培优专题：平行线的几何模型作辅助线的5种类型（5题型+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版2024）

培优专题 平行线的几何模型作辅助线的5种类型 类型一 猪蹄模型 例1如图，，猜想与有怎样的位置关系，并说明理由． 1-1（2023春•罗定市期末）（1）如图①，已知，，，探究与有怎样的位置关系； （2）如图②，已知，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，已知，试猜想，，，，之间的数量关系，请直接写出这种关系，不用说明理由． 1-2（2024春•永定区期末）如图，为，之间的一点，已知，，则的度数为　　 A． B． C． D． 1-3（2024秋•永寿县校级期末）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，是，之间的一点，连接，，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3） 如图③，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 类型二 铅笔头模型 例2（2022春•江源区期中）（1）如图，若，，，你能求出的度数吗？ （2）在的条件下，你能得出、、之间的数量关系吗？并说明理由． 2-1（2024•城关区校级模拟）如图所示，，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 2-2（2024•平舆县一模）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中，测得，，则的度数为　　 A． B． C． D． 2-3（2024•市中区模拟）如图，已知，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 2-4（1）如图①，已知，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由； （2）如图②，已知，根据（1）中的猜想，直接写出的度数． 类型三 小马图 例3 如图，，则，，有何关系？为什么？ 3-1【信息阅读】 材料信息： 如图①，，点是直线，外任意一点，连接，． 方法信息： 如图②，在“材料信息”的条件下，，，求的度数． 解：过点作． ． ， ． ． ． 【问题解决】 （1）通过【信息阅读】，猜想：，，之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：　 　； （2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点的位置，，，之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由． 类型四 多拐角模型 例4（2022春•温县校级期末）（1）如图，，若，，求的度数． （2）如图，，探究，，三者之间有怎样的数量关系？试说明理由． 4-1（2024秋•青山区期末）如图，若，则、、之间的关系为　　 A． B． C． D． 4-2（2024秋•沈丘县期末）如图，，用含，，的式子表示，则的值为　　 A． B． C． D． 4-3（2024春•武都区期末）如图，直线，点在直线上，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 4-4（2024春•白塔区校级期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则　　 A． B． C． D． 类型五 平行线与角平分线的综合问题 例5（2024秋•徐州校级期末）如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为：　 　． 5-1（2024秋•合肥期末）综合运用 【问题情景】 如图1，，点在直线，之间，连接，．，，求的度数．小明的思路如下：先过点作，再根据平行线的性质即可得到，，进而得到． 【问题解决】 （1）如图2，，点在直线，之间，连接，，与的平分线相交于点．若，则　 　． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． （3）如图3，，点落在外，与的平分线相交于点，若，，试判断和存在的数量关系，并说明理由． 1.（2023•高新区模拟）一块直角三角板按照如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 2．（2023春•七星关区期末）已知，线段分别与、相交于点、． （1）如图①，当，时，求的度数； （2）如图②，当点在线段上运动时（不包括、两点），、与之间有怎样的数量？试证明你的结论； （3）如图③，当点在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系． 3．（2024春•惠城区期末）在图1，图2中，已知，点在上，点在上，点为射线上一点． （1）（基础问题）在图1中，试说明：．（完成填空部分） 证明：过点作直线， 又，，　 　 ，　　， ． （2）（类比探究）在图2中，当点在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由． （3）（应用拓展）如图3图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于，连接，若恰好平分，，求的度数． 4．（2024秋•成都期末）如图所示，在图①、图②、图③、图④中，均有直线，根据点在与之内和之外的不同位置，，，三个角之间存在不同的数量关系，请分别对应写出图①、图②、图③、图④中，，三个角之间的数量关系： ①　 　，②　　，③　　，④　　． 5．（2024春•凉州区校级期末）如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设为锐角）． （1）求与的和；（提示过点作 （2）当点在直线上运动时，试说明； （3）当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值 6．（2023春•新会区校级期中）（1）如图①，若，，．求的度数． （2）如图①，在的条件下，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由． （3）如图②，，根据（2）中的猜想，直接写出的度数． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 平行线的几何模型作辅助线的5种类型 类型一 猪蹄模型 例1如图，，猜想与有怎样的位置关系，并说明理由． 【分析】延长交于，通过三角形外角的性质可证明，则能证明． 【解答】解：延长交于． ， ， ， ． 解法二：如图，过点作在内）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 因为（已知），（已作）， 所以，所以（内错角相等，两直线平行） 所以（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行）． 【点评】本题主要考查三角形外角的性质及两直线平行的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角． 1-1（2023春•罗定市期末）（1）如图①，已知，，，探究与有怎样的位置关系； （2）如图②，已知，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，已知，试猜想，，，，之间的数量关系，请直接写出这种关系，不用说明理由． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质和判定解答即可； （2）过点作，根据平行线的判定和性质解答即可； （3）根据平行线的性质和判定得出角的关系即可． 【解答】解：（1）如图①，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图②，，理由如下： 过点作， ， ， ， ， ， ； （3）． 由（1）（2）可得：． 【点评】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是关键，注意掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 1-2（2024春•永定区期末）如图，为，之间的一点，已知，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】过作，得到，推出，，求出，即可得到的度数． 【解答】解：过作， ， ， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质定理的应用． 1-3（2024秋•永寿县校级期末）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，是，之间的一点，连接，，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数． 【分析】（1）过点作，证明，则，，进而得，由此可得的度数； （2）过点作则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点作，依题意得，，证明，由（1）得，，则，由此可得的度数． 【解答】解：（1）过点作，如图①所示： ， ， ，， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点作，如图②所示， ， ，， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又 ， ； （3），理由如下： 过点作，如图③所示： ， ，， ， ，， ， 由（1）得：，， ， ， ． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 类型二 铅笔头模型 例2（2022春•江源区期中）（1）如图，若，，，你能求出的度数吗？ （2）在的条件下，你能得出、、之间的数量关系吗？并说明理由． 【分析】（1）作，则，根据两直线平行，同旁内角互补可以分别求出和的度数，即可求出的度数； （2），由两直线平行，同旁内角互补可得：，，所以，即． 【解答】解：（1）如图，作，则， ，， ，， ，， ； （2）， 如图，，则， ，， ， 即． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，构造平行线，结合平行线的性质是解题的关键． 2-1（2024•城关区校级模拟）如图所示，，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】过点作，则可分别求出、的度数，继而可得出． 【解答】解：过点作， ， ，． ． 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键． 2-2（2024•平舆县一模）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中，测得，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作，由平行线性质可得，，，的关系，进而求得． 【解答】解：如图所示：过点作． ， ； ，； ． 故选：． 【点评】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，解题时需要作辅助线求解． 2-3（2024•市中区模拟）如图，已知，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】解法一：过点作，则，易得，进而得到，求得，于是，代入计算即可求解． 解法二：延长交于点，由平行线的性质得到，再利用三角形的外角性质可得，进而求得，最后根据平角的定义即可求解． 【解答】解：解法一：如图，过点作， ， ，， ， ， ， ． 解法二：如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查平行线的性质、三角形外角性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题关键． 2-4（1）如图①，已知，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由； （2）如图②，已知，根据（1）中的猜想，直接写出的度数． 【分析】（1）过作，得到，推出，，即可得到． （2）由（1）的结论，即可得到答案． 【解答】解：（1），理由如下： 过作， ， ， ，， ， ． （2）由（1）得到． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 类型三 小马图 例3 如图，，则，，有何关系？为什么？ 【分析】如图，过点作，先由，，运用平行线的传递性可得；接下来运用平行线的性质可得，，再运用角之间的关系即可得到，，之间的关系． 【解答】解：． 理由：如图，过点作． ， ． ，， ， ， ． ， ． 【点评】本题侧重考查平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 3-1【信息阅读】 材料信息： 如图①，，点是直线，外任意一点，连接，． 方法信息： 如图②，在“材料信息”的条件下，，，求的度数． 解：过点作． ． ， ． ． ． 【问题解决】 （1）通过【信息阅读】，猜想：，，之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：　　； （2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点的位置，，，之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由． 【分析】过做平行线，由平行线的性质可求解 【解答】解（1）过作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）过点作， ， ， ． ， ， ． 【点评】此题考查平行线的性质 类型四 多拐角模型 例4（2022春•温县校级期末）（1）如图，，若，，求的度数． （2）如图，，探究，，三者之间有怎样的数量关系？试说明理由． 【分析】（1）首先过点作，由，可得，利用平行线的性质，即可求得与的度数，继而求得答案； （2）利用平行线的性质，再根据角的和差求解即可． 【解答】解：（1）过点作， ， ， ，， ； （2），理由如下： 如图， ， ， ，， ． 【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 4-1（2024秋•青山区期末）如图，若，则、、之间的关系为　　 A． B． C． D． 【分析】作．利用平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：作． ，， ， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 4-2（2024秋•沈丘县期末）如图，，用含，，的式子表示，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】先过点作，过点作，利用平行线的性质求得和，最后根据，求得即可． 【解答】解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线，构造平行线，利用平行线的性质进行推导． 4-3（2024春•武都区期末）如图，直线，点在直线上，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线的性质得出，，进而利用角的关系解答即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ，故正确． 故选：． 【点评】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补． 4-4（2024春•白塔区校级期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线的性质可知，再根据平行线的性质可知即可解答． 【解答】解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据做出平行线是解题的关键． 类型五 平行线与角平分线的综合问题 例5（2024秋•徐州校级期末）如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为：　　． 【分析】根据拐角和的特性，作，，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角，，，对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出，两者的数量关系． 【解答】解：过点作，过点作 ， ， ，，，， ， ， ， ， ，分别平分和， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是解题的关键． 5-1（2024秋•合肥期末）综合运用 【问题情景】 如图1，，点在直线，之间，连接，．，，求的度数．小明的思路如下：先过点作，再根据平行线的性质即可得到，，进而得到． 【问题解决】 （1）如图2，，点在直线，之间，连接，，与的平分线相交于点．若，则　　． （2）在（1）的条件下，若，求的度数． （3）如图3，，点落在外，与的平分线相交于点，若，，试判断和存在的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （2）根据解析（1）的思路进行求解即可； （3）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，即可求出． 【解答】解：（1）如图，过作， ， ， ，， ， 过作， 同理可得， 与的角平分线相交于点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． （2）根据解析（1）可知， ， ； （3），理由如下： 如图，过作， ， ， ，， ， 过作， 同理可得， 与的角平分线相交于点， ，， ， ， ，， ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． 1.（2023•高新区模拟）一块直角三角板按照如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】如图，过点作直线，由题意易得，，由平行线的性质可得，进而求出，再由平行线的性质得． 【解答】解：如图，过点作直线， 由题意可知，四边形为长方形，为直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 2．（2023春•七星关区期末）已知，线段分别与、相交于点、． （1）如图①，当，时，求的度数； （2）如图②，当点在线段上运动时（不包括、两点），、与之间有怎样的数量？试证明你的结论； （3）如图③，当点在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系． 【分析】（1）过作，推出，根据平行线性质得出，，代入求出即可； （2）过作，推出，根据平行线性质得出，，求出即可； （3）分三种情况讨论：①当在线段的延长线上运动时，②当点在线段的延长线上运动时，③当点在线段上运动时，根据平行线的性质即可得到结论． 【解答】（1）解：过作， ， ， ，当点在线段上运动时， ，， ， ； （2）， 证明：过作， ， ， ，， ； （3）解：①当在线段的延长线上运动时，不成立，关系式是：， 理由是：过作， ， ， ，， ， 即； ②当点在线段的延长线上运动时，新的相等关系为． 理由：设与相交于，则． ， ， ． ③当点在线段上运动时，成立，关系式为， 证明：过作， ， ， ，， ； 综上所述，当点在直线上运动时，（2）中的结论不一定成立． 【点评】本题考查了平行线性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（2024春•惠城区期末）在图1，图2中，已知，点在上，点在上，点为射线上一点． （1）（基础问题）在图1中，试说明：．（完成填空部分） 证明：过点作直线， 又，，　　 ，　　， ． （2）（类比探究）在图2中，当点在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由． （3）（应用拓展）如图3图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于，连接，若恰好平分，，求的度数． 【分析】（1）过点作直线，根据两直线平行，内错角相等，得出，，即可证明结论； （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等，得出，，即可证明结论； （3）由折叠的性质可知，图3图4中，，，进而得出，结合角平分线的定义，得到，再根据平行线性质，即可求出的度数． 【解答】（1）证明：如图1，过点作直线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，，， ，， 将长方形纸条沿折叠，得到图4， 图4中，，， ， 恰好平分， ， ， ． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的判定与性质，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． 4．（2024秋•成都期末）如图所示，在图①、图②、图③、图④中，均有直线，根据点在与之内和之外的不同位置，，，三个角之间存在不同的数量关系，请分别对应写出图①、图②、图③、图④中，，三个角之间的数量关系： ①　　，②　　，③　　，④　　． 【分析】通过作辅助线，利用平行线的性质，两直线平行，内错角相等，或两直线平行，同旁内角互补，从而得到，，之间的关系． 【解答】解：图①，过点作， ， ， ，， ， 即； 图②，过点作， ， ， ，， ， 即； 图③，过点作， ， ， ，， ，， ， 即； 图④，过点作， ， ， ，， ，， ， 即． 故答案为：①，②，③，④． 【点评】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．（2024春•凉州区校级期末）如图，，点为直线上一定点，为直线上的动点，在直线与之间且在线段的右方作点，使得．设为锐角）． （1）求与的和；（提示过点作 （2）当点在直线上运动时，试说明； （3）当点在直线上运动的过程中，若平分，也恰好平分，请求出此时的值 【分析】（1）过点作，则，，依据平行线的性质可得到，则，最后，依据垂线的定义求解即可；（2）由（1）得，然后结合，进行证明即可； （3）先求得的度数（用含的式子表示），然后再利用（2）中的结论列方程求解即可． 【解答】解：（1）如图，过点作，则． ，， ． ， ． ， ， ． （2）由（1）得：，则． ， ， ． （3）若平分，也恰好平分，则有，，． ， ， ． 由（2）知：，则，解得：． 【点评】本题主要考查的是平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 6．（2023春•新会区校级期中）（1）如图①，若，，．求的度数． （2）如图①，在的条件下，你能得出，，之间的数量关系吗？请说明理由． （3）如图②，，根据（2）中的猜想，直接写出的度数． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质即可求出和，进而得出答案； （2）利用（1）中所求，可得，，问题得解； （3）分别过，作，，则，根据（2）中的结论，即可得到结果． 【解答】解：（1）过点向左作， ． 又， ， ， ，即， ． （2）．理由如下： 过点向左作， ． 又， ， ， ，即， （3）如图2，分别过，作，，则， ， ． 【点评】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补，添加辅助线之后，将分散的角集中起来，是解决问题的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$