 【易错提醒】 利用同旁内角说明两直线平行时，同旁内角之间的关系是互补，不是相等. 2. 表达方式：如图， 因为∠1+∠2=180°（已知）， 所以a∥b（同旁内角互补，两直线平行）. 老师在固板上画出如图所示的图形，要求添加一个条件使得，以下四位同学的答案不正确的是（　　） A．小龙： B．小年： C．小达： D．小吉： 平行线判定方法的推论 1. 判定方法的推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 简单说成：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 表达方式：如图，直线a，b，c 在同一平面内. 因为a⊥b，a⊥c，所以b∥c. 2. 拓展 a，b，c为同一平面内三条不重合的直线，下列结论: ①a⊥b；② a⊥c；③ b∥c. 已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立. 注意：三条直线“在同一平面内”是前提，丢掉这个前提，结论不一定成立. 【方法总结】 判定两直线平行的方法 方法一：平行线的定义； 方法二：平行线的基本事实的推论； 方法三：同位角相等，两直线平行； 方法四：内错角相等，两直线平行； 方法五：同旁内角互补，两直线平行； 方法六：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 . 平行线的性质1 性质 1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 . 简单说成：两直线平行，同位角相等. 表达方式：如图，因为a ∥ b（已知）， 所以∠ 1= ∠ 2（两直线平行，同位角相等）. 【特别警示】 1.两条直线平行是前提，只有在这个前提下才有同位角相等. 2.书写时，顺序不能颠倒，与判定不能混淆. 如图，直线，被直线所截，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 平行线的性质2 1. 性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 2. 表达方式：如图， ∵ a ∥ b（已知）， ∴∠ 1= ∠ 2（两直线平行，内错角相等）. 【易混易错提醒】 并不是所有的内错角都相等，只有在 “两直线平行”的前提下，才有内错角相等. 如图，，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 平行线的性质3 1. 性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 2. 表达方式：如图， 因为a∥b（已知）， 所以∠ 1+ ∠ 2=180° （两直线平行，同旁内角互补）. 生活情境·管道铺 设如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯制一个变形管道，使其拐角，则（   ） A． B． C． D．与相交 平行线的判定与性质的综合应用 平行线的判定与性质的区别与联系 平行线的性质是由两条直线的位置关系(平行)得出角的数量关系；平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系(平行) . 【特别提醒】 1.在应用过程中，需正确区分条件和结论. 2.对于较复杂的图形，在应用平行线的性质或判定时，迅速准确地分离出“三线八角”以简化图形是解题的关键. 3.有时适当添加直线或线段(辅助线)能够更好地帮助解决问题. 平行公理的应用 例1在同一平面内有a，b，c三条直线，若，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 审题关键：根据平行于同一条直线的两条直线平行，进行判断即可． 1-1如图，是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 1-2如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 同位角相等两直线平行 例2如图，已知，要使，还需添加一个条件，你想添加的条件是 ． 审题关键：关键是掌握同位角相等两直线平行．添加：，再加上条件可得，再根据同位角相等两直线平行可得． 2-1一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（   ） A．第一次右拐，第二次右拐 B．第一次右拐，第二次右拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次左拐 2-2如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②； ③；④． 其中能判断的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 2-3根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵（已知）， ∴ （ ）． （2）∵（已知）， ∴( ) （3）∵（已知）， ∴( ) （4）∵（已知）， ∴ （ ）． 内错角相等两直线平行 例3下列图形中，有，能得到的图形有（    ） A． B． C． D． 审题关键：掌握判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法逐一判断即可． 3-1如图，下列条件中，不能判定直线的是（　　） A． B． C． D． 3-2如图，已知，和互余，和互余．试说明：． 同旁内角互补两直线平行 例4将文具套尺中的量角器和三角板按照如图方式摆放，其中，三角板的直角顶点C与量角器的中心重合，为量角器的直径．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 审题关键：熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 4-1如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 4-2如图，平分，平分，且，试说明：． 垂直于同一直线的 两直线平行 例5已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 审题关键：此题主要考查了平行公理及推论，熟练掌握平行线相关知识是解题关键 5-1如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线a和b，得到，理由是（ ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 5-2在作业纸上，要过点P作直线a的平行线b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行 两直线平行同位角 例6如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 审题关键：本题考查了平行线的性质，结合直线，得，，，即可作答． 6-1如图，，，则图中与相等的角（不包括）共有 个． 6-2推理填空：如图，直线，被直线所截，是的平分线，若，，求的度数． 解：因为AD是的平分线， 所以（____________________）． 因为， 所以__________（____________________） 所以__________ __________（____________________） 所以（____________________） 因为，所以． 两直线平行内错角相等 例7如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，则等于（   ） A． B． C． D． 审题关键：本题考查平行线的性质，根据两直线平行内错角相等可得结论． 7-1物理中有一种现象叫光的折射现象，指当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，水面与容器底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成了光线射到水底处，射线是光线的延长线，若，则的度数为 ． 7-2完成下面的证明． 已知：如图，平分平分．求证：． 证明：（已知）， （_______）． 又（已知）， _______． （已知）， ． 又平分（已知）， _______． 又平分（已知）， _______， （_______+_______）， ， ，即． 两直线平行同旁内角互补 例8如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 审题关键：由平行线的性质推出，得到，即可求出的度数． 8-1（1）如图1，点、、都在正方形网格的格点上，按下列要求仅用直尺画图，保留必要的辅助线，并标出相应的字母： ①过点画直线； ②在上画点，使的长度最小． （2）如图2，已知，点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 8-2阅读题目，完成下面推理过程． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，点在同一直线上，点在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图（2），延长交于点． （已知）， （_______） 又（_______）， _______（等量代换）， （_______）， （_______）． 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （_______）． 根据平行线的性质探究角的关系 例9如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 审题关键：根据平行线的性质得，，再由，即可解答． 9-1如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 9-2如图，， ，，则 ． 9-3如图，，思考解决下列问题：试探究 ． 根据平行线的性质求角的度数 例10如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 审题关键：分两种情况：①当时，②当时，进行讨论即可． 10-1为响应“绿色环保，节能减排”的号召，人们纷纷将购买节能灯作为践行环保理念的重要方式．如图，这是一盏可调节的节能台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线组成．现调节台灯，使外侧光线．若，则的度数为    10-2【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3） 如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 10-3如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 平行线的性质在生活中的应用 例11生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 审题关键：根据两直线平行，内错角相等可得，又因为，所以，再根据，即可解得． 11-1光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11-2一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（     ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再右转 D．先右转，再右转 11-3如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 根据平行线判定与性质求角度 例12将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 审题关键：由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④． 12-1如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．    12-2已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 12-3已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 根据平行线判定与性质证明 例13如图，在中，点在边上，点分别在边上，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：，（已知） ∴________，（________________） ∴，（________________） ∵，（已知） ∴，（________________） ∴，（________________） ∴，（________________） ∴．（________________） 审题关键：先证明，则，再证明，则，然后证明，即可得出结论． 13-1将下面的推理过程及依据补充完整． 已知：如图，，点在上，点在上，，求证：． 证明：∵（已知），（　　）， ∴（等量代换）， ∴（　　）， ∴___________（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（　　）， ∴（　　）． 13-2完成下面的证明．如图，，，，．求证：． 证明：（已知）， （_______） ， _______． ， _______， （_______）． 13-3如图，已知点在直线上，射线平分，过点作，是射线上一点，连接，满足． (1)求证：； (2)若，求证：． 13-4如图，在中，，，垂足分别为，，试说明：，请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据． 理由如下：因为（已知）， 所以（ ）． 同理，得， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以 （ ）． 又（已知）． 所以 （等量代换）． 所以（ ）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又 （已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 即（等量代质）． 所以（ ）． 利用平行线间距离解决问题 例14如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 审题关键：根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可． 14-1如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 14-2如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 14-3如图，是直角梯形的高，E为梯形对角线上一点，如果、、的面积依次为56，50，40，那么的面积是（    ) A．32 B．34 C．35 D．36 14-4如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【例1】如图，直线，被直线，所截．下列条件能判定的是　　 A． B． C． D． 【例2】若与是同旁内角，，则的度数是　　 A． B． C．或 D．不能确定 【例3】阅读下列材料，其①④步中数学依据错误的是　　 如图，已知直线，，求证：． 证明： ①（已知），（垂直的定义）． ②又（已知），（同位角相等，两直线平行）． ③（等量代换）． ④（垂直的定义）． A．① B．② C．③ D．④ 一、单选题 1．如图，下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（    ）    A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 3．将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中能说明纸条两边平行的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（  ）度    A． B． C． D． 5．如图，，，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是 ．（只填序号） 8．如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有 ．（写出所有正确结论的序号） 9．如图，直线，平分，，，则 °． 10．如图，，，则的度数是 ． 11．如图，已知，若，则的度数为 ． 12．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 三、解答题 13．按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整 如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C． 求证：． 证明：∵∠1＝∠2（已知） ∠ABF＝∠1（对顶角相等） ∠BFG＝∠2（____________） ∴∠ABF＝______（等量代换） ∵BE平分∠ABF（已知） ∴______（____________） ∵FC平分∠BFG（已知） ∴______（____________） ∴∠EBF＝______ ∴（____________） 14．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，已知，．    (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 15．如图1，于点C，． (1)求证：； (2)如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接．则三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 平行线 平行线的定义 1.定义： 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 . 特别提醒： 平行线定义的“三要素”(1)在同一平面内；(2)不相交；(3)都是直线 . 2. 表示方法： 用“∥”表示平行，如图记作“AB∥CD” 或“CD∥AB”，读 作“AB平行于CD”或“CD 平行于AB”. 【温馨提醒】 1. 不在同一平面内的直线,在不相交时也可能不平行. 2. 同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：相交与平行. 3. 两条射线（或线段）平行是指它们所在的直线平行. 1．下列实例中存在平行线的有（   ） ①双杠；②斑马线；③铁轨；④树杈． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的含义，应结合生活实际进行解答．根据平行线的定义即可确定． 【详解】解：解：∵在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线， ∴①②③是平行线， 故选：D． 平行线的画法 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤 【特别提醒】 1.经过直线上一点不可以作已知直线的平行线. 2.画线段或射线的平行线是画它们所在直线的平行线. 3. 画图过程中要注意： (1) 直尺定好位置后，不能移动； (2) 三角尺要始终保持“紧靠”状态 . 2．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 平行线的基本事实及其推论 1. 平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 【注意】平行线基本事实的前提是过直线外一点，若点在直线上，则不可能有已知直线的平行线. 2. 平行线基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 . 简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行 . 表达方式：如果a∥c，b∥c，那么a∥b. 补充笔记： 1.“有且只有”强调这样的直线的存在性和唯一性 . 2. 平行线的基本事实在推理过程中常用来说明直线的唯一性 . 3. 平行线基本事实的推论体现了平行线的传递性 . 下列说法中：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查平行公理及其推论，点到直线的距离的定义，垂直的性质，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键．分别利用平行公理推论、点到直线的距离的定义、垂直的性质、平行公理判断即可． 【详解】解：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故①正确； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②不正确； 过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故③不正确； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故④不正确； 所以正确的有①，共个． 故选：A． 平行线的判定方法 1（基本事实） 1.判定方法1:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成: 同位角相等，两直线平行. 2.表达方式： 如图，因为∠ 1= ∠ 2（已知），所以 a ∥ b（同位角相等，两直线平行）. 【特别提醒】 (1)这是前面利用三角尺与直尺画平行线的根据； (2)构成同位角的两条直线不一定平行，只有形成的一对同位角相等，这两条直线才平行. 如图，下列能判定的条件有（  ）个． （1） （2） （3） （4） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题目中的条件，可以写出各个小题中的条件可以得到哪两条线平行，从而可以解答本题． 【详解】解：（1）， ，符合题意； （2）， ，不符合题意； （3）， ，符合题意； （4）， ，符合题意； 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：C． 平行线的判定方法2 1.判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 2.表达方式：如图，因为∠ 1= ∠ 2（已知），所以a ∥ b（内错角相等，两直线平行）. 【注意】构成内错角的两条被截线不一定平行，只有形成的一对内错角相等，这两条被截线才平行. 如图，下列选项不能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、， （内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意； B、， （内错角相等，两直线平行），不能得到，故此选项符合题意； C、， （同位角相等，两直线平行），故此选项不符合题意； D、， （同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意． 故选：B． 平行线的判定方法3 1. 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 【易错提醒】 利用同旁内角说明两直线平行时，同旁内角之间的关系是互补，不是相等. 2. 表达方式：如图， 因为∠1+∠2=180°（已知）， 所以a∥b（同旁内角互补，两直线平行）. 老师在固板上画出如图所示的图形，要求添加一个条件使得，以下四位同学的答案不正确的是（　　） A．小龙： B．小年： C．小达： D．小吉： 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：．∵，∴，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，∴，故该选项不符合题意； ． ∵，，∴，∴，故该选项不符合题意； ．，不能判断，故该选项符合题意； 故选：D． 平行线判定方法的推论 1. 判定方法的推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 简单说成：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. 表达方式：如图，直线a，b，c 在同一平面内. 因为a⊥b，a⊥c，所以b∥c. 2. 拓展 a，b，c为同一平面内三条不重合的直线，下列结论: ①a⊥b；② a⊥c；③ b∥c. 已知其中任意两个结论，总能推出第三个结论成立. 注意：三条直线“在同一平面内”是前提，丢掉这个前提，结论不一定成立. 【方法总结】 判定两直线平行的方法 方法一：平行线的定义； 方法二：平行线的基本事实的推论； 方法三：同位角相等，两直线平行； 方法四：内错角相等，两直线平行； 方法五：同旁内角互补，两直线平行； 方法六：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 . 平行线的性质1 性质 1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 . 简单说成：两直线平行，同位角相等. 表达方式：如图，因为a ∥ b（已知）， 所以∠ 1= ∠ 2（两直线平行，同位角相等）. 【特别警示】 1.两条直线平行是前提，只有在这个前提下才有同位角相等. 2.书写时，顺序不能颠倒，与判定不能混淆. 如图，直线，被直线所截，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，由邻补角的性质求出，由平行线的性质推出．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 平行线的性质2 1. 性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 2. 表达方式：如图， ∵ a ∥ b（已知）， ∴∠ 1= ∠ 2（两直线平行，内错角相等）. 【易混易错提醒】 并不是所有的内错角都相等，只有在 “两直线平行”的前提下，才有内错角相等. 如图，，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得答案． 【详解】解：， ， 平分， ． 故选：B 平行线的性质3 1. 性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 2. 表达方式：如图， 因为a∥b（已知）， 所以∠ 1+ ∠ 2=180° （两直线平行，同旁内角互补）. 生活情境·管道铺 设如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯制一个变形管道，使其拐角，则（   ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补，两直线平行”成为解答本题的关键．根据同旁内角互补，两直线平行即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选C． 平行线的判定与性质的综合应用 平行线的判定与性质的区别与联系 平行线的性质是由两条直线的位置关系(平行)得出角的数量关系；平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系(平行) . 【特别提醒】 1.在应用过程中，需正确区分条件和结论. 2.对于较复杂的图形，在应用平行线的性质或判定时，迅速准确地分离出“三线八角”以简化图形是解题的关键. 3.有时适当添加直线或线段(辅助线)能够更好地帮助解决问题. 平行公理的应用 例1在同一平面内有a，b，c三条直线，若，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 审题关键：根据平行于同一条直线的两条直线平行，进行判断即可． 【详解】解：若，且a与c相交， ∴b与c相交， 故选：B． 1-1如图，是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点，，在同一直线上， 故选：． 1-2如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理，根据平行公理可得． 【详解】解：∵，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点P，C，Q在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 同位角相等两直线平行 例2如图，已知，要使，还需添加一个条件，你想添加的条件是 ． 审题关键：关键是掌握同位角相等两直线平行．添加：，再加上条件可得，再根据同位角相等两直线平行可得． 【详解】解：添加：， 故答案为：（答案不唯一）． 2-1一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的角度可能为（   ） A．第一次右拐，第二次右拐 B．第一次右拐，第二次右拐 C．第一次右拐，第二次左拐 D．第一次右拐，第二次左拐 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线的性质．两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，据此判断即可． 【详解】解：因为两次拐弯后，按原来的方向前进， 所以两次拐弯的方向相反，形成的角是同位角，且相等，因此四个选项中只有D选项正确． 故选：D． 2-2如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②； ③；④． 其中能判断的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴. 故选：B 2-3根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵（已知）， ∴ （ ）． （2）∵（已知）， ∴( ) （3）∵（已知）， ∴( ) （4）∵（已知）， ∴ （ ）． 【答案】 内错角相等，两直线平行 同位角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐一进行作答即可，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：（1）∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （2）∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）； （3）∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； （4）∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）； 故答案为：（1），，内错角相等，两直线平行； （2）同位角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行； （4），，同位角相等，两直线平行． 内错角相等两直线平行 例3下列图形中，有，能得到的图形有（    ） A． B． C． D． 审题关键：掌握判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同位角，内错角，同旁内角，故不能判断，故A错误； B、，即，内错角相等可判定出，故B正确； C、与不是同位角，内错角，同旁内角，故不能判断，故C错误； D、与不是同位角，内错角，同旁内角，故不能判断，故D错误； 故选：B． 3-1如图，下列条件中，不能判定直线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，直接利用平行线的判定方法分别分析即可得出答案，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴直线，故此选项不合题意； 、∵， ∴直线，故此选项不合题意； 、，不能得出直线，故此选项符合题意； 、∵， ∴直线，故此选项不合题意； 故选：． 3-2如图，已知，和互余，和互余．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了同角的余角相等，平行线的判定，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据和互余，和互余得到，又因为，所以，即可得证． 【详解】解：和互余， ， 和互余， ， ， ， ， ． 同旁内角互补两直线平行 例4将文具套尺中的量角器和三角板按照如图方式摆放，其中，三角板的直角顶点C与量角器的中心重合，为量角器的直径．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 审题关键：熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解： ， 故A不符合题意； ， ， ， 故B不符合题意； ， ， 故C不符合题意； 由不能得出， 故D符合题意； 故选：D． 4-1如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；由此即可求解． 【详解】解：A、，则，不符合题意； B、，则，不符合题意； C、，则，不符合题意； D、，则，不符合题意； 故选：D ． 4-2如图，平分，平分，且，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，再根据同旁内角互补两直线平行可得． 【详解】解：因为平分，所以． 因为平分，所以， 所以． 又因为， 所以，， 所以． 垂直于同一直线的 两直线平行 例5已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（   ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 审题关键：此题主要考查了平行公理及推论，熟练掌握平行线相关知识是解题关键 【详解】解：A、如果，，那么，说法正确； B、如果，，那么，说法正确； C、如果，，那么，故原说法错误； D、如果，，那么，说法正确． 故选：C． 5-1如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线a和b，得到，理由是（ ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定关，熟练掌握平面内垂直于同一条直线的两条直线平行是解题的关键． 根据平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴（平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）， 故选：B ． 5-2在作业纸上，要过点P作直线a的平行线b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定是关键； 方案Ⅰ是根据同位角相等判定平行，方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行即可得出答案． 【详解】由图知：方案Ⅰ是根据同位角相等，判定；方案Ⅱ是根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，判定． 故选C． 两直线平行同位角 例6如图，直线．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 审题关键：本题考查了平行线的性质，结合直线，得，，，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，，， 其中所有正确结论的序号是①③④， 故答案为：①③④． 6-1如图，，，则图中与相等的角（不包括）共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题关键． 先根据平行线的性质，得到相等的角，再等量代换即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴与相等的角有、、、、共5个． 故答案为：5． 6-2推理填空：如图，直线，被直线所截，是的平分线，若，，求的度数． 解：因为AD是的平分线， 所以（____________________）． 因为， 所以__________（____________________） 所以__________ __________（____________________） 所以（____________________） 因为，所以． 【答案】角平分线的定义；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先利用角平分线的定义可得∠1=∠5，从而可得∠3=∠5，进而可得CD∥AB，然后利用平行线的性质可得∠4=∠2，即可解答．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵AD是的平分线， ∴（角平分线的定义）． ∵， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴． 故答案为：角平分线的定义；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 两直线平行内错角相等 例7如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，则等于（   ） A． B． C． D． 审题关键：本题考查平行线的性质，根据两直线平行内错角相等可得结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 7-1物理中有一种现象叫光的折射现象，指当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，水面与容器底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成了光线射到水底处，射线是光线的延长线，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，根据平行线的性质可得，由对顶角的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∴， 故答案为：． 7-2完成下面的证明． 已知：如图，平分平分．求证：． 证明：（已知）， （_______）． 又（已知）， _______． （已知）， ． 又平分（已知）， _______． 又平分（已知）， _______， （_______+_______）， ， ，即． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；； 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，能够熟练运用平行线的性质是解决本题的关键．根据平行线的性质，角平分线的性质，逐个进行分析填空即可． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． 又（已知）， ， ． （已知）， ． 又平分（已知）， ． 又平分（已知）， ， ， ， ，即． 故答案为∶ 两直线平行，内错角相等；；；；；；． 两直线平行同旁内角互补 例8如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 审题关键：由平行线的性质推出，得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 8-1（1）如图1，点、、都在正方形网格的格点上，按下列要求仅用直尺画图，保留必要的辅助线，并标出相应的字母： ①过点画直线； ②在上画点，使的长度最小． （2）如图2，已知，点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）①见详解，②见详解；（2）见详解 【分析】本题考查了平行线的作图，平行线的性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①运用网格的性质，过点作，即可作答． ②运用网格的性质，且结合垂线段最短，则，即可作答． （2）过点P作，且交于点，运用两直线平行，同旁内角互补，即可作答． 【详解】解：（1）①过点画直线，如图所示： ； ②在上画点，使的长度最小，如图所示： ； （2）点在边上．利用直尺和圆规在上作一点，使，如图所示： 8-2阅读题目，完成下面推理过程． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图①是一个“互”字．如图②是由图①抽象的几何图形，其中，点在同一直线上，点在同一直线上，且． 求证：． 证明：如图（2），延长交于点． （已知）， （_______） 又（_______）， _______（等量代换）， （_______）， （_______）． 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （_______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键． 平行线的性质：两直线平行，同位角相等； 两直线平行，同旁内角互补； 两直线平行，内错角相等； 平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 【详解】证明：如图（2），延长交于点． （已知）， （两直线平行，内错角相等） 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换． 根据平行线的性质探究角的关系 例9如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 审题关键：根据平行线的性质得，，再由，即可解答． 【详解】解：， ，， ， ， ， ． 9-1如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，过，，的顶点，分别作的平行线，根据平行线的性质得出，，，，进而得出，，代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，过，，的顶点，分别作的平行线， ∵， ∴， ∴； 同理可得， ∴，，， ∴， 则， ， 即 ∴； 故答案为：． 9-2如图，， ，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，过点作， 由平行线的性质可知，，由，和等量代换可得到和的数量关系，继而即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴  ， 即． 故答案为：． 9-3如图，，思考解决下列问题：试探究 ． 【答案】 【分析】本题主要考查学生归纳总结找规律的能力，利用平行线的性质的解答本题的关键.分别过、…作直线平行于，利用平行线的性质即可求出各组的值；再根据规律，归纳总结得到． 【详解】当有个角时，根据两直线平行同旁内角互补， 得出， 当有个角时，过点作直线平行于，同理可得， 当有个角时，分别过点、作直线平行于，同理可得， 根据规律，可得当有个角时， ， 故答案为：． 根据平行线的性质求角的度数 例10如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 审题关键：分两种情况：①当时，②当时，进行讨论即可． 【详解】解：①如图，当时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即：， 解得：； ②如图，当时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为秒或秒， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的定义，周角的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握角的和差运算，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 10-1为响应“绿色环保，节能减排”的号召，人们纷纷将购买节能灯作为践行环保理念的重要方式．如图，这是一盏可调节的节能台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线组成．现调节台灯，使外侧光线．若，则的度数为    【答案】/45度 【分析】本题考查平行线的性质、平行公理的应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．过B作，过A作，根据平行线的性质推导出，即可求解． 【详解】解：如图，过B作，过A作，    ∴， ∴， ， ∵固定支撑杆垂直底座于点， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 10-2【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 10-3如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，10，，，40 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，理解题意，根据题意分情况分析，建立方程求解是解题关键． （1）过点E作，根据平行线的判定和性质即可得出结果； （2）过点F作交于点K，根据平行线的判定和性质得出，设，，结合图形及等量关系即可得出结果； （3）由（1）得，，确定，再由角平分线得出，确定，分三种情况分析求解即可 【详解】（1）解：过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点F作交于点K， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， 设，， ∵， ∴ 则， ∵， ∴ 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）得，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵直线绕点逆时针旋转，速度为每秒， ∴， ∵绕点顺时针旋转，速度为每秒， ∴， 当时，如图所示： ， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置时， ，， 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： ， ∴， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： 同理得：， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为，10，，，40． 平行线的性质在生活中的应用 例11生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 审题关键：根据两直线平行，内错角相等可得，又因为，所以，再根据，即可解得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 11-1光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”即可得到结论． 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ∵， ． 水中的两条光线平行， ． 故选：B． 11-2一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（     ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再右转 D．先右转，再右转 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意画出图形是解答此题的关键． 根据题意画出图形，根据平行线的性质判定即可． 【详解】解：如图所示： A、 故本选项错误； B、 故本选项正确； C、 故本选项错误； D、 故本选项错误． 故选B． 11-3如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 根据平行线判定与性质求角度 例12将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 审题关键：由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如果，则，故，故③正确； 如果，则，故，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 12-1如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，，顺次首尾连接．若，，三点共线，恰好经过点，且，，，则 ．    【答案】/115度 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 过点作，则，得到，，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． 15．已知直线，为平面内一点，点分别在直线上，连接． (1)如图1，若点在直线之间，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点在直线之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，进而求解即可； （3）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下： 如图，过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， 同理（1）可得，， ，， ， ∵平分，平分， ，， ， 同理（1）可得，； （3）解： 如图，过点作， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 由（1）可得，． 12-2已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数； (3)如图，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． （1）过作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数； （2）过作，过点P作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可得到； （3）过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过作， ， ∴， ∴，， ， ∴； （2）解：如图2，过作，过点P作，设， ，， ， ， ，， ， 平分，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图3，过作，过作，设，， 交于，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，平分， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 根据平行线判定与性质证明 例13如图，在中，点在边上，点分别在边上，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：，（已知） ∴________，（________________） ∴，（________________） ∵，（已知） ∴，（________________） ∴，（________________） ∴，（________________） ∴．（________________） 审题关键：先证明，则，再证明，则，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行 ）， ∴（两直线平行，同旁内角互补 ）． ∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（垂直的定义）． 故答案为：，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；垂直的定义． 13-1将下面的推理过程及依据补充完整． 已知：如图，，点在上，点在上，，求证：． 证明：∵（已知），（　　）， ∴（等量代换）， ∴（　　）， ∴___________（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（　　）， ∴（　　）． 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质及其判定定理是解题关键．根据平行线的判定与性质求证即可． 【详解】证明：∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；∠C；两直线平行，内错角相等；等量代换． 13-2完成下面的证明．如图，，，，．求证：． 证明：（已知）， （_______） ， _______． ， _______， （_______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；60；180；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理． 根据平行线的判定和性质进行作答即可． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等） ， ． ， ， （同旁内角互补，两直线平行）． 13-3如图，已知点在直线上，射线平分，过点作，是射线上一点，连接，满足． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，结合平角的定义得出，结合即可得证； （2）由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出即，结合得出，从而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13-4如图，在中，，，垂足分别为，，试说明：，请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据． 理由如下：因为（已知）， 所以（ ）． 同理，得， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以 （ ）． 又（已知）． 所以 （等量代换）． 所以（ ）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又 （已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 即（等量代质）． 所以（ ）． 【答案】垂直定义；，两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据垂直定义可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用同位角相等，两直线平行可得，即可解答． 【详解】解：因为（已知）， 所以（垂直定义）． 同理，得， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）． 所以（等量代换）． 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 即（等量代质）． 所以（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直定义；，两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；同位角相等，两直线平行． 利用平行线间距离解决问题 例14如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 审题关键：根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， ∵三角形的面积大于平行四边形的面积 ∴， ∴， 当时，三角形的面积大于平行四边形的面积． 故选：D． 14-1如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（     ）平方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，平行四边形的性质，根据图形可知推出图中阴影部分的面积平行四边形的面积的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，四边形、四边形都是平行四边形， 设平行四边形边，平行四边形的边边上的高分别为，， 则图中阴影部分的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵厘米， ∴图中阴影部分的面积（平方厘米）， 故选：． 14-2如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可知三角形和梯形的高相等，据此分别表示出两个图形的面积即可得到答案． 【详解】解：设两平行线间的距离为h， ∴三角形面积为，梯形面积为， ∴①的面积是②的面积的2倍， 故选：C． 14-3如图，是直角梯形的高，E为梯形对角线上一点，如果、、的面积依次为56，50，40，那么的面积是（    ) A．32 B．34 C．35 D．36 【答案】B 【分析】该题主要考查了图形的面积计算，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线之间距离相等解答． 作，连接，算出，即可求解； 【详解】解：如图，作，连接，则， 可知， 因此有：， 而； 因此，． 故选：B． 14-4如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴； 同理： ∴． 故答案为：． 【例1】如图，直线，被直线，所截．下列条件能判定的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案． 【解答】解：、当时，，故此选项不合题意； 、当时，，故此选项不合题意； 、当时，，故此选项不合题意； 、当时，，故此选项符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键． 【例2】若与是同旁内角，，则的度数是　　 A． B． C．或 D．不能确定 【答案】 【分析】根据同旁内角的意义得出答案． 【解答】解：当两直线平行时，同旁内角互补， 题中没有提到平行， 无法判断， 故选：． 【点评】本题考查两条直线平行，同旁内角互补的性质，如果两条直线不平行，同旁内角就不互补． 【例3】阅读下列材料，其①④步中数学依据错误的是　　 如图，已知直线，，求证：． 证明： ①（已知），（垂直的定义）． ②又（已知），（同位角相等，两直线平行）． ③（等量代换）． ④（垂直的定义）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】 【分析】由垂直的定义得出，由两直线平行，同位角相等得出，从而得出． 【解答】证明： ①（已知），（垂直的定义）． ②又（已知），（两直线平行，同位角相等）． ③（等量代换）． ④（垂直的定义）． 其中数学依据错误的是第②步， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握每一步的依据是解题的关键． 一、单选题 1．如图，下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不能判断，选项错误； B、，可以判断，不能判断，选项错误； C、，可以判断，不能判断，选项错误； D、，可以判断，选项正确， 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． 2．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（    ）    A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】作图时保持∠1＝∠2，则可判定两直线平行． 【详解】如图：    ∵∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，善于从问题中抓住问题的本质是关键． 3．将一直角三角尺与纸条按如图方式放置，下列条件：①；②；③；④．其中能说明纸条两边平行的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟悉平行线的判定定理是解题的关键；根据平行线的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴纸条两边平行（同位角相等，两直线平行），故①正确； ∵， ∴纸条两边平行（内错角相等，两直线平行），故②正确； ∵， ∴纸条两边平行（同旁内角互补，两直线平行）， 故④正确． ∴有3个． 故选：C． 4．如图，已知，是上一点，直线与的夹角，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（  ）度    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，运用两直线平行，同位角相等，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转角以及平行线的判定定理的运用，掌握平行线的判定方法是关键． 5．如图，，，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别过C、D作的平行线和，由平行线的性质可得到，可求得答案． 【详解】解：如图，分别过C、D作的平行线和， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补. 6．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质；延长，交于I，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答； 【详解】解：延长，交于I． ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ∴①错误；②正确， ∵平分， ， ， ， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③，④不一定正确． 故选：． 二、填空题 7．如右图，已知条件：①；②；③；④；其中能够判定直线的是 ．（只填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了平行线的判定和平行线有关的辅助线，根据各选项逐项判定即可． 【详解】解：若，根据内错角相等两直线平行可得，故①符合题意； 若，根据同旁内角互补两直线平行可得，故②符合题意； 若， ∵ ∴，根据同位角相等两直线平行可得，故③符合题意； 若， 过点C作直线b， 则， 由已知，， ∴， ∴直线a， ∴， 故④符合题意； 故答案为：①②③④ 8．如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②③④ 【分析】①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论． 【详解】解：①如图， ∵∠CAB=∠DAE=90°， 即∠1+∠2=∠3+∠2+90°， ∴∠1=∠3≠45°， 故①不正确； ②∵AD平分∠CAB， ∴∠1=∠2=45°， ∵∠1=∠3， ∴∠3=45°， 又∵∠C=∠B=45°， ∴∠3=∠B， ∴BC∥AE， 故②正确； ③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上， 则∠4=∠ADE-∠ACB=60°-45°=15°， 故③正确； ④∵∠3=2∠2，∠1=∠3， ∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°， ∴3∠2=90°， ∴∠2=30°， ∴∠3=60°， 又∠E=30°， 设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°， ∵∠B=45°， ∴∠4=45°， ∴∠C=∠4， 故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定． 9．如图，直线，平分，，，则 °． 【答案】100 【分析】过点作，可得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：100． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 10．如图，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】直接作出，再利用平行线的性质分析得出答案． 【详解】作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，正确得出，是解题关键． 11．如图，已知，若，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】如图：过点C作，由平行公理可得，根据平行的性质可得，进而得到，然后由余角的性质可得，最后根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：120°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线、构造平行线是解答本题的关键． 12．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 【答案】/110度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的意义；分别过点D、E作的平行线，则可得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，分别过点D、E作的平行线， ∵，， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题 13．按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整 如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C． 求证：． 证明：∵∠1＝∠2（已知） ∠ABF＝∠1（对顶角相等） ∠BFG＝∠2（____________） ∴∠ABF＝______（等量代换） ∵BE平分∠ABF（已知） ∴______（____________） ∵FC平分∠BFG（已知） ∴______（____________） ∴∠EBF＝______ ∴（____________） 【答案】对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行； 【分析】根据对顶角的定义，平行线的判定，角平分线的性质，结合上下文填空即可． 【详解】证明：∵∠1＝∠2（已知） ∠ABF＝∠1（对顶角相等） ∠BFG＝∠2（对顶角相等） ∴∠ABF＝∠BFG（等量代换） ∵BE平分∠ABF（已知） ∴∠ABF（角平分线的定义） ∵FC平分∠BFG（已知） ∴∠BFG（角平分线的定义） ∴∠EBF＝∠CFB， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等；∠BFG；∠ABF；角平分线的定义；∠BFG；角平分线的定义；∠CFB；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查对顶角的定义及性质，平行线的判定，角平分线的性质，能够熟练掌握平行线的判定是解决本题的关键． 14．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，已知，．    (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得结论； （2）根据对顶角相等结合已知得出，证得，即可得解； （3）根据平行线的性质和已知得出，最后根据平行线的性质即可求得． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． 15．如图1，于点C，． (1)求证：； (2)如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接．则三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点P在A，D之间时，；当点P在C，D之间时，；当点P在C，F之间时， 【分析】（1）根据，，即可得到，进而得出． （2）分三种情况讨论：点P在A，D之间；点P在C，D之间；点P在C，F之间；分别过P作，利用平行线的性质，即可得到三个角之间的数量关系． 【详解】（1）证明：如图1，∵于点C， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，当点P在C，D之间时，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，当点P在C，F之间时，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．注意分类讨论． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$