15.2一元一次不等式（第2课时 解一元一次不等式）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（沪教版2024）

沪教版（2024）七年级数学下册 第15章 一元一次不等式 15.2一元一次不等式 第2课时 解一元一次不等式 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.理解和掌握一元一次不等式的概念； 2.会用不等式的性质熟练地解一元一次不等式.(重点、 难点） 解方程： 5x-1=2x+5 解：移项，得 5x-2x=5+1 合并同类项，得 3x=6 系数化为1，得 x=2 解不等式： 5x-1≥2x+5 解：移项，得 5x-2x≥5+1 合并同类项，得 3x≥6 系数化为1，得 x≥2 情景导入 解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？ 它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质. 它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1. 这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向.这是与解一元一次方程不同的地方. 新知探究 　　 解一元一次不等式的步骤： （1）化简不等式（去分母、去括号、移项、合并同类项)成ax>b(或ax<b等)的形式； （2）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.不等式的两边同除以未知数的系数时，要考查系数a的正负．当a>0时，不等号的方向不变；当a<0时，不等号的方向改变. 概念归纳 例题3：解不等式3x+12>40-x，并在数轴上表示出它的解集. 解：移项，得 3x+x＞40-12 将同类项放在一起 合并同类项，得 4x ＞28 系数化为1，得 x ＞7 根据不等式基本性质 原不等式的解集在数轴上表示如图所示. 0 7 例题讲解 例题4：解不等式≥，并在数轴上表示出它的解集. 解：不等式两边同乘16，得： 2x-5≥8(4x+3)+16 去括号，得： 2x-5≥32x+24+16 移项、合并同类项，得： -30x≥45 两边同除以x的系数-30，得： x≤- 例题讲解 注意改变不等号的方向. 例题4：解不等式≥，并在数轴上表示出它的解集. 原不等式的解集在数轴上表示如图所示. -1 0 1 2 3 -2 - 注：解集x≤-中包含-，所以在数轴上将表示-的点画成实心圆点. 例题讲解 解：去分母，得14x－7(3x－8)＋14 ≥ 4(10－x). 去括号，得14x－21x＋56＋14 ≥ 40－4x. 移项，得14x－21x＋4x ≥ 40－56－14. 合并同类项，得－3x ≥ －30. 系数化为1，得x ≤ 10. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图9.2－1 所示. 注意改变不等号的方向. 补充例题：解不等式：x－＋1 ≥，并把解集在数轴上表示出来. 例题讲解 10 补充例题：（易错题）解一元一次不等式时去分母出现错误 解不等式： 例题讲解 错 解 去分母，得2×2x+5－3x+1＞6x－6× . 去括号，得4x+5－3x+1＞6x－2. 移项、合并同类项，得-5x＞-8， 系数化为1，得x＜ . 错因分析 去分母这一步没有遵循乘法的分配律，因而漏乘了一些项，可用括号将分子括起来再乘最小公倍数. 正 解 去分母，得2（2x+5）－3（x－1）＞6（x－ ）. 去括号，得4x+10－3x+3＞6x－2， 移项、合并同类项，得-5x＞-15. 系数化为1，得x＜3. 解不等式： 例题讲解 补充例题：已知不等式 (x－m)>3－m 的解集为x>1，则m 的值为______. 4 例题讲解 解题秘方：先用含m 的式子表示出不等式的解集，再根据已知条件列出关于m 的方程，求解即可. 解：去分母，得x－m>3(3－m). 去括号，得x－m>9－3m. 移项、合并同类项，得x>9－2m. ∵不等式的解集为x>1， ∴ 9－2m=1，解得m=4. ∵ x>9－2m 与x>1 表示同一个不等式的解集，∴ 9－2m=1. 解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x<a(x ≤ a)或x>a(x ≥ a)的形式. 解一元一次不等式的步骤如下： 去分母→去括号→移项→合并 同类项→系数化为1. 特别提醒 解一元一次不等式时，五个步骤不一定都要用到，并且不一定都要按照这个顺序求解，应根据不等式的特点灵活求解. 归纳总结 14 2. 解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系： 一元一次方程 一元一次不等式 解法步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.(在解不等式的过程中，去分母、系数化为1 时，若两边同时乘(或除以)同一个负数，则不等号的方向要改变) 依据 等式的性质 不等式的性质 解的个数 只有一个解 有无数个解 解(集)的形式 x=a x<a(x ≤ a)或x>a(x ≥ a) 课堂练习 1.下列解法中，正确的是（ ） A.-x>-5，两边同乘-1，得x>5; B.-x<-5，两边同乘-1，得x<5; C.2x>-6，两边同除以-2，得x≤3； D.-2x>-6，两边同除以-2，得x≤3 D 2.解下列不等式，并分别在数轴上表示出它们的解集: (1)7x<6x-3; (2)5x-12<8x-33; (4)3(6x+7)>8-2(5x-9) 课堂练习 解： (1)7x- 6x < -3, x<-3; 该不等式的解集在数轴上表示如图所示: -1 0 1 2 3 -2 -3 解：（2）5x-8x<12-33；-3x < -21，x>7; 该不等式的解集在数轴上表示如图所示: 2.解下列不等式，并分别在数轴上表示出它们的解集: (1)7x<6x-3; (2)5x-12<8x-33; (4)3(6x+7)>8-2(5x-9) 课堂练习 0 7 2.解下列不等式，并分别在数轴上表示出它们的解集: (1)7x<6x-3; (2)5x-12<8x-33; (4)3(6x+7)>8-2(5x-9) 课堂练习 解:去分母(不等式两边乘12)，得15x+48≤32m-12 移项，得15x-32x<-12-48 合并同类项，得-17x ≤-60 系数化为1，得 0 解（3）18x+21>8-10x+18；18x+10x>8+18-21；28x >5， 该不等式的解集在数轴上表示如图所示: 2.解下列不等式，并分别在数轴上表示出它们的解集: (1)7x<6x-3; (2)5x-12<8x-33; (4)3(6x+7)>8-2(5x-9) 课堂练习 0 1. 不等式≥2－（x＋7）的最小整数解为 　x＝－4　⁠. x＝－4　 分层练习 基础导学练 2. 解下列不等式： （1）2023绍兴 3x－2＞x＋4； 解：（1）3x－2＞x＋4， 移项，得3x－x＞4＋2， 合并同类项，得2x＞6， 系数化为1，得x＞3. （2）2（x－1）＞3x－4. 解：（2）2（x－1）＞3x－4， 去括号，得2x－2＞3x－4， 移项，得2x－3x＞－4＋2， 合并同类项，得－x＞－2， 系数化为1，得x＜2. 3.解不等式－≥2，并把解集表示在数轴上. 解：－≥2， 2（x＋2）－5（x－2）≥20， 2x＋4－5x＋10≥20， 2x－5x≥20－4－10， －3x≥6，x≤－2. 不等式的解集表示在数轴上如图所示. 4. [2023北京门头沟区期末]学完一元一次不等式的解法后，老师布置了如下练习： 解不等式－≥2－x，并把它的解集在数轴上表示出来. 以下是小明的解题过程： 解：去分母，得11－3x≥－2（2－x），第一步 去括号，得11－3x≥－4－2x， 第二步 移项，得－3x－2x≥－4－11， 第三步 合并同类项，得－5x≥－15， 第四步 系数化为1，得x≥3. 第五步 把它的解集在数轴上表示如图. ⁠ ⁠　 第六步 老师看后说：“小明的解题过程有错误！”问：请指出小明哪些步骤有错误，并说明理由. 解：第一步错误，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向应改变.第二步错误，括号前是“－”号，去括号应变号. 第三步错误，移项应改变符号. 第五步错误，不等式两边除以同一个负数，不等号要改变方向. 第六步错误，大于或等于是实心圆圈. 解：去分母，得11－3x≥－2（2－x），第一步 去括号，得11－3x≥－4－2x， 第二步 移项，得－3x－2x≥－4－11， 第三步 合并同类项，得－5x≥－15， 第四步 系数化为1，得x≥3. 第五步 把它的解集在数轴上表示如图. ⁠ ⁠　 第六步 5.已知，A＝a－1，B＝－a＋3.若A＞B，求a的取值范围. 解：由A＞B得a－1＞－a＋3， 移项，得a＋a＞3＋1. 合并同类项，得2a＞4. 系数化为1，得a＞2. 6.【多解题】已知关于x，y的二元一次方程ax＋b＝y，下表列出了当x取不同的值时对应的y值.则关于x的不等式ax＋b＜0的解集为（　B　） x … －2 －1 0 1 2 3 … y … 3 2 1 0 －1 －2 … B A.x＜1 B.x＞1 C.x＜0 D.x＞0 应用提升练 点拨：由题意得出解得，则不等式为－x＋1＜0，解得x＞1.故选B. 7. [2023北京昌平区期中]定义新运算“*”，规定：a*b＝2a－b.若关于x的不等式x*m＞－3的解集为x＞－2，则m的值为（　D　） A.2 B.1 C.－2 D.－1 D 点拨：∵a*b＝2a－b，∴x*m＝2x－m. 由题得关于x的不等式2x－m＞－3，解得x＞. ∵不等式x*m＞－3的解集为x＞－2， ∴＝－2，解得m＝－1.故选D. 8.若代数式5（x－1）－2（x－2）的值大于x＋2的相反数，则x的取值范围为  　x＞－⁠. 点拨：根据题意，得5（x－1）－2（x－2）＞－（x＋2）， 去括号，得5x－5－2x＋4＞－x－2， 移项、合并同类项，得4x＞－1， 系数化为1，得x＞－. x＞－　 9.已知关于x的一元一次不等式（m＋2）x＞4的解集是x＜， 如图，数轴上的A，B，C，D四个点中，实数m对应的点可能是 　点A　⁠. 点A　 点拨：∵关于x的一元一次不等式（m＋2）x＞4的解集是x＜， ∴m＋2＜0，即m＜－2. ∵数轴上的A，B，C，D四个点中，只有点A表示的数小于－2， ∴实数m对应的点可能是点A. 10.已知3（x－1）≤mx2＋nx－3是关于x的一元一次不等式， 则mn2＋（m－1）3的值是 　－1　⁠. 点拨：由不等式3（x－1）≤mx2＋nx－3是关于x的一元一次不等式， 得m＝0，n≠3. ∴mn2＋（m－1）3＝0＋（－1）3＝－1. －1　 11. [2023北京西城区期中]已知关于x的方程x－＝的解是非负数，求m的取值范围. 解：x－＝，去分母，得3x－2x＋m＝2－x. 移项、合并同类项，得2x＝2－m.化系数为1，得x＝. ∵关于x的方程x－＝的解是非负数， ∴≥0，解得m≤2.∴m的取值范围是m≤2. 12.已知关于x的一元一次不等式mx－3＞2x＋m. （1）若x＝2是它的一个解，求m的取值范围； 解：（1）若x＝2是它的一个解，则2m－3＞4＋m， 2m－m＞4＋3，∴m＞7. （2）若它的解集是x＜，求m的取值范围. 解：（2）解不等式mx－3＞2x＋m， 整理，得（m－2）x＞m＋3. ∵一元一次不等式mx－3＞2x＋m的解集是x＜， ∴m－2＜0. ∴m的取值范围是m＜2. 13.已知不等式（x＋2）－＜（x－1）＋的最小整数解是 关于x的方程x－3ax＝15的解，求代数式9a2－18a－160的值. 解：（x＋2）－＜（x－1）＋， 去分母，得2（x＋2）－5＜3（x－1）＋4. 去括号，得2x＋4－5＜3x－3＋4. 移项，合并同类项，得－x＜2. 系数化为1，得x＞－2. 则不等式的最小整数解为－1. 将x＝－1代入方程，得－1＋3a＝15，解得a＝， 则9a2－18a－160＝9×－18×－160＝256－96－160＝0. 14. 【学科素养 运算能力】若关于x的不等式ax－b＞0的解集是x＜，则关于x的不等式（a－b）x－（a＋b）＞0的解集为 　x＜2　⁠. x＜2　 思维拓展练 点拨：由ax－b＞0得ax＞b. ∴x＜.∴＝. ∴a＝3b.∴3b＜0.∴b＜0. ∴a－b＝3b－b＝2b＜0，a＋b＝3b＋b＝4b＜0. ∴将不等式（a－b）x－（a＋b）＞0整理为2bx－4b＞0，解得x＜2. 15. 【学科素养 推理能力】观察下列不等式及其解集的特征： ①x＋＜3的解集是1＜x＜2， ②x＋＜7的解集是3＜x＜4， ③x＋＜11的解集是5＜x＜6， …… 根据观察得到的规律，解决下列问题. （1）第5个不等式为 　x＋＜19　⁠； （2）第n个不等式为 　x＋＜4n－1　⁠，其解集为　2n－1＜x＜2n　⁠； x＋＜19　 x＋＜4n－1　 2n－1＜x＜2n　 （3）根据上述规律，解关于x的不等式x＋＜4a＋2（a为正整数）. 解：不等式x＋＜4a＋2（a为正整数） 整理为x＋1＋＜4a＋3， 则3＜x＋1＜4a， 解得2＜x＜4a－1. 　　 解一元一次不等式的步骤： （1）化简不等式（去分母、去括号、移项、合并同类项)成ax>b(或ax<b等)的形式； （2）两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.不等式的两边同除以未知数的系数时，要考查系数a的正负．当a>0时，不等号的方向不变；当a<0时，不等号的方向改变. 课堂小结 $$